Práctica 10 (7/12/2016) Para generar una malla de puntos en los que evaluar una función de dos variables.

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1 Líneas, conornos y superficies Curso Prácicas Malab Cálculo I Objeivos Prácica 10 (7/1/016) Represenar líneas 3D, superficies y curvas de conorno. Comandos de Malab Para generar una malla de punos en los que evaluar una función de dos variables. meshgrid(x,y) meshgrid(x) %Es equivalene a meshgrid(x,x) %Para evaluar la función f(x,y)=x^*y en %el dominio <x<, -3<y<3 >>[X, Y]=meshgrid(-:.:,-3:0.5:3); >>Z=X.^.* Y Gráficos ridimensionales. plo3(x,y,z,s) Dibuja el conjuno de punos (X,Y,Z) donde X, Y y Z son vecores fila y S son las opciones de dibujo. plo3(x1,y1,z1,s1,x,y,z,s,...) Dibuja sobre los mismos ejes los gráficos definidos por las ripleas (Xi,Yi,Zi) con las opciones de dibujo por Si. %Para evaluar la función f(x,y)=x^*y %en el dominio <x<,-3<y<3 >>[X, Y]=meshgrid(-:.:,-3:0.5:3) >>Z=X.^.*Y >>plo3(x,y,z)

2 PÁGINA MATLAB: CURVAS Y SUPERFICIES Gráficos de superficie. surf(x,y,z,c) Represena el gráfico de superficie de la función z=f(x,y) con los colores especificados en C (ese úlimo parámero se puede ignorar). surfc(x,y,z,c) Represena el gráfico de superficie de la función z=f(x,y) juno con el gráfico de conorno correspondiene (curvas de nivel) >>%Para evaluar la función f(x,y)=x^*y en el dominio >>% <x<, -3<y<3 >>[X, Y]=meshgrid(-:.:,-3:0.5:3); >>Z=X.^.*Y; >>figure(1) >>surf(x,y,z) >>figure() >>surfc(x,y,z) Gráficos de malla. mesh(x,y,z,c) Represena el gráfico de malla de la función z=f(x,y) con los colores especificados en C (ese úlimo parámero se puede ignorar). meshc(x,y,z,c) Represena el gráfico de malla de la función z=f(x,y) juno con el gráfico de conorno correspondiene (curvas de nivel) meshz(x,y,z,c) Represena el gráfico de malla de la función z=f(x,y) juno con una especie de corina en la pare inferior. >>%Para evaluar la función f(x,y)=x^*y en el >>%dominio <x< -3<y<3 >>[X, Y]=meshgrid(-:.:,-3:0.5:3); >>Z=X.^.*Y; >>figure(1) >>mesh(x,y,z) >>figure() >>meshc(x,y,z) >>figure(3)

3 MATLAB: PRÁCTICA 10 PÁGINA 3 >>meshz(x,y,z) Gráficos de conorno (curvas de nivel). conour(z,n) Represena el gráfico de conorno para la mariz Z usando n líneas. El segundo parámero es opcional. conour3(z,n) Represena el gráfico de conorno en res dimensiones para la mariz Z usando n líneas. El segundo parámero es opcional. >>%Para evaluar la función f(x,y)=x^+y^ en el >>%dominio <x<, 3<y<3 >>[X, Y]=meshgrid( :.:, 3:0.:3); >>Z=X.^.+Y.^; >>figure(1) >>conour(z) >>figure() >>conour3(z) Gráficos de densidad pcolor(x,y,z) Represena el gráfico de conorno para la mariz (X,Y,Z) uilizando densidades de colores. >>%Para evaluar la función f(x,y)=x^+y^ en el >>%dominio <x<, -3<y<3 >>[X, Y]=meshgrid(-:.:,-3:0.:3); >>Z=X.^.+Y.^; >>pcolor(x,y,z) Represenación view([x,y,z]) Siúa el puno de visa de la figura en el indicado por las coordenadas (x,y,z). ginpu Nos devuelve las coordenadas (x, y) del puno una vez seleccionado en la

4 PÁGINA MATLAB: CURVAS Y SUPERFICIES Ejercicios Represenación de curvas ridimensionales La función plo3 es similar a la función plo, excepo que acepa daos en res dimensiones. El usuario debe proporcionar res vecores: x, y, z. Enonces esas ripleas ordenadas se grafican en un espacio de res dimensiones y se conecan con líneas recas. Represenación de punos en el espacio 1 (a) Represenar gráficamene los punos siguienes: p1=(1,1,1), p=(3,,0), p3=(0,,), p=( 3,6,8) primeramene conecados y luego aislados. ìï x = cos() (b) Represenar la hélice circular ï íy = sen() con Î ïz = ïî 5 ìï x = cos() (c) Represenar una hélice elípica ï íy = sen() con Î ïz = ïî 5 Órdenes Malab aparado a) x=[ ];y=[1 6];z=[1 0 8]; %Conecados plo3(x,y,z) %No conecados plo3(x,y,z,'*') %Para crear una rejilla grid on %Para eiquear los ejes xlabel('eje X');ylabel('Eje Y');zlabel('Eje Z') Órdenes Malab aparado b) %Se define el rango del parámero. Se declaran %las variables en función del mismo y, por la %insrucción plo3 se dibuja la hélice circular sobre el espacio. =linspace(0,*pi,1000);x=cos();y=sin();z=/(*pi); plo3(x,y,z)

5 MATLAB: PRÁCTICA 10 PÁGINA 5 Represenación de superficies La función z f x, y represena una superficie en un sisema de coordenadas XYZ. Anes de realizar la represenación es necesario crear una malla de punos en el plano XY para calcular el valor de f en cada uno de ellos. Para ello se uiliza a función meshgrid. Sean x y y dos vecores que conienen las coordenadas en una y ora dirección de la reícula (cuadrícula o grid) sobre la que se va a dibujar la función. Con la función meshgrid se crean dos marices X (cuyas filas son copias de x) y Y (cuyas columnas son copias de y). Esas marices represenan respecivamene las coordenadas x e y de odos los punos de la reícula. (a) Escribir x=1:3; y=-:0; [X,Y]=meshgrid(x,y) De qué orden son las marices X e Y? Qué valores se han almacenado en las marices X e Y? (b) Escribir el código malab para obener la siguiene figura: (c) Escribir el código malab para represenar los punos, donde la alura de cada puno ( xy, ) es x + y Órdenes Malab A modo de ejemplo se escribe el código para represenar los punos del aparado (b): x=1:;y=:7;[x,y]=meshgrid(x,y); plo3(x,y,0*x,'*') grid on axis([ ]) Una vez creado la malla de valores X e Y se puede obener una mariz Z con el valor de la función en cada puno de la malla. Para represenar la superficie se puede usar surf, mesh,

6 PÁGINA 6 MATLAB: CURVAS Y SUPERFICIES para represenar la superficie. Para represenar los conornos de alura consane se usa conour y para represenar la superficie juno con sus líneas de conorno se usa meshc. Represenación de funciones de dos variables sobre los recángulos indicados (a) = + é-, ù é-, ù êë ú êë ú z x y en x 3 (b) z = y e en êë -, ú x êë -, ú (c) Los planos x y z 1 -x é ù é ù + - =, x - y + z = 0 en una misma figura (d) Las superficies f ( xy, ) = - x, g( x, y) = - y en é-10,10ùx é-10,10ù êë ú êë ú en una misma figura z = sen x + y en é-3 p,3pùx é-3 p,3pù êë ú êë ú (e) ( ) Órdenes Malab A modo de ejemplo se escribe el código para represenar una superficie: x=-:0.5:; [X,Y]=meshgrid(x); Z=X.^+Y.^;surf(X,Y,Z) %Alernaivamene f=inline('x.^+y.^');surf(x,y,f(x,y)) %Modificamos algunas opciones del gráfico axis square;xlabel('eje X');ylabel('Eje Y');zlabel('Eje Z') Curvas de nivel (a) Represena en una mariz de gráficos 1x la superficie en el lado izquierdo y diez curvas de nivel de f ( xy, ) 6 x y = - + cuando x Î- é, ù ê ë ú, y Î- é 3, 3ù ê ë ú en la pare derecha. (b) Represena en una mariz de gráficos 1x la superficie en el lado izquierdo y las curvas de nivel de f ( x, y) ( y) 5 + cos 5. = ( x ) cuando x Î- é 1, 1ù ê ë ú, y Î- é 1, 1ù ê ë ú en la pare derecha para los valores de k = 0.1, 0., 0.3. Dada una función z f ( x, y) f ( xy, ) k = las curvas de nivel son las curvas planas de ecuación = siendo k un puno del rango de f. Son, por ano, las curvas inersección de la superficie gráfica de f con los planos horizonales z = k.

7 MATLAB: PRÁCTICA 10 PÁGINA 7 Órdenes Malab A modo de ejemplo se dan las insrucciones para realizar el aparado (a) %Para represenar unas líneas de conorno uilizaremos el %comando conour(x,y,f(x,y),n), siendo n las líneas de conorno %equiespaciados. Se puede susiuir el argumeno n por un vecor %con las coordenadas que nos ineresen x=-:.5:; y=-3:.5:3; [X,Y]=meshgrid(x,y); f=inline('sqr(6-*x.^-y.^)','x','y'); Z=f(X,Y); subplo(1,,1); surf(x,y,z); subplo(1,,); conour(x,y,z,10) Resumen de comandos Esos son los comandos uilizados en esa prácica que se darán por conocidos en las prácicas siguienes y que conviene reener porque se podrán pregunar en las disinas pruebas de evaluación. Para represenar punos en el espacio: Para crear una malla de punos: Para represenar una superficie: Para represenar las curvas de nivel de una función de dos variables plo3 meshgrid surf, mesh conour