Nombre completo del Finalista: Número de Documento de identidad: Institución Educativa a la que pertenece:

Transcripción

1 Información del estudiante: Nombre completo del Finalista: Número de Documento de identidad: Institución Educativa a la que pertenece: Grado: Edad: Instrucciones: No abrir la bolsa hasta recibir la indicación. Una vez abierta, consérvela para introducir en ella el examen y entregarlo cuando lo termine. Recuerde diligenciar en la primera página todos sus datos de identificación, claros y completos. Esta prueba consta de 12 preguntas, 8 son de selección múltiple con única respuesta, cada una con valor de 5 puntos y 4 preguntas que requieren procedimiento, cada una con valor de 15 puntos. Recuerde marcar sus respuestas en la tabla de soluciones ubicada en la página 2. Las respuestas que no estén señaladas en la tabla, no serán válidas. El tiempo para resolver la prueba es de dos horas. No se permite que el participante salga del auditorio antes de 40 minutos luego de haber comenzado la prueba. No se permite el uso de hojas diferentes a las provistas por el equipo organizador de las Olimpiadas de Matemáticas. No se permite el uso de aparatos electrónicos. Al finalizar la prueba, introduzca el examen y las hojas con las soluciones en la bolsa, e inmediatamente entréguela al miembro del equipo organizador que se encuentre más cercano. Página 1 de 8

2 Tabla de soluciones Marque con una X la solución correcta. Pregunta A B C D E Página 2 de 8

3 Problemas de Selección Múltiple: 1. La suma de las edades de Fredy y Roberto es 41, la suma de las edades de Fredy y Carlos es 44 y la suma de las edades de Roberto y Carlos es 39. Cuál es la edad del mayor? (A) 18 (B) 19 (C) 21 (D) 23 (E) No he podido recordar el número de teléfono de mi amigo Felipe. El número que escribí tiene 9 dígitos, pero recuerdo que él me dijo que eran 10, y no tengo idea cuál cifra se me olvidó ni en cuál posición estaba. Cuántos números de teléfono tengo que escribir para estar seguro que uno de ellos es el de mi amigo? (Un número de teléfono puede empezar con cualquier dígito, incluyendo el cero) (A) 85 (B) 81 (C) 90 (D) 100 (E) Los números x, y son distintos y satisfacen la igualdad x 1 = y 1. Cuál es el x y valor de xy? (A) 4 (B) 1 (C) 1 (D) 4 (E) No se puede determinar 4. En la compañia de Caballeros y Ladrones cada ciudadano es un Caballero (quien siempre dice la verdad) o un Ladrón (quien siempre miente), pero no ambos. Hay 7 personas sentadas alrededor de una mesa. Todos dicen Estoy sentado entre dos Ladrones Cuántos Ladrones hay? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) No hay solución 5. El entero positivo N tiene exactamente seis divisores (positivos) distintos incluyendo a 1 y N. El producto de cinco de estos es 648. Cuál de los siguientes números es el sexto divisor de N? (A) 4 (B) 8 (C) 9 (D) 12 (E) 24 Página 3 de 8

4 6. Encuentre el número de pares de enteros x, y tales que xy 3x 5y = 0 (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 (E) Los rectángulos S 1 y S 2 en la figura tienen la misma área. Determine la razón x y (A) 5 7 (B) 7 5 (C) 10 7 (D) 7 10 (E) 2 8. Dentro del triángulo rectángulo ABC hay tres cuadrados como se muestra en la figura. Si AB = 8 y el cuadrado más pequeño tiene lado de longitud 1, entonces el cuadrado grande tiene lado de longitud: (A) 2 (B) 8 (C) 4 (D) 2 2 (E) 3 Página 4 de 8

5 Problema de Procedimiento 1 En la figura dada a continuación, el triángulo ABC es isósceles y rectángulo en B (esto es, los lados AB y AC son iguales y el ángulo ABC mide 90 ). También, los puntos D y E son los puntos medios de AB y AC, respectivamente y los puntos F y G son los puntos medios de DE y DB, respectivamente. Si la semicircunferencia mostrada es tangente a BE, calcule el área sombreada si se sabe que el área del triángulo ABC es 32 cm 2. Página 5 de 8

6 Problema de Procedimiento 2 Si n es un número natural, denotamos por s(n) la suma de los dígitos de n. Pruebe que: 1 s(n) s(2n) 2s(n) 5 Página 6 de 8

7 Problema de Procedimiento 3 Halle todos los enteros positivos n tales que 2n 1, 5n 1 y 13n 1 son cuadrados perfectos. Página 7 de 8

8 Problema de Procedimiento 4 En una competencia matemática participan 10 niños y 10 niñas. Cada participante resolvió a lo más 4 problemas. Cada pareja niño niña resolvió al menos un problema en común. Muestre que hay un problema que fue resuelto por al menos 2 niños y 2 niñas. Página 8 de 8