JUEGOS Y PROBLEMAS 2012

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1 I OLIMPIADA RECREATIVA DE MATEMÁTICA JUEGOS Y PROBLEMAS 2012 MATERIAL DE ENTRENAMIENTO CUARTO DE SECUNDARIA Problema 1. Cuál de las condiciones es suficiente para que exista la expresión real z y x? (A) x < 0 ; y < 0 ; z < 0 (B) x > 0 ; y > 0 ; z < 0 (C) x > 0 ; y < 0 ; z < 0 (D) x < 0 ; y > 0 ; z > 0 (E) x < 0 ; y > 0 ; z < 0 Problema 2. Un grupo de amigos de clase está planificando un viaje por fin de año. Si cada uno de ellos hiciera una aportación de 14 soles para los gastos del viaje, les faltarían 4 soles. Pero si cada uno de ellos hiciera una contribución de 16 soles, obtendrían 6 soles más de los que necesitan. Cuánto debería contribuir cada amigo para obtener la cantidad exacta para el viaje? (A) S/ (B) (C) (D) (E) Problema 3. Cuántas progresiones aritméticas con razón r (r que contengan a los términos: 1 y Z ), existen tales (A) Más de 12 (B) 12 (C) 8 (D) 5 (E) Ninguna Problema 4. Si a b y a ab b = 0, determinar el valor de A: a + b b A = + a a + b (A) 1 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (E) 2 I Olimpiada Recreativa de Matemática 1

2 Problema 5. Si: 2 f( x) = x 10x Halle el mayor valor entero de m de modo que x R, se cumpla que: f( x) f( m) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 Problema 6. Determinar cuántos números de tres cifras xyz existen, para los cuales se cumple que: xyz = x! + y! + z! Aclaración: n! denota el producto de todos los números naturales desde 1 hasta n. Por ejemplo 5! = = 120. Por convención 0! = 1. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 8 Problema 7. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH. Si I 1 e I 2 son los incentros de los triángulos ABH y CBH, respectivamente, y además I es el incentro del triángulo ABC. Qué punto notable es I para el triángulo BI 1 I 2? (A) Baricentro. (B) Circuncentro. (C) Incentro. (D) Ortocentro. (E) Excentro. Problema 8. Una función asocia a cada real x el menor elemento del conjunto 15 x x + 1;, luego el valor máximo de f(x) es 2 (A) 4 (B) 5 (C) 11 2 (D) 16 3 (E) 19 4 Problema 9. Se considera la ecuación: ( ) ( ) 2 x + a + b + c x + m ab + bc + ac = 0, de raíces reales. Si a, b y c representan las longitudes de los lados de un triángulo entonces se cumple que: (A) m 0 (B) m 1 (C) m<1 (D) 0 m < 1 (E) m 0 I Olimpiada Recreativa de Matemática 2

3 Problema 10. Sea x, x,..., x una sucesión de números enteros que satisface las siguientes propiedades: i. 1 x i 2 para i= 1,2,3..., n ii. x + x x 19 = iii x + x x 99 = Sean m y M los valores, mínimo y máximo de la expresión: K= x + x + + x, Respectivamente. Cuál es el valor de M m? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 Problema 11. El triángulo CDE puede ser obtenido por la rotación del triángulo ABC de 90º en el sentido anti-horario alrededor de C, como se muestra en la figura. Entonces el valor de x es: B A D x 60º C 40º E (A) 75º (B) 65º (C) 70º (D) 45º (E) 55º I Olimpiada Recreativa de Matemática 3

4 Problema 12. Andrés, Brenda, Carlos, Diego y Emily están sentados en una mesa redonda. Sabemos que exactamente cuatro de ellos son mentirosos, es decir, siempre mienten, y la otra persona siempre dice la verdad. Cada uno de ellos dijo lo siguiente: Andrés dijo: Carlos está sentado a mi lado, Brenda dijo: Andrés y Emily están sentados juntos, Carlos dijo: Brenda está mintiendo, Diego dijo: Carlos está mintiendo, Emily dijo: Carlos y Diego están mintiendo. Quiénes necesariamente están sentados juntos? (A) Andrés y Carlos. (B) Andrés y Emily. (C) Carlos y Emily. (D) Carlos y Diego. (E) Diego y Emily. Problema 13. En una mesa de billar en forma de cuadrado de lado 2m. se lanza una bola desde la esquina A. Después de tocar tres lados como se muestra en la figura, llega a la esquina B. Cuántos metros recorrió? A B (A) 7 (B) 52 (C) 8 (D) 2( 2 + 3) (E) 4 3 Problema 14. En cada cuadradito del tablero debe escribirse un número de tal manera que en cada fila, en cada columna y en las dos diagonales haya progresiones aritméticas. Algunos números ya han sido escritos. Qué número debe ir en la casilla sombreada? (A) 49 (B) 42 (C) 33 (D) 28 (E) 4 I Olimpiada Recreativa de Matemática 4

5 Problema 15. José dispone de 8 colores distintos, entre los cuales hay un rojo, un blanco y un negro. Si desea pintar una banderita de tres franjas, con las siguientes condiciones: i. Cada franja con un color distinto. ii. Una franja debe ser pintada con su color favorito: el rojo. iii. El centro no debe estar pintado ni de blanco ni de negro. De cuántas maneras puede pintar la banderita? (A) 45 (B) 90 (C) 95 (D) 102 (E) 120 I Olimpiada Recreativa de Matemática 5