=0 ; por y tanto el gradiente y la divergencia se reducen a: z ; E=^z E

Transcripción

1 Índice de contenido. Ondas planas....1 Polarización de una onda...5. Ondas planas en medios disipativos Ondas planas en dieléctricos Ondas planas en conductores Reflexión de ondas planas en medios dieléctricos

2 . Ondas planas. Una onda plana es una onda electromagnética en la cual el frente de onda (superficies alcanzada simultáneamente por la onda) es un plano perpendicular a la dirección de propagación. En dicho plano, tanto la fase como la amplitud son constantes. La onda plana es sólo una construcción teórica pero constituye una aproximación perfecta para determinados casos. Por ejemplo el campo radiado por una antena puede considerarse localmente plano a gran distancia de la misma. La radiación solar es otro ejemplo de onda plana; en realidad el frente de onda de la radiación solar es una esfera pero en cualquier parte de la tierra donde se mida se puede considerar a todos los efectos una onda plana. Como en ondas guiadas, consideraremos en primer lugar que el medio de propagación es sin pérdidas. En segundo lugar que se propagan en la dirección del eje z, por tanto si la onda es plana y perpendicular a la dirección de propagación y en el frente de onda los campos deben ser constantes, no hay variación de los campos en dirección de los ejes x e y; es decir x =0 y =0 ; por y tanto el gradiente y la divergencia se reducen a: = ^z z ; E = E z z ; E=^z E z = ^x E y z + ^y E x z Las ecuaciones de Maxwell las podemos simplificar entonces de la siguiente manera: ^z E z = μ H t ^z H z = ε E t E z z =0 H z z =0 La primera consecuencia es que no hay campos en la dirección del eje z; en efecto si aplicamos la ley de Ampere: ^z (^z H z )=ε ^z E t =0 E z t =0 Por tanto E z =cte y como no estamos considerando el caso de electrostática, E z =0, por un procedimiento similar obtendríamos que H z =0. Por tanto los campos tienen solamente componentes transversales (x,y). Recordemos que E ( z,t)= ^x E x (z, t)+ ^y E y ( z,t) H (z, t)= ^x H x ( z,t)+ ^y H y (z, t)

3 c= 1 με y η= μ ε Con c la velocidad de propagación y η, la impedancia (cuando el medio es el vacío c m/s y η 10π Ω respectivamente). Podemos reescribir las dos primeras ecuaciones de Maxwell anteriores de la manera siguiente: ^z E z = 1 c η H t η ^z H z = 1 c En la primera ecuación hacemos el producto vectorial por ẑ a ambos lados de la ecuación: E t (^z E z ) ^z= E z ( ^z ^z) ^z E (^z z ) Las dos primeras ecuaciones de Maxwell quedan: E z = 1 c H z (η H ^z)= 1 c 1 z E z = E z z =0 (η H ^z) t E t = E z Si tomamos la primera ecuación y la diferenciamos con respecto a z y usando la segunda se obtiene: E z = 1 c t z (η H ^z)= 1 E c t ( z 1 E (z,t)=0 (ecuación de onda) c t ) Si se opera de igual manera se obtendría una solución similar para el campo magnético. Similarmente a como hicimos en líneas de transmisión intentaremos soluciones del tipo: E (z, t)= E + (t z v )+E - (t+ z v ) H (z, t)= η 1 [ E+ (t z v ) E- (t + z v ] ) Es decir campo incidente y campo reflejado. Si separamos las componentes del campo según el eje x y el eje y, obtendremos lo siguiente para las ecuaciones de Maxwell: E y z =μ H x t E x z = μ H y t 3

4 H y z = ε E x t H x z =ε E y t Si aplicamos las ecuaciones anteriores al campo según el eje x queda: E x = E x + e jkz +E x - e jkz H y = 1 η (E + x e jkz E - x e jkz ) Donde k es el número de onda, k =ω με= π λ =β o la constante de propagación del medio. Igualmente podemos aplicar el mismo procedimiento al campo eléctrico según el eje y: E y =E y + e jkz +E ȳ e jkz H x = 1 η ( E + y e jkz +E - y e jkz ) De las dos relaciones anteriores se deduce que el campo eléctrico y el magnético son siempre perpendiculares entre sí; en efecto, de las relaciones anteriores se obtiene: + + E x H = E y + y H =η + x - E x = E y H ȳ H = η - x - En la figura siguiente se muestra un ejemplo de campos propagándose hacia fuera del papel. Si expresamos el vector de Poynting para la onda plana que se propaga en dirección positiva es: S= E H S z =E + x H + y E + y H + x = η 1 (E x+e y ) Que tiene dirección del eje z o sea de propagación de la energía. Por su parte la energía 4

5 almacenada en los campos vale: W E = ε E = ε (E x+e y ) W H = μ H =μ (H x+ H y ) Que puede fácilmente demostrarse que son iguales. En resumen; una onda plana se caracteriza por: La velocidad de propagación es v= 1 μ ε (c en el vacío). No hay campo eléctrico ni magnético en la dirección de propagación. El campo eléctrico y magnético son siempre perpendiculares. El valor del campo eléctrico es siempre η= μ ε veces el del magnético (η 10π Ω para el vacío) La energía almacenada por unidad de volumen en el campo eléctrico es siempre igual a la almacenada en el campo magnético. El vector de Poynting tiene de amplitud que la de propagación E η =η H y tiene la misma dirección y sentido Por último recordemos que generalmente vamos a trabajar con ondas sinusoidales y que por tanto las expresiones de los campos serán: E (z,t )=( E 0 + e jkz + E 0 - e jkz )e j ω t H (z,t)= 1 η ^z (E 0 + e jkz E 0 - e jkz )e j ω t.1 Polarización de una onda Vamos a considerar una onda sinusoidal propagándose, de momento, únicamente en dirección positiva (sólo onda incidente): E (z, t)=( ^x A+ ^y B)e j ω t jkz Con ^x e ^y los vectores unidad de los ejes. Básicamente la polarización de una onda se define como la dirección del campo eléctrico, y depende fundamentalmente de las relaciones entre A y B, por ejemplo si B=0 el campo tiene dirección del eje x y se dice que la polarización es lineal o que está linealmente polarizada. Hay que fijarse en que A y B pueden ser complejos en general. Si expresamos A y B en forma polar obtenemos: 5

6 E (z, t)=( ^x A e j φ a + ^y B e j φ b)e j ω t jkz = ^x A e j(ω t kz+φ a) + ^y B e j (ωt kz+ j φ b) Donde ahora A y B son magnitudes reales y positivas. Si extraemos la parte real y separamos las componentes según el eje x e y obtenemos la expresión: E x ( z,t)=a cos(ωt kz+φ a ) E y (z, t)=b sin (ω t kz+φ b ) Para determinar la polarización de la onda nos fijamos en un punto determinado fijo del espacio y para simplificar las cosas lo hacemos en el origen, o sea en z=0: E x (t)= Acos(ω t +φ a ) E y (t)= B sin(ωt +φ b ) Si usamos la identidad trigonométrica de la suma de ángulos obtenemos: E x (t)= A[ cos(ω t)cos(φ a ) sin (ω t)sin(φ a ) ] E y (t)=b [cos(ω t)cos(φ b ) sin(ωt )sin (φ b )] Si llamamos φ=φ a φ b y resolvemos la ecuación anterior para sin(ωt) y el cos(ωt) se obtiene: cos(ω t)sin(φ)= E y(t ) B sin(φ ) E x(t) a A sin (φ ) b sin(ω t)sin (φ)= E (t) y B cos(φ a) E (t) x A cos(φ b) Si elevamos al cuadrado ambas ecuaciones y las sumamos y teniendo en cuenta que el sin (ωt)+ +cos (ωt)=1 se obtiene: ( E y(t) B sin (φ ) E x(t ) a A sin(φ ) b ) +( E y(t ) B cos(φ ) E x(t ) a A cos(φ ) b ) =sin (φ) La cual se puede simplificar de la siguiente manera: E x A + E y B cos(φ) E x E y AB =sin (φ) Que, en general, es la expresión de una elipse pero dependiendo de los valores de A, B y φ puede ser una elipse, una circunferencia o una línea recta, de aquí se obtienen respectivamente los tres tipos de polarización posibles: elíptica, circular o lineal. La polarización lineal ocurre cuando φ=0 o bien φ=π, entonces la expresión del campo eléctrico es: 6

7 E x A + E y B E x E y AB ( =0 E x A E y B ) =0 E y =± B A E x Que es la ecuación de una recta (la pendiente puede ser positiva o negativa). También es polarización lineal cuando sólo hay campo en dirección del eje x o sólo en la dirección del eje y. La polarización es circular cuando A=B y φ=±π / : E x A + E y A =1 E x+e y = A En el caso se polarización circular es importante el sentido de giro del campo eléctrico que puede ser a derechas o a izquierdas. Si la diferencia de fase es φ=π/: E x (t)=a cos(ω t) E y (t)=a cos(ωt π/)= Asin (ωt) Que mirando desde el punto hacia donde se propaga la onda (hacia fuera del papel), gira en sentido contrario a las agujas del reloj y es polarización circular a derechas (regla de la mano derecha). En caso contrario será circular a izquierdas (y podemos aplicar la regla de la mano izquierda); si la diferencia de fase es φ= π / : E x (t )= Acos(ωt) E y (t)=a cos(ω t+π/)= Asin(ω t) Fíjense que si los campos se refieren a onda reflejada, el sentido será el contrario. También es importante notar que el sentido de giro usado normalmente por los ingenieros es el contrario que el de los físicos que miran el sentido se giro desde donde se produce la onda. La siguiente imagen aclara un poco los conceptos. 7

8 Para resumir, a continuación se muestran las expresiones de las ondas de la figura anterior. E=( ^x j ^y)e jkz e j ω t Onda incidente polarización circular a derechas. E=( ^x+ j ^y)e jkz e j ωt Onda incidente polarización circular a izquierdas. E=( ^x j ^y)e jkz e j ω t Onda reflejada polarización circular a izquierdas. E=( ^x+ j ^y)e jkz e j ωt Onda reflejada polarización circular a derechas. Por último, si A B pero φ=±π /, la polarización es elíptica pero los ejes de la elipse están orientados según los ejes x e y. Si además φ vale cualquier valor excepto 0, ±π/ y ±π, la polarización es elíptica pero con los ejes de la elipse girados un cierto ángulo. La polarización de una onda es muy importante cuando se trate el tema de antenas y propagación de ondas esféricas ya que si se usan antenas de una polarización distinta a la de la onda se perderá parte de la señal o incluso no se recibirá absolutamente nada.. Ondas planas en medios disipativos. Al igual que hicimos con las lineas de transmisión, ahora vamos a estudiar las ondas en medios con pérdidas. Cuando una onda plana se encuentra con un medio disipativo, se producen en él corrientes tanto de conducción; J c =σe (ley de Ohm generalizada), como de desplazamiento; J d =jωd=jωε d E. que ocasionan pérdidas en forma de calor. Teniendo en cuenta esto, la corriente total en el medio será la suma de ambas; J t = J c +J d =(σ+ j ω ε 0 ε d ) E= j ωε 0 ε c E Donde ε c es la constante dieléctrica compleja, y en general la expresaremos como: 8

9 ε c =ε ' jε '' ' '' =ε d j (ε d + σ ω ) Donde podemos comprobar que las pérdidas vienen de la parte compleja de ε c tanto de la parte del dieléctrico como de los conductores. Si sustituimos las constantes dieléctricas por su equivalente complejo y las introducimos en las ecuaciones de Maxwell obtendremos unas expresiones similares a las de la onda sin pérdidas pero sustituyendo la constante de propagación por la constante de propagación compleja. La impedancia del medio será ahora compleja, al igual que la constante de propagación: k c =ω με 0 ε c η c = μ ε0 ε c Al final obtenemos unas expresiones similares pero, como hemos dicho, con constante de propagación compleja. γ=α+ j β= j ω μ(ε ' j ε '' ) E=E 0 e γ z = E 0 e (α+ jβ) z =E 0 e α z e j β z La potencia perdida decae al doble del campo ya que depende del cuadrado de éste: P (z)=p (0)e α A la constante α se le denomina constante de atenuación y se mide en neperios/m, como se ve, el campo se atenúa exponencialmente con la distancia. Es mas conveniente expresarla en db/m...1 Ondas planas en dieléctricos. A(dB)= 10log ( P (z) P (0) ) =0 log(e)α z 8,686 α z Vamos ahora a desglosar las ecuaciones para un dieléctrico en el que la conducción es nula (σ=0, J=0) y las pérdidas que predominan son las propias del material: Al cociente ε'' ε ' k c =ω με 0 ε c μ η c = ε0 ε c = μ ε 0 ε ( ' ε'' 1 j se le llama tangente del ángulo de pérdidas; tan (δ)= ε'' ε ' ) ε ' e indica la calidad de un dieléctrico; suele ser del orden de 10-4 para los dieléctricos normalmente usados en microondas. El material es de bajas pérdidas si ε '' 1 ' y las constantes se pueden aproximar por: ε α k ε'' ε '= k tan(δ) 9

10 β k [ ( ε'' ε ' ) ] Con k=ω με ' Por su parte, la impedancia característica del medio, es: '{[ η=η ( ] } η'[ ε'' + j ε'' ε ' ) ε 1 3 ' 8 ( )] ε'' ε ' Con η ' = μ ε '.. Ondas planas en conductores. Para conductores, las pérdidas son prácticamente todas debidas a la pérdidas óhmicas en el mismo (conductivas). De la fórmula general: H =( j ω ε 0 ε ' +σ) E= j ω ε 0 ε ' ( 1 j σ ωε 0 ε ' ) E Para un buen conductor σ 1 ' y por tanto: ωε jk= j ω μσ j ω 1 Con δ= π f μσ =(1+ j) π f μ σ=1+ j δ Profundidad de penetración La profundidad de penetración es la distancia a la cual el campo decrece como 1/e y suele ser de un valor muy pequeño para los conductores, Por ejemplo para el cobre; siendo σ=5, (Ω -1 m -1 ) y μ=μ 0 =4π 10-7= 1, (H/m), resulta entonces: δ cu = 6,610 f Si se resuelve esta expresión para distintas frecuencias resulta: Frecuencia 50 Hz 9,3 mm 1 MHz 6, m 10 GHz 6, m Como puede comprobarse es de un valor muy pequeño, incluso para frecuencias tan bajas como la de la red de energía eléctrica de 50 Hz, este es el motivo por el que se suelen usar cables formados por muchos hilos en vez de un sólo conductor del mismo diámetro total. Cuando la 10 δ

11 frecuencia sube, la corriente se concentra sólo en la superficie del conductor. Esto se conoce como efecto pelicular. Por su parte la impedancia del medio es: η= j ωμ σ =(i+ j) π σ f μ =(1+ j) R s R s = π f μ σ R s es la resistencia superficial del metal, que tiene en cuenta el efecto pelicular. Puede comprobarse que la fase de la impedancia es 45 ⁰. Además es de un valor muy pequeño, por ejemplo para el cobre vale 0,014 Ω a 3 GHz es decir prácticamente un cortocircuito lo que quiere decir que una onda plana que se encuentre con un metal se reflejará casi en su totalidad como veremos mas adelante. También puede comprobarse que depende de la frecuencia lo que quiere decir que es un medio dispersivo, en efecto la velocidad de propagación es: v= ω πδ β =ω δ=c λ 0 Con λ 0 la longitud de onda en el vacío, como δ suele ser muy pequeño, la velocidad de propagación es muy inferior a la de la luz..3 Reflexión de ondas planas en medios dieléctricos. Antes de estudiar la reflexión de ondas es medios dieléctricos vamos a profundizar en la analogía con la propagación en líneas de transmisión. En el caso de las líneas de transmisión, se partía de las ecuaciones circuitales y en el caso de las ondas planas, se partía de las ecuaciones de Maxwell pero en ambos casos había que resolver una ecuación diferencial que era una ecuación de onda y por tanto el resultado debe ser similar. En la tabla siguiente se muestran en detalle las analogías (por sencillez suponemos campo eléctrico sólo según eje x): Onda Plana E x ( z)=e + e jkz +E - e jkz Línea de transmisión. V ( z)=v + e j β z +V - e j β z H y (z)= 1 η [ E + e jkz E - e jkz ] I (z)= 1 Z 0 [V + e j β z V - e j β z ] k=ω με β=ω LC η= μ ε Z 0= L C Vemos que si se sustituye E por V, H por I, μ por L, ε por C se obtienen exactamente las mismas ecuaciones. Continuando con esta analogía vamos a considerar ahora las condiciones de contorno en la frontera entre dos materiales distintos. En la discontinuidad los campos tanto eléctricos como magneticos tangenciales deben ser continuos, exactamente igual que en linea de transmisión con las corrientes y las tensiones en una discontinuidad por cambio de impedancia. Esto origina que en una 11

12 discontinuidad se generen reflexiones con un coeficiente de reflexión que viene dado por: ρ= E - E = Z η L + Z L +η Y la impedancia vista en cualquier punto es (medios sin pérdidas): Z ( z)=η 1+ρ( z) 1 ρ( z) =η Z L cos(kz)+ j ηsin(kz) ηcos(kz)+ jz L sin (kz) Esta analogía hace que se puedan usar las mismas herramientas que en líneas de transmisión; carta de Smith etc... Si una onda plana que viaja en un medio de impedancia característica η 1 se encuentra con una discontinuidad a otro medio de impedancia característica η se producirán reflexiones que, como hemos visto tienen un coeficiente de reflexión expresado por: ρ= η η 1 η +η 1 La relación entre la potencia incidente y la reflejada es: P 1 - E 1 - P = η (E + 1 ) η 1 = ρ La potencia transmitida al siguiente medio es, al igual que en lineas de transmisión: P - P 1 + =1 ρ Si η 1 =η no se producirán reflexiones lo cual ocurre en el caso obvio de que el medio sea el mismo pero también en el caso que la impedancia sea la misma pero sea distinto medio porque la relación entre ε y μ sea distinta (caso muy raro). Tampoco se producirán reflexiones si la impedancia vista coincide con η 1 este caso se da cuando tenemos distintos materiales formando un sandwich con el que se pueden adaptar impedancias. Como ejemplo vamos a calcular el coeficiente de reflexión de un conductor (cobre en este caso). El coeficiente de reflexión para un metal vale: ρ= (1+ j) R s η (1+ j)r s +η = 1 (1+ j) R s/η 1+(1+ j) R s /η Como R s /η<<1, se puede aproximar la ecuación por 1

13 ρ 1+ (1+ j)r s η Y el módulo es: ρ 1 4 R s η Para el cobre, a una frecuencia de 1 GHz y el otro medio el aire con η 10π resulta: ρ 1 4 R s 4 0,0085 η =1 10 π =1 8, =0, O sea prácticamente reflexión total. La fracción de potencia transmitida hacia el cobre es: P - + P =1 ρ 1 (1 4 R s η )= 4 R s η =8, =0, % 1 Es decir casi nada, por tanto un metal se comporta frente a una onda plana como un cortocircuito, reflexión total y fase del módulo de reflexión aproximadamente π, es decir ρ -1. Vamos a analizar ahora unos ejemplos con tres medios. El primero es una lámina dieléctrica de espesor l muy pequeño comparado con la longitud de onda; como por ejemplo una ventana de vidrio a frecuencias de radio. En este caso tenemos tres medios, aire en ambas caras de la lámina y la propia lámina. η0=10π η η3=10π l En este caso, η 1 =η 3,, la impedancia que se ve desde el medio en la discontinuidad con el 3 es η 3,, y como k l es muy pequeño comparado con la unidad podemos aproximar la tangente por el 13

14 ángulo y la impedancia vista desde el medio 1 hacia el es: Z L1 η ( η 1 + j η k l η + j η 1 k l ) η 1[ 1+ jk l ( η η 1 η 1 η )] Y si lo sustituimos en la expresión del coeficiente de reflexión queda: ρ j k l ( η η 1 η 1 η ) Donde se comprueba que el coeficiente de reflexión es es proporcional al espesor del dieléctrico y la potencia proporcional al cuadrado de dicho valor para pequeños valores de k l, en primera aproximación podemos aplicar esta expresión para l<λ/10. Usando la carta de Smith podemos comprobar que una lámina de espesor nλ/, múltiplos de media longitud de onda la impedancia se conserva, asimismo si tenemos una lámina de espesor λ/4 de impedancia la media geométrica de los dos medios podemos adaptar la impedancia (adaptador de cuarto de onda): Al ser la lámina adaptadora de impedancias de un espesor de (n+1)λ/4, la adaptación tendrá un determinado ancho de banda que dependerá de lo diferentes que sean las impedancias. Por eso si las impedancias son muy diferentes se recurre a hacerlo en varios pasos. η Z 1 =η 3 cos(kz)+ j η sin(kz) η cos(kz)+ j η 3 sin(kz) =η Si η = η 1 η 3 entonces Z 1 =η 1 η 3 + j η tan ( k λ 4 ) η + j η 3 tan ( k λ 4 ) como tan ( π 4 ), Z 1= Esto es muy utilizado en óptica, por ejemplo, para evitar los reflejos en la lentes, se suele colocar una lámina en λ/4 (o múltiplo entero impar) para adaptar las impedancias, si se desea mas ancho de banda (en longitudes de onda en este caso), se colocan no una, sino varias capas, a las lentes de este tipo se le denominan coated lens y multicoated lens respectivamente. η η 3 14