f(x, y) = 2xy (2xy + 1)... (2xy + y) 4. Demostrar que existe una funcion primitiva recursiva g(u,v) tal que

Transcripción

1 Relación Ampliada de Problemas de Modelos de Computación II 1. Sea h 1 (x, 0) = 2x, h 2 (x, 0) = x 2 h 1 (x, t + 1) = 3x + h 1 (x, t) + 2h 2 (x, t)), h 2 (x, t + 1) = 2 h2(x,t). Demostrar que h 1 y h 2 son primitivas recursivas. 2. Sea h 1 (x, 0) = x + 1, h 2 (x, 0) = x h 1 (x, t + 1) = x + h 1 (x, t) + 2h 2 (x, t)), h 2 (x, t + 1) = 2 h2(x,t) h 1 (x, t). Demostrar que h 1 y h 2 son primitivas recursivas. 3. Sea f(x, y) = 2xy (2xy + 1)... (2xy + y) ¾Es f primitiva recursiva? 4. Demostrar que existe una funcion primitiva recursiva g(u,v) tal que φ g(u,v) (x) = 2 φ u (x) + 3 φ v (x) 5. Sea f la función de N 3 en N denida por: f(x, 0, z) = x, si z es par f(x, 0, z) = x + 1, si z es impar f(x, y + 1, z) = y t=0 [(x + 1) f(x, t, z)]. ¾Es f calculable?¾ Y recursiva primitiva? 6. Sea f la función denida por: f(0, y) = y + 1, f(x + 1, 0) = f(x, 1), f(x + 1, y + 1) = f(x, f(x + 1, y)). ¾ Es f calculable? ¾ Y primitiva recursiva? 7. Sea: Φ(x, z) f(x, y, z) = Φ(x, y) Si Φ(x, z) está denido en otro caso ¾Es f calculable?

2 8. Sea ¾Es f primitiva recursiva? x + 1 f(x) = x f(x 1) Si x es par en otro caso 9. Considerar el predicado siguiente: a) ¾ Es P decidible?. 1 Si el programa número y devuelve alguna vez el número x P (x, y) = 0 en otro caso b) ¾ Es P parcialmente decidible? 10. Considerar el predicado siguiente: a) ¾ Es P decidible?. b) ¾ Es P parcialmente decidible? 1 Si el programa número y no devuelve nunca número x P (x, y) = 0 en otro caso 11. Considerar el predicado siguiente: a) ¾ Es P decidible?. b) ¾ Es P parcialmente decidible? 1 Si el programa número y devuelve siempre el número x P (x, y) = 0 en otro caso 12. ¾Es posible decidir de forma automática si un programa para o no con todas las entradas impares?.¾ Y simplemente responder que si en el caso de que pare con todas las entradas impares, y no responder en otro caso? 13. ¾Es posible decidir de forma automática si un programa para o no con todas las entradas múltiplo de 3?.¾ Y simplemente responder que no en el caso de que pare con todas las entradas múltiplo de 3, y no responder en otro caso? 14. Sean f(0)=1, f(1)=3 y f(x) = x*f(x-2) si x>1. ¾Es f primitiva recursiva? 15. Demostrar que existe una función primitiva recursiva s(u,v) tal que Φ s(u,v) (x) = [ Φ u (x) Φ v (x)] 16. Cuales de los siguientes conjuntos son recursivamente enumerables y cuales son recursivos: a) {x : x Img(Φ x )} b) {x : x es un cuadrado perfecto} c) {x : Φ x es inyectiva} d) {x : Φ x es primitiva recursiva}

3 17. La noche anterior de un examen de Modelos e Computación II, Maria y Pedro se reunen para estudiar el examen. A las 10:00 de la noche, Maria explica a Pedro, un repetidor empedernido, por que el problema de la parada no es calculable. Como consecuencia de esta explicación Pedro cae en un mutismo absoluto, del cual no sale hasta dos horas despues para pronunciar las siguientes palabras: Maria, el problema de decidir si el conjunto de salidas de un algoritmo es nito o innito, es un problema no calculable. Posicionarse a favor o en contra del comentario de Pedro, aportando una justicación adecuada. 18. Encontrar una enumeración calculable de las funciones primitivas recursivas. 19. ¾Existirá un procedimiento automático para decidir si un algoritmo calcula realmente para lo que esta diseñado?¾y para decidirlo parcialmente? 20. ¾Existirá un procedimiento automático para decidir si un algoritmo calcula realmente para lo que esta diseñado con las 1025 primeras entradas {0,1,..., 1025}?¾Y para decidirlo parcialmente? 21. ¾Si f es calculable e inyectiva, será f 1 calculable? 22. ¾Es posible extraer mediante un algoritmo el número secreto de una tarjeta de crédito.? 23. ¾Será calculable la decodicación de una codicación calculable? 24. Demostrar que los siguientes predicados son parcialmente decidibles: Img(φ x ) φ x (y) es un cuadrado perfecto n es un número de Fermat (esto es, existe x,y,z tales que x n + y n = z n ). 25. Antonio, famoso elucubrador, arma que ha encontrado un algoritmo para el problema de la parada que solo falla con un número nito de entradas.¾será esto posible? Justicar la respuesta. 26. Considérese el problema de decidir si el conjunto de posibles entradas para las que no para un algoritmo es nito o innito. Pruébese que este problema no es decidible. ¾Será parcialmente decidible? 27. Diseñar un algoritmo que se escriba a si mismo en C Diseñar dos algoritmos distintos que se escriban el uno al otro. 29. ¾Existe la máquina de Turing de quintuplas con el alfabeto binario que dado un programa P en S n determina si la función calculada por ese programa es f(x) = 2x + 1?. En caso armativo escribir dichas quintuplas. 30. ¾Será posible calcular de forma automática la eciencia de un programa en C++?¾Será posible decidir de forma automática si un programa en C++ es polinomial? 31. ¾Existeirán dos funciones que sean iguales salvo en un número nito de casos, y que una sea calculable y la otra no? 32. ¾Existirán dos funciones que sean iguales en un número innito de valores y que una sea calculable y la otra no? 33. El número de programas para los que su problema de la parada no sea decidible, ¾será nito, o innito?

4 34. ¾Existirá un procedimiento automático, para modicar los programas, de forma que todos los pares de programas que antes calculaban la misma función, ahora calculen una función distinta? 35. ¾Se podrá realizar un algoritmo de codicación de programas que haga que todas funciones primitivas recursivas sean calculadas por los programas con número par? 36. ¾Tendrá solución el problema de la parada para los programas con número multiplo de 7? 37. ¾Se podra decidir de forma automática si un mapa se puede colorear con 2 colores? (Colorear signica que las zonas fronterizas tienen colores distintos). 38. ¾Se puede calcular de forma automática el número de veces que una ejecucion de un programa pasa por una instrucción del mismo? 39. ¾Se podrá decidir de forma automática si un problema tiene solución computacional? 40. ¾ Es posible realizar un algoritmo para decidir de forma automática si un programa se colgara con alguna entrada de longitud menor que 20?. ¾ Y un algoritmo que responda "si" en el caso de que el programa de entrada se cuelge con alguna entrada de longitud menor que 20, y que no pare si el programa no se cuelga con ninguna entrada de longitud menor que 20? 41. ¾ Es posible realizar un algoritmo para decidir de forma automática si un programa se colgara con alguna entrada de longitud menor que 20?. ¾ Y un algoritmo que responda "si" en el caso de que el programa de entrada no se cuelge con ninguna entrada de longitud menor que 20, y que no pare si el programa se cuelga con alguna entrada de longitud menor que 20? 42. ¾ Es posible realizar un algoritmo para decidir de forma automática si un programa se colgara con alguna entrada de longitud mayor que 20?. ¾ Y un algoritmo que responda "si" en el caso de que el programa de entrada no se cuelge con ninguna entrada de longitud menor que 20, y que no pare si el programa se cuelga con alguna entrada de longitud mayor que 20? 43. ¾ Es posible realizar un algoritmo para decidir de forma automática si un programa se colgara con alguna entrada que sea múltiplo de 7?. ¾ Y un algoritmo que responda "si" en el caso de que el programa de entrada no se cuelge con ninguna entrada que sea múltiplo de 7, y que no responda en otro caso? 44. ¾ Es posible realizar un algoritmo para decidir de forma automática si el número de instrucciones de un programa es múltiplo de 7?. 45. ¾ Es posible realizar un algoritmo para decidir de forma automática si un programa tiene una instrucción del tipo V < V+1?. 46. ¾ Se puede decidir de forma automática si un programa proporcionará salidas distintas cuando se ejecute con entradas distintas? ¾Y decidirlo parcialmente? 47. ¾ Se puede decidir de forma automática si un programa calculará una función inyectiva? ¾Y decidirlo parcialmente?

5 48. ¾ Se puede decidir de forma automática si un programa calculará una función sobreyectiva? ¾Y decidirlo parcialmente? 49. ¾ Se puede decidir de forma automática si un programa calculará una función biyectiva? ¾Y decidirlo parcialmente? 50. ¾Es primitiva recursiva la función mínimo común múltiplo? 51. ¾Es primitiva recursiva la función máximo común divisor? 52. Demostrar que existe una función calculable f tal que φ(x, f(y)) = φ(x, y) Sea F (0) = 0, F (n + 1) = n i=1 P F (i) i 54. Sea f la función de N 2 en N denida por f(x, 0) = x 2, f(x, y + 1) = f(f(x, y), y). ¾ Es f calculable? ¾ Y recursiva primitiva?. Demostrar que F es primitiva recursiva. 55. Sea f la función de N 3 en N denida por: f(x, 0, z) = x, si z es par f(x, 0, z) = x + 1, si z es impar f(x, y + 1, z) = y t=0 [(x + 1) f(x, t, z)]. ¾ Es f calculable? ¾ Y recursiva primitiva? 56. ¾ Es posible decidir de forma automática si un programa calcula para o no con todas las entradas impares?. ¾ Y simplemente responder que si en el caso de que pare con todas las entradas impares? 57. Encontrar una función para calcular el numero de un programa que calcule f a partir de los números de los programas que calculan P, f 1 y f 2, siendo f 1 (x) f(x) = f 2 (x) si P(x) en otro caso 58. Demostrar que la función Π(x) = " números de enteros menores que x que sean suma de dos primos" es una función primitiva recursiva. 59. ¾ Es {x : Φ x es inyectiva} un conjunto recursivo? ¾Y recursivamente enumerable? 60. ¾ Es {x : Φ x no es inyectiva} un conjunto recursivo? ¾Y recursivamente enumerable? 61. ¾ Es {x : Φ x no es sobreyectiva} un conjunto recursivo? ¾Y recursivamente enumerable? 62. ¾ Es {x : Φ x es sobreyectiva} un conjunto recursivo? ¾Y recursivamente enumerable?

6 63. La famosa empresa de microelectrónica Ital, acaba de anunciar un fallo en el núcleo de su último microprocesador, que hace que no calcule bien una de las instrucciones básicas del mismo. Como solución, esta empresa ofrece un trozo de código para reemplazar las llamadas a esa instrucción, y que si opera correctamente. Ante esto, el director de la famosa agencia espacial "Guasa", que ha renovado recientemente todos sus ordenadores con este microprocesador, ha reunido a los máximos gestores de su equipo de informática para que le informen de las siguientes dos cuestiones: a) ¾Se podria ver de forma automática que programas utilizaran esa instrucción?. b) ¾Se podrian corregir de forma automática esos programas para que en lugar de la instrucción erronea se ejecutase el código alternativo? 64. Sea f(x) = x n + n 1 =1 ( 1)i x i ¾Es f primitiva recursiva? 65. Se podría decidir de forma automática si dos programas van a calcular la misma función. 66. La empresa "IPM" ha anunciado el próximo lanzamiento de una máquina "programadora automática". Según el anuncio, cuando a esta máquina se le describe una función, ella sola diseña el programa que la calcula. ¾Será esto posible? 67. Sea h(x, 0) = 3x, h(x, 1) = x 2, h(x, t + 2) = 2h(x, t) + h(x, t + 1) Demostrar que h es primitiva recursiva. 68. Sea f(n + 2) = 2 f(n + 1) f(n), f(1) = 2 y f(0) = 0. ¾Es f primitiva recursiva? 69. Demostrar que existe una función primitiva recursiva s(u,v) tal que Φ s(u,v) (x) = [ Φ u (x) Φ v (x)] 70. Cuales de los siguientes conjuntos son recursivamente enumerables y cuales son recursivos: a) {x : x Img(Φ x )} b) {x : x es un cuadrado perfecto} 71. ¾ Es posible realizar un algoritmo para decidir de forma automática si un programa dará como salida alguna vez un número primo?. ¾ Y un algoritmo que responda "si" en el caso de que el programa de entrada dé como salida alguna vez un número primo, y que no pare si nunca responde un número primo? 72. Demostrar que existe una funcion primitiva recursiva g(u,v) tal que φ g(u,v) (x) = [ φ u(x) φ v (x) ] 73. Demostrar que existe un y tal que: φ(x, y) = φ(x, y 2 ) para cada x 74. Demostrar que existe un y tal que: φ(x, y) = φ(x, y!) para cada x 75. Demostrar que existe un y tal que: φ(x, y, z) = φ(x, y, z!) para cada x,y

7 76. Demostrar que existe un y tal que: φ(x, y, z) = φ(x, y, z 2 ) para cada x,y 77. Sea P(x,y) el predicado la variable Y toma alguna vez el valor 7 en la ejecución del programa número y con la entrada x. ¾Es P decidible?¾y parcialmente decidible? 78. Sea P(x,y,z) el predicado la variable Y toma alguna vez el valor z en la ejecución del programa número y con la entrada x. ¾Es P decidible?¾y parcialmente decidible? 79. Sea P(x,y,z) el predicado la ejecución del programa número y con la entrada x devuelve el valor z. ¾Es P decidible?¾y parcialmente decidible? 80. Sean f(0)=0, f(1)=3, f(x+2) = (f(x+1) - f(x))*f(x). ¾Es f primitiva recursiva? 81. Sea p(x)= número de múltiplos x menores de x elevado a x, ¾Es p primitivo recursivo? 82. Sea f(0)=1, f(1)= 3, y f(x) = x*f(x-2) si x>1. Demostrar que f es primitiva recursiva. 83. Sea x + 1 f(x) = x f(x 1) si x es par si x es impar Demostrar que f es primitiva recursiva.