CAPÍTULO 5 ANÁLISIS DE CONVERGENCIA DEL MÉTODO BINOMIAL AL MODELO DE BLACK & SCHOLES

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1 CAPÍTULO 5 ANÁLISIS DE CONVERGENCIA DEL MÉTODO BINOMIAL AL MODELO DE BLACK & SCHOLES Para la valuación de opciones hay dos modelos ampliamente reconocidos como son el modelo binomial y el modelo de Black & Scholes, el modelo binomial surgió tiempo después de que se desarrollara el modelo de Black & Scholes. En este capítulo se mencionarán dichos modelos y se realizará un análisis de convergencia del modelo binomial al de Black & Scholes para el cálculo de opciones. Primero se hará la descripción de los dos modelos y después se hará el análisis de convergencia citado anteriormente. Pero antes de hacer la descripción de estos dos modelos se hará una breve introducción de los términos relacionados con las opciones. Diferentes tipos de Opciones: De acuerdo a la manera de ejercerse, se reconocen dos tipos básicos de opciones: - Europeas: Aquellas que sólo pueden ser ejercidas el día de la expiración estipulada en el contrato. - Americanas: A diferencia de las anteriores, éstas pueden ser ejercidas en cualquier momento dentro del período de vida de la opción. De acuerdo al bien subyacente que se trate, las opciones se clasifican en: - Opciones sobre acciones: Con éstas se obtiene el derecho de comprar o vender un determinado número de acciones a un período de tiempo establecido. 13

2 - Opciones sobre divisas: Con éstas, se obtiene el derecho de comprar o vender alguna divisa a un tipo de cambio establecido. - Opciones sobre índices: Se adquiere el derecho de dar o tener un cierto número de veces un índice. Como un ejemplo, se puede tomar 5 veces el Índice de Precios y Cotizaciones. - Opciones sobre futuros: Con estas se adquiere una posición larga o corta de un contrato de futuros. Algunos de los términos que se manejarán en este capítulo son: S T El precio de la acción en el tiempo T. f E T r El precio de la opción. El precio de ejercicio de la opción. La fecha de expiración de la opción. La tasa de interés libre de riesgo. Recordando lo dicho en capítulos anteriores, una opción es un contrato que otorga el derecho, más no la obligación de comprar o vender un bien denominado activo subyacente a un precio y a una fecha determinados. Lo cual dice que si en la fecha de expiración para una opción de compra el precio de la acción es inferior al precio de ejercicio, esto es S T < E, la opción de compra está fuera del dinero y su valor es de cero. Si el precio de la acción es igual al precio de ejercicio, esto es S T = E, se dice que la opción está en el dinero y su valor también es de cero. 14

3 Si por el contrario, el precio de la acción es superior al precio de ejercicio a la fecha de vencimiento, esto es S T > E, se dice que la opción está dentro del dinero y el precio de la opción en la fecha de expiración es igual a la diferencia que existe entre el precio de la acción y el precio de ejercicio. Esto es: f = S T E, si S T > E (5.1) Para el caso de opciones de venta sucede exactamente lo contrario: Si a la fecha de vencimiento el precio de la acción es inferior al precio de ejercicio, esto es S T < E, se dice que la opción está dentro del dinero y su precio al vencimiento será la diferencia entre el precio de ejercicio y el precio de la acción. Así: f = E S T, si S T < E (5.2) Por el contrario, si el precio de la acción es superior o igual al precio de ejercicio: S T > E ó S T = E, la opción se encuentra fuera del dinero o en el dinero y su valor será de cero, ya que no se ejerce el derecho otorgado por la opción. Límites de los valores de las opciones: Como otro tipo de mercancías o productos, las opciones también se encuentran entre ciertos límites de precios y es importante conocer dichos límites para la valuación de opciones. 15

4 El límite superior al inicio para una opción de compra se define como f S, ya que una opción de compra otorga el derecho de comprar una acción, es por esto que el precio de la opción no puede ser mayor al de la acción. El límite inferior para una opción de compra se define como o S E según sea el caso de que la opción sea o no ejercida, ya que para una opción de compra si el valor de la acción es menor al precio de ejercicio, el límite inferior será de, en caso contrario de que el precio de la acción sea mayor al precio de ejercicio, el límite inferior será de al menos la diferencia entre el precio de la acción y el precio de ejercicio. Este límite inferior de la opción es llamado el valor intrínseco, y nos dice cuanto valdría una opción si la fecha de expiración fuera hoy; es entonces que una opción de compra tiene valor intrínseco si el precio de la acción en el mercado es mayor al precio de ejercicio, por otra parte, la opción de venta tendrá valor intrínseco si es que el precio de la acción en el mercado es menor al precio de ejercicio. El valor extrínseco de una opción es también conocido como el valor en el tiempo o el valor presente de la opción durante la vigencia de ésta; es por ello que a medida de que la opción se acerca a su vencimiento el valor extrínseco de ésta disminuye. Este valor varía de acuerdo a diferentes factores independientes al valor intrínseco de la opción. A continuación se analizan diferentes determinantes que afectan al precio de una opción de compra y el efecto que juegan en el precio, dichos efectos se podrán apreciar mejor más adelante cuando se mencionen los modelos para el cálculo de opciones: 16

5 - El precio de la acción: Existe una relación positiva entre el precio de la acción y el de la opción, por lo que si el precio de la acción aumenta, el precio de la opción también lo hará. - El precio de ejercicio: En este caso la relación que existe es negativa, ya que a medida de que el precio de ejercicio sea mayor, el precio de la opción irá en decremento. - La tasa libre de riesgo: La relación que guarda con el precio de la opción es positiva, por lo que si ésta aumenta, el precio de la opción también lo hará. - Madurez de la opción: Para las opciones de tipo americano, un mayor tiempo de expiración provoca que se tengan más oportunidades de ejercer la opción, por lo tanto hay una relación positiva entre el tiempo de vida de la opción y su precio. Para las opciones europeas, no existe la certeza en cuanto al efecto que causa la fecha de vencimiento sobre estas, ya que solamente pueden ser ejercidas al momento de expiración de la opción - Volatilidad: A medida de que una acción presente mayor volatilidad el precio de la opción será más grande, por lo que decimos que se guarda una relación positiva entre dicho determinante y el precio de la opción. El precio de las opciones de venta depende de los mismos determinantes que las opciones de compra, ahora analizaremos el efecto que tienen estos factores en las opciones de venta: - El precio de la acción: A medida de que aumente el precio de la acción es menos probable de que la opción tenga valor intrínseco, o acabe dentro del dinero, por lo 17

6 cual podemos decir que la relación que existe entre el precio de la acción y la opción de venta es inversa. - El precio de ejercicio: Mientras el precio de ejercicio sea mayor, las posibilidades de que la opción termine dentro del dinero son mayores, por lo cual podemos decir que se guarda una relación positiva entre el precio de ejercicio y el precio de una opción de venta. - Tasa de interés libre de riesgo: La relación que existe entre ésta y el precio de la opción es negativa, esto quiere decir que a mayor tasa de interés menor será el precio de la opción. - Fecha de vencimiento: Mientras exista más tiempo para el vencimiento de la opción, las posibilidades de que esta sea ejercida son mayores, esto es en el caso de opciones de tipo americano, mientras que para las opciones europeas, no existe la certeza en cuanto al efecto que causa la fecha de vencimiento sobre estas, ya que solamente pueden ser ejercidas al momento de expiración de la opción. - Volatilidad: Al igual que sucede con las opciones de compra, mientras una acción presente una mayor volatilidad, el precio de la opción será más elevado, por lo que la relación positiva se mantiene entre la volatilidad y la opción de venta. 18

7 5.1 Modelo Binomial: Esta técnica es muy conocida para la valuación de opciones u otros derivados, y consiste en generar un árbol de decisiones, conformado por los diferentes caminos que puede seguir el activo subyacente con el paso del tiempo, conforme transcurre la vida del derivado financiero. El supuesto de este modelo es el de que los movimientos de los precios son binomiales a un período de tiempo denominado como t, representando una parte del tiempo total de vida de la opción. En cada una de las divisiones de tiempo o subperíodos, el precio que puede tomar la acción tiene dos posibilidades, puede ser a la alza o a la baja, es por esto que se denomina como binomial. Para apreciar el modelo de una forma más clara se presenta el siguiente ejemplo: Considere que el precio de una acción es de $5, y suponga que el precio que podría tener esta acción es de $52 ó $48, supóngase que es una acción que no paga dividendos 17 y que se quiere evaluar el precio de una opción de compra tipo Europea con un precio de ejercicio de $51 al final de un período de tres meses. La opción tendrá dos valores al final del vencimiento, ya que si el precio de la acción resulta ser de $52 el precio de la opción al final del período será de $1, por lo que se encuentra dentro del dinero; por el contrario, si el precio de la acción baja a $48 al final del período, la opción no se ejerce y tendrá un valor de $. Lo anterior se puede apreciar en el siguiente diagrama: 17 Véase apéndice A 19

8 $52 Precio de la acción al día de hoy $5 $48 Figura 5.1 Los dos posibles valores de la acción Con este ejemplo se puede calcular el precio de la opción, asumiendo que no hay oportunidades de arbitraje. El portafolio integrado por la acción y la opción va a ser de forma tal que no haya incertidumbre en el precio de dicho portafolio al final del período que dure la opción, por ello la ganancia esperada es la tasa de interés libre de riesgo. Para calcular el precio de la opción, se considerará el portafolio anterior, el cual consiste en una posición larga con partes de la acción y una posición corta para un call. El propósito de calcular el valor de es el poder hacer que el portafolio se encuentre libre de riesgo. De esta forma, se tiene que, si el valor de la acción resulta ser de $52, lo cual es mayor que el precio de ejercicio, el valor del portafolio es de Este precio consiste en el valor de las partes de la acción menos el precio de la opción al final del período. Si por el contrario, el precio de la acción bajara a $48, entonces el valor de las acciones sería de 48 y el precio de la opción sería de $, ya que la opción no es ejercida. El valor del portafolio es de 48. Habiendo encontrado el valor del portafolio para las dos posibilidades de precio de la acción se encuentra el valor de igualando sus respectivos precios del portafolio. De esta forma se tiene que: 11

9 52 1 = 48 (5.3) Por lo que después de realizar el despeje de en la ecuación 5.3, se tiene que el valor de es de.25, lo cual da la proporción que guarda el portafolio libre de riesgo, es decir, en.25 acciones por una opción, o bien, por cada acción se deben comprar cuatro opciones. De esta forma se sabe que si el precio de la acción resulta ser de $52, entonces el valor del portafolio al final del período de vida de la opción de compra es de $52*(.25) $1 = $12 Ahora, si el valor de la acción resulta ser de $18, el valor del portafolio es de $48*(.25) = $12 De esta forma se aprecia que aunque el precio de la acción suba o baje el valor del portafolio va a seguir siendo el mismo; en el caso de incorporar un portafolio libre de riesgo, en ausencia de oportunidades de arbitraje, se debe ganar la tasa de interés libre de riesgo, si se supone para este ejemplo que la tasa de interés anual libre de riesgo es del 15% se puede obtener el valor presente del portafolio, el cual es el siguiente: $12e.15*.25 = $

10 Por otro lado, se sabe que el valor de la acción al día de hoy es de $5, por lo que el valor presente del portafolio deberá de ser de $5*(.25) f (5.4) Es entonces que igualando los dos valores al día de hoy del portafolio libre de riesgo de las ecuaciones 5.6 y 5.7 se obtiene como resultado el precio de la opción al día de hoy. De esta forma: donde: $5*(.25) f = $ (5.5) f =.9417 (5.6) Después de haber visto este ejemplo, la manera en que se puede llegar a la fórmula general para el método binomial a un paso sigue el mismo proceso. Supóngase que el precio de una acción, la cual no paga dividendos, es de S, y que el precio de la opción es de f, el cual paga al final de un tiempo T. Al igual que el ejemplo anterior, el precio de la acción puede ser de Su, si el precio de la acción sube, o Sd si el precio de la acción disminuye al vencimiento de la opción. El incremento proporcional de la acción cuando sube su precio se define como u 1, y el decremento proporcional de la acción cuando su precio disminuye se define como 1 d. 112

11 Ahora se denotará a f u como el precio del derivado cuando la acción presenta un incremento de precio, y f d como el precio del derivado cuando el precio de la acción presenta un decremento. Al igual que el ejemplo anterior, se considera un portafolio libre de riesgo, el cual consiste en una posición larga de partes de la acción y una posición corta en un derivado; el valor del portafolio al vencimiento de la opción en caso de que la acción subiera de precio es Su - f u (5.7) De igual forma, el valor del portafolio al vencimiento del derivado en caso de que la acción presente un decremento en su precio es Sd - f d (5.8) Para obtener el valor de que hace al portafolio libre de riesgo se igualan las ecuaciones 5.1 y 5.11, y despejando se obtiene fu fd = (5.9) Su Sd Como se mencionó en el ejemplo anterior, el portafolio libre de riesgo debe obtener como ganancia la tasa libre de riesgo. Con una tasa libre de riesgo r, el valor presente del portafolio es de rt ( Su fu) e (5.1) 113

12 Sabiendo que el precio de la acción al día de hoy es de S, el valor del portafolio al día de hoy será de: S f (5.11) Igualando las dos expresiones anteriores obtenemos: ( ) rt S f = Su f u e (5.12) Al sustituir el valor de de la ecuación 5.12 en la ecuación 5.15 se obtiene fu f d S Su Sd f = f f Su Sd u d rt ( Su) f e u (5.13) donde: f [ pf u + ( p) f d rt = e 1 ] (5.25) 18 El valor de p es: rt e d p = (5.26) u d Con las fórmulas, 5.25 y 5.26, es posible calcular el precio de un derivado por medio del modelo binomial a un paso. Sustituyendo los valores del ejemplo anterior, se obtuvo el mismo resultado del precio de la opción de compra, el cual fue de $ Véase Apéndice C 114

13 Como se puede apreciar, en la fórmula 5.25 para el cálculo del precio de la opción, el valor de p representa la probabilidad implícita de que el precio de la acción sea mayor y el valor de (1 p) la probabilidad implícita de que el precio de la acción sea menor al final del período de vida de la opción. Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, se puede apreciar que el precio de la opción no es otra cosa más que el valor futuro esperado de la opción traído a valor presente por medio de la tasa de interés libre de riesgo. Significado de un mundo neutral al riesgo o neutralidad al riesgo: Para comprender este término, se analizará el valor esperado de la acción al tiempo T cuando se asume que la probabilidad de que el precio de la acción suba sea p. Dicho valor esperado es: ( S ) psu + ( p)sd E T = 1 (5.27) Ahora, sustituyendo el valor de p, obtenido en la ecuación 5.26 se obtiene: rt E ( S T ) = Se (5.28) De esta forma se puede apreciar que el valor esperado de la acción no es más que el valor futuro de la acción llevado con la tasa de interés libre de riesgo. Lo que significa que el inversionista no tiene una compensación extra por arriesgarse a invertir en acciones cubriéndose con opciones, ya que solamente recibirá la tasa de interés libre de riesgo, lo cual es el significado del término neutralidad al riesgo o mundo neutral al riesgo, que establece que cualquier dependiente del precio de una acción es valuado bajo dos supuestos: 115

14 - El rendimiento de los valores que son negociados es la tasa de interés libre de riesgo. - Los flujos de efectivo pueden ser valuados descontando los flujos esperados con la tasa de interés libre de riesgo. Lo anterior muestra que al inversionista le da lo mismo el hecho de invertir o no en acciones cubiertas con opciones, ya que su rendimiento esperado es la tasa de interés libre de riesgo. El término de neutralidad al riesgo es de suma importancia para un principio de valuación de opciones conocido con el nombre de valuación de riesgo neutral, el cual establece que el mundo es neutral al riesgo cuando se valúan precios de opciones y otros derivados. Para ilustrar mejor este principio de valuación, se retomará el ejemplo trabajado anteriormente, una acción cuyo precio actual es de $5, y este precio, al final de un período de tres meses podría ser de $52 ó $48, el derivado a calcular es una opción europea de compra con un precio de ejercicio de $51, a una tasa anual de interés libre de riesgo del 15%. En un mundo neutral al riesgo, debe cumplirse la igualdad de que el valor esperado de la acción sea igual a la acción llevada a valor futuro con la tasa de interés libre de riesgo, como se había visto anteriormente, es decir:.15*. 25 ( p) 5 52 p = e (5.29) Con lo que se obtiene el valor de p que es de El valor de la opción al día de hoy se obtiene calculando el valor esperado de ésta y posteriormente trayéndolo con la tasa de 116

15 interés libre de riesgo, con una probabilidad de.9777 de que el precio de la opción al final de los tres meses sea de $1, y probabilidad de.224 de que el precio de la opción sea de $. El valor esperado de la opción al final del período es:.9777* * =.9777 Ahora, el valor presente de la opción europea de compra a una tasa libre de riesgo del 15% será de: $.9777e.15*.25 = $.9417 Cuyo valor es el mismo obtenido anteriormente, ya que dice que en condiciones de ausencia de arbitraje se obtiene el mismo valor al calcular el precio de la opción por medio del principio de valuación de riesgo neutral. Siempre y cuando se cumpla con (Portafolio libre de riesgo). Modelo binomial para valuar opciones a dos períodos: Hasta ahora se ha visto la manera de valuar una opción por medio del modelo binomial a un período, para extender el análisis a más de un período de tiempo se analizará el cálculo de una opción al día de hoy con dos períodos de tiempo, hacerlo más general a más períodos, y poder establecer una convergencia de este método con el modelo de Black & Scholes. Nuevamente, para comprender mejor el modelo binomial, se analizará un ejemplo, para después ir a la generalización. Supóngase una acción con valor de $5, cuyo precio puede 117

16 variar un 4% hacia arriba o hacia abajo, para cada uno de dos períodos de tres meses en que tiene validez una opción europea de compra con un precio de ejercicio de 51$ a una tasa de interés libre de riesgo anual del 15%. Como se hizo en el modelo anterior, el objetivo es encontrar el valor de la opción al día de hoy, los precios de opciones al vencimiento son los más fáciles para calcular y se muestran a continuación: 1 2 $54.8 $. Precio actual (Acción) $52 $5 $5. $. $48 $46.8 $. Figura 5.2 Posibles precios de la acción a dos períodos de tiempo y precios de la opción de compra al vencimiento. Para calcular el precio de la opción en el período uno se procede a calcular el valor presente de la opción para cada nodo. En el nodo en el que el precio de la acción es $48, el precio de la opción de compra es de $, ya que ésta no es ejercida en ninguno de los dos casos correspondientes del período dos. Por otro lado, cuando el precio de la acción es de $52 en el primer período, la opción de compra se calcula trayendo a valor presente el valor esperado de la opción: f [ pf u + ( p) f d rt = e 1 ], sustituyendo los valores del problema se obtiene e.15*.25 (.9777 * * ) =

17 Ahora, se repite el mismo proceso para calcular el valor de la opción al día de hoy con los precios que obtuvimos para el primer período; de esta forma se obtiene: f = e.15*.25 (.9777 * * ) = El siguiente diagrama describe de una forma más general el ejercicio anterior Su 2 f uu Su f u S f Sd f d Sud f ud Sd 2 Figura 5.3 Diagrama general del modelo binomial a dos períodos f dd En la figura anterior se aprecia de manera general lo mostrado en el ejercicio anterior, se observa que al principio la acción tiene un precio de S y el valor de la opción es de f. Al primer período la acción puede moverse hacia Su o Sd, y el precio de la opción es f u ó f d. En el tercer período la acción puede tomar tres diferentes valores, ya sea Su 2, Sud o Sd 2. A diferencia del modelo a un período, se definirá a t como el tamaño o longitud de cada uno de los dos períodos en que se divida el período de vida del derivado, mediante la fórmula para calcular el precio del derivado para un período podemos obtener de f u y f d, f u = e r t [ pfuu + ( p) f ud 1 ] (5.3) 119

18 f d = e r t [ pf ud + ( p) f dd 1 ] (5.31) Para encontrar el valor de f se utilizan los valores de f u y f d para obtener f = e r t [ pf + ( 1 p) f ] u d (5.32) Ahora, al sustituir los valores de f u y f d se obtiene la siguiente expresión f = e 2r t 2 2 [ p f + 2 p(1 p) f + (1 p) f ] uu ud dd (5.33) donde p 2, 2p(1- p) y (1 p) 2 son las probabilidades de que la opción sea f uu, f ud o f dd a la fecha de expiración de la opción. Generalización del modelo binomial a tres períodos: Ahora se analizará el modelo binomial a tres períodos aplicando los mismos principios que se utilizaron para generalizar el modelo anterior. Al igual que la generalización del modelo binomial a dos períodos, se define a t como la longitud de los períodos de tiempo en que se divide el período de vida de la opción, que en este caso serían tres. En la figura 5.4 se muestra el diagrama del modelo binomial a tres períodos con los posibles valores que puede tomar la acción de acuerdo a los valores u y d, junto con los valores que puede tomar la opción en cada uno de los nodos. 12

19 Su 3 f uuu Su f u Su 2 f uu Su 2 d f uud S f Sud f ud Sd Sud 2 f d f udd Sd 2 f dd Sd 3 f ddd Figura 5.4 Diagrama del modelo binomial a tres pasos Utilizando la fórmula obtenida anteriormente para calcular precio de la opción a un paso, se pueden obtener los valores de f uu, f ud y f dd uu r T [ p( f uuu ) + (1 p f ] uud f = e ) ud r T [ p( f uud ) + (1 p fudd f = e ) dd El valor de f es: r T [ p( f udd ) + (1 p f ddd f = e ) f = e 3r T ] ] [ p f + 3p (1 p) f + 3p(1 p) + (1 p) f ] uuu uud ddd (5.34) (5.35) (5.36) (5.51) 19 Así se observa que el procedimiento para continuar con el modelo binomial a más pasos es el mismo, utilizando los mismos principios que se manejaron para el modelo binomial a un paso. 19 Véase Apéndice D 121

20 Se puede generalizar que el precio de una opción es el valor presente del valor esperado de los precios futuros de la opción, considerando una probabilidad implícita de que suba el precio de la acción de: rt e d p = u d Generalización del modelo binomial para n períodos: Una vez que se ha visto la forma en que se calcula el precio de la opción para los tres primeros períodos se hará la generalización para n períodos de tiempo en que se quiera dividir la vida de la opción. Esto es de suma importancia, ya que como se vio anteriormente, el procedimiento es bastante largo para tres períodos, además, en la práctica se llegan a realizar períodos mas grandes para obtener una aproximación que sea confiable para el cálculo del precio de una opción. El procedimiento que se utiliza para calcular el precio de la opción mediante la estimación de los posibles precios que puede tener la acción durante el período de vida de la opción y la probabilidad de ocurrencia se puede resumir en una serie de pasos que se muestran a continuación: a) Determinar un rango que contenga a los posibles precios que pueda tener la acción durante el tiempo de vida de la opción. b) Con base en los diferentes precios que pudiera tener la acción, calcular el valor intrínseco de la opción, y seleccionar sólo aquellos valores que estén dentro del dinero. c) Multiplicar cada valor intrínseco por su respectiva probabilidad de ocurrencia. d) Sumar todos los valores obtenidos en el paso anterior. 122

21 e) Traer el valor de la suma a valor presente. La fórmula que describe el proceso anterior para las opciones europeas de compra es la siguiente: c = e rt k n k [ Su d E,] n n! k n k p (1 p) Max (5.52) ( n k)!( k)! k = Ahora, para una opción europea de venta, la fórmula es la siguiente: k n k [ E Su d,] n rt n! k n k p = e p (1 p) Max (5.53) ( n k)!( k)! k = Es importante mencionar el concepto de σ, en el que se representa la volatilidad en el precio de la acción, y los valores de u y d están determinados por dicha volatilidad. Una forma para calcular u y d en función de σ es: u t = e σ, y d = 1 (5.54) u y el valor de p es e t r d, donde el valor de t sigue siendo el tamaño o la longitud de u d cada uno de los intervalos de tiempo. 123

22 5.2 Modelo Black & Scholes: Otro método utilizado para el cálculo de opciones es el modelo de Black & Scholes, el cual fue desarrollado tiempo antes que el modelo binomial. La diferencia entre estos dos radica en que en el modelo de Black & Scholes los períodos de tiempo evaluados son instantáneos y es utilizado únicamente para opciones de tipo europeo. Las fórmulas para el cálculo de precios de opciones que no pagan dividendos se muestran a continuación: - Para la opción de compra, la fórmula es: rt c = SN d ) Ee N( ) (5.55) ( 1 d 2 Donde c = Valor de la opción de compra tipo europeo S = Valor actual de la acción u otro activo subyacente E = Precio de ejercicio o de vencimiento r = Tasa de interés libre de riesgo T = Tiempo de expiración N = Función de acumulación para la distribución normal estándar d d 1 2 ln( S / E) + + = σ T ln( S / E) + = σ T ( r.5σ 2 ) T ( r.5σ 2 ) σ = Volatilidad de la acción u otro activo subyacente T - Para la opción europea de venta, la fórmula es la siguiente: 124

23 p = Ee rt N( d 2 ) SN( d1) (5.56) Donde p es igual al valor de la opción europea de venta, los demás símbolos tienen el mismo significado que para la opción europea de compra. Analizando la fórmula de Black & Scholes, se ve que para una opción de compra, si el precio de S se hace muy grande es muy probable que dicha opción de compra sea ejercida ya que, los valores d 1 y d 2 se hacen muy grandes, por lo que el valor que va a tomar N (d 1 ) y N (d 2 ) se acercan a uno. Por otro lado, para el caso de una opción de venta tipo europeo, si el precio de S se hace muy grande, el precio de la opción de venta tiende a cero, esto es debido a que los valores de N (-d 1 ) y N (-d 2 ) se encontrarán muy cercanos a cero. En el caso de la volatilidad, se observa que cuando el valor de σ es muy cercano a cero, el valor d 1 y d 2 se acercan a infinito, por lo que los valores de N (d 1 ) y N (d 2 ) se aproximarían bastante a uno. Para apreciar mejor el funcionamiento de este modelo, veamos un ejemplo numérico para una opción de compra tipo europeo que expira en un año. Su precio de ejercicio es de $1 para una acción que tiene un precio al día de hoy de $9 con una desviación estándar de.3 y una tasa de interés libre de riesgo del 1%. Lo primero que se calcula son los valores de d 1 y d 2 : d ln(9 /1) + (.1+.9 / 2) *(1) =.3*1 1 =

24 d ln(9 /1) + (.1.9 / 2) *(1) = =.3* Mediante los valores de una tabla Normal se obtiene: N(.132) =.5525 N(-.168) =.4333 Por último queda solamente sustituir estos valores en la fórmula principal para obtener: c = (9) *(.5525) (1) *( e.1 ) *(.4333) = 1.52 Es así que el valor de la opción de compra tipo europeo al final de un año es de $1.52. Ahora se muestra un ejemplo para el caso de una opción europea de venta, suponiendo una acción cuyo valor actual es de $9, la cual tiene una volatilidad del 5% mensual, que el precio de ejercicio es de $95 y la tasa de interés es del 5% mensual y con un tiempo de expiración de tres meses. Al igual que el ejemplo anterior, primero es necesario calcular los valores d 1 y d 2, los cuales son: d [ ln(9 / 95) + (.5 (.5*.25)) *.25)]/(.5*.25) 1 = + d [.547 (.175) *.25] / = + d 1 =

25 El valor de d 2 es de d [ ln(9 / 95) + (.5 (.5*.25)) *.25)]/(.5*.25) 2 = d [ (.75) *.25] / = d 2 = Ahora, utilizando los valores de una tabla de la distribución Normal, se obtiene N(d 1 ) = N(.4128) =.5165 N(d 2 ) = N(.29128) =.6179 La opción de venta es de p = 95e.5(.25) (.6179) 9*(.5165) p = 95(.9876)(.6179) p = p = Es entonces que el valor de la opción europea de venta a tres meses es de $

26 5.3 Análisis de Convergencia: Una vez descritos estos dos modelos, se analizará la convergencia del modelo binomial para un número de pasos considerable al modelo de Black & Scholes. Como se vio anteriormente, el modelo binomial es otra herramienta para el cálculo de opciones, pero para un número de pasos muy grande se vuelve extremadamente largo su cálculo sin la ayuda de la computadora, por lo que para el desarrollo de esta parte se utilizarán diferentes herramientas computacionales que faciliten el cálculo del modelo binomial cuando el número de pasos se vuelve muy grande. Para poder establecer el número de pasos óptimos para la aproximación del modelo binomial al modelo Black & Scholes, se manejará un margen de error ε relativamente pequeño que nos de la seguridad de que los resultados obtenidos en el modelo binomial sean muy cercanos a los resultados obtenidos por el modelo Black & Scholes. Además se analizará el efecto que tienen diferentes variables en el comportamiento del modelo binomial como son la volatilidad, el precio de ejercicio, la tasa de interés y el tiempo. En esta parte se presentarán los resultados obtenidos en el análisis que se obtuvo en la computadora, y más adelante, en el anexo A se mostrará el funcionamiento del programa utilizado para el análisis de convergencia. Para establecer el análisis se seleccionará el problema de calcular una opción europea que no paga dividendos sobre una acción con un precio de $9, un precio de ejercicio de $1 con una tasa de interés libre de riesgo del 1% y suponiendo una volatilidad en el precio de la acción del 3%. El plazo de vida de la opción es de un año. 128

27 Calculando el precio de la opción por medio del modelo Black & Scholes se obtiene un resultado de $ , ahora se hará el cálculo por medio del modelo binomial para n = 1 hasta n = 1, donde n representa el número de pasos a realizar. A continuación se muestra el precio de la opción para cada caso junto con la desviación absoluta entre el resultado obtenido con el modelo Black & Scholes: Tabla 5.1 Precio y diferencia absoluta obtenidos realizando el modelo a diez pasos No. Pasos Valor de la Opción Dif. Absoluta Analizando los resultados obtenidos se observa que para los dos primeros períodos, el precio de la opción va en descenso, y se pensaría que conforme se sigan realizando más pasos los valores seguirán bajando hasta llegar a acercarse al resultado de $ obtenido con el otro modelo. Sin embargo, el resultado obtenido a tres pasos es de $ , el cual ya es menor que el valor obtenido con el modelo Black & Scholes, de igual forma, el valor obtenido en el cuarto paso es de $ , el cual ahora es mayor al valor que queremos llegar mientras que al quinto paso el precio de la opción es de $ , el cual es mucho menor al valor obtenido en el tercer paso. 129

28 Analizando por separado los valores obtenidos en los números pares e impares se aprecia un comportamiento muy diferente entre estos dos, parecería que a medida de que se van haciendo más pasos el valor iría descendiendo hasta aproximarse demasiado al valor obtenido en el modelo B & S, sin embargo, esto no ocurre así, por lo que sería conveniente apreciar el comportamiento que tienen las series pares e impares a un número de pasos más grande. A continuación se muestra gráficamente el comportamiento de las series pares e impares haciendo n = 5 pasos: Método Binomial( Impares) Precio de la Opción Figura 5.5 Comportamiento de la convergencia para pasos impares Método Binomial( Pares) Precio de la Opción Figura 5.6 Comportamiento de la convergencia para pasos pares 13

29 En las figuras anteriores se puede apreciar el comportamiento que tiene cada serie, en las dos figuras se nota una oscilación ascendente y descendente alrededor del valor que se quiere aproximar. Lo que se hubiera esperado hubiera sido una similitud entre las dos figuras, sin embargo, se observa un comportamiento muy diferente entre estas dos series. Se muestra gráficamente el comportamiento que tienen las dos series juntas, aquí se puede observar de una manera más clara la manera en que los valores se van acercando al valor obtenido en el modelo de B & S. Método Binomial Precio de la Opción Figura 5.7 Comportamiento de la convergencia realizando 5 pasos En la figura anterior se observa la manera en que los valores van oscilando alrededor del valor que se quiere aproximar, sin embargo, la precisión con la cual se acercan estos valores todavía no es la esperada si se considera un nivel de error ε de.5, por lo que se requieren más pasos o iteraciones para poder llegar hasta ese nivel de exactitud. Para observar a partir de que paso se obtendrán valores que se llegarán a aproximar al valor obtenido en el modelo de B & S y se encontrarán dentro de nuestro intervalo, se realizó el modelo binomial a 25 pasos. Los resultados obtenidos se muestran gráficamente en la siguiente figura: 131

30 Método Binomial Precio de la Opción Figura 5.8 Comportamiento de la convergencia realizando 25 pasos En la figura anterior se aprecia que ahora el nivel de oscilación de los precios de la opción en cada paso ha ido bajando, aunque en esta figura no se puede apreciar detalladamente si los valores obtenidos se encuentran dentro de nuestro margen estimado de error ε, por lo que a continuación se muestra la figura 5.9, la cual ilustra a un intervalo mucho menor, si la convergencia del modelo binomial está dentro del margen de error. Se representa el valor absoluto de la diferencia entre el precio obtenido en cada paso del modelo binomial con respecto al valor de $ obtenido en el modelo de B & S: Desv. Absoluta Figura 5.9 Desviación absoluta de los valores obtenidos por el modelo binomial Como se puede apreciar en la figura anterior, hay una gran cantidad de valores que se encuentran dentro del margen de error establecido, pero todavía no se puede asegurar que 132

31 los demás valores que se obtengan realizando más pasos sigan estando dentro del nivel de error. Por lo que se realizará el promedio de los precios obtenidos en la serie par y la serie impar para observar si es que obteniendo valores intermedios se llegue a una convergencia con nuestro margen de error establecido en un principio sin tener que realizar un número mayor de iteraciones, los resultados obtenidos al realizar la desviación absoluta del valor promedio entre cada valor par e impar fueron los siguientes: Desv. Absoluta Promedio Figura 5.1 Desviación absoluta del promedio de las series par e impar Comparando la figura anterior con la figura 5.9, se puede apreciar perfectamente que realizando esta técnica de aproximación los resultados obtenidos fueron mucho mejores que los obtenidos solamente de la diferencia absoluta de cada valor que se obtuvo en cada paso del modelo binomial con respecto al resultado obtenido por el modelo Black & Scholes. A continuación se verá de que manera la convergencia del modelo binomial para opciones de compra y venta de tipo europeo, es sensible a cambios en el precio de ejercicio, la volatilidad de la acción, la tasa de interés y el tiempo. Con este fin se 133

32 analizará cada variable por separado, es decir, se analizará el efecto que el cambio de una variable causa en la convergencia dejando las demás variables constantes. Análisis de la convergencia ante un cambio del precio de ejercicio, opción de compra: Retomando el ejemplo anterior, y suponiendo que el precio de ejercicio se aleja aún más del precio de la acción, es decir, que en lugar de ser el precio de ejercicio de $1 sea ahora de $11, con una volatilidad del 3%, una tasa de interés del 1% y el período de tiempo a un año, los resultados obtenidos son los siguientes realizando el modelo binomal a 25 pasos: Método Binomial Precio de la Opción Figura 5.11 Comportamiento de la convergencia aumentando el precio de ejercicio En la figura anterior se puede apreciar la oscilación del precio de cada paso con respecto al resultado obtenido al aplicar la fórmula de B & S, el cual es de $ Para apreciar si los valores posteriores se encontrarán dentro del margen de error ε de.5 se muestra a continuación la figura con las diferencias absolutas y las diferencias absolutas del promedio entre los precios de las opciones del modelo binomial en cada paso con respecto al resultado obtenido por el modelo B & S: 134

33 Desv. Absoluta Desv. Absoluta Promedio Figura 5.12 Comparación de la desviación absoluta y desviación absoluta promedio Como se puede apreciar en la figura anterior, nuevamente la desviación absoluta del promedio de las series par e impar resulta ser una mejor aproximación que la desviación absoluta, ya que comparando las dos figuras se puede asegurar que con la desviación absoluta del promedio se cumple con el margen de error establecido y que los valores posteriores al paso 25 se encontrarán dentro de este rango, mientras que la gráfica que muestra la desviación absoluta de los valores obtenidos en el modelo binomial con respecto al valor obtenido en el modelo de B & S presenta todavía demasiados valores fuera del intervalo de error manejado. Análisis de convergencia con respecto a la volatilidad: Suponiendo una volatilidad del 6% con los demás datos constantes los resultados obtenidos se muestran en la siguiente figura: 135

34 Método Binomial Precio de la Opción Figura 5.13 Comportamiento de la convergencia al aumentar la volatilidad En la figura anterior se muestra que la oscilación de los precios con respecto al precio de $21.44 obtenido con la fórmula de B & S es mucho mayor con respecto a los casos anteriores. Y nuevamente, para poder apreciar si la convergencia obtenida es la esperada se muestra la siguiente figura mostrando la desviación absoluta y la desviación absoluta del promedio: Desv. Absoluta Desv. Absoluta Promedio Figura 5.14 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Para obtener un mejor resultado se realizó el modelo binomial a 5 pasos, sin embargo aunque la gráfica que muestra la desviación absoluta del promedio muestra un comportamiento más próximo al nivel de confianza, todavía no se tiene la certeza de que los demás valores se encontrarán también dentro del margen de error de.5, mientras 136

35 que la gráfica que muestra la desviación absoluta presenta todavía un comportamiento demasiado errático, por lo cual se puede decir que nuevamente la técnica de la desviación absoluta del promedio resulta ser una herramienta bastante importante para lograr una mayor aproximación y obtener mejores resultados. Ahora, con una volatilidad del 2% los resultados obtenidos fueron los siguientes: Método Binomial Precio de la Opción Figura 5.15 Comportamiento de la convergencia al disminuir la volatilidad A diferencia del caso anterior, aquí se observa que la oscilación es mucho menor, ahora se muestra la figura con la desviación absoluta y la desviación absoluta del promedio de los valores obtenidos en cada paso con respecto al valor obtenido con la fórmula B & S: Desv. Absoluta Desv. Absoluta Promedio Figura 5.16 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio 137

36 La figura anterior muestra que al bajar la volatilidad del precio de la acción, hay un mayor número de valores observados dentro de nuestro nivel de error, lo cual es indicio de que a una volatilidad menor se llega a una convergencia más rápidamente tomando un margen de error establecido. Convergencia relacionada a la variación en la tasa de interés libre de riesgo: Al igual que en los análisis anteriores, se mostrará el efecto que causa alguna variación de la tasa libre de riesgo en la convergencia del modelo binomial. Se ejecutará el modelo para n = 25 con una tasa del 2%, la cual es mayor a la establecida en el ejemplo anterior. Dejando los demás datos fijos, los resultados obtenidos se muestran en la siguiente figura: Método Binomial Precio de la Opción Figura 5.17 Comportamiento de la convergencia al aumentar la tasa de interés La figura anterior nos muestra la oscilación que se presenta aumentando la tasa de interés libre de riesgo, se observa como a medida de que se realizan más pasos la diferencia entre los valores se va haciendo cada vez más pequeña, para apreciar que tanto es nuestro nivel de aproximación con un margen de error igual a.5 se muestra la diferencia absoluta y 138

37 la desviación absoluta promedio de cada uno de los valores con respecto al precio obtenido en el modelo B & S: Desv. Absoluta Desv. Absoluta Promedio Figura 5.18 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Con una tasa del 5%, los resultados fueron los siguientes: Método Binomial Precio de la Opción Figura 5.19 Comportamiento de la convergencia al disminuir la tasa de interés Como muestra la figura anterior, a una tasa de interés menor a la establecida, no se puede apreciar si el rango de oscilación es menor con respecto a la figura 5.17, donde se muestra la convergencia con una tasa de 2%, a comparación de lo ocurrido con la volatilidad por ejemplo. Para apreciar de una mejor forma el grado de convergencia se muestra la siguiente figura con la desviación absoluta y la desviación absoluta promedio: 139

38 Desv. Absoluta Desv. Absoluta Promedio Figura 5.2 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio En la figura anterior se puede apreciar que al bajar la tasa de interés hay un número mayor de valores dentro de nuestro margen de error tomando en cuenta la gráfica que muestra la desviación absoluta del promedio. Esto comparado con la gráfica de la figura 5.18, la cual muestra que empieza a haber valores que se encuentran dentro del nivel de confianza establecido hasta llegar a ejecutar el modelo casi a 1 períodos manejando una tasa de interés del 2%, tomando en cuenta la desviación absoluta del promedio. Relación entre el tiempo y la convergencia: A continuación se muestra el estudio realizado con respecto a la convergencia tomando en cuenta un tiempo de medio año, los resultados fueron los siguientes: Método Binomial Precio de la Opción Figura 5.21 Comportamiento de la convergencia al disminuir el tiempo 14

39 La figura anterior muestra el comportamiento de los precios obtenidos en cada paso, se observa que el nivel de oscilación es más pequeño, lo cual puede deberse a que a medida de que el tiempo de vida de la opción es menor, el tamaño de cada uno de los intervalos de tiempo en que es dividido el período de vida de la opción se hace más pequeño, para observar si el nivel de convergencia requerido se cumple realizando 25 pasos se muestra la siguiente figura que contiene a la desviación absoluta y desviación absoluta promedio: Desv. Absoluta Desv. Absoluta Promedio Figura 5.22 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio La figura anterior muestra ahora que manejando un período de medio año los valores se acercan de una forma más rápida al valor obtenido en el modelo de Black & Scholes, esto en cuanto a la desviación absoluta promedio, ya que con la desviación absoluta los valores todavía se encuentran muy dispersos y es difícil el poder apreciar un nivel de convergencia como el mostrado con la desviación absoluta del promedio. Ahora, para un período de tiempo de un año y medio, los resultados fueron los siguientes: Mientras que el resultado obtenido en el modelo de B & S fue de $ , los resultados obtenidos por el modelo binomial se muestran a continuación: 141

40 Método Binomial Precio de la Opción Figura 5.23 Comportamiento de la convergencia al aumentar el tiempo A diferencia del análisis anterior, se puede observar que ahora la oscilación es mayor a la mostrada anteriormente cuando el tiempo de vida de la opción es menor, la desviación absoluta y desviación absoluta del promedio de los valores encontrados en cada paso es la siguiente: Desv. Absoluta Desv. Absoluta Promedio Figura 5.24 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Como se puede apreciar en la figura anterior, ante una subida en el tiempo de expiración de la opción, el comportamiento de la convergencia al valor obtenido en el modelo de Black & Scholes es un poco más errático que cuando se manejó un tiempo de medio año, con lo que se observa aquí una relación negativa entre el tiempo y el nivel de convergencia del modelo binomial. 142

41 Convergencia del método binomial con opciones de venta: Para realizar este análisis, al igual que el análisis anterior, se trabajó con los mismos datos manejados para las opciones de compra para el estudio de la convergencia del modelo binomial al modelo de Black & Scholes. Para una opción de venta sobre una acción con un precio actual de $9, un precio de ejercicio de $1, una volatilidad del 3%, tasa de interés libre de riesgo del 1% con un plazo de un año, el precio obtenido en el modelo Black & Scholes fue de $11.36, ahora, aplicando el modelo binomial a 1 pasos los resultados obtenidos se muestran a continuación: Tabla 5.2 Precio y diferencia absoluta obtenidos realizando el modelo a diez pasos Período Valor de la Opción Desv. Absoluta Al igual que con las opciones de compra, se puede observar un comportamiento diferente entre los valores obtenidos en los pasos pares y los valores obtenidos en los pasos impares. Se observa que para este numero de pasos, la diferencia que existe entre los valores obtenidos con el modelo binomial es grande, si consideramos un margen de error 143

42 ε de.5, por lo que será necesario hacer mas iteraciones para llegar a resultados que sean favorables para el análisis. Aplicando el modelo binomial con n = 5 los resultados obtenidos se muestran en las siguientes figuras: Método Binomial Precio de la Opción Figura 5.25 Comportamiento de la convergencia realizando 5 pasos En la figura anterior se aprecia el comportamiento de los valores del modelo binomial realizando 5 pasos, ahora, el comportamiento de los períodos pares con respecto a los períodos impares se muestra a continuación en las siguientes figuras: Método Binomial( Pares) Precio de la Opción Figura 5.26 Comportamiento de la convergencia realizando 5 pasos (períodos pares) 144

43 Método Binomial( Impares) Precio de la Opción Figura 5.27 Comportamiento de la convergencia realizando 5 pasos (períodos impares) Aunque pareciera que los valores obtenidos realizando 5 pasos se acercan bastante al precio obtenido con el modelo de B & S, no se encontró ningún nivel de convergencia cuya diferencia absoluta estuviera dentro de nuestro nivel de confianza, por lo que se decidió aplicar el modelo binomial con n = 25 para poder comparar los resultados obtenidos con los resultados manejando opciones de compra. A continuación se muestra gráficamente la convergencia del modelo binomial al modelo B & S a 25 pasos: Método Binomial Precio de la Opción Figura 5.28 Comportamiento de la convergencia realizando 25 pasos 145

44 La figura anterior muestra las oscilaciones de los valores en cada uno de los pasos alrededor del valor de $ Para apreciar si el nivel de convergencia es el esperado al realizar las 25 iteraciones se presenta la siguiente figura: Desv. Absoluta Desv. Absoluta Promedio Figura 5.29 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Al igual que las opciones de compra, se observa que obteniendo la desviación absoluta del promedio se llega a una mejor y más rápida aproximación que además se encuentra dentro del nivel de confianza establecido. A partir de la iteración número 15 aproximadamente se puede observar que los valores obtenidos no rebasan el rango de.5. Relación de la volatilidad con la convergencia del modelo binomial: Al igual que con las opciones de compra se aplicó el modelo binomial, pero con una volatilidad del 6%, los resultados obtenidos fueron los siguientes: 146