MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

Transcripción

1 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 12 Distribución de una variable aleatoria Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa González Montesinos

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3 Índice 1. Breve introducción a la combinatoria Variaciones Permutaciones Combinaciones Definiciones previas Sucesos. Frecuencia absoluta y relativa Sucesos equiprobables. Probabilidad Noción de variable aleatoria 7 4. Variable aleatoria discreta. Probabilidad Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta Función de distribución de una variable aleatoria discreta Media y desviación típica de una variable aleatoria discreta Variable aleatoria continua y distribución continua Ejercicios propuestos 15

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5 Tema Breve introducción a la combinatoria Creemos oportuno para el desarrollo de este tema realizar un repaso de las nociones básicas de la Combinatoria, la cual se ocupa del estudio y propiedades de los grupos distintos que pueden formarse con los elementos de un conjunto dado, diferenciándose entre sí por: el número de elementos que forman cada grupo; la clase de elementos; el orden de colocación. El número de elementos de que disponemos para las distintas agrupaciones se llama base. Las agrupaciones de elementos, según el número de ellos: 1, 2, 3, 4, 5,..., se llaman: monarias, binarias, ternarias, cuaternarias, quinarias, etc. A este número se le llama orden de la agrupación. Se estudian tres tipos distintos de agrupaciones: las variaciones, las permutaciones y las combinaciones Variaciones Definición 1.1 Llamaremos variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n, a los diferentes grupos que con ellos se pueden formar, de tal modo que cada grupo esté formado n elementos distintos y que un grupo se diferencie de los demás, bien en alguno de los elementos, bien en el orden de colocación de los mismos. Ejemplo 1.1 Cuántos números de tres cifras se pueden formar con 1, 2, 3, 4, sin que se repita ninguna? Los números que se obtienen son los siguientes: Obsérvese que los 24 números obtenidos difieren en alguna cifra o en el orden de colocación de las mismas. Las variaciones monarias con m elementos se representa por el símbolo V 1 m o V m,1; el de las binarias, por V 2 m o V m,2 ; en general, las de orden n por V n m o V m,n. El número de variaciones de m elementos, tomados de n en n, viene dado por V n m = V m,n = m! (m n)! Así, en el ejemplo anterior, tenemos V4 3 = 4! (4 3)! las cifras 1, 2, 3 y 4. = 24 números distintos que se pueden formar con Definición 1.2 Llamamos variaciones con repetición de m elementos, tomados de n en n, a los diferentes grupos que con ellos se pueden formar, de tal modo que cada grupo esté formado por n elementos, pudiendo repetirse alguno de ellos una o varias veces, y considerando que dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento, o en el orden en que están colocados.

6 2 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Al número de todas las posibles variaciones con repetición de orden n que se pueden formar con m elementos se denotará por V R n m o bien por V R m,n. Nótese que en las variaciones sin repetición debe cumplirse que m n; sin embargo, en este caso esta condición no es necesaria. Ejemplo 1.2 Al rellenar una quiniela, utilizamos variaciones con repetición. En cada columna debemos colocar 14 signos, repitiendo los tres únicos signos posibles: 1, X, 2. Una columna difiere de la otra en algún signo o por el orden en que están colocados. El número de variaciones con repetición de m elementos, tomados de n en n, viene dado por Ejemplo 1.3 V R n m = V R m,n = m n. 1. Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con las cifras 1, 2, 3? V R 5 3 = 3 5 = Cuántos caracteres del alfabeto Morse se podrán escribir utilizando 6 signos (puntos o rayas)? V R 6 2 = 26 = Cuántas columnas rellena un quinielista que juega un boleto múltiple de 2 triples y 4 dobles? 1.2. Permutaciones V R 2 3V R 4 2 = = 144 columnas. Definición 1.3 Dados m elementos, llamaremos permutaciones sin repetición de m elementos a las variaciones de esos m tomados de m en m, es decir, a los diversos grupos que con ellos se pueden formar, de modo que, entrando todos ellos en cada grupo, se diferencie un grupo de otro solamente en el orden de colocación de los elementos. De la definición anterior se deduce que las permutaciones sin repetición no son sino variaciones en las que cada grupo está formado por todos los elementos. Así, si designamos por P m al número de permutaciones que se pueden formar con m elementos, tenemos que P m = V m m = m! (m m)! = P m = m!. Definición 1.4 Dado un conjunto de m elementos de k clases distintas, cada una de las cuales está formada por n i elementos, 1 i k (n 1 +n 2 + +n k = m), llamaremos permutaciones con repetición a las distintas formas en que se pueden ordenar esos m elementos. Una ordenación se distingue de otra por el lugar que ocupan dos elementos distintos. Ejemplo Formar todos los números que se pueden escribir permutando las cifras 3, 3, , 343, Cuántas permutaciones distintas se pueden formar con las letras de casa?

7 Tema 12 3 casa, saca, acas, asac, caas, saac, acsa, asca, aacs, aasc, csaa, scaa. Si entre los m elementos que figuran en una permutación, vemos que un elemento aparece repetido n 1 veces, otro n 2 veces,..., y el último n k veces, el número de permutaciones con repetición vendrá dado por P n 1,n 2,...,n k m = P m P n1 P n2 P nk = m! n 1!n 2! n k!. Como no interesa la naturaleza de los elementos repetidos, si un elemento no aparece más que una vez, no se colocará en el exponente. Ejemplo Cuántos números distintos se pueden escribir con las cifras 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4? P 4,3,2 10 = 10! 4!3!2! = De cuántas formas distintas se puede organizar un tren con tres coches de segunda clase, tres de primera, dos coches cama y un vagón de correos? 1.3. Combinaciones P 3,3,2 9 = 9! 3!3!2! = A veces interesa ver los distintos grupos que se pueden formar con varios elementos, atendiendo sólo a la naturaleza de los mismos y no al orden. Así, por ejemplo, si nos preguntan cuántas sumas distintas podemos obtener con los números 1, 3, 5, 7, es lo mismo considerar que 3 + 1, o que 5+3. De este modo, en las combinaciones no influye el orden en que estén colocados los elementos. De aquí la siguiente Definición 1.5 Se llaman combinaciones sin repetición de m elementos, tomados de n en n, a los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de modo que cada grupo esté formado por n de ellos, diferenciándose un grupo de otro en uno de sus elementos. Ejemplo 1.6 Cuántas rectas determinan cuatro puntos, A, B, C y D, con tal de que no haya más de dos que estén alineados? Como AB y BA son la misma recta, todas las posibles rectas serán AB, AC, AD, BC, BD, CD. Otra definición de combinaciones sin repetición sería la siguiente: Definición 1.6 Dado un conjunto A de m elementos, se llaman combinaciones de orden n a todos los subconjuntos posibles de n elementos que pueden obtener con los m elementos de A. Como dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, se comprende que el orden no influya en la formación de combinaciones sin repetición. Se consideran iguales los subconjuntos formados por los mismos elementos, aunque estén dados en distinto orden. La notación empleada para representar el número de combinaciones de m elementos, tomados de n en n, es Cm n o C m,n, y viene dado por ( ) m Cm n = C m,n =. n

8 4 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas También se tiene que C n m = V n m P n Ejemplo 1.7 Cuántos grupos de cinco se podrán formar con los 30 alumnos de una clase en el supuesto de que un grupo se diferencie de otro por lo menos en un alumno? ( ) 30 C30 5 = = 30! = 120 grupos. 5 25!5! 2. Definiciones previas En esta sección estudiaremos brevemente los conceptos que deben conocerse para abordar el presente tema. Así, llamaremos experimento aleatorio a todo aquél cuyos resultados no son predecibles, aunque lo repitamos en las condiciones más uniformes posibles, como puede ser el lanzamiento de un dado efectuado por una máquina. Aparece siempre una variable intrínseca que se podrá suprimir, variando, por ello, los resultados en las sucesivas pruebas o repeticiones del mismo. Es decir, si nos ha salido en el ejemplo del dado un 4 en una prueba, no sabemos el número que saldrá en la siguiente. Se entenderá por variable estadística al conjunto de resultados o serie de valores obtenidos al repetir un experimento aleatorio. Considérense los experimentos siguientes: 1) Lanzar un dado anotando los resultados. 2) Anotar el sexo de un determinado número de recién nacidos. Supongamos que hemos obtenido las dos series estadísticas siguientes: {1, 3, 4, 4, 2, 5, 4, 2, 1, 4}, {niño, niña, niña, niña, niño}. La primera serie la podemos representar por la variable x i : 1, 3, 4, 4, 2, 5, 4, 2, 1, 4, que representa los diez resultados obtenidos (repetidos o no) en las diez pruebas del experimento aleatorio lanzar un dado. Esta variable se denomina variable estadística cuantitativa, ya que sus resultados son numéricos. La segunda variable la representaremos por x i : a, b, b, b, a, donde a denota niño y b denota niña. Esta variable se llama cualitativa o atributiva pues los resultados del experimento son cualidades o atributos Sucesos. Frecuencia absoluta y relativa Por resultado de un experimento se entiende la obtención de uno de los sucesos elementales. Al lanzar un dado, los resultados posibles son los seis conocidos: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Cada uno de estos resultados es un suceso elemental y el conjunto de todos ellos constituye el espacio muestral, el cual se denotará por E. Un suceso es cualquier subconjunto de un espacio muestral E, A E; el suceso contrario de A, que se denota por Ā, es el subconjunto complementario, esto es, Ā = E A. El suceso A obtener un número impar al lanzar un dado, está formado por tres resultados, esto es, A = {1, 3, 5}, el cual es un subconjunto del espacio muestral E = {1,2,3,4,5,6}. Entonces Ā = {2,4,6}. Decimos que dos sucesos son compatibles cuando pueden darse los dos a la vez, mientras que si la realización de un suceso A excluye al suceso B, diremos que A y B son incompatibles. Cuando un suceso se da siempre, se llama suceso seguro. Un suceso seguro está formado por todos los resultados posibles de una prueba. Así, por ejemplo, al tirar una moneda al aire, es suceso seguro que salga cara o cruz.

9 Tema 12 5 Si se trata de extraer dos bolas, una tras otra, de una bolsa que contiene cinco blancas y tres negras, podemos realizar las extracciones de dos formas distintas: a) Con reemplazamiento, es decir, hecha la extracción y anotado el resultado, se vuelve a introducir la bola extraída en la bolsa. b) Sin reemplazamiento, esto es, extraída la primera bola, se hace la segunda extracción sin introducir la primera en la bolsa. En el primer caso, el hecho de haber realizado la primera extracción no influye en la segunda, ya que no se alteran las condiciones: los dos sucesos son independientes. En el segundo caso, la primera extracción modifica las condiciones en las que se va a realizar la segunda: los dos sucesos son dependientes. Los posibles sucesos de un espacio muestral E coincidirán con todas las partes de E: P(E). Si el espacio muestral E está formado por n resultados de un experimento, el número de sucesos de E es 2 n. La frecuencia absoluta de un suceso A, f a (A), es el número de veces que se repite dicho suceso en un determinado número de pruebas. La frecuencia relativa de un suceso A, f r (A), es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de pruebas. Si el número de pruebas realizadas es N y n el número de veces que se ha repetido un suceso A, tendremos f a (A) = n, f r (A) = n N. Las frecuencias absoluta y relativa tienen las siguientes propiedades: 1) La frecuencia absoluta es siempre un número entero n, y si el número de pruebas es N, se tiene que 0 n N. 2) Siempre es 0 f r 1. 3) Cuando dos sucesos A y B son contrarios, en cada prueba se verificará el suceso A o el B, y las suma de sus frecuencias absolutas será igual a N, mientras que la suma de sus frecuencias relativas será igual a 1. 4) Si n 1 y n 2 son las frecuencias de dos sucesos incompatibles A 1 y A 2, y n es la frecuencia absoluta del suceso A 1 A 2, entonces f a (A 1 A 2 ) = f a (A 1 ) + f a (A 2 ) n = n 1 + n 2. Si N es el número total de pruebas realizadas, tendremos que n n 1 n 2 = + N N N f r (A 1 A 2 ) = f r (A 1 ) + f r (A 2 ) Sucesos equiprobables. Probabilidad La importancia que posee la frecuencia relativa se deduce de la siguiente ley del azar: Al aumentar el número de experiencias, la frecuencia relativa de un determinado suceso tiende a estabilizarse alrededor de un número al que llamaremos probabilidad de dicho suceso.

10 6 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Al arrojar una moneda al aire, {salir cara} o {salir cruz} son igualmente posibles y, según la ley del azar, los dos sucesos tienen la misma probabilidad: diremos que son equiprobables. Cuando un espacio E está compuesto por n sucesos elementales, todos equiprobables, diremos que el espacio es uniforme y la probabilidad de cada suceso elemental es igual a 1 n. Ejemplo 2.1 Cuál será la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan A ={dos caras}, B ={una cara y una cruz}? El espacio E = {cc,cx,xc,xx} está formado por cuatro sucesos elementales y es uniforme. Cada suceso tiene la misma probabilidad, 1 4. P(A) = 1 4, P(B) = P(cx,xc) = = 1 2. En un espacio uniforme, al número de todos sus elementos se le llama casos posibles, y al número de elementos que integran un suceso parcial se le llama casos favorables. Con esta nomenclatura, podemos dar la definición de Laplace: Definición 2.1 La probabilidad de un suceso A viene dada por P(A) = casos favorables casos posibles. Ejemplo Cuál es la probabilidad del suceso A ={número par} en el lanzamiento de un dado? El espacio es uniforme y está compuesto por seis elementos: E = {1,2,3,4,5,6}; el suceso A tiene tres elementos: A = {2,4,6}. La probabilidad es entonces P(A) = 3 6 = Cuál es la probabilidad de que en un lanzamiento de dos dados la suma sea 8? El espacio tiene V R6 2 = 36 elementos equiprobales: Los casos posibles son cinco: con lo que P(A) = E = {(1,1),(1,2),(1,3),(1, 4), (1,5),...,(6,5),(6,6)}. A = {(2,6),(3,5),(4,4),(5, 3), (6,2)}, Las propiedades fundamentales de las probabilidades son las siguientes: Valores de la probabilidad. Si A es un suceso, siempre se tendrá que 0 P(A) 1. La probabilidad del suceso imposible es nula mientras que la del suceso seguro es igual a 1: P( ) = 0, P(E) = 1. Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles: probabilidad total. Si A y B son dos sucesos incompatibles entonces P(A B) = P(A) + P(B). Esta probabilidad recibe el nombre de probabilidad total. Ejemplo 2.3 La probabilidad de que al lanzar un dado salga A ={múltiplo de 2} o B ={múltiplo de 5} es P(A B) = P(A) + P(B) = = 2 3.

11 Tema 12 7 Probabilidad de sucesos contrarios. 1. P(Ā) = 1 P(A), ya que E = A Ā y P(E) = P(A)+P(Ā) = Probabilidad compuesta de sucesos independientes. Cuando dos sucesos A y B son independientes, se llama probabilidad compuesta al producto de las probabilidades de los dos sucesos. Dicha probabilidad se corresponde con la de que se produzcan los sucesos A y B a la vez. Ejemplo 2.4 Veamos cuál es la probabilidad de sacar cara y 3 en lanzamiento simultáneo de una moneda y un dado. La probabilidad de sacar cara es P(c) = 1 2 mientras que la de sacar un 3 es P(3) = 1, con lo que 6 P(c,3) = = 1. Efectivamente; el espacio E es el producto cartesiano {c,x} {1,2,3,4,5,6}, 12 que tiene doce elementos, todos ellos equiprobables, luego P(c,3) = Noción de variable aleatoria Recuérdese que en el caso del dado de la sección anterior, los resultados son numéricos, mientras que en el ejemplo del sexo, no lo son. Nos interesa pues expresar los resultados de un experimento aleatorio de forma numérica para que así puedan aplicarse las propiedades de operaciones del álgebra; es decir, queremos asociar a cada resultado de un experimento un número real. Para ello tendremos que definir una función cuyo dominio sea el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio y cuyo recorrido sea el conjunto de los números reales, R. A tal función la denominaremos variable aleatoria 1 y la designaremos con la letra X. Antes de dar una definición precisa de variable aleatoria, veamos algunos ejemplos: Ejemplo En el caso del sexo de los recién nacidos, el espacio muestral de resultados posibles está constituido por E ={niño, niña}= {a,b}. Una variable aleatoria asociada a E sería una función X que asigna el valor 1 al resultado ser niño y el valor 0 al resultado ser niña : X(a) = 1, X(b) = En el caso del dado, el espacio muestral es E = {1,2,3,4,5,6}. Al ser numéricos estos resultados, parece natural que la variable aleatoria sea la función identidad: X(k) = k, 1 k 6. No obstante, podríamos asociar otra variable aleatoria Y al experimento anterior, consistente en hacer corresponder a cada número obtenido su cuadrado: Y (k) = k 2, 1 k 6, aunque lo habitual en este caso será considerar la primera variable aleatoria. Podemos enunciar, pues, un importante resultado: Se pueden asociar distintas variables aleatorias a un mismo experimento. 3. Supongamos que lanzamos tres monedas y anotamos los resultados. Sea C el suceso obtener cara y F obtener cruz. El espacio muestral está formado por los siguientes resultados o sucesos elementales: E = {(C,C,C),(C,C,F),(C,F,C),(F,C,C), (C, F,F),(F,C, F),(F,F,C),(F,F,F)}. Más que estos 8 resultados nos interesa una cantidad numérica que exprese dichos resultados. Bastará, por ejemplo, asignar los números 3, 2, 1, 0, a cada uno de los resultados en que aparezcan 1 Aquí se está realizando un abuso del lenguaje, pues sería más conveniente hablar de función aleatoria que de variable aleatoria.

12 8 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas 3, 2, 1, 0 caras, respectivamente. Hemos establecido de esta forma una aplicación o función de E en R, que denominamos variable aleatoria X y que expresamos por X : E R de manera que X(CCC) = 3, X(CCF) = X(CFC) = X(FCC) = 2, X(CFF) = X(FCF) = X(FFC) = 1,X(FFF) = Considérese el experimento aleatorio lanzar dos dados. Si los resultados de los dados son m y n, definimos la variable aleatoria X como X(m, n) = m + n. El dominio de la variable aleatoria X o espacio muestral es el siguiente: E = {(1,1),(1,2),(1, 3),...,(6,5),(6,6)}, que está formado por 36 elementos. El recorrido de la variable aleatoria X está constituido por {2,3,4,5,...,12}. Definición 3.1 Una variable aleatoria X, asociada a un espacio muestral E, es una función de E en R. Si E = {e 1,e 2,...,e n }, entonces a cada resultado e k E le corresponde un único número real x k : e k X(e k ) = x k, e k E; es decir, transforma sucesos elementales en puntos de la recta real. En el ejemplo anterior de lanzar tres monedas y definir la variable aleatoria X asignar a cada resultado el número de caras obtenidas, podemos representar los resultados posibles, e k, la medida de probabilidad, P(e k ) y la variable aleatoria, X(e k ) mediante la siguiente tabla: e k CCC CCF CFC FCC CFF FCF FFC FFF P(e k ) 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 X(e k ) Si decimos que X toma el valor 3, esta expresión describe el suceso {CCC}. La expresión X toma el valor 1 (por brevedad escribiremos X = 1) corresponde al suceso {CFF,FCF,FFC}. El suceso 2 X 3 es {CCF, CF C, F CC, CCC}. Obsérvese que X = 4 representa al suceso imposible: { }. En general, la expresión X toma el valor x (X = x) representa un suceso compuesto por todos los resultados e k tales que X(e k ) = x. De cuanto hemos dicho se deduce inmediatamente que la probabilidad de que X tome un valor x, que designaremos por P(X) = x, es igual a la suma de las probabilidades de todos los resultados e k tales que X(e k ) = x. En nuestro ejemplo, P(X = 2) = P({CCF }) + P({CFC}) + P({FCC}) = = 3 8. Definición 3.2 La distribución de una variable aleatoria X es una tabla formada por sus valores con sus correspondientes probabilidades. En el ejemplo anterior: X P(X = x) 1/8 3/8 3/8 1/8

13 Tema Variable aleatoria discreta. Probabilidad Hasta ahora hemos tratado espacios muestrales que constaban de un número finito de resultados o puntos. Vamos a suponer en lo que sigue que el conjunto de puntos de un espacio muestral E es infinito numerable 2. Supongamos una urna con dos bolas negras y una blanca. Realicemos el experimento consistente en extraer una bola devolviéndola a la urna hasta que salga blanca. El espacio muestral E estará formado por todos los resultados posibles: E = {B,NB,NNB,NNNB,...}, que constituyen un conjunto infinito numerable de resultados o puntos: B es el resultado que indica que la bola blanca aparece en la primera extracción; NB es el resultado que indica que la bola blanca aparece en la segunda; etc. Como P(B) = 1/3 y P(N) = 2/3 son las probabilidades de obtener en una extracción bola blanca o negra, respectivamente, y los sucesos son independientes (por realizarse las extracciones con reemplazamiento), es fácil obtener una tabla análoga a la primera de la página 12: e k B NB NNB NN (i 1) NB P(e k ) 1/3 2/3 1/3 (2/3) 2 1/3 (2/3) (i 1) 1/3 X(e k ) i Definición 4.1 Cualquier espacio muestral E que consta de número finito o infinito numerable de puntos es un espacio muestral discreto. Cualquier variable aleatoria definida en un espacio muestral discreto es una variable aleatoria discreta X que puede tener, por tanto, un número finito o infinito numerable de valores distintos Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta Lanzando 48 veces un dado, hemos obtenido los resultados que se observan en la siguientes tablas: Tabla de frecuencias Var. estad. Fr. abs. x k n k Fr. rel. f k 1 6 6/ / / / / /48 Tabla de probabilidades Var. aleat. Fr. abs. Probabilidad X teórica P k 1 8 8/48=1/ / / / / /6 La tabla de la izquierda responde a un experimento real. En la tabla de la derecha hemos representado lo que sucedería (es un caso teórico) al lanzar el dado infinitas veces. El dado lo suponemos perfecto, es decir, no sesgado. Señalemos la correspondencia entre ambas tablas: Experimento teoría Frecuencia f k probabilidad P k Muestra universo Var. estadística x k var. aleatoria X 2 Un conjunto se dice que es infinito numerable si puede establecerse una biyección entre dicho conjunto y el de los números naturales, N. Por ejemplo, el conjunto de los múltiplos de 3 es infinito numerable pues puede establecerse una aplicación biyectiva con los números naturales de la manera siguiente: = 3, = 6,..., n n 3 = 3n.

14 10 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas En las figuras 1 y 2 hacemos una representación gráfica del diagrama de barras de las distribuciones de frecuencias y probabilidades, llamándose ésta última gráfica de la función de probabilidad. f k f(x k ) x k x k Figura 1 Figura 2 Definición 4.2 Una función de probabilidad f(x k ) de una variable aleatoria discreta X es una función real de variable real definida por f(x k ) = P(X = x k ) = P {e k : X(e k ) = x k }. f(x k ) indica la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor x k, verificándose las condiciones: a) 0 f(x k ) 1; b) n f(x k ) = 1. k=1 El conjunto de valores {[x k,f(x k ) = P(X = x k )] = [x k,p(x k )]} : (x 1,P(x 1 )),(x 2,P(x 2 )),...,(x n,p(x n )),... se denomina distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, y es una sucesión de probabilidades correspondientes a los sucesos de un espacio muestral. Se acostumbra a representar esta distribución mediante la siguiente tabla: X x 1 x 2 x n f(x k ) f(x 1 ) = P(X = x 1 ) f(x 2 ) = P(X = x 2 ) f(x n ) = P(X = x n ) Ejemplo 4.1 Consideremos de nuevo el lanzamiento de tres monedas. Sea la variable aleatoria X la función que hace corresponder a cada resultado del experimento el número de caras obtenidas. Se tiene, según sabemos: Espacio muestral: E = {(CCC),(CCF),(CFC),(FCC),(CFF),(FCF),(FFC),(FFF)}. Recorrido de X: X = {3,2,1,0}.

15 Tema La función de probabilidad viene definida por f : X R de modo que f(3) = P(X = 3) = 1/8; f(2) = P(X = 2) = 3/8; f(1) = P(X = 1) = 3/8; f(0) = P(X = 0) = 1/8; todo ello suponiendo que los sucesos elementales sean equiprobables. Fijémonos en un valor cualquiera de la función de probabilidad; por ejemplo, f(2) = P(X = 2) expresa la probabilidad de que el número de caras sea 2. Al escribir P(X = 2), probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor 2, nos estamos refiriendo a la probabilidad del suceso P {(CCF),(CFC),(FCC)} que, por brevedad, escribiremos P(X = 2). El ejemplo anterior es una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta (o bien de una función de probabilidad discreta), porque E es un espacio muestral discreto. Se verifican: a) 0 f(x k ) 1; b) f(x k ) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1. A continuación exponemos la tabla de probabilidad de f(x k ) y su gráfica o el diagrama de probabilidad: X f(x) = P(X = x k ) 1/8 3/8 3/8 1/8 f k x 4.2. Función de distribución de una variable aleatoria discreta Siguiendo con el ejemplo del dado, representamos en lo que sigue las tablas de frecuencias acumulativas y de probabilidades acumulativas: Tabla de frecuencias acumulativas x k n k f k N k F k 1 6 6/48 6 6/ / / / / / / / / / /48=1 Tabla de probabilidades acumulativas X P k F(x k ) 1 1/6 1/6 2 1/6 2/6 3 1/6 3/6 4 1/6 4/6 5 1/6 5/6 6 1/6 6/6=1

16 12 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas En las tablas anteriores tenemos que: N k representa las frecuencias absolutas acumulativas: N 1 = n 1, N 2 = n 1 + n 2, N 3 = n 1 + n 2 + n 3,... F k representa las frecuencias relativas acumulativas: F 1 = f 1, F 2 = f 1 + f 2, F 3 = f 1 + f 2 + f 3,... F(x k ) representa las probabilidades acumulativas: F(x 1 ) = f(x 1 ), F(x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ), F(x 3 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) + f(x 3 ),... Definición 4.3 Llamamos función de distribución de una variable aleatoria discreta X a la siguiente expresión: F(x k ) = P(X x k ) =f(x 1 ) + f(x 2 ) + + f(x k ) =P(X = x 1 ) + P(X = x 2 ) + + P(X = x k ). F(x k ) es la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor o igual que x k. Así, en el caso del dado, tenemos por ejemplo que F(2) = 2/6 = 1/3 y F(4) = 4/6 = 2/ Media y desviación típica de una variable aleatoria discreta Si una variable o serie estadística está formada por los valores x 1,x 2,...,x n (no repetidos), n k es el número de repeticiones o frecuencia absoluta de cada valor x k y f k = n k es la frecuencia relativa N de cada valor x k, se definen la n n x k n k media aritmética: x = x k f k = N, varianza: σ 2 = k=1 n (x k x) 2 f k, k=1 k=1 n desviación típica: σ = (x k x) 2 f k. k=1 Ahora bien, dada una variable aleatoria X con función de probabilidad f(x) = P(X = x), se definen la media o esperanza matemática: varianza: µ = X = E(X) = x k f(x k ) = x k p k, es decir, la suma de los productos de los valores x k que toma la variable aleatoria X por sus probabilidades respectivas. σ 2 = E(X X) 2 = (x k µ) 2 f(x k ) = (x k µ) 2 p k, esto es, la suma de los productos de las desviaciones al cuadrado de los valores x k que toma X respecto a la media µ por las probabilidades respectivas.

17 Tema desviación típica: σ = (xk µ) 2 p k. La media µ y la desviación típica σ se denominan parámetros de una función de distribución F(x). Ejemplo Calcúlense los parámetros de la distribución de la variable aleatoria X dada por la tabla X f(x k ) = p k Aplicando las fórmulas anteriores tenemos que µ = x k p k = = 2 9, σ = (xk µ) 2 p k = = Hallar la esperanza matemática y la desviación típica en el experimento de lanzar tres monedas y anotar las caras obtenidas. Recuérdese que por lo tanto, P(X = 0) = 1 8, P(X = 1) = 3 8, P(X = 2) = 3 8, P(X = 3) = 1 8, µ = x k p k = = 1 5, (xk σ = µ) 2 p k = = Variable aleatoria continua y distribución continua Si una variable aleatoria X puede tomar cualquier valor x de un cierto intervalo (a,b), X se denomina continua. Ejemplo La estatura de una persona durante su vida. 2. El peso y la edad de una persona durante el transcurso de su existencia. Supongamos que al medir la estatura de cien personas, obtenemos la distribución de frecuencias, agrupadas en intervalos de clase, según muestra la tabla adjunta: Intervalo en cm Marcas de clase x k Repeticiones n k Repet. acum. N k

18 14 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas En este caso, la representación gráfica se hace mediante el histograma de frecuencias simple (figura 3) o acumulativo (figura 4): n k N k cm cm Figura 3 Figura 4 Uniendo los puntos medios de las bases superiores de los rectángulos se obtienen los polígonos correspondientes de frecuencia simple y acumulativa. Si aumentamos indefinidamente el número de medidas y hacemos tender a cero las amplitudes de los intervalos, el polígono de la figura 3 tiende a una línea denominada curva de probabilidad, que es la representación de la función f(x) llamada función de densidad de probabilidad o, simplemente, función de densidad. El polígono acumulativo (figura 4) tiende a la curva de probabilidad acumulativa, que es la representación de la función de distribución F(x) (son los modelos teóricos de la distribución anterior: figuras 5 y 6). f(x) y = f(x) x f(t)dt = P(X x) = F(x) P(b < X c) = c b f(x)dx x b c x Figura 5

19 Tema F(x) x f(t)dt = P(X x) = F(x) x x Figura 6 Si en la figura 4 la base de cada rectángulo (amplitud de cada intervalo) es la unidad y su altura es la frecuencia relativa, el área de cada rectángulo coincide con la frecuencia de su respectiva clase: área=f k 1 = f k. El área del histograma será f k 1 = 1. En el caso teórico (figura 5) también ocurre que el área limitada por la curva de probabilidad (correspondiente a la función de densidad f(x)) y el eje de abscisas es 1: De este modo podemos decir que: + f(x)dx = 1. La probabilidad de que la variable aleatoria continua X tome un valor menor o igual que x será P(X x) = x f(t)dt = F(x), función de distribución que coincide con el área de la región rayada de la figura 5. De forma análoga se define P(b < X c) = c b f(x)dx, el área bajo la curva de probabilidad en el intervalo (b,c) coincide con la probabilidad del suceso b < X c. Si F es derivable, se tiene F (x) = f(x) y, por tanto, c b f(x)dx = F(x) c b = F(c) F(b). Observe el alumno que el valor del área rayada de la figura 5 coincide con la ordenada correspondiente a X = x en la figura Ejercicios propuestos (1) Cuántos números naturales se pueden obtener con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, sin repetir ninguna? (2) Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las cifras pares 2, 4, 6, 8, sin que se repita ninguna? Cuántos de esos números comienzan por 2? Cuántos terminarán en 64? Cuántos habrá que sean mayores que 500?

20 16 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas (3) Resuelve el ejercicio anterior, suponiendo que es posible repetir las cifras. (4) En una rifa colegial se han hecho 1000 papeletas, numeradas del 000 al 999. Cuántos capicúas habrá? (5) De cuántas formas podrán colocarse en fila 10 alumnos, si suponemos que dos ocupan siempre el mismo puesto, uno el primero y otro el último? (6) Una línea de ferrocarril tiene 25 estaciones. Cuántos billetes diferentes habrá que imprimir, si cada billete lleva impresas las estaciones de origen y destino? (7) Cuántos números hay entre 5000 y 6000 que tengan todas sus cifras diferentes? (8) En un banco hay sentadas 6 personas. Variando el orden de los puestos, de cuántas maneras pueden colocarse? (9) Cuántos grupos de letras se formarán con las de la palabra Isabel, con tal que no vayan ni dos vocales ni dos consonantes juntas? Cuántos de esos grupos comenzarán por vocal? (10) Con las cifras 5, 6, 7, 8, 9, cuántos números de cinco cifras puedes formar, con la condición de que no haya dos cifras impares juntas? (11) Con las cifras 1, 1, 2, 2, 3, cuántos números de cinco cifras se pueden formar? Si se ordenan en orden creciente, qué lugar ocupará el número capicúa 21312? (12) Cuántas letras de 5 signos se pueden formar en el alfabeto Morse con 3 rayas y 2 puntos? (13) De cuántos modos distintos podrán presentarse 10 cartas de una baraja, sabiendo que son 4 ases, 3 reyes, 2 caballos y una sota? (14) Cuántos grupos de dos, de tres, de cuatro, es posible formar con 90 personas? (15) De cuántas formas pueden combinarse los sietes colores del arco iris, tomados de cinco en cinco? (16) Se dispone de ocho objetos. Qué es mayor, el número de combinaciones tomándolos de tres en tres, o el número de combinaciones de los mismos elementos de cinco en cinco? Razona la respuesta. (17) En una urna se tienen tres bolas blancas, dos bolas negras y una bola roja. Sea la variable X que asigna 2 al resultado de extraer una bola blanca, 2 5 si es negra y 4 si es roja. Se pide: a) el dominio y el recorrido de X; b) tablas de las funciones de probabilidad y de distribución de X y su representación gráfica. (18) Sea un dado con tres caras negras y tres blancas. Consideremos un segundo dado con cuatro caras negras y dos blancas. Se lanzan los dos dados. Sea X la variable aleatoria que asigna el número de caras blancas obtenidas en cada lanzamiento. Se pide la distribución de probabilidades X y su función de distribución. (19) Halla la media o esperanza matemática y la desviación típica de los dos ejercicios anteriores. (20) Se tienen las siguientes distribuciones: a) b) x k f(x k ) 1/2 1/4 1/4 x k f(x k )

21 Tema Se pide: hallar las tablas correspondientes a la función de distribución; gráficas de las mismas; hallar µ y σ en los dos casos.