Prácticas de Fiabilidad

Transcripción

1 Prácticas de Fiabilidad Práctica : Objetivo: En esta práctica se van a ajustar datos censurados. De los tres tipos de censura existentes se va a trabajar con la censura aleatoria, es decir, el proceso de fallos y el de censura son independientes y no tienen una estructura predeterminada. Cuando se estudian datos censurados no se dispone de toda la información y por tanto hay que realizar adaptaciones de métodos ya vistos a esta nueva situación. Por ejemplo, para calcular la supervivencia en un determinado instante no es correcto usar la función de supervivencia empírica para todos los datos, además aplicarla sólo a los datos de la muestra que no tienen censura hace que se pierda información, por ello se emplea el estimador de Kaplan-Meier. La estimación paramétrica (ajuste de una distribución a los datos) puede hacerse también teniendo en cuenta la censura. El programa Statgraphics ofrece una opción para estimar el modelo weibull a conjuntos de datos compuestos por grupos. Una vez que se hayan ajustado los datos, es posible conocer la duración media de un componente así como su tasa de fallos y su función de supervivencia. Conocida la función de supervivencia se puede evaluar la probabilidad de que el componente dure más de un determinado tiempo (como se hizo en prácticas anteriores). Datos: Los datos que se van a analizar se encuentran en el fichero practica fiabilidad.sf. El fichero contiene datos las variables:. Duración: Contiene los tiempos de fallo o de censura de las observaciones.. Tipo: Tipo de tratamiento recibido. Se tienen tres grupos etiquetados por esta variable como, y.. Censura: La variable toma el valor si el tiempo es censurado. En otro caso toma el valor cero. Qué hay que hacer:. Estimador de Kaplan Meier Se abre el fichero practica fiabilidad.sf. Se va a: DESCRIBE Life data Life tables (times)

2 Tal como aparece en la figura se introducen las variables en la ventana del análisis: en Data se pone el nombre de la variable que queremos analizar (Tiempos), en Censored se pone la variable que codifica las censuras (La variable que toma valores cero o uno, Censura) y por último en Group se pone la variable que codifica los grupos (en caso de que haya varios, Tipos) Figura : Introducción de datos life tables (times). El ordenador proporciona el gráfico de la función de supervivencia estimada (Estimated Survival Function), es decir, el gráfico de la estimación de Kaplan-Meier. Presionando el botón de opciones gráficas se puede obtener (como se hizo en prácticas anteriores) también el gráfico de la tasa de fallos acumulada (Estimated Survival Function) con el objetivo de determinar el tipo de tasa de fallos de la variable. Los gráficos de ambas funciones se encuentran en las figuras y. survival probability 0,8 0,6 0,4 0, 0 Estimated Survival Function Duraciones Tipo Figura : Función de Supervivencia Estimada para Duraciones usando censura. En la figura se observa como el tratamiento de tipo posee una supervivencia mayor que el de tipo y éste mayor que el de tipo. A partir de la figura se puede determinar que las tasas de fallo son crecientes para los tres tratamientos (crecimiento de las curvas más rápido que lineal).

3 cumulative hazard Estimated Cumulative Hazard Function Duraciones Tipo Figura : Tasa de Fallos Acumulada para Duraciones usando censura. El programa proporciona además tanto los valores del estimador de Kaplan-Meier como las duraciones medias estimadas para cada grupo. Esta información está recogida en la parte del análisis numérico: en el resumen del análisis (Analysis Summary). A continuación se muestran partes de dicho análisis. Analysis Summary Data variable: Duraciones Censoring: Censura Groups: Tipo Number of groups = Product-Limit (Kaplan-Meier) Estimates Tipo = Number at Cumulative Standard Cumulative Row Time Status Risk Survival Error Hazard 0,97 FAILED 99 0,9900 0,0099 0, ,699 FAILED 98 0,9800 0,040 0, ,9864 FAILED 97 0,9700 0,07 0,005 45,6808 WITHDRAWN ,5648 FAILED 95 0,9599 0,096 0, ,747 FAILED 94 0,9498 0,09 0,055 : : : : : : : 6,487 FAILED 4 0,057 0,05,94 60,56 FAILED 0,095 0,0, ,99 FAILED 0,06 0,08,664 5,964 FAILED 0,0 0,00 4, ,479 FAILED 0 0,0000 0,0000 Mean survival time = 95,554 Standard error = 8,598 Tipo = Number at Cumulative Standard Cumulative Row Time Status Risk Survival Error Hazard 58 47,9565 FAILED 99 0,9900 0,0099 0, ,9 FAILED 98 0,9800 0,040 0,00 9,86 FAILED 97 0,9700 0,07 0, ,89 FAILED 96 0,9600 0,096 0,0408 : : : : : : :

4 8 774,08 FAILED 0,044 0,00,6 6 78,775 FAILED 0,08 0,09, ,5 FAILED 0,04 0,09 4, ,5 WITHDRAWN 0 Mean survival time = 47,66 Standard error = 8,8055 Tipo = Number at Cumulative Standard Cumulative Row Time Status Risk Survival Error Hazard 5 8,97 FAILED 99 0,9900 0,0099 0,00 44,8 WITHDRAWN ,977 FAILED 97 0,9799 0,04 0,00 9 4,478 FAILED 96 0,9698 0,07 0, ,04 FAILED 95 0,9597 0,097 0,04 : : : : : : : 9 97,74 WITHDRAWN 40,84 FAILED 0,07 0,0,96 59,59 FAILED 0,086 0,076, ,5 FAILED 0 0,0000 0,0000 Mean survival time = 970,4 Standard error = 0,4089 De esta tabla se extrae la siguiente información: Hay tipos de tratamientos; Para el primer grupo (primera línea de su tabla correspondiente): El primer incidente (fallo o censura) de este grupo se produjo en el instante 0,97 (columna time), dato correspondiente a la observación (columna row), y fue un fallo (columna Status). Para el instante de tiempo inmediatamente posterior, el número de elementos que aún funcionan es de 99 (columna number at risk) y la probabilidad de sobrevivir a dicho período es 0.99 (columna Cumulative Survival). También aparecen datos acerca de la desviación típica de esta probabilidad y de la tasa de fallos acumulada en ese instante en las últimas dos columnas. Para el primer grupo: el primer dato censurado aparece en la fila 4. Su Status es Withdrawn. Eso fue en el instante 45,6808. Nótese que no se realiza ningún cálculo de supervivencia en los tiempos de datos censurados. El estimador Kaplan-Meier calcula la supervivencia sólo para los tiempos de fallo aunque si usa los datos censurados. Por último se tiene tanto la media como la desviación típica para cada grupo. La duración media estimada (mean survival time) para cada grupo es: Grupo : Duración media = 95,554 Grupo : Duración media = 47,66 Grupo : Duración media = 970,4 Para obtener la supervivencia en un momento determinado se actúa como en las prácticas anteriores. Se busca el tiempo de fallo inmediatamente anterior al tiempo que se desea y se toma el valor correspondiente de la tabla. Así, para saber la supervivencia en el instante 50 del primer grupo se busca el fallo inmediatamente anterior que es 40,9864 (entre estos dos fallos hay un dato con censura, pero ese no interesa) y la supervivencia en este grupo y para ese valor es Nótese que de nuevo se tiene una función de supervivencia escalonada. 4

5 La siguiente tabla contiene los valores de supervivencia en los instantes 500 y 900 para los tres grupos. S(500) S(900) Grupo 0 0 Grupo 0,484 0,04 Grupo 0,995 0,56 Pero, qué consecuencias tendría si se trabaja con unos datos censurados y no se tiene en cuenta esta censura? Es decir, Qué pasa si se trabaja con unos datos censurados y se hacen los análisis de las prácticas anteriores? Si se vuelve a hacer el análisis sin utilizar la variable censura: DESCRIBE Life data Life tables (times) y se rellena la ventana de datos conforme a la figura 4, se obtienen las siguientes duraciones medias: Grupo : Duración media sin censura = 86,94 Grupo : Duración media sin censura = 46,7 Grupo : Duración media sin censura = 9,59 Como puede observarse, se subestima la duración de los componentes. En estos datos la censura es por la derecha, es decir, si se tiene un dato igual a 00 censurado, el hecho de conocer que está censurado nos indica que la duración es mayor de dicho valor. De ahí que si se toma como no censurado (se cuenta como fallo) la duración media será menor. Si por el contrario la censura aleatoria fuera por la izquierda, las duraciones medias si no se usa la información de censura estarían sobreestimando las reales. Figura 4: Introducción de datos life tables (times) sin tener en cuenta censura. Qué ocurrirá con la función de supervivencia? La siguiente tabla contiene los valores de supervivencia en los instantes 500 y 900 para los tres grupos. En ésta se puede observar que también se subestima la función de supervivencia. S(500) S(900) Grupo 0 0 Grupo 0, 0,0 Grupo 0,9 0,5 5

6 . Ajuste paramétrico del modelo En el apartado anterior se ha realizado un análisis no paramétrico de los datos. Es decir, ninguna distribución ha sido empleada para el cálculo de la función de supervivencia. En este apartado se va a trabajar de la misma forma que en la práctica anterior, pero teniendo en cuenta la censura. De forma directa se va a ajustar modelos Weibull a los datos haciendo uso de un análisis que proporciona el programa en el que se estiman los modelos para cada uno de los grupos a la vez. Se podrían ajustar los datos a cualquier otra distribución usada en fiabilidad, pero si se tuviera más de un grupo habría que hacer el ajuste a cada grupo por separado. Como hacer esto se verá después de mostrar las posibilidades del análisis weibull (Weibull Analysis). Para obtener dicho análisis debemos seleccionar en el menú: Describe Life Data Weibull analysis Se introducen los datos de la misma manera que en el primer análisis (ver figura ). Por un lado se obtiene el resumen del análisis (Analysis Summary) y por otro el QQ-plot de las observaciones de cada grupo con respecto al modelo weibull estimado para cada uno. Dichos modelos aparecen en el resumen del análisis. El parámetro de forma (shape o β ) para el grupo es.680, para el es,507 y para el es,66. Los parámetros de escala (scale o λ ) son 9.85, y 07.9 respectivamente. Los parámetros de forma confirman el análisis anterior sobre la tasa de fallos ya que son mayores que. Y esto en un modelo Weibull significa que la tasa de fallos es creciente. Por otro lado también se ofrece información del tamaño muestral de cada grupo así como del número de datos no censurados. Por ejemplo, en el Grupo tenemos 00 datos de los cuales 90 son fallos (no están censurados). Analysis Summary Data variable: Duraciones Censoring: Censura Groups: Tipo Number of groups = Estimation method: maximum likelihood Sample Number of Estimated Estimated Starting Group Size Failures Shape Scale Point ,680 9,85 0,0 00 9,507 49,47 0, ,66 07,9 0,0 La figura 5 contiene el gráfico con los QQ-plots mencionados antes. En esta figura se observa como los puntos se ajustan bastante bien a las rectas, por lo que la opción de que sigan un modelo Weibull no puede descartarse. Cada recta y color corresponde a un modelo y grupo. Los modelos en este análisis se estiman con todos los datos y teniendo en cuenta la información de censura, pero en el QQ-plot sólo aparecen los datos no censurados. 6

7 Presionando el botón de opciones gráficas pueden obtenerse numerosos gráficos conocidos de la práctica anterior como por ejemplo las funciones de densidad, las de supervivencias y las tasas de fallo para los tres modelos. Weibull Plot cumulative percent 99, ,5 0, Duraciones Figura 5: QQ-plot del modelo. Tipo Este análisis nos permite hacer uso también de los contrastes de bondad de ajuste vistos en la práctica anterior, pero en ocasiones se vuelven poco fiables ya que hacen el cálculo para todos los grupos a la vez. De ahí que sea más adecuado para el uso de esas técnicas el ajustar a cada distribución el modelo. Pero debido a que se tienen datos con censura el análisis que se tiene que emplear es Distribution Fitting (Censored Data). Para obtenerlo, en el menú se selecciona DESCRIBE Distributions Distribution Fitting (Censored Data). Para seleccionar sólo las observaciones de un grupo se hace uso de la casilla Select tal y como se muestra en la figura 6, es decir, para los del grupo se escribe Tipo=, para el grupo se escribe Tipo=, etc. Figura 6: Inserción de datos para ajustar distribución con censura para un grupo. Antes de ver los resultados hay que seleccionar como modelo a estimar el Weibull (por defecto el ajuste es a la normal). Para cambiar el modelo hay que presionar el botón derecho del ratón y seleccionar analysis options y escoger el modelo weibull. Una vez hecho esto se tiene que el análisis nos proporciona por un lado información de la muestra (máximo, mínimo y número de datos y de datos censurados) y los parámetros 7

8 del modelo (se corresponden con los obtenidos en el análisis weibull) y por otro información gráfica del ajuste por medio del histograma y de la densidad del modelo ajustado. Los análisis gráficos y numéricos adicionales se han visto ya en la práctica anterior, por lo que su manejo se presupone. Presionando el botón de opciones gráficas se obtendría entre otros el QQ-plot. Para obtener los resultados del contraste de Kolmogorov hay que presionar el botón tabular options y seleccionar la opción Goodness-of-fit tests. Para los tres grupos los resultados son los siguientes: Estimated Kolmogorov statistic DPLUS = 0,0778 Estimated Kolmogorov statistic DMINUS = 0,05808 Estimated overall statistic DN = 0,05808 Approximate P-Value = 0,949 Estimated Kolmogorov statistic DPLUS = 0, Estimated Kolmogorov statistic DMINUS = 0,04548 Estimated overall statistic DN = 0, Approximate P-Value = 0,89696 Estimated Kolmogorov statistic DPLUS = 0,06849 Estimated Kolmogorov statistic DMINUS = 0,05404 Estimated overall statistic DN = 0,06849 Approximate P-Value = 0,7787 Para ninguno de los tres grupos se puede rechazar la hipótesis del modelo Weibull ya que a la vista de los p-valores dicho modelo describe con bastante fidelidad los datos. Para calcular valores de la función de supervivencia para cualquier instante de tiempo hay que hacer uso de la opción Tail Areas. Esta opción puede obtenerse para el último análisis de ajuste de distribución (pero habría que hacerlo para cada grupo) o a través del análisis Weibull (todos los modelos a la vez). Volviendo al análisis weibull, Tail Areas se obtiene presionando el botón de opciones de tabla (Tabular Options). Recuérdese que Tail Areas proporciona el valor de la función de distribución, es decir, de P(T<t) y S(t)=-P(T<t). Recuérdese que para variar los valores que vienen por defecto hay que situar el cursor sobre el panel de Tail Areas, presionar el botón derecho del ratón y seleccionar Pane Options. Si se introducen los valores 500 y 900 se obtiene: Tail Areas for Duraciones Group Critical Value Lower Tail Area ,0 0, ,0,0 500,0 0, ,0 0, ,0 0, ,0 0,4089 Empleando esta información se construye la siguiente tabla que contiene la función de distribución y la supervivencia para los tres grupos en los instantes 500 y

9 F(500) S(500) F(900) S(900) Grupo Grupo 0, , Grupo Se puede observar como ya se hizo en la práctica anterior que aplicando un modelo existe más precisión en el cálculo de probabilidades debido a que ofrece curvas suaves no escalonadas. Autoevaluación de la práctica: Se puede dar por superada esta práctica cuando tras su realización el alumno sea capaz de: Calcular supervivencias en cualquier instante para datos con censura (Vía Kaplan-Meier o vía ajuste de distribución, ya sea con análisis weibull o con otro modelo). Identificar si un modelo es adecuado para un conjunto de datos con censura (misma metodología que práctica anterior pero con uncensored data). Identificar los problemas que presenta el hecho de ignorar la censura en un conjunto de datos. Identificar la tasa de fallos cuando hay censura. Realizar la estimación del análisis Weibull y la interpretación de los gráficos y de los análisis numéricos que se obtienen con este análisis (incluyendo el cálculo de valores críticos, ver práctica anterior), así como identificar la tasa de fallos a través de los parámetros del modelo. 9