Prácticas de Fiabilidad

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1 Prácticas de Fiabilidad Práctica : Objetivo: El objetivo de esta práctica es conocer y aprender a manejar las herramientas que nos van a permitir decidir si nuestros datos de supervivencia se comportan de acuerdo a algún modelo estadístico conocido. El hecho de tener un modelo para los datos ofrece ventajas frente a la estimación empírica en que se basó la práctica. Podremos conocer de forma más precisa cuál es la tasa de fallos y la función de supervivencia en cualquier momento, ya que dispondremos de funciones NO escalonadas, al contrario de lo que sucedía en los análisis de la práctica. Una vez obtenidos los modelos más adecuados para nuestros datos, se realizarán simulaciones para continuar con el problema de fiabilidad de sistemas que se propuso en la primera práctica. Conceptos básicos: Como en la práctica anterior se parte de una muestra de tiempos de vida de un determinado componente: x, x,..., x n. Ésta es una muestra aleatoria procedente de un determinado modelo de probabilidad, es decir, posee una función de distribución F(x) y, por consiguiente, una función de densidad f(x). Existen numerosos modelos probabilísticos que se emplean para modelizar tiempos de duración de componentes. Entre ellos se podrían destacar los siguientes:. Modelo Exponencial: Depende de un solo parámetro: λ. Se caracteriza por tener una tasa de fallo constante (igual a λ). En la figura se encuentran las funciones de densidad de modelos exponenciales para distintos valores del parámetro (que está representado por la media /λ) y en la figura sus respectivas tasas de fallo.. Modelo Weibull: Depende de dos parámetros: λ (escala o scale) y β (forma o shape). Dependiendo del valor del parámetro de forma el modelo puede tener tasa de fallo decreciente (β<), constante (se reduce al modelo exponencial, β=) y creciente (β>). En la figura 3 se encuentra la función de densidad Weibull para distintos valores de los parámetros y en la figura sus respectivas tasas de fallo. 3. Modelo Gamma: Depende de dos parámetros: λ (escala o scale) y β (forma o shape). Puede modelizar variables con tasas de fallo cambiantes (crecientes y decrecientes). En la figura 5 se encuentra la función de densidad Gamma para distintos valores de los parámetros y en la figura 6 sus respectivas tasas de fallo.. Modelo Lognormal: Depende de dos parámetros: μ (media o mean) y σ (desviación típica o standard deviation). Puede modelizar variables con tasas de fallo cambiantes (crecientes y decrecientes). El ejemplo para distintos

2 valores de los parámetros aparece en la figura 7 y en la figura 8 sus respectivas tasas de fallo. Exponential Distribution density,,8,6,, Mean x Figura. Función de densidad exponencial. hazard,,,8,6,, Exponential Distribution x Figura. Tasa de fallos de la función de densidad exponencial. Weibull Distribution Mean 5 5 density,8,6,, Shape,Scale,,8,, 5, x Figura 3. Función de densidad Weibull.

3 Weibull Distribution hazard 5 5 Shape,Scale,,8,, 5,3 3 5 x Figura. Tasa de fallos de la función de densidad Weibull. Gamma Distribution density,5,,9,6,3 Shape,Scale,,,5,,, x Figura 5. Función de densidad Gamma. Gamma Distribution hazard,,6,,8, x Figura 6. Tasa de fallos de la función de densidad Gamma. Shape,Scale,,,5,,,5 3

4 Lognormal Distribution density,8,6,, Mean,Std. dev,, 5,, 8 6 x Figura 7. Función de densidad Lognormal. Lognormal Distribution hazard,6,,8, Mean,Std. dev,, 5,, 8 6 x Figura 8. Tasa de fallos de la función de densidad Lognormal. Estos son sólo algunos ejemplos de funciones de densidad conocidas. Pero, qué herramientas estadísticas hay para saber qué modelos pueden ser adecuados para mi variable? Qué herramientas estadísticas ayudan a decidir si un modelo es o no adecuado? Para hacer un primer análisis de la variable se debe hacer uso de técnicas descriptivas, es decir, se emplea el histograma para ver cómo se distribuye la muestra por intervalos y se realizan estimaciones de la función de densidad para obtener algo semejante al histograma pero de forma suave y continua (no por intervalos). En cuanto a las herramientas para determinar si un modelo es adecuado a una muestra se pueden clasificar en procedimientos gráficos y numéricos. Gráficamente se puede comprobar si la función de densidad del modelo propuesto es aproximadamente igual que el histograma de los datos. Aunque es mucho más fiable el gráfico cuantil-cuantil o quantil-quantil plot (QQ-plot) que consiste en hacer un gráfico de dispersión entre los valores de la muestra ordenados y los cuantiles del modelo propuesto. El modelo podrá ser adecuado si los puntos del gráfico están alineados.

5 NOTA: Se dice que X p es el cuantil de probabilidad p si F( X p ) = p. Ejemplo: Supongamos que tenemos la siguiente muestra de tiempos: 6.,.5,., 3.5 y.7. Que tenemos un modelo representado por la función de distribución F(x) y cuya inversa es F - (p), con p entre cero y uno. Lo que hace el QQ-plot es hacer el diagrama de dispersión de las columnas y 3 de la siguiente tabla. La primera columna representa la función de distribución empírica de la muestra. La segunda los datos de la muestra ordenada y la tercera la inversa de la función de distribución del modelo evaluada en los puntos de la columna. En la tabla se disponen los datos de forma ordenada. F n (x i ) x i F - (F n (x i )) /5.7 F - (/5) /5.5 F - (/5) 3/5. F - (3/5) /5 3.5 F - (/5) 6. F - () Así pues, si los datos se distribuyen según F(x) se tiene que F - (/5) será próximo a.7, F - (/5) será próximo a.5 y así sucesivamente, es decir, en el gráfico los puntos aparecen alineados según la recta y=x. Los procedimientos numéricos consisten en realizar contrastes de hipótesis sobre los datos. Por tanto atenderemos al p-valor de los mismos para determinar si existe la posibilidad de que la muestra se comporte según un determinado modelo o no. Las hipótesis de este tipo de contrastes son: H : f H : f ( x) ( x) puede ser la densidad de x, x no es la densidad de x, x,..., x,..., x Como en todo contraste de hipótesis si se obtienen p-valores bajos existe evidencia en los datos a favor de la hipótesis alternativa (en este en particular, evidencias que indican que los datos no tienen esa función de densidad). Dos ejemplos clásicos de contrastes que trabajan estas hipótesis son el de Chi-cuadrado (Chi-square) y Kolmogorov- Smirnof. NOTA MUY IMPORTANTE: Si se rechaza la hipótesis nula (los datos ofrecen evidencia a favor de la alternativa) significa que se tiene una confianza importante en que los datos no siguen el modelo propuesto. Pero si no se rechaza la hipótesis nula, no quiere decir que el modelo propuesto sea el que siguen los datos. Es decir, si no se rechaza la nula quiere decir que el modelo propuesto resulta compatible con los datos, pero no se puede afirmar con rotundidad que sea ése. En STATGRAPHICS, el resultado del test Chi-cuadrado puede ser diferente según la versión instalada del programa. Por tanto, utilizaremos el test de Kolmogorov para realizar estos contrastes. Datos: Los datos que se van a analizar se encuentran en el fichero practica fiabilidad.sf. n n 5

6 Nota: Recordar que las cuatro primeras columnas del fichero recogen la duración de los cuatro componentes para los que se estudió varios sistemas. Qué hay que hacer: No se va a realizar ningún análisis descriptivo previo ya que con el análisis de ajuste de distribución (distribution fitting) de Statgraphics se obtiene directamente el histograma y existe la posibilidad de obtener la estimación de la densidad. Nota: Antes de realizar el análisis de ajuste de distribución conviene mencionar que por defecto el programa Statgraphics compara con la distribución normal, para la que estima los parámetros correspondientes. Se abre el fichero practica fiabilidad.sf. Se va a: DESCRIBE Distributions Distribution Fitting (Uncensored data) (Ajuste de distribución, datos sin censura) En Data ponemos el nombre de la variable que queremos analizar. En la práctica se empezará con V y se continuará hasta V (el resto se dejan como tarea para la práctica del alumno). Por defecto, el programa proporciona un resumen numérico (Analysis Summary) y el gráfico de la estimación de la función de densidad (Density Trace). Se va a obtener también el resto de herramientas comentadas anteriormente. Para obtener los tests o contrastes de bondad de ajuste, se presiona el botón de opciones de tabla (tabular options) y se selecciona la opción de test de bondad de ajuste (Goodness-of-fit tests). También se van a obtener dos gráficos más. Se presiona el botón de opciones gráficas (graphical options) y se seleccionan el histograma y el QQ-plot. A continuación se estudian todos los análisis para determinar el (los) modelo(s) más adecuados para esta variable. La figura 9 recoge el resumen del análisis (Analysis Summary). Éste nos indica que la variable V es una muestra de observaciones, con un mínimo de y un máximo de 35.. Nos informa que se le ha ajustado una distribución normal y que los valores estimados de los parámetros son de para la media y de 7.9 para la desviación típica. 6

7 Analysis Summary Data variable: V values ranging from 3,68535 to 35, Fitted normal distribution: mean = 8,838 standard deviation = 7,9 Figura 9. Resumen del análisis. El histograma de los datos se encuentra en la figura. Se observa una curva superpuesta a éste. Esa curva es la función de densidad correspondiente a una distribución normal con los parámetros que aparecen en la figura 9. Histogram for V frequency V Figura. Histograma de V con densidad normal. También se puede observar una incongruencia con la naturaleza de los datos. El límite inferior del primer intervalo es!! Dado que se dispone de datos de tiempos de vida, hay que corregir esto en el gráfico, hay que cambiar el límite inferior del gráfico. Esto se hace con el cursor sobre el gráfico, presionando el botón derecho y seleccionando opciones de panel (pane options). Aparece la ventana de la figura. La primera casilla nos muestra el número de clases o intervalos del histograma (debe variarse su valor para ver cómo va cambiando el histograma). La segunda y tercera casilla nos indica el límite inferior y superior del gráfico. En el límite inferior ponemos un cero, para conseguir un gráfico más consistente con los datos. Figura. Opciones de panel del histograma. 7

8 El nuevo gráfico es el correspondiente a la figura. Se observa claramente que la función de densidad normal no es adecuada para estos datos que, aparentemente, poseen una distribución exponencial. 5 Histogram for V frequency 3 3 (X ) V Figura. Histograma de V corregido. La figura 3 contiene el gráfico de la función de densidad estimada (density trace). Este gráfico se interpreta como un histograma pero tiene la ventaja de tener un comportamiento suave y continuo. (X,) 6 density 5 3 Density Trace for V 3 (X ) V Figura 3. Función de densidad estimada de V La curva obtenida sale por defecto muy suavizada. Para que se vea mejor la distribución de los datos hay que cambiar el parámetro Interval width (por defecto del 6%) que se encuentra en Pane options. Si modificamos este valor a % obtenemos la densidad de la figura. Ambas densidades nos muestran de nuevo la falta de ajuste de V con la distribución normal ya que los datos presentan una clara asimetría (hacia la derecha ó positiva) y la distribución normal es simétrica. 8

9 (X,) Density Trace for V 8 density 6 3 (X ) V Figura. Función de densidad estimada de V con ancho de banda del %. Por último el gráfico QQ-plot (figura 5) muestra una vez más que la distribución normal no es adecuada. Los puntos no están alineados sobre la recta y=x, por lo tanto debemos cambiar a otra distribución. (X ) 3 V 3 (X ) Normal distribution Figura 5. QQ-plot de V frente a distribución normal. Por último debemos confirmar mediante los contrastes de hipótesis lo que se ha venido concluyendo con los análisis gráficos: que la normal no es un buen modelo para estos datos. Antes de pasar a analizar la tabla de dichos contrastes hay que mencionar que cuando el número de observaciones es pequeño (menos de 3 datos) no es conveniente hacer uso de los contrastes. Los contrastes son útiles para conjuntos de datos de tamaño mayor que 3. En caso contrario la decisión de si nuestros datos pueden seguir un modelo determinado hay que tomarla de forma gráfica empleando en mayor medida el último gráfico mencionado, el QQ-plot. La siguiente figura (figura 6) muestra la tabla correspondiente al apartado Goodnessof-fit tests o tests de bondad de ajuste. Como se dijo en la parte de conceptos básicos hay que analizar los p-valores de los contrastes (valores sombreados en la figura 6). 9

10 Para el test de Chi-cuadrado se tiene un valor de 9.8e- a, para Kolmogorov.9 y para los otros dos contrastes p-valores menores que.. Por lo tanto, dados estos valores existen evidencias suficientes para decir con una elevada confianza que la variable V no sigue una distribución normal. Goodness-of-Fit Tests for V Chi-Square Test Lower Upper Observed Expected Limit Limit Frequency Frequency Chi-Square at or below -56,68 7,69 7,69-56,68,89 5 7,69,9,89 55, 9 7,69 6,6 55, 9, 6 7,69 8,97 9, 58,6 7,69, 58,6 73,8 9 7,69, 73,8 873,96 6 7,69,37 873,96 9,56 8 7,69, 9,56 7,68 7,69, 7,68 38,7 3 7,69,86 38,7 558,85 7,69,77 558,85 86, 6 7,69,37 above 86, 7,69, Chi-Square = 6,96 with d.f. P-Value = 9,8E-7 Estimated Kolmogorov statistic DPLUS =,569 Estimated Kolmogorov statistic DMINUS =,7 Estimated overall statistic DN =,569 Approximate P-Value =,933 EDF Statistic Value Modified Form P-Value Kolmogorov-Smirnov D,569,57666 <.* Anderson-Darling A^,8867,858,* *Indicates that the P-Value has been compared to tables of critical values specially constructed for fitting the currently selected distribution. Other P-values are based on general tables and may be very conservative. Figura 6. Tests de bondad de ajuste de V suponiendo distribución normal. Debemos probar con otras variables hasta encontrar modelos que puedan describir la variable V. Para conseguirlo se presiona el botón derecho y se seleccionan las opciones de análisis (Analysis Options). Aparece la ventana de la figura 7. En ella aparecen numerosos modelos. Entre ellos cabe destacar dos grupos. Distribuciones de variables discretas y distribuciones de variables continuas (el caso de tiempos de vida). De entre las continuas, las más usadas en estudios de fiabilidad son: Exponencial, Gamma, Weibull, Lognormal y Erlang. En la práctica anterior se determinó que la tasa de fallos de V era constante, por lo tanto la posibilidad de que la exponencial sea un modelo adecuado es alta. Y, por lo comentado anteriormente, también la Weibull y la Gamma son buenas opciones (recordar que la exponencial es caso particular de ambas). Así pues se va a analizar el a Recordar que el resultado de este test puede ser diferente según la versión instalada de STATGRAPHICS

11 QQ-plot para V y estas tres distribuciones (exponencial: figura 8, Weibull: figura 9 y Gamma: figura ) así como el p-valor para el contraste de Kolmogorov (tabla de la figura ). Figura 7. Posibles modelos para ajustar. (X ) (X ) 3 3 V V 3 (X ) exponential distribution 3 (X ) Weibull distribution Figura 8. Exponencial-V. Figura 9. Weibull-V. (X ) 3 V 3 (X ) gamma distribution Figura. Gamma-V. Distribución Parámetros Estimados p-valor Kolmogorov Exponencial Mean: Weibull Shape: Scale: Gamma Shape:.58 Scale: Figura. Tabla con los parámetros y p-valores de los tests para V. Gráficamente se observan pocas diferencias entre los tres gráficos. A pesar de eso si se observa un mejor comportamiento en el correspondiente a la distribución exponencial,

12 ya que en los otros dos el punto de más valor está sensiblemente más alejado que en éste. El comportamiento para el resto de puntos es prácticamente igual. En cuanto a la tabla que contiene las estimaciones de los parámetros y los p-valores se observa que los tres modelos se ajustan muy bien. Para la variable V tenemos los siguientes resultados para el ajuste a las densidades exponencial, Weibull, Gamma y lognormal (figuras 3 a 6 respectivamente). (X ) V (X ) exponential distribution Figura 3. Exponencial-V. (X ) V (X ) Weibull distribution Figura. Weibull-V. (X ) V (X ) gamma distribution Figura 5. Gamma-V. (X ) V (X ) lognormal distribution Figura 6. Lognormal-V. Distribución Parámetros Estimados p-valor Kolmogorov Exponencial Mean: Weibull Shape: Scale: Gamma Shape:.5.3 Scale:. Lognormal Mean: Std. Dev.: Figura 7. Tabla con los parámetros y p-valores de los tests para V. Gráficamente se tienen dos opciones por encima del resto, que son el modelo Weibull y el modelo Gamma. De entre los dos el mejor es el del modelo Weibull, ya que en el modelo Gamma el punto de mayor valor está más alejado y el comportamiento del resto de los puntos es prácticamente idéntico. En cuanto a los p-valores recogidos en la figura 7 el modelo que ofrece mayor p-valor es el Weibull, por lo tanto si debemos decir qué modelo es más parecido a estos datos elegiríamos sin duda a éste.

13 Para la variable V3 se tienen dos posibles modelos de nuevo: el Weibull y el Gamma. Las figuras 8 y 9 respectivamente contienen sus QQ-plot. Y la tabla de la figura 3 contiene los p-valores y los parámetros estimados para estos modelos. (X ) 5 (X ) 5 V3 3 V (X ) Weibull distribution 3 5 (X ) gamma distribution Figura 8. Weibull-V3. Figura 9. Gamma-V3. Distribución Parámetros Estimados p-valor Kolmogorov Weibull Shape:.6.95 Scale: Gamma Shape:.9 Scale:.9.83 Figura 3. Tabla con los parámetros y p-valores de los tests para V3. Para V se tienen esencialmente dos posibilidades: Erlang y Weibull. A continuación se muestran los gráficos y la tabla que confirman dicha posibilidad V 9 V Weibull distribution Erlang distribution Figura 3. Weibull-V. Figura 3. Erlang-V. Distribución Parámetros Estimados p-valor Kolmogorov Weibull Shape: Scale: Erlang Shape: Scale:.3.86 Figura 3. Tabla con los parámetros y p-valores de los tests para V. Supongamos el modelo exponencial para la variable V: DESCRIBE Distributions Distribution Fitting (Uncensored data) (En data poner V) 3

14 Presionar el botón derecho y seleccionar Analysis Options. Elegir la distribución exponencial. Cómo se puede saber cual es la supervivencia según este modelo estimado para la variable V? Cómo se puede obtener un valor crítico? (La definición de valor crítico es la misma que la de cuantil). Para obtener estos valores hay que presionar el botón de opciones de tabla seleccionar las opciones tail areas y critical values (figura 33). y Figura 33. Opciones de tabla. La opción de tail areas da como resultado el valor de la función de distribución en un determinado punto. Así pues si se desea conocer la supervivencia de la variable V según un modelo exponencial (ajustado a esos datos) para el instante, es decir, S(), debemos obtener la función de distribución en dicho valor, ya que S()=- F(). Para hacer esto hay que situar el cursor encima del panel de tail areas, presionar el boton derecho y elegir la opción pane options. Aparecerá una ventana con cinco casillas. En cada casilla se puede introducir un tiempo de interés. En este caso se pondrá en una de ellas (figura 3) y se presionará el boton OK. Figura 3. Pane options de tail areas. El programa proporciona: area below. =.75, es decir, probabilidad de que el tiempo de vida del componente V sea menor que (esto es P(T<t)=-S(t)). Por lo tanto la supervivencia en este instante será: S()=-.75=.8875 (frente al.9 que se obtuvo en la práctica ). Cuál será la supervivencia en según el modelo exponencial ajustado a V? S()=-.835=.8865 (frente al.9 de la práctica ). Una primera consecuencia de estimar un modelo si éste es adecuado, es que se dispone de tasa de fallos acumulada y función de supervivencia NO escalonada. Con los valores

15 obtenidos por medio de tail areas se pueden rehacer los cálculos de fiabilidad de los sistemas de la práctica. En cuanto a los valores críticos, la forma de obtenerlos es análoga. Cuál es el valor de la variable para el que la supervivencia vale.5? Se pide el tiempo de fallo para el que S(x)=.5, es decir, para que -F(x)=.5, o lo que es lo mismo, para que F(x)=.55. Para el panel de critical values se obtienen sus pane options y se introduce.55 en una de las casillas (figura 35). Obteniéndose que F - (.55)=6.7. Figura 35. Pane options de critical values. Simulación de variables aleatorias: En esta sección se va a aprender a simular muestras de variables aleatorias con el objetivo de realizar simulaciones de sistemas de componentes. Supongamos que se tienen cuatro componentes cuyas duraciones se distribuyen de la siguiente manera: C: Weibull(,75) C: Weibull(.7, 5) C3: Exponencial() C: Exponencial(3) Se van a generar para cada componente una muestra de 5 observaciones que será empleada para simular los tiempos de fallo del primer sistema de la práctica anterior (figura 36). Figura 36. Sistema descompuesto en subsistemas. Se comenzará generando las muestras de los componentes C y C: 5

16 DESCRIBE Distributions Probability Distributions Aparece una ventana de selección de modelo (figura 37). En ésta seleccionamos la opción Weibull. Figura 37. Selección de distribución. Por defecto el análisis muestra información para una Weibull(,). Así pues, lo primero que se debe hacer es poner los parámetros de las distribuciones de los componentes C y C. Lo hacemos presionando el botón derecho y seleccionando las opciones de análisis (Analysis Options). Se pueden introducir hasta cinco pares de parámetros distintos. Se rellena la tabla como muestra la figura 38. Figura 38. Parámetros componentes C y C. En el gráfico de la función de densidad aparecen ahora dos curvas, una para cada componente. En este análisis podemos obtener la tasa de fallos, la función de supervivencia y la de distribución (en la parte gráfica). Si se hace ha de obtenerse una curva creciente para la tasa de fallos del componente C y otra decreciente para el componente C (ver los valores del parámetro de forma). 6

17 Para generar números aleatorios se trabaja con las opciones numéricas,, seleccionando random numbers o números aleatorios. Las otras opciones son tail areas y critical values para esta distribución con estos parámetros (figura 39). Figura 39. Opciones de tabla de probability distributions. En el nuevo panel del análisis se informa que se han generado números aleatorios de las distribuciones que se están analizando. Pero hay que cambiar el tamaño de la muestra. Eso se hace en pane options (botón derecho). Se introduce 5 en la nueva ventana (figura ). Figura. Tamaño muestral números aleatorios. Tan sólo falta guardar estas muestras en nuevas variables, cuyos nombres serán C y C. Esto se hace presionando el botón. Se rellena la nueva ventana como se indica en la figura. Figura. Guardar aleatorios con nombre. El proceso se repite para los componentes C3 y C. Los aleatorios los guardamos con esos mismos nombres. NOTA IMPORTANTE: Se están generando números aleatorios. Cada vez que se repita el proceso los números cambian y, por lo tanto, los cálculos de fiabilidad 7

18 también lo harán. Pero, al trabajar con muestras de un tamaño tan grande, si los cálculos son correctos, las variaciones serán muy pequeñas. Igual ocurre con los siguientes gráficos, de forma aproximada han de ser así, pero habrá detalles que varíen un poco. Una vez que se tienen la cuatro nuevas variables (de C a C). Podemos obtener como se hizo en la práctica los tiempos de fallo de esta muestra de 5 sistemas que se ha obtenido. Entonces se puede obtener la tasa de fallos acumulada y saber si el sistema tiene tasa de fallos creciente, decreciente o constante. Nota: Recordar que había que generar nuevas columnas, de nombres: S, S3 y S3; con los siguientes textos: Para S: C*(C<C)+C*(C<=C) Para S3: C3*(S<C3)+S*(C3<=S) Para S3: C*(C<S3)+S3*(S3<=C) Estimated Cumulative Hazard Function cumulative hazard (X ) S3 Figura. Tasa de fallos acumulada de S3. (X ) 8 S (X ) Weibull distribution Figura 3. QQ-plot de S3 y Weibull El gráfico de la tasa de fallos acumulada de S3 ofrece indicios de que la tasa de fallos del sistema es aproximadamente constante (figura ). De hecho el QQ-plot de esa variable para un modelo Weibull (figura 3) muestra que el modelo se ajusta bastante bien (confirmado también por los tests de hipótesis), teniendo un parámetro de forma casi igual a (en la simulación realizada para esta práctica vale.9). Por último, la fiabilidad en el instante para este sistema es aproximadamente de.98 (en 8

19 otras simulaciones se obtendrán otros resultados pero cercanos a este). Debido a que esta probabilidad es menor que la que se obtuvo en la práctica, que fue de.9 (con el primer método, el que se ha usado aquí) y.95 (con el segundo método) se concluiría que para montar este sistema, los componentes usados en la práctica anterior se comportan prácticamente de la misma manera que los simulados aquí. Autoevaluación de la práctica: Se puede dar por superada esta práctica cuando tras su realización el alumno sea capaz de: Encontrar el/los modelo/s más adecuado/s a un conjunto de observaciones Identificar cuando un modelo no es adecuado para un conjunto de observaciones Calcular supervivencias en cualquier instante para un modelo ajustado a unos datos y lo mismo para los valores críticos (probability distributions) Calcular supervivencias en cualquier instante para un modelo ajustado a unos datos y lo mismo para los valores críticos (distribution fitting) Generar números aleatorios y combinarlos para obtener simulaciones de sistemas de varios componentes 9