Representaciones de matrices

LECCIÓN CONDENSADA 6. Representaciones de matrices En esta lección Representarás unos sistemas cerrados con unos diagramas de transición unas matrices de transición Usarás las matrices para organizar información Sandra trabaja en una guardería infantil. El lunes el miércoles pasados por la tarde, los niños podían escoger entre pintar con las manos o jugar algún juego. De los niños que pintaron con las manos el lunes, el 8% volvieron a pintar el miércoles, mientras que el % jugaron algún juego. De los niños que jugaron el lunes, el 6% volvieron a jugar el miércoles, mientras que el % pintaron. Sandra hizo un diagrama para representar esta información. Las flechas los rótulos muestran los patrones de las actividades de los niños. Por ejemplo, la flecha circular rotulada.6 indica que el 6% de los niños que jugaron el lunes también jugaron el miércoles. La flecha rotulada. indica que el % de los niños que jugaron el lunes pintaron el miércoles. Los diagramas como el anterior se llaman diagramas de transición porque muestran cómo cambia algo de un momento al siguiente. Podrías mostrar la misma información en una matriz de transición. Una matriz es un arreglo rectangular de números. Aquí se ve una matriz de transición basada en la información de Sandra con respecto a la guardería. Lee los primeros tres párrafos de la lección en tu libro, donde se presenta otro ejemplo de un diagrama de transición una matriz de transición. Investigación: Decisiones frías Completa la investigación en tu libro por tu propia cuenta, después lee las respuestas dadas a continuación. Lunes.8 Pintar con las manos.. Pintar con las manos Jugar.8. Jugar Miércoles Pintar con las manos Jugar..6 Esta entrada muestra que el % de los niños que jugaron algún juego el lunes pintaron el miércoles..6 Paso.9..9 Paso Esta semana Helado Helado Yogurt congelado Siguiente semana Helado Yogurt congelado.9....9 Yogurt congelado Paso En la segunda semana, el 9% de los que tomaron helado el % de los que tomaron ogurt congelado escogen helado. Esto significa que (.9) (.) estudiantes eligen helado. Con un razonamiento similar, (.) (.9) 9 estudiantes eligen ogurt congelado. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 8 Ke Curriculum Press

DAACLS_678_6.qd // : PM Page 8 Lección 6. Representaciones de matrices (continuación) Paso En la segunda semana, ha que toman helado 9 que toman ogurt congelado. Estos cálculos dan los valores de la tercera semana: (.9) 9(.) que toman helado (.) 9(.9) 7 que toman ogurt congelado Paso Sea i n f n la cantidad de los que comen helado ogurt congelado en la semana n. Entonces la rutina recursiva es i f i n i n (.9) fi n (.) donde n f n i n (.) fi n (.9) donde n Paso 6 El número de los que toman helado se acercará a 6, el número de los que toman ogurt congelado se acercará a 8. Una manera de llegar a esta conclusión es introducir las fórmulas recursivas para i n f n en tu calculadora, calcular sus valores para los valores grandes de n. Las matrices son útiles para organizar información. La matriz [B] presentada aquí representa el número de estudiantes por grado en las North High School South High School. Las filas, de arriba hacia abajo, representan a los de primer año, segundo año, tercer año, último año, respectivamente; las columnas, de izquierda a derecha, representan a la North High School la South High School. Por ejemplo, el indica que ha del tercer año en la North High School. Las dimensiones de una matriz son el número de filas columnas. La matriz [B] tiene dimensiones de. Cada número de una matriz se llama una entrada, o elemento, se identifica como b ij, donde i j son los números de las filas las columnas, respectivamente. En la matriz [B], b, la entrada de la fila, la columna. El Ejemplo A en tu libro muestra cómo puedes usar una matriz para representar los vértices de un polígono. Lee ese ejemplo atentamente. El Ejemplo B regresa a la encuesta de Karina sobre esquiadores snowboarders del principio de la lección de tu libro. Lee ese ejemplo atentamente. Para asegurarte de que entiendes las ideas, sigue una serie parecida de pasos para resolver este problema: En la guardería de Sandra, niños pintaron con las manos el lunes jugaron. Cuántos niños hicieron cada actividad el miércoles? Organiza la información del miércoles en una matriz de la forma [B] 7 89 7 9 [número de los que pintaron número de los que jugaron] Observa que los diagramas matrices de transición muestran el cambio en un sistema cerrado es decir, un sistema en el cual no se agrega ni se elimina nada. Los diagramas funcionan bien en la representación de problemas relativamente sencillos, pero pueden ser difíciles de usar en situaciones en las que eisten muchas condiciones iniciales. En tales situaciones, por lo general, una matriz de transición es más clara más fácil de interpretar. 8 CHAPTER 6 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish Ke Curriculum Press

DAACLS_678_6.qd // : PM Page 8 LECCIÓN CONDENSADA 6. Operaciones con matrices En esta lección Sumarás restarás unas matrices multiplicarás una matriz por un escalar Usarás operaciones con matrices para transformar una figura geométrica Resolverás unos problemas reales que requieren que multipliques matrices Una matriz es una manera compacta de organizar los datos. El uso de matrices te permite llevar a cabo operaciones con tus datos. En esta lección, verás su utilidad. El teto en la página 7 de tu libro ilustra cómo sumar dos matrices. En general, sumas (o restas) dos matrices sumando (o restando) las entradas correspondientes. Puedes sumar o restar matrices solamente si tienen las mismas dimensiones. Este ejemplo muestra cómo calcular la diferencia de dos matrices. 9 7 7 9 7 7 El Ejemplo A en tu libro ilustra cómo puedes usar las operaciones con matrices para transformar un triángulo. Lee ese ejemplo. En general, trasladas un triángulo h unidades horizontalmente k unidades verticalmente al sumar la matriz 8 h k 7 h k h k 8 7 a la matriz de coordenadas, dilatas el triángulo por un factor de a multiplicando la matriz de coordenadas por el escalar a. Puedes usar los mismos métodos para transformar cualquier polígono. Tal vez te convenga dibujar tu propio polígono en una cuadrícula de coordenadas, representarlo con una matriz, después eperimentar usando unas operaciones con matrices para transformarlo. La multiplicación de matrices es un poco más complicado que la suma de matrices o la multiplicación de una matriz por un escalar. En el Ejemplo B en tu libro se usa un problema de la Lección 6. para mostrar cómo multiplicar una matriz con sólo una fila por otra matriz. Lee este ejemplo con mucha atención. La investigación el Ejemplo C te darán más práctica con la multiplicación de matrices. 6 Investigación: Encuentra tu lugar Lee la introducción el Paso de la investigación en tu libro. Completa el resto de la investigación por tu cuenta. No podrás responder el Paso. Supón que autos empiezan en la Ciudad A, en la Ciudad B, en la Ciudad C. Cuando haas terminado la investigación, lee las respuestas siguientes. Paso El diagrama a continuación presenta las reglas de la simulación. El diagrama indica, por ejemplo, que teóricamente, en cada vuelta el % de los autos de la Ciudad C se desplazarán a la Ciudad B, el % se desplazarán a la (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 8 Ke Curriculum Press

DAACLS_678_6.qd // : PM Page 8 Lección 6. Operaciones con matrices (continuación) Ciudad A, el 7% se quedarán en la Ciudad C. Aquí se muestra la matriz de transición de la situación. Asegúrate de entender lo que representa cada entrada.........7 Paso Supón que autos empiezan en la Ciudad A, en la Ciudad B, en la Ciudad C. Estas condiciones se representan con la matriz [ ]. La multiplicación de las matrices se presenta a continuación. Las entradas de la matriz producto son el número de autos que ha en las Ciudades A, B, C, respectivamente, después de la primera transición.... [.. [. 8. ] ]...7 Piensa en cómo se relacionan los cálculos con la situación. Por ejemplo, en la primera transición, el % de los autos de la Ciudad A se quedan ahí, el % de los autos de la Ciudad B se desplazan a la Ciudad A, el % de los autos de la Ciudad C se desplazan a la Ciudad A. Por tanto, el nuevo número de autos que ha en la Ciudad A es (.) (.) (.). Éste es la suma de los productos de las entradas de la matriz de las condiciones iniciales las entradas de la primera columna de la matriz de transición. Cómo se calculan las otras entradas de la matriz producto? Paso Estas matrices muestran el número de autos que ha en cada ciudad durante cada una de las siguientes cuatro semanas. Semana : [9.6 7..9] Semana : [9.9 6.9.86] Semana : [9. 6.69.] Semana : [8.988 6.78.8] Si continúas multiplicando cada resultado por la matriz de transición, encontrarás que los valores a la larga son [9 6 ].. A.... C.7 B.. En los productos que has calculado hasta ahora, la matriz del lado izquierdo sólo tenía una fila. El Ejemplo C en tu libro muestra cómo hallar el producto cuando la matriz de la izquierda tiene más de una fila. Continúa con este ejemplo, usando papel lápiz. Ten presente que aprender cómo multiplicar matrices requiere de práctica. Cuando trabajes los ejercicios de tarea, te sentirás más a gusto con el proceso. En el Ejemplo C se señala que solamente puedes multiplicar dos matrices si el número de columnas en la matriz de la izquierda es igual al número de filas en la de la derecha o sea, si las dimensiones internas de las matrices son iguales. Las dimensiones eternas te dicen las dimensiones de la matriz producto. Por ejemplo, sí puedes multiplicar una matriz de 6 por una matriz de 6, porque las dimensiones internas son ambas 6. El resultado será una matriz de. No puedes multiplicar una matriz de 6 por una matriz de 6, porque las dimensiones internas,, no son iguales. En el teto del recuadro Matri Operations (Operaciones con matrices) en la página de tu libro, se resume lo que has aprendido en la lección. Lee este teto después practica las operaciones hasta que te sientas a gusto con ellas. 8 CHAPTER 6 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish Ke Curriculum Press

DAACLS_678_6.qd // : PM Page 8 LECCIÓN CONDENSADA 6. Método de reducción de filas En esta lección Escribirás unos sistemas de ecuaciones como las matrices aumentadas Resolverás unos sistemas de ecuaciones usando el método de reducción de filas La Lección 6. introduce un método para resolver sistemas de ecuaciones usando matrices. Lee la lección en tu libro hasta el Ejemplo A. El teto que sigue inmediatamente al Ejemplo A muestra cómo representar las operaciones con filas de manera simbólica. En el ejemplo siguiente, se utiliza dicha notación para resumir cada paso. Trata de resolver el sistema dado en el ejemplo por tu propia cuenta, antes de leer la solución. EJEMPLO Solución Usa el método de reducción de filas para resolver este sistema. Las ecuaciones se dan en forma estándar, así que copia los coeficientes las constantes a una matriz aumentada. Realiza las operaciones en filas para transformar esta matriz en la matriz solución. 9 R Divide la fila entre 7 para obtener para m : 7 R 7 9 9 8 Suma multiplicado por la fila a la fila para obtener para m : R R R Suma multiplicado por la fila a la fila para obtener para m : R R R Suma multiplicado por la fila a la fila para obtener para m : R R R La última columna de la matriz solución indica que la solución es (, ). Investigación: Juego de liga Completa la investigación de tu libro. Los resultados se dan a continuación. Observa que los resultados utilizan los puntos (, ), (, ), (, ) del Paso. Tal vez te convenga usar estos puntos también, para poder verificar tu trabajo con más facilidad. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 8 Ke Curriculum Press

DAACLS_678_6.qd // : PM Page 86 Lección 6. Método de reducción de filas (continuación) Paso Aquí se muestra una gráfica de dispersión de los datos. La gráfica no es lineal. Parece ser cuadrática. Paso Usando los puntos (, ), (, ), (, ), obtienes el siguiente sistema de tres ecuaciones. Paso La matriz aumentada para el sistema del Paso es Paso Suma multiplicado por la fila a las filas. En notación compacta, esto es R R R R R R. La matriz resultante es a b c a b c 6a b c 6 6 Paso Aquí se presenta una posible serie de pasos: R 6 R R 6 R 6 R R R 6 R R R [,,,,, ] R R R R R R Paso 6 R R R R La solución aparece en la última columna: a, b, c. Entonces, la ecuación es. Paso 7 Las respuestas variarán. Lee el resto de la lección en tu libro. Asegúrate de intentar resolver el Ejemplo B, antes de leer la solución. 86 CHAPTER 6 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish Ke Curriculum Press

DAACLS_678_6.qd // : PM Page 87 LECCIÓN CONDENSADA 6. Resolución de sistemas con matrices inversas En esta lección Encontrarás una matriz de identidad Encontrarás el inverso de una matriz Usarás unas matrices inversas para resolver ecuaciones En cursos anteriores de matemáticas, aprendiste que el número es la identidad multiplicativa. Esto significa que cuando multiplicas cualquier número real por, el número no cambia. Del mismo modo, cuando multiplicas una matriz por una matriz de identidad, la matriz no cambia. Lee el Ejemplo A en tu libro, que muestra cómo encontrar la matriz de identidad para. El resultado,, es la identidad para todas las matrices de. Prueba esto con otra matriz de, multiplicándola en cualquier de los dos lados por. En general, una matriz de identidad es una matriz cuadrada con un número colocado en cada columna, a través de la diagonal principal, del etremo izquierdo superior al etremo derecho inferior, con en las demás entradas. La notación compacta [I] se utiliza a menudo para representar una matriz de identidad. Las matrices de identidad eisten para todas las dimensiones (cuadradas). Por ejemplo, la matriz de identidad para las matrices de es En cursos anteriores de matemáticas, también aprendiste que todo número real que no sea cero tiene un inverso multiplicativo, que es el número por el cual multiplicas el número real para obtener la identidad multiplicativa,. Por ejemplo, el inverso multiplicativo de es,porque. De igual modo, algunas (aúnque no todas) matrices cuadradas tienen una matriz inversa. El inverso de una matriz [A] se denota como [A].Cuando multiplicas una matriz en cualquier lado por su matriz inversa, obtienes la matriz de identidad. Esto es, [A][A] [I] [A] [A] [I]. En la investigación, encontrarás el inverso de una matriz de. Investigación: La matriz inversa Sigue los Pasos 7 de la investigación en tu libro. Después compara tus resultados con los siguientes. Paso Una matriz multiplicada por su matriz inversa es igual a la matriz de identidad. Así que a b c d (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 87 Ke Curriculum Press

DAACLS_678_6.qd // : PM Page 88 Lección 6. Resolución de sistemas con matrices inversas (continuación) a c b d Paso Paso a c b d a c b d Sumando multiplicado por a c a a c, se obtiene c. Así que a, lo cual significa que a.. Sumando multiplicado por b + d a b d, se obtiene d. Así que b, lo cual significa que b.. Así que a., b., c, d. La matriz inversa es, por tanto, Paso Con tu calculadora, debes confirmar que [A]. Paso.. (.) () (.) ()....().().().() a c. b d (.) () () () (.) () () (). Ambos productos son iguales, pero la multiplicación de matrices no siempre es conmutativa. Por ejemplo, sea [B], compara [A][B] con [B][A]. Paso 6 Usa tu calculadora para intentar encontrar los inversos de las matrices. Obtendrás un mensaje de error en cada caso, lo que indica que las matrices no tienen inversos. Una matriz de dimensiones no tiene inverso cuando una fila es el múltiplo de la otra. Paso 7 Solamente las matrices cuadradas tienen inversos. Una posible eplicación: Supón que una matriz [B] de dimensiones m n tiene inverso. Entonces, [B][B] [I]. Una matriz de identidad debe ser cuadrada, de modo que [I] debe tener las dimensiones m m. Sin embargo, debido a que también es cierto que [B] [B] [I], [I] debe tener las dimensiones n n. Por tanto, m debe ser igual a n, así que [B] es cuadrada.. Recuerda que puedes resolver una ecuación de la forma a b multiplicando ambos lados por el inverso multiplicativo de a. Por ejemplo, para resolver, multiplicas ambos lados por para obtener.de forma parecida, si rescribes un sistema de ecuaciones en forma de matriz, puedes resolverlo multiplicando ambos lados por el inverso de la matriz coeficiente. Lee el recuadro Solving a Sstem Using the Inverse Matri (Resolución de un sistema usando la matriz inversa) en tu libro, luego lee el Ejemplo B con mucha atención, siguiéndolo con papel lápiz. Para asegurarte de que entiendes el método, intenta el siguiente ejemplo. (continúa) 88 CHAPTER 6 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish Ke Curriculum Press

DAACLS_678_6.qd // : PM Page 89 Lección 6. Resolución de sistemas con matrices inversas (continuación) EJEMPLO Solución Resuelve este sistema usando una matriz inversa. La matriz para este sistema es Usa una calculadora para encontrar que Multiplica ambos lados de la ecuación por la matriz inversa en el lado izquierdo........ Entonces, la solución al sistema es (,.). Ahora lee el resto de la lección, incluendo el Ejemplo C, que implica la resolución de un sistema de tres ecuaciones. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 89 Ke Curriculum Press

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DAACLS_678_6.qd // : PM Page 9 LECCIÓN CONDENSADA 6. Sistemas de desigualdades lineales En esta lección Escribirás unos sistemas de desigualdades lineales para describir unas situaciones reales Graficarás la solución, o región factible, de un sistema de desigualdades Encontrarás los vértices de una región factible A menudo, las situaciones reales que implican un rango de valores pueden representarse mediante desigualdades. La tabla al inicio de la Lección 6. en tu libro proporciona varios ejemplos. Puedes realizar operaciones en ambos lados de una desigualdad, del mismo modo en que lo haces con las ecuaciones. Sin embargo, cuando multiplicas o divides ambos lados de una desigualdad por una cantidad negativa, debes invertir el símbolo de desigualdad. Investigación: Pagando los estudios universitarios Lee el primer párrafo de la investigación en tu libro, después completa los Pasos. Cuando haas terminado, compara tus resultados con los siguientes. Paso,, Paso He aquí algunos pares (, ) posibles: (, ), (, ), (, ), (, 9999), (, ). La suma de puede ser menor que $,, a que los administradores no tienen que invertir todo el dinero. Paso Las soluciones de están debajo de la recta. Paso Los puntos para los cuales una o ambas coordenadas son negativas, como (, ) ó (, 6), no tienen sentido en esta situación. Paso Lee el párrafo que precede el Paso. En el Paso se te pide traducir todas las limitaciones, o restricciones, de dicho párrafo a un sistema de desigualdades. Inténtalo por tu cuenta, después compara tu sistema con el que te presentamos a continuación.,,,, La cantidad invertida en acciones debe ser al menos $. La cantidad invertida en bonos debe ser al menos $. La cantidad invertida en acciones debe ser al menos $. La cantidad invertida en bonos debe ser al menos $. La cantidad invertida en bonos es al menos el doble de la cantidad invertida en acciones. La cantidad total invertida debe ser menos de o igual a $,. (continúa),, Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 9 Ke Curriculum Press

DAACLS_678_6.qd // : PM Page 9 Lección 6. Sistemas de desigualdades lineales (continuación) Paso 6 Las soluciones de este sistema son los valores que satisfacen todas las desigualdades. No puedes hacer una lista de todas las soluciones (eiste un número infinito de ellas), pero puedes mostrar la región en una gráfica. Para hacer esto, grafica la solución de cada una de las desigualdades. La solución del sistema es el área en la que todas las gráficas se traslapan. La solución son todos los puntos que están sobre o a la derecha de están sobre o por encima de sobre o, por encima de sobre o por debajo de. C La gráfica se presenta aquí. La solución se llama región factible. B Para encontrar las esquinas, o los vértices, de la región, necesitas,, encontrar los puntos en los que las rectas que forman cada A esquina se intersecan. Esto implica resolver estos sistemas:,, Las soluciones de estos sistemas son (, ),, 6666, (, ). Puedes describir la región factible para el sistema como el triángulo con los vértices (, ),, 6666, (, ), suinterior. El teto que se encuentra entre la investigación el ejemplo en tu libro resume el trabajo que hiciste en la investigación. Lee ese teto después trabaja el ejemplo. Aquí ha otro ejemplo. EJEMPLO Dibuja la región factible de este sistema de desigualdades, e identifica sus vértices.. Solución Aquí se presentan las gráficas de cada desigualdad:. La región factible es el traslapo de las gráficas, como se muestra a la derecha. Puedes leer los vértices de la gráfica o encontrarlos resolviendo estos sistemas:.. Las soluciones son (,.), (, ), (, ). Lee el resto de la lección en tu libro. 9 CHAPTER 6 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish Ke Curriculum Press

DAACLS_678_6.qd // : PM Page 9 LECCIÓN CONDENSADA 6.6 Programación lineal En esta lección Usarás el método de programación lineal para resolver unos problemas que implican maimizar o minimizar el valor de una epresión. La programación lineal es el proceso de encontrar una región factible después encontrar el punto dentro de la región que da el valor máimo o mínimo para una epresión específica. Lee sobre la programación lineal en los primeros tres párrafos de la lección en tu libro. Investigación: Maimización de ganancias Paso Lee el primer párrafo de la investigación en tu libro. A continuación la información dada está organizada en una tabla. Además de esta información, observa que el número de pilas no vidriadas para pájaros,, debe ser maor que o igual a 6. Por cada pila no Por cada pila vidriada para pájaros vidriada para pájaros Valor de restricción Horas de torno. 8 Horas de horno 8 6 Ganancia $ $ Maimizar Paso Usa tu tabla para escribir desigualdades que reflejen las restricciones dadas, junto con cualquier restricción que te imponga el sentido común. Después compara tus desigualdades con las siguientes.. 8 8 6 6 La restricción de las horas de torno. La restricción de las horas de horno. La restricción sobre el número de pilas no vidriadas. Sentido común. Sentido común. Ahora, haz una gráfica de la región factible del sistema de desigualdades, rotula los vértices. Compara tu gráfica con la que presentamos aquí. Paso Tiene sentido sólo producir números enteros de pilas para pájaros. Haz una lista de las coordenadas de todos los puntos dentro de la región factible, para los cuales ambas coordenadas son enteras. Asegúrate de incluir los puntos sobre las rectas limítrofes. Tu lista debe incluir estos puntos: (6, ), (7, ), (8, ), (9, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (6, ), (6, ), (7, ), (8, ), (9, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (6, ), (7, ), (8, ) Estos puntos representan todas las combinaciones posibles de pilas vidriadas no vidriadas que el taller puede producir. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 9 Ke Curriculum Press

DAACLS_678_6.qd // : PM Page 9 Lección 6.6 Programación lineal (continuación) Paso El taller obtiene $ por cada pila no vidriada $ por cada pila vidriada. La ecuación para la ganancia, P, si la empresa produce pilas no vidriadas pilas vidriadas, es P. Encuentra la ganancia para cada uno de los puntos factibles incluidos en el Paso. Debes obtener los resultados siguientes. Punto Ganancia (6, ) $6 (9, ) $9 (, ) $ (, ) $ (7, ) $ (, ) $ (, ) $7 (7, ) $ Punto Ganancia (7, ) $7 (, ) $ (, ) $ (6, ) $6 (8, ) $ (, ) $ (, ) $8 (8, ) $6 Punto Ganancia (8, ) $8 (, ) $ (, ) $ (6, ) $ (9, ) $ (, ) $6 (6, ) $ Paso El taller obtendrá una ganancia máima de $8 si produce pilas no vidriadas vidriada. El punto (, ) es un vértice de la región factible. Completa los Pasos 6 a 8, después compara tus resultados con los siguientes. Paso 6 Paso 7 Paso 8 ; observa la gráfica que se presenta aquí. ; observa la gráfica que se presenta aquí. 7; observa la gráfica que se presenta aquí. Paso 9 Observa las rectas de ganancia de los Pasos 6 a 8. Observa que todas son paralelas entre sí que, a medida que aumenta la ganancia, las rectas se desplazan hacia arriba hacia la derecha. Si imaginas que la recta de ganancia se sigue desplazando hacia arriba hacia la derecha, manteniendo siempre la misma pendiente, el último punto en la región factible por el que pasará es (, ). Por tanto, (, ) debe ser el punto que maimiza la ganancia. Este mismo método funcionaría también en otras situaciones. Si el vértice no tuviera coordenadas enteras, podrías probar los puntos enteros cercanos al vértice. Para minimizar la ganancia, podrías imaginar que la recta de ganancia se desliza hacia abajo hacia la izquierda. El último punto de la región factible por el que pasaría es (, ), que es el punto que da la mínima ganancia. En el ejemplo en tu libro se proporciona un ejemplo en el que se usa la programación lineal para minimizar los costos. Trabaja ese ejemplo lee el resto de la lección. La lección termina con un recuadro donde se resumen los pasos para resolver un problema de programación lineal. 9 CHAPTER 6 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish Ke Curriculum Press