UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Al final deberás haber aprendido... Interpretar y expresar números enteros. Representar números enteros en la recta numérica. Comparar y ordenar números enteros. Realizar las operaciones con números enteros, de forma combinada, utilizando paréntesis y aplicando correctamente la prioridad de las mismas. Resolver problemas utilizando números enteros y analizando los datos del enunciado. El examen tratará sobre... Reconocer y utilizar los números enteros para resolver problemas de la vida cotidiana. Representar los números enteros en la recta numérica. Comparar y ordenar números enteros. Realizar operaciones de números enteros en contexto o sin él. Realizar operaciones combinadas de números enteros aplicando la jerarquía de las operaciones. Aplicar correctamente las reglas de supresión de paréntesis. - Unidad 1. Página 1/12 -
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Imaginémonos que estamos acompañando al ascensorista de un hotel en su trabajo. Comienza su jornada en la planta baja, donde se sube un cliente que le pide que le lleve al piso 9º. Desde esa planta bajamos a la 5ª, ya que allí han solicitado el ascensor. Más tarde vamos a la 7ª planta. Allí nos piden que bajemos 4 plantas. Luego subimos 2; bajamos 5; subimos 1; volvemos a subir 2. Entonces se sube un nuevo cliente que nos pide que bajemos 4 plantas. Podremos hacerlo? Haz operaciones y piensa un poco antes de responder. Este pequeño ejercicio nos servirá para empezar a aprender un tipo de números nuevos: Los Números Enteros. Números enteros.- Se utilizan para situaciones en las que no existe una situación inicial mínima. Por ejemplo: Lo más bajo que se puede estar es en el suelo? No, ya que se puede estar bajo tierra en un pozo o en el sótano de un hotel, como el de nuestro ejemplo. Existen tres tipos de números enteros: Positivos: Se corresponden con los que conocíamos hasta ahora. Se escriben con un signo + delante o sin nada, si están solos. Se utilizan para las situaciones normales, como por ejemplo cuando estamos en el piso 5, cuando estamos a 18 ºC, cuando estamos subidos a tres metros en una torre, etc. Negativos: Se escriben con un signo delante. Se utilizan para situaciones un poco diferentes, pero igual de reales, como por ejemplo si estamos en el sótano 3, si hay una temperatura de -4ºC, si nos encontramos a 2 metros bajo tierra en un pozo, etc. Cero: No tiene signo. Se utiliza para aquellas situaciones fronteras entre las dos anteriores. Por ejemplo, cuando estamos en la planta baja, es decir, no hemos subido ni bajado ninguna planta; o cuando estamos situados en el suelo, ni subidos en nada ni metidos en ningún pozo o similar, etc. 1.- Escribe un número para cada una de las siguientes afirmaciones: a) El ascensor sube cinco plantas. b) He bajado cinco plantas hasta el aparcamiento. c) He perdido 200 céntimos. d) La temperatura ha bajado de 20º C a 17º C. - Unidad 1. Página 3/12 -
e) Tenía 120 y ahora tengo 170. f) He pagado una factura de 6500. g) He ganado 15 y me he gastado 18. Representación de números enteros.- Los números enteros se pueden representar en una recta sobre la que se señalan puntos separados a distancias iguales. Uno de ellos representará al número 0; a partir de él comenzarán a colocarse los positivos hacia la derecha y los negativos hacia la izquierda.... -6-5 -4-3 -2-1 0 +1 +2 +3 +4 +5... 2.- Dibuja la recta de los números enteros y representa sobre ella los siguientes: - 2, + 2, - 5, 0, + 4, + 3, - 7, + 8, - 1 3.- Ordena de menor a mayor: + 8, - 3, 0, - 1, 3, - 4, 6, - 10 4.- Lee con atención y responde a las siguientes preguntas: a) Cuántos números naturales hay entre -16 y +16? b) Cuántos números enteros hay entre +16 y -16? 5.- Cuál es el número inmediatamente inferior al -32? Y al 52? 6.- Cuál es el número inmediatamente superior al -84? Y al 98? Valor absoluto.- Valor absoluto de un número entero es la distancia que separa a ese número del 0. En la práctica, se dice que el valor absoluto de un número entero es ese número sin el signo. Se representa entre dos barras verticales. Por ejemplo: 3 =3 ; 5 =5. Se lee así: valor absoluto de menos tres es igual a tres; valor absoluto de más cinco es igual a cinco. 7.- Calcula: 3, 36, 0, 17 - Unidad 1. Página 4/12 -
Opuesto de un entero.- El opuesto de un número entero es el número entero que está a la misma distancia del 0 que él pero en el otro lado; por lo tanto, en la práctica, el opuesto de un número entero es el número entero con igual valor absoluto y distinto signo. Se escribe con un signo menos delante del número escrito entre paréntesis. Por ejemplo: - (-5) = +5 ; - (+3) = -3. Se lee así: Opuesto de menos cinco es más cinco; opuesto de más tres es menos tres. 8.- Escribe los opuestos de: -3, 45, 0, -5, +23, -18, 32, -105 Suma o resta de números enteros.- Desde corta edad nos han enseñado que la operación de sumar equivale a juntar. Pues bien, supongamos que tenemos varias situaciones en los que debemos juntar dos cantidades, ya sean positivas o negativas y observemos el resultado. Después trataremos de descubrir la regla común para saber como se suman dos números enteros. a) La primera situación que veremos es una en la que las dos cantidades sean positivas: Tengo 34 y mi tio me regala 15. Cuántos tengo ahora? Como vimos anteriormente, ambas cantidades son positivas (+34) y (+15). Pensando en el resultado, ahora tendré 49, fruto de los 34 que tenía más los 15 que me regala mi tio. Este valor de 49 es también positivo (+49). Resumiendo podremos escribir (+34) + (+15) = (+49). Por tanto, la suma de dos números positivos es otro número positivo y cuyo valor es la suma de los otros dos. b) Veamos ahora una situación en la que existan una cantidad positiva y otra negativa: Antonio me entrega una factura de 4 de los apuntes fotocopiados que le encargué y en mi bolsillo tengo 6. Qué ocurre si pago lo que debo? La cantidad de los 6 que tengo es positiva (+6), mientras que lo que debo es negativo (-4). Si doy a Antonio lo que le debo me quedo con 2, que es una cantidad positiva (+2). Resumiendo, escribiremos así: (-4) + (+6) = (+2) Por tanto, en un principio, la suma de un número positivo y otro negativo da como resultado otro número positivo. Pero veremos que no siempre es así. Sigue leyendo, por favor. c) Ahora veremos otro caso parecido al anterior, pero en el que el valor absoluto del número negativo es mayor que el valor absoluto del positivo. Mi madre se ha confundido y tan solo lleva 10 para pagar unas cosas que había comprado en la tienda de la esquina por valor de 14. Si le da los 10, cómo queda la - Unidad 1. Página 5/12 -
cuenta? Está claro que si le da los 10 aún sigue debiendo (y por tanto será un número negativo) 4. Veámoslo escrito en forma matemática: (+10) + (-14) = (-4) Ahora resulta que al sumar un número positivo y otro negativo, el resultado es negativo, cuando en el caso anterior era positivo! En qué quedamos? La clave está en saber cuál de los dos números enteros que estamos sumando tiene mayor valor absoluto: En el caso b el mayor valor absoluto era el del número positivo y el resultado era positivo; en el caso c el mayor es el del negativo y el resultado también es negativo. Pues ya tenemos claro que el signo del resultado es como el del número que tiene mayor valor absoluto. Y de la cantidad, qué?.pues podemos observar que tanto en el caso b como en el c el resultado es la resta entre los dos valores absolutos. La regla general podría ser la siguiente: Para sumar un número positivo y otro negativo se restan sus valores abolutos y se le pone el signo del que tenga mayor dicho valor absoluto. d) Y por último veamos el caso en el que los dos números son negativos. A mi hermana le debo 5 y a Pablo 2. Cómo de mal está mi situación económica? Pues está muy mal, ya que en total debo 7. Si lo vemos escrito en forma matemática sería así: (-5) + (-2) = (-7) De aquí podríamos sacar la norma general que diría algo así como que al sumar dos números negativos obtenemos otro número cuyo valor absoluto es la suma de los dos valores absolutos y el signo es negativo también. Resumiendo, para sumar dos números enteros hay que tener en cuenta dos casos: a) Si tienen el mismo signo: Se suman sus valores absolutos y se le deja el mismo signo. b) Si tienen distintos signos: Se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del que tenga mayor valor absoluto. Ejemplos; ( +10) + (+12) = (+22) (+65) + (- 43) = (+22) (-3) + ( -67) = ( -70) (-45) + (+14) = (-31) 9.- Realiza estas operaciones: a) (-56) + (+88) = b) (-54) + (-38) = c) (-87) + (+39) = d) (-976) + (-45) = e) (+345) + (-54) = f) (+553) + (+53) = Pero... y si se trata de una resta? Recuerdas que el opuesto de un número entero es el mismo número pero con el signo cambiado? Y recuerdas que opuesto se podía escribir con un signo negativo delante del número? Pues entonces si tenemos, por ejemplo, (+2) - (-3), o sea, una resta, la podemos escribir de otra forma. Intenta seguir el razonamiento: En esta resta está, por - Unidad 1. Página 6/12 -
una parte el número (+2). Dejémoslo tranquilo y fijémonos en el resto, -(-3). no te recuerda al opuesto de menos tres? Y no es cierto que -(-3) = (+3)? Pues entonces podríamos juntar (=sumar) (+2) y (+3) y obtendríamos (+2) + (+3). Y como ya sabemos sumar dos números enteros, ya tenemos el asunto resuelto. Por tanto, la regla podría quedar así: Para restar un número entero a otro le sumaremos su opuesto. Ejemplos: (+84) - (+36) =(+84) + (-36) = (+48) (-45) - (-38) = (-45) + (+38) = (-7) 10.- Haz estas restas: a) (-56) - (+88) = b) (-54) - (-38) = c) (-87) - (+39) = d) (-976) - (-45) = e) (+345) - (-54) = f) (+553) - (+53) = Pero hay otra forma más fácil de hacer sumas y restas. Se dice que es quitando paréntesis. Veámosla a continuación. Hemos visto que cuando se van a realizar operaciones con números enteros, estos se escriben entre paréntesis para distinguirlos del signo de la operación. Si no se utilizaran podríamos confundirnos entre el signo del número (positivo o negativo) y el signo de la operación (suma o resta). Pero es un poco lioso a la vista, por eso es mejor escribirlo más resumidamente. Cuando estamos sumando o restando números enteros, lo mejor es quitar previamente los paréntesis siguiendo las siguientes reglas: a) Si delante del paréntesis hay un signo +, se quita el paréntesis y se dejan los signos del interior igual que estaban. b) Si delante del paréntesis hay un signo -, se quita el paréntesis y se cambian los signos del interior. Una vez quitados los paréntesis, se suman los que tienen el mismo signo entre sí,. Por un lado los positivos y aparte se suman los negativos, de manera que obtendremos el resultado de los positivos y el de los negativos por separado. Después se restan esos valores y se pone el signo del que haya dado mayor valor, el de la suma de los positivos o el de la de los negativos. Ejemplos: (+10) + (-12 ) = 10 12 = - 2 (+10) (-12) = 10 + 12 = 22 -(+10) + (-12) = -10 12 = -22 -(+10) - (-12) = -10 + 12 = 2 15 (2 + 3 6) + (2 8) = 15 2 3 + 6 + 2 8 = 23 13 = 10 (Fíjate que después de haber quitado los paréntesis, cambiando los signos de los que están en el primero y dejando igual los del segundo, se ha sumado por un lado 15, 6 y 2, que son los que tienen signo positivo, dándonos 23; y por otro lado se ha sumado 2, 3 y 8, que tienen signo negativo delante, dando 13. Después se restan esos dos valores, 23 y 13, y le ponemos el signo del mayor, que en este caso es el signo del 23, positivo) - Unidad 1. Página 7/12 -
11.- Primero quita paréntesis y después calcula: a) 11 (3 2 + 4 6) b) (6 5 + 7) (3 2 8) c) (2 5) (3 7) (6 + 1) d) 5 (3 10) + (4 8 + 2) (7 5 + 1) e) ( 2 + 10 3) + (7 9) (1 2 + 9) f) 8 ( 2 + 10 3) + (7 9) (1 2 + 9) 12.- Calcula como quieras: a) 3 6 + 8 + 1 10 4 + 2 b) 15 [13 (6 8)] c) 2 [6 (12 3 1)] 8 d) (6 10) [(5 3) (4 6)] e) 16 {1 [5 (3 1)] + (2 + 8)} 20 13.- Calcula: a) 5 3 7 1 8 b) 2 3 + 4 + 1 8 + 2 c) 1 3 + 5 7 + 9 11 d) 2 + 4 6 8 + 10 12 + 14 14.-Primero quita paréntesis y después calcula: a) 1 (7 2 10) (3 8) b) (8 4 3) (5 8 1) c) (3 5) (1 4) + (5 8) d) 3 (5 8) (11 4) + (13 9) 15.-Quita paréntesis y calcula: a) 3 [(5 8) (3 6)] b) 1 {3 [4 (1 3)]} c) (2 + 7) {5 [6 ( 10 4)]} 16.- Calcula operando primero dentro de los paréntesis: a) (2 6 3) + (5 3 1) (2 4 6) b) (8 11 5) (12 13) + (11 + 4) c) 15 + (6 18 + 11) (7 + 15 19) + (1 3 6) Multiplicación y división de números enteros.- Se multiplican o dividen los valores absolutos y para poner el signo se sigue la siguiente regla,conocida como Regla de los signos: - Unidad 1. Página 8/12 -
Ejemplos: (-3) 5 = -15 ; (-8) (-4) = 32 32 : (-2) = -16 ; (-24) : (-4) = 6 17.- Opera: a) (-7) (+11) b) (-6) (-8) c) (+5) (+7) (-1) d) (-2) (-3) (-4) 18.- Calcula: a) (-45) : (+3) b) (+85) : (+17) c) (+36) : (-12) d) (-85) : (-5) 19.- Realiza las siguientes operaciones: a) (-1) (+2) (-3) b) (-3) (-4) (-2) c) (-30) : (-2) (+5) d) (-30) : [(-2) (+5)] e) (+75) : (-25) : (+3) f) (-30) : [(-24) : (+4)] 20.- Opera: a) (+400) : (-40) : (-5) b) (+400) : [(-40) : (-5)] c) (+7) (-20) : (+10) d) (+7) [(-20) : (+10)] e) (+300) : (+30) (-2) f) (+300) : [(+30) (-2)] 21.- Calcula el valor de estas expresiones: a) (+60) : (+10) : (-2) b) (+60) : [(+10) : (-2)] c) [(+8) (-9)] : [(+6) (-12)] Operaciones combinadas.- Cuando tenemos una operación en la que hay sumas, restas, multiplicaciones, etc. mezcladas hay que seguir un orden, que no es hacer antes lo que está escrito primero. Se hacen antes las multiplicaciones y divisiones, después las sumas y las restas. Ejemplo: (-5) 4 + 30 : (-5) = -20 + (-6) = -26 Así sí está bien. (Fíjate que en primer lugar se ha multiplicado el -5 por el 4; después se ha dividido el 30 entre el -5, y por último se han sumado los resultados) (-5) 4 + 30 : (-5) = -20 + 30 : (-5) = 10 : (-5) = -2 Así está mal. (Fíjate que en primer lugar se ha multiplicado el -5 por el 4; después se ha sumado 30, y por último se ha dividido el resultado por -5. Esto está mal porque se ha hecho una suma antes que una división) Operaciones con paréntesis.- Si además de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, tenemos paréntesis y/o corchetes, el orden que se sigue es el siguiente: Se resuelven antes las operaciones que están dentro de los paréntesis; después se resuelven los corchetes; después las multiplicaciones y divisiones, y por último las sumas y las restas. - Unidad 1. Página 9/12 -
Para recordar la prioridad de las operaciones te puede servir el siguiente podium: 22.- Calcula: a) 5 (3 7) + 4 (8 : 2) 5 (2 10) b) 3 2 [5 4 (7 3 2)] c) 22 [5 3 4 (8 3)] 6 4 23.- Realiza estas operaciones: a) 6 4 5 6 2 3 b) 15 6 : 3 + 2 5 4 3 c) 5 (-4) + (-2) 4 6 (-5) 3 (-6) d) 18 3 5 + 5 (-4) 3 (-2) 24.- Ahora haz estas otras: a) (-5) (8 13) b) (2 + 3 6) (-2) c) (+4) (1 9 + 2) : (-3) d) (-12 10) : ( - 2 6 3) 25.- Y ahora más difícil: a) 13 [8 (6 3) 4 3] : 7 b) 5 (8 3) 4 (2 7) 5 (1 6) c) 12 (12 14) 8 (16 11) 4 (5 17) 26.- Sigue con estas otras operaciones: a) 18 40 : (5 + 4 1) 36 : 12 b) 4 + 36 : 9 50 : [12 + (17 4)] c) 48 : [5 3 2 (6 10) 17 ] d) 3 4 15 : [12 + 4 (2 7 ) + 5] Potencia de números enteros.- Recuerda que en cursos anteriores has estudiado que una potencia es una multiplicación de un número (la base) una determinada cantidad de veces (el exponente). Pues ahora es igual con la única diferencia de que, como hemos descubierto un tipo de números nuevos (los enteros), el número que se repite multiplicando va a ser un número de este tipo. - Unidad 1. Página 10/12 -
Para calcular el resultado lo haremos como se hacen las potencias normalmente, multiplicando repetidamente el mismo número, pero ahora hay que tener cuidado con los signos aplicando su regla. Ejemplos: (-5) 4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625 ; (-2) 3 = (-2) (-2) (-2) = -8 Si la base es negativa y el exponente impar el resultado es negativo; en los demás casos el resultado es positivo. Si se nos presenta el caso de resolver una operación con varias potencias se puede hacer de dos formas: a) Se resuelve cada una de las potencias y después se hacen las operaciones indicadas; b) en algunos casos determinados se puede resumir las operaciones siguiendo lo que se explica en los siguientes apartados. Suma o resta de potencias.- Para resolver este tipo de expresiones se calcula el valor de cada una de las potencias y después se suman o restan sus resultados, según indique la expresión. Producto (o división) de potencias con la misma base.- Este tipo de expresiones se puede escribir más resumidamente, escribiendo otra potencia con la misma base y por exponente tiene la suma (o resta) de sus exponentes. Ejemplos: (-3) 2 (-3) 3 (-3) 5 = (-3) 10 ; 4 8 : 4 2 = 4 6 Pero para calcular el resultado tenemos que multiplicar la base tantas veces como indique el exponente. Potencia de una potencia.- Se puede resumir escribiendo otra potencia con la misma base y por exponente tiene el producto de los exponentes. Ejemplos: [(-3) 2 ] 5 = (-3) 10 ; (4 3 ) 5 = 4 15 27.- Calcula: a) ( 2) 7 b) ( 3) 5 c) ( 5) 3 d) ( 10) 3 e) ( 1) 16 f) ( 1) 17 28.- Calcula: a) ( 5) 2 ( 2) 4 + ( 1) 6 b) (+ 4) 3 : ( 2) 4 + (+ 9) 2 : ( 3) 3 c) (+ 4) 2 : [( 2) 3 + ( 3) 2 ] : ( - 2) 3 29.- Expresa como una única potencia: a) ( 2) 4 ( 2) 3 b) (+ 2) 3 ( 2) 3 c) ( 3) 5 : ( 3) 3 d) ( 5) 6 : ( 5) 3 - Unidad 1. Página 11/12 -
Raíz cuadrada.- Es buscar un número que elevado al cuadrado dé como resultado el radicando. Ejemplos: Calcular 81 es buscar un número que multiplicado por él mismo dé 81. El resultado es 9, porque 9 x 9 = 81. Pero también es 9, porque (-9) x (-9) = 81. Sin embargo 81 no tiene ninguna solución, ya que no hay ningún número entero que multiplicado por sí mismo dé un número negativo. Por tanto las raíces cuadradas pueden tener dos soluciones (un número y su inverso), no tener ninguna (cuando el radicando es negativo) o tener una sola (sólo existe un caso: la raiz cuadrada de 0, cuyo resultado es también 0). Al igual que ocurre con las operaciones entre potencias, hay casos en las operaciones entre raices que también se pueden escribir más resumidamente. Veamos cuáles son esos casos. Producto de raíces cuadradas.- Es otra raíz cuyo radicando es el producto de los radicandos. Ejemplo: 4 9 16= 4 9 16= 576 Potencia de una raíz cuadrada.- Es igual a otra raíz cuyo radicando está elevado al exponente de la potencia. Ejemplo: 25 3 = 25 3 - Unidad 1. Página 12/12 -