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Historia Página 2 George Boole [85, 864], fue un matemático y filósofo ingles. Inventor del álgebra de Boole, la base de la aritmética computacional moderna. Boole contribuyó con 22 artículos. A esta lista se debería añadir un trabajo en la lógica básica matemática, publicado en la Mechanic's Magazine de 848. Sólo dos tratados sistemáticos en materias matemáticas fueron completados por Boole durante su vida. El bien conocido Tratado sobre Ecuaciones Diferenciales aparecido en 859, y al año siguiente, El Tratado sobre los Cálculos de Diferenciales Finitas, diseñado como continuación del anterior. George Boole 85-864
Página 3 Lógica matemática La lógica matemática es un campo de las matemáticas que estudia los sistemas formales (compuesto de símbolos que se unen entre sí formando cadenas que a su vez pueden ser manipuladas según reglas para producir otras cadenas, el sistema formal es capaz de representar cierto aspecto de la realidad) en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y cálculos. La lógica matemática suele dividirse en cuatro: Teoría de modelos Teoría de la demostración Teoría de conjuntos Teoría de la recursión. La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica, en oposición a la lógica filosófica, y metamatemáticas. La lógica matemática no es la "lógica de las matemáticas" sino la "matemática de la lógica". Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.
Teoría de Conjuntos La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán George Cantor en el siglo XIX. El concepto de conjunto es intuitivo y podríamos definirlo como una agrupación de cosas hecha con cualquier criterio, así podemos hablar de un conjunto personas, de ciudades, de lapiceros, o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto esta bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto, así el conjunto de los bolígrafos azules, esta bien definido, porque a la vista de un bolígrafo podemos saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no esta bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. Página 4
Página 5 Diagramas de Venn Venn introdujo el sistema de representación que hoy conocemos con su nombre en su trabajo titulado "De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos. La publicación provocó un cierto revuelo en el mundo de la lógica formal. Aunque la primera forma de representación geométrica de silogismos lógicos se atribuye comúnmente a Leibniz, y fue luego ampliada por George Boole y Augustus De Morgan, el método de Venn superaba en claridad y sencillez a los sistemas de representación anteriores, hasta el punto de convertirse con el tiempo en un nuevo estándar. Más adelante desarrolló algo más su nuevo método en su libro "Lógica simbólica", publicado en 88 con el ánimo de interpretar y corregir los trabajos de Boole en el campo de la lógica formal. Los diagramas de Venn se utilizan para hacer representaciones de relaciones lógicas. Los diagramas de Venn se emplean hoy día para enseñar matemáticas elementales y para reducir la lógica y la Teoría de conjuntos al cálculo simbólico puro. Se suelen usar también en el aula diagramas de Venn de dos o tres conjuntos como herramienta de síntesis, para ayudar a los estudiantes a comparar y contrastar dos o tres de elementos.
Diagramas de Venn Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de las matemática conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación matemática o lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo. La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas características comunes. Página 6
Diagramas de Venn Dependiendo de la cantidad de conjuntos los diagramas de Venn pueden tomar diferentes formas entre ellas se muestran las siguientes: Página 7
Página 8 Constantes boleanas: Algebra de Boole Se definen dos: (estado FALSO) y (VERDADERO). Variables boleanas: Se refieren a los diferentes conjuntos que tenga el problema Son magnitudes que pueden tomar diferentes valores en diferentes momentos. Pueden representar señales de entrada o de salida Reciben nombres de caracteres alfabéticos como: A, B, X, Y. Sólo pueden tomar los valores o. Se les llama variables lógicas o boleanas
Página 9 Funciones lógicas También se les llama funciones boleanas Relaciona la entrada con la salida de un circuito lógico. Describen el comportamiento del sistema. Relaciona las variables mediante operadores lógicos. Utilizando las variables boleanas se pueden contruir funciones boleanas F(x,y,z) la cual puede asumir dos estados: verdadero falso
Operadores lógicos Los operadores lógicos que se pueden utilizar para realizar funciones lógicas son los operadores de la teoría de conjuntos. Estos son: Unión ( ), se refiere a la unión de todos los elementos de los diferentes conjuntos. Intersección ( ), se refiere a los elementos en común de las diferentes variables, o conjuntos Complemento ( ), se refiere a los elementos que le faltan al conjunto en cuestión para ser igual al conjunto universo. Página
Tablas de verdad Las tablas de verdad son un recurso tabular que nos muestra los posibles estados de las entradas al sistema así como los diferentes estados de las salidas, tal como se muestra a continuación. ENTRA DAS SALI DAS MINTERMINO 2 3 4 CI A B S CO Página 5 6 7
Ejemplo Cinco barcos (dos franceses, dos holandeses y un alemán) participan en la limpieza del combustible derramado por el Prestige. De los franceses uno recoge Toneladas/hora y el otro sólo 5 T/h. Cada uno de los holandeses recoge 7 T/h y el barco alemán 3 T/h. España, aporta un carguero (que puede transportar hasta 25 T/h) para llevar el combustible recogido por estos barcos a puerto y que puedan seguir trabajando sin interrupción. Los pescadores de la región se han dado cuenta que si varios de los barcos van a la vez a descargar el combustible recogido, se puede superar el limite de absorción del carguero lo que generaría esperas y retrasos en las labores de limpieza. Como no quieren de ninguna manera que estos trabajos se detengan están dispuestos mientras el gobierno no aporte mas medios a recoger ellos mismos el combustible sobrante, aunque sea en sus propias barcos. Apelando a la solidaridad de todos, solicitan que se les procure el diseño de una función lógica que avise cuando se vaya a producir esa situación de atasco y así puedan actuar rápidamente. Página 2
Página 3 Solución Paso. Asignar las variables lógicas. Denotando, por orden, los barcos como A, B, C, D y E. Entonces con la variable A representaremos uno de los barcos franceses, B el segundo barco francés, C un barco holandés, D el otro barco holandés y E el barco alemán. variables de entrada del problema son 5. Con cinco variables de entrada se pueden representar 32 diferentes condiciones. Además aquí asignamos cual de las variables es la más significativa, para este ejemplo la variable más significativa es A (la de mayor peso) y la de menor peso es E. Paso 2 Análisis. vemos que si se aproximan A y B descargarían +5 = 5T/h y no hay problema Mientras que si lo hacen A, C y E ( + 7 + 3 = 3T/h) si lo hay pues se superan las 25T/h de capacidad del carguero. Paso 3 Asignación de estados lógicos a las variables de entrada. Usando las letras de designación como variables lógicas (A= si el primer barco se acerca a descargar y A = si no lo hace, lo mismo los demás barcos) podemos modelar esta actividad con una función lógica que valga cuando se supere la capacidad del carguero y si no se supera. Paso 4 En una tabla se muestran todas las posibles opciones que se pueden presentar en el problema. (yo lo hice en Excel)
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Solución En la siguiente tabla se muestran todas las posibles combinaciones entre barcos que se pueden presentar las cuales atascarán el cargador, por eso si alguna de éstas se presenta se debe de encender una alarma. Página 5
Modelo El modelo corresponderá a la unión de todas las posibles combinaciones de entrada esto es: F( A, B, C, D, E) = (7,5,9,2,23,25,27,29,3,3) El modelo se presenta como la unión de una cantidad de minterminos. Página 6
El modelo nos queda como: Modelo F( A, B, C, D, E) = ABCDE + ABCDE + ABCDE + ABCDE + ABCDE + ABCDE + ABCDE + ABCDE + ABCDE ABCDE Esta es una función lógica que tomará el valor de una vez que se presentan las condiciones de entrada que sobrepasarán la capacidad del carguero. La operación de intersección ( ) se presenta con las condiciones de entrada. Por ejemplo será necesario que no se presente ningún barco francés pero si los dos holandeses y el alemán para que el carguero entre en conflicto. De igual forma se presenta la unión ( ) cuando para representar la función de salida se deben unir todas las posibles condiciones de entrada, en el modelo se representa con un +. El operador complemento se presenta cuando en las condiciones de entrada no se toma en cuenta el barco. + Página 7
Representación de funciones lógicas Página 8 Los operadores lógicos se pueden implementar utilizando circuitos electrónicos. Los circuitos electrónicos que funcionan como operadores lógicos se llaman compuertas (gates). Para la intersección ( ) se utilizan la compuertas AND. Para la unión ( ) se utilizan las compuertas OR Para el complemento ( ) se utilizan las compuertas NOT o inversores Existen muchas tecnologías de fabricación de estos circuitos electrónicos entre ellos: Estándar TTL LS en tecnología TTL ALS ALVT AHC LV LVC ALVC LVT Etc.
AND Compuertas para lógica Booleana La compuerta AND opera como: si cualquiera de las entradas está apagada la salida se apaga. AND es como la intersección Tabla de comportamiento AND Página 9
OR Compuertas para lógica Booleana La compuerta OR opera como: si cualquier entrada está encendida la salida se encenderá. OR es como la unión Tabla de comportameinto OR Página 2
Compuertas para lógica Booleana NOT (inversor) Una compuerta NOT opera: si la entrada está encendida, la salida se apaga, y viceversa. NOT es lo opuesto a la entrada, es el complemento Tabla de comportamiento NOT Página 2
NOR Compuertas para lógica Booleana Página 22 La compuerta NOR es una combinación de las compuertas OR y NOT y no debe presentarse como una compuerta primaria. La compuerta NOR opera como: si cualquiera de las entradas esta encendida, la salida se apaga. Tabla de verdad NOR Primero realiza la operación OR, luego realiza la operación NOT.
Compuertas básicas Página 23
Otras compuertas Página 24
Más sobre compuertas Página 25
Estándar par dibujar compuertas Página 26
Ejemplos Página 27
Ejemplo Página 28
Circuitos electrónicos Página 29
Representación de variables También es necesario representar las variables de entrada mediante electrónica. El estado de los interruptores definen los estados lógicos de las variables A y B. DC Página 3
Representación de las funciones de salida Página 3 Para representar los estados lógicos de las funciones de salida se utilizan LEDS o pantallas luminosas ya sean de siete segmentos o alfanuméricas. En el caso de LED debemos saber si la función será activa en nivel alto o nivel bajo.
Representación de funciones lógicas Vcc Vcc Vcc B B Vcc D D Vcc A A C C E E Vcc Página 32
Conclusiones El circuito es muy complejo, porque tiene una gran diversidad de circuitos integrados: Cantidad 5 2 Tipo inversores Compuertas AND de 5 entradas Compuertas OR de 5 entradas Compuerta OR de 2 entradas Circuito integrado 744 AND5 3 7432 Cantidad Página 33
Más conclusiones La diversidad de CI nos eleva el costo del circuito. Tenemos un problema de área en el circuito impreso, son muchos los componentes. Tenemos un problema de potencia, son muchos los circuitos integrados y estos consumen potencia. Es necesario aprender a simplificar. Página 34
Simplificación de circuitos Página 35 Como los circuitos lógicos son representaciones de funciones lógicas se pueden utilizar los recursos disponibles para simplificar las funciones lógicas, estas son: Diagramas de Venn Algebra de Boole Mapas de Karnaugh Quine McCluskey