Relaciones y funciones En matemáticas, una relación es un conjunto de pares ordenados. Como si se tratara de coordenadas de puntos, un conjunto de pares ordenados, forma una relación. Relación Es un conjunto no vacío de pares ordenados de valores. Definición 1 Por ejemplo, el siguiente conjunto es una relación: {(1, ), (, 3), (1, 5), (7, 1), (, 1)} En cierta manera podemos imaginar a una relación como una forma de indicar cómo se relacionan dos variables. Por ejemplo, en una lista de asistencia, la relación consistiría en asignar un número de la lista a cada persona que se encuentra en esa lista. No. Nombre 1 Avendaño Apolinar Aarón Arcadio Domínguez Joas L. 3 Bravo Cruz Julio César. 4 Chamlati Guillén Geordi. 5 Chargoy Rosas Claudia I. 6 González Flores Gabriel. 7 Flores Sobrevilla David. 8 Motilla Zapata Guillermo. 9 Sobrevilla Santos Isaac. 10 Sobrevilla Teniente Gabriela B. El concepto central de todo este semestre es el concepto de función. Función Es una relación entre dos conjuntos, llamados dominio y contradominio, de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponda a lo más, un elemento del contradominio. Definición Puedes imaginar a una función como una máquina que transforma números. Nosotros le damos un número y esta máquina nos devuelve otro (único) número. No es posible que al darle un valor la función nos devuelva dos o más valores, pero sí es posible que nosotros le demos un valor y la función no nos pueda devolver valor alguno. En este último caso decimos que el valor que le dimos a la función no pertenece al dominio de la función, precisamente porque no lo puede transformar. Notación funcional Cuando se refiere a una función f, X se refiere al dominio de la función, Y se refiere al contradominio, x X es un elemento del dominio, y f (x) es el valor del contradominio que le corresponde al valor x del dominio de la función. Definición 3 Utilizando la analogía de la máquina que transforma números, f es el nombre que le damos a esa máquina, es decir, es la función, x es el número que nosotros le damos a la máquina, el conjunto de todos los valores que esta máquina puede transformar se denota por X (x X), f (x) es el www.aprendematematicas.org.mx 1/8
valor que la máquina nos devuelve cuando le damos x y Y es el conjunto de todos los valores que la máquina nos devuelve ( f (x) Y). El siguiente diagrama puede ayudarte a entender mejor el concepto de función: Función X Dominio x f Y Contradominio f (x) Valores que le damos a la función Valores que nos devuelve la función Ejemplo 1 Las siguientes expresiones son funciones. f (x) = x, f (x) = x + 1, f (x) = x x + 1, f (x) = x x + 1, x 7 f (x) = x + 1, f (x) = 1 x + 1, ) f (x) = log (x + 1, f (x) = e x, f (x) = x e x + ln(x). Para identificar una función debemos verificar que se cumple la condición que dice: «para cada valor del dominio le corresponde a lo más un valor del contradominio.» Si no se cumple esta condición, entonces se trata de una relación que no es una función. Veremos una forma sencilla de verificarlo en el siguiente ejemplo. Ejemplo Las siguientes son relaciones que no son funciones. x + y = 4, porque cuando graficamos esta relación, obtenemos una circunferencia. Si x es elemento del dominio, y y es elemento del contradominio, no se cumple que para todo elemento del dominio haya a lo más un elemento del contradominio. www.aprendematematicas.org.mx /8
y x + y = 4 y 0 1 1 1 1 y 0 x 0 x En este caso, para un valor que le damos x 0 la relación nos devuelve dos: y 0 y y 0. y = x, porque cuando graficamos obtenemos una parábola horizontal: y x = y 1 1 1 3 4 5 x Ahora, para x = 3, obtenemos dos valores, 3 y 3. Para diferenciar una función de una relación que no es función frecuentemente utilizamos el criterio de la línea vertical. Criterio de la línea vertical Si al dibujar una recta vertical sobre la gráfica de una función ésta puede ser cortada en dos puntos, entonces la relación no es una función. Definición 4 En el ejemplo anterior, al dibujar una recta vertical es posible cortar la función con la recta en dos de sus puntos. Esto nos indica que la gráfica corresponde a una relación que no es una función. Porque si fuera una función, para cada valor de x debería existir a lo más un solo valor de y, pero en cada caso hay dos valores, por lo que ya no se puede tratar deuna función. Nota: No todas las relaciones son funciones, pero por definición, todas las funciones son relaciones. Entonces, cuando desees verificar sin una relación es o no una función, la graficaremos y le aplicaremos el criterio de la recta vertical. Las funciones se aplican muy frecuentemente. Por ejemplo, cuando vas a enviar un paquete a través del correo postal, el importe del envío depende del peso del paquete. En términos matemáticos decimos que el importe está en función www.aprendematematicas.org.mx 3/8
del peso del paquete. Si I es el importe que debemos pagar por un paquete de peso p, entonces, I = f (p). En el correo postal un paquete enviado a nivel nacional con un peso de p gramos cuesta I pesos, de acuerdo a la siguiente tabla: Ejemplo 3 Peso (gr) Importe ($) Peso (gr) Importe ($) 0 < p 100 1.50 500 < p 600 43.50 100 < p 00 19.00 600 < p 700 49.35 00 < p 300 5.5 700 < p 800 55.0 300 < p 400 31.50 800 < p 900 61.00 400 < p 500 37.50 900 < p 1000 66.50 Representa esta relación entre las variables una función? Para verificar si se trata de una función debemos verificar que satisface la definición. Si a cada elemento del dominio (peso) le corresponde a lo más un elemento del contradominio (importe), entonces sí se trata de una función. Ahora podemos convertir la pregunta a: «Existe un peso para el cual se asignen dos importes?» Como para cada peso del paquete se le asigna un único importe, entonces sí se trata de una función. Ahora vamos a aplicar la regla de la recta vertical. Para eso, primero debemos graficar la función: 70 I ($) 60 50 40 30 0 10 p (gr) 1000 900 800 700 600 500 400 300 00 100 Puedes dibujar una recta vertical que corte en dos puntos a la gráfica de la función? Pues no, porque se trata de una función. www.aprendematematicas.org.mx 4/8
Observa que la gráfica no está definida para p = 0, porque si no vas a enviar un paquete, no hay necesidad de calcular el importe. La función que graficamos se conoce como una función definida por intervalos, porque los valores que va tomando la función están definidos por distintas expresiones. Dependiendo del valor del dominio que le demos será la expresión que utilizará para calcular el valor que nos va a devolver. Otro ejemplo de función definida por intervalos es la siguiente: f (x) = { x 1 si x < 0 3 x + 1 si x 0 Cuando los valores de x que le damos son negativos, es decir, si x < 0, entonces utilizamos x 1 para calcular el valor que la función nos devolverá. Pero si x 0, entonces usamos 3 x + 1. Si graficas estas dos ramas de la función, obtienes la gráfica que está definida por intervalos como se indicó. Cuando se deja caer una piedra desde 10 metros de altura, la distancia y desde el suelo a la piedra, t segundos después de haberse soltado puede calcularse con la ecuación: y = 10 4.05 t Ejemplo 4 Verifica si esta ecuación es una función. Lo más sencillo en este caso es graficar la ecuación que nos dieron y verficar si se trata de una función aplicando la regla de la recta vertical. y (m) 10 9 8 7 6 5 y = 10 4.905 t 4 3 1 1 3 4 t (s) Como no es posible cortar la gráfica con una recta vertical en dos de sus puntos, se trata de una función. www.aprendematematicas.org.mx 5/8
A lo largo del curso seguirás viendo más aplicaciones de las funciones en problemas cotidianos, técnicos y matemáticos. Ejemplo 5 Los taxis cobran $7.40 pesos por solicitar en servicio y $4.40 pesos por kilómetro recorrido. Encuentra la función que transforma los kilómetros recorridos (x) en el importe que debemos pagar al taxista (y). Si recorremos cero kilómetros debemos pagar solamente el importe por solicitar el servicio. Si recorremos un kilómetro debemos pagar, además $4.40, esto hace un total de $7.40 + $4.40 = $11.80 pesos. Si recorremos dos kilómetros debemos pagar: $7.40 + $4.40 = $16.0 pesos. En general, si recorremos x kilómetros, debemos pagar: Esta es la función que nos pidieron encontrar. y = 7.40 + 4.40 x Por ejemplo, si deseamos conocer cuánto debemos pagar si recorremos 5 kilómetros en el taxi, basta evaluar la función en x = 5: y = 7.40 + 4.40 (5) = 117.40 pesos. Esta expresión es una función porque a cada valor de x (elemento de su dominio) le asigna a lo más un valor y (elemento de su contradominio). Se te queda como ejercicio graficar esta función. La evaluación de una función en un punto nos ayuda a conocer el valor de la función en ese punto. En el ejemplo anterior pudimos calcular el importe gracias a este procedimiento. Por eso es muy importante. Para evaluar la función, simplemente sustituye el valor de x donde quieres evaluarla y realiza todos los cálculos que quedan indicados por la función. El resultado que obtengas es el valor que toma la función en ese punto. Por ejemplo, la función f (x) = 3 x evaluada en x = es 3 = 9. Observa que solamente basta sustituir 3 en lugar de x. Realizamos los cálculos y el resultado obtenido es el valor que tiene la función en ese punto. Dados f (x) = x x, x 0 = 5, y c = 1, calcula: Ejemplo 6 a. f (x 0 ) b. f (x 0 + c) c. f (x 0 ) + c d. c f (x 0 ) e. f (c x 0 ) f. f (x 0 c) g. f (x 0 ) c Sabemos que x 0 = 5 y que c = 1. www.aprendematematicas.org.mx 6/8
Primero calculamos f (x 0 ): f (x) = x x f (x 0 ) = x 0 x0 f (5) = 5 5 = 3 5 = 7 Para calcular f (x 0 + c), antes de sustituir x 0 debemos sumarle c, porque la expresión dice: «el valor de f evaluada en el punto x 0 + c». Pero x 0 + c = 5 + 1 = 6. Entonces, f (x 0 + c) = x 0+c (x 0 + c) f (6) = 6 6 = 64 36 = 8 f (x 0 ) + c lo único que nos pide es que sumemos c al valor que obtuvimos de f (x 0 ), esto es: f (x 0 ) + c = 7 + 1 = 8 De manera semejante, c f (x 0 ) nos pide que multipliquemos el valor de f (x 0 ) por c: c f (x 0 ) = (1) (7) = 7 f (c x 0 ) nos indica que multipliquemos los números c y x 0 y el resultado lo sustituyamos en f : Pero f (c x 0 ) = f (1 x 0 ) = f (x 0 ), porque c = 1. Entonces, f (c x 0 ) = f (1 5) = f (5) = 7. Ahora calcularemos f (x 0 c). Primero calculamos x 0 c = 5 1 = 4. Entonces, f (x 0 c) = x 0 c (x 0 c) f (4) = 4 4 = 14 16 = 0 Finalmente, f (x 0 ) c nos pide que restemos c unidades al valor f (x 0 ). f (x 0 ) c = f (5) 1 = 7 1 = 6 Dado que las funciones nos devuelven números después de transformarlos, realizar una operación (suma, resta, etc.) a un par de funciones se puede realizar siempre que éstas estén definidas. Por ejemplo si f y g son dos funciones definidas en un intervalo, entonces, podemos calcular f (x) + g(x), f (x) g(x), f (x) g(x) en cualquier caso y f (x) g(x) siempre que g(x) = 0. Otra operación importante sobre funciones es la composición, que se estudia en la sección??, página?? www.aprendematematicas.org.mx 7/8
Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Albert Einstein Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 07 de agosto de 010. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 010. Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: efrain@aprendematematicas.org.mx www.aprendematematicas.org.mx 8/8