CAPÍTULO II 5 Requerimientos matemáticos adicionales En esta última sección del capítulo II se tratarán el resto de los conceptos matemáticos necesarios para abordar el estudio de la relatividad especial. Entre ellos, conviene repasar la continuidad de funciones reales. Recuérdese que si f : D R es una función real de dominio D R y x 0 D, se dice de f que es continua en x 0 δ > 0 tal que si dado cualquier ɛ > 0, existe un x D y x x 0 < δ implica f(x) f(x 0 ) < ɛ. Puesto que en el espacio afín unidimensional R la cantidad A B no es sino la distancia entre A y B, la continuidad en x 0 se interpretaba, en términos intuitivos, como que puntos próximos a x 0 se aplican por f en puntos próximos a f(x 0 ). Esto permite generalizar la noción de continuidad a funciones cuya variable recorre espacios afines de dimensiones superiores. Definición II.12 De una función f : D R m, con D un subconjunto de R n, se dice que es continua en un punto P 0 D, si para cada ɛ > 0 existe un δ > 0 tal que P D y d(p, P 0 ) < δ implica d(f(p ), f(p 0 )) < ɛ. A las funciones que son continuas en todo punto de su dominio se las llama simplemente funciones continuas. Por curva en R n se entenderá a una función continua α : D R n con D = [a, b] un intervalo cerrado de la recta real. A las curvas se las suele denotar por letras griegas minúsculas. 2
No se pretende aquí elaborar un estudio exhaustivo sobre la continuidad de las funciones reales. Bastará con tener en mente la imagen gráfica de la continuidad que se manejaba en la enseñanza media, aquella que permitía distinguir a las funciones reales de variable real continuas como aquéllas cuyas gráficas se podían dibujar de un solo trazo sin levantar el lápiz del papel (sin discontinuidades). Una curva α : [a, b] R n no es más que eso, una especie de trazo n-dimensional que une el punto f(a) con el punto f(b). Sí que se precisará más adelante el siguiente resultado: Teorema II.12 La composición de dos funciones continuas es una función continua. También puede hablarse de continuidad de funciones cuyo dominio sea una parte del grupo lineal. Para ello se precisa introducir algún tipo de distancia entre dos automorfismos. Ello no es difícil si se piensa que, fijada una base de R n, por ejemplo, la canónica, cada automorfismo f está representado por una matriz A cuyas filas son las imágenes f(e i ) de los vectores e i de la base canónica. Para otro automorfismo g de GL n se tendrá otra matriz B con filas g(e i ). Pues bien, se define la distancia entre f y g por medio de la expresión d(f, g) = máx{d(f(e i ), g(e i )) : i {1, 2,..., n}}, es decir, la distancia entre f y g es la máxima distancia entre los vectores f(e i ) y g(e i ). No es difícil comprobar que esta definición satisface las propiedades exigibles a algo que merezca llamarse una distancia, es decir, i) d(f, g) 0 para cualesquiera automorfismos f y g de R n, y d(f, g) = 0 si y solo si f = g. ii) d(f, g) = d(g, f), para cada par f, g GL n. iii) d(f, g) + d(g, h) d(f, h), para cada f, g, h GL n. Ahora la definición II.12 es aplicable también a funciones cuyo dominio es, bien un conjunto de automorfismos, bien un conjunto de matrices no singulares. 3
Teorema II.13 La aplicación : GL n R que aplica cada automorfismo f, de matriz asociada A, en el determinante A es una función continua. Definición II.13 De un subconjunto D de R n (o del grupo lineal GL n ) se dirá que es arcoconexo si para cada par de elementos P y Q de D existe alguna curva α : [a, b] D tal que α(a) = P y α(b) = Q. Figura II.27 Intuitivamente, un conjunto D es arcoconexo cuando se puede viajar de un lugar a otro de D siguiendo una trayectoria continua que no se sale de D. Veamos que si en un subconjunto D de R n (o de GL n ) hay un elemento P conectado a cualquier otro de D por una curva dentro de D, entonces D es arcoconexo. En efecto, tómense Q y R en D. Hay curvas α : [a, b] D y β : [c, d] D que conectan P con Q y P con R respectivamente, en concreto, α(a) = P, α(b) = Q, β(c) = P y β(d) = R. Considérese alguna función real de variable real f que sea continua y transforme el intervalo [c, d] en algún intervalo [e, a], pero recorrido al revés, por ejemplo, la función f(x) = x + c + a. Aquí, f(c) = a y f(d) = d + c + a a. Entonces (Véase 4
la figura II.27), la curva γ : [e, b] D definida por { β( t + c + a) si e t a, γ(t) = α(t) si a t b, conecta R con Q pues γ(e) = γ( d + c + a) = β((d c a) + c + a) = β(d) = R, y α(b) = Q. Sea D un subconjunto de R n (o de GL n ). Si fijamos un punto P en D, el razonamiento de arriba demostraría la arcononexión del conjunto C P de todos los puntos de D que se conectan a P por una curva dentro de D. Simbólicamente C P = {Q D : existe una curva α : [a, b] D, con α(a) = P, α(b) = Q}. A este conjunto C P se le conoce como la componente arcoconexa de P, y es el mayor de todos los subconjuntos arcoconexos de D que contienen a P. Todo subconjunto de R n o de GL n se puede descomponer en unión disjunta de componentes arcoconexas. Figura II.28 En la figura II.28 hay ejemplos de conjuntos arcoconexos. El interior D del círculo de la izquierda es arcoconexo ya que todo punto puede conectarse al centro del círculo por un radio. Igual sucede con el cuadrado E de la derecha. Sin embargo, la unión F = D E de los dos conjuntos no es arcoconexa ya 5
que hay puntos de F (P y Q en la figura) que no pueden conectarse entre sí por una curva sin que esta trayectoria se salga de la región F. Así, D y E son las componentes arcoconexas de F. Para finalizar esta breve incursión por la topología de R n, se probará que aquel teorema de Bolzano que se estudiaba en enseñanza secundaria, sigue siendo válido para funciones continuas definidas en conjuntos arcoconexos. El teorema afirmaba que si una función real continua definida en un intervalo cerrado tomaba valores de signos opuestos en los extremos del intervalo, entonces se anulaba en algún valor del interior del intervalo. Teorema II.14 Si f : D R es una función continua tal que D es arcoconexo y existen P y Q en D tales que f(p ) > 0 y f(q) < 0, existe entonces un R D con f(r) = 0. Demostración El razonamiento que se avecina funciona igual si se considera a D como un subconjunto de R n o como una parte del grupo lineal GL n. En cualquiera de los casos, hay una curva α : [a, b] D, con α(a) = P y α(b) = Q. La composición g = f α : [a, b] R es una función continua (según afirma el teorema II.12) tal que g(a) > 0 y g(b) < 0. Por el teorema clásico de Bolzano existe entonces un c (a, b) con 0 = g(c) = f(α(c)). El punto R = f(c) es entonces el anunciado por el teorema. Se abordará ahora un tópico que pudo ser tratado desde la sección 2, pero que se ha aplazado hasta aquí para estudiarlo con mayor detenimiento. Se trata de la orientación de las bases de un espacio vectorial (o euclídeo). Comencemos por observar que en el grupo ortogonal O 2, la matriz de un giro se adecuaba a uno de los esquemas ( ) cos α sen α o sen α cos α ( cos α sen α sen α cos α lo cual se interpretaba como un giro de valor α alrededor del origen realizado, para las del primer tipo, en sentido directo (el contrario al de las agujas del ), 6
reloj), o en sentido inverso para las del segundo tipo. No obstante, como cos α = cos( α), es factible unificar ambos modelos de matrices si el ángulo entre dos vectores se mide, en lugar de entre 0 y π, entre 0 y 2π, y siempre en sentido directo. Así, sen α = sen( α) = sen(2π α). En tal caso (véase la figura II.29a), si u 1 = (cos α, sen α) y u 2 = ( sen α, cos α) son las imágenes de los vectores de la base canónica, el ángulo medido en sentido directo entre u 1 y u 2 es un recto, igual que el medido entre e 1 y e 2. Figura II.29 Sin embargo, no sucede lo mismo con las simetrías axiales. En efecto, si ahora A es la matriz de una simetría f de R 2 con ( ) α β A =, β α ahora el ángulo entre u 1 = (α, β) y u 2 = (β, α) es también recto, pero está medido en sentido inverso (figura II.29.b). Esto sugiere introducir el concepto de orientación entre bases. De dos bases de un espacio vectorial se dirá que tienen la misma orientación si el determinante de la matriz del cambio de base es positivo. Se suele fijar la orientación de la base canónica y reducir a ella la de las demás bases. Por convenio, si se afirma de una base que está orientada positivamente (o que 7
tiene orientación positiva) significará en lo sucesivo que posee la misma orientación que la base canónica. En caso contrario se hablará de base orientada negativamente o de base con orientación negativa. Así, si (u 1, u 2,..., u n ) es una base de R n, para discriminar si está orientada positiva o negativamente bastará con calcular el determinante de la matriz A cuyas filas sean las coordenadas de los u i en la base canónica. Si A > 0 la orientación de la base es positiva, mientras que será negativa si A < 0. Recuérdese que A siempre es no singular y A 0. Adviértase que si (u 1, u 2,..., u n ) tiene orientación positiva, entonces (u 2, u 1,..., u n ) estará orientada negativamente. Ello se debe a que un determinante cambia de signo al permutar dos de sus filas. Igual acontecerá al permutar dos cualesquiera de los vectores de la base. Abundando en la terminología, de un automorfismo f se dice que conserva la orientación si la imagen (f(e 1 ), f(e 2 ),..., f(e n )) de la base canónica por f tiene orientación positiva, e invierte la orientación en caso contrario. El hecho de que el automorfismo f conserve o invierta la orientación se traduce en que su determinante (respecto de la base canónica) sea positivo o negativo. En particular, las isometrías propias, que tenían determinante 1, conservan la orientación, mientras que las impropias (con determinante 1), la invierten. Teorema II.15 El grupo lineal GL n se descompone en dos componentes arcoconexas, la integrada por los automorfismos (o las matrices n n) de determinante positivo, y la constituida por los automorfismos (o las matrices n n) de determinante negativo. En particular, el grupo ortogonal O n se escribe como unión O n = O n + On de dos componentes arcoconexas, el subconjunto O n + de las isometrías propias y el subconjunto On de las impropias. Demostración Se comprobará en primer lugar que GL n no es arcoconexo. Si así fuera, tomaríamos automorfismos f y g de matrices A y B tales que f conserva la orientación y g la invierte. Sea α : [a, b] GL n una curva en GL n que conecte f con g. Para cada t [0, 1], sea A t la matriz del automorfismo α(t). Los teoremas II.12 y II.13 dan la continuidad de la función F : [a, b] R, que asocia a cada t [0, 1] el determinante F (t) = A t. Pero 8
F (a) = A es positivo y F (b) = B es negativo. El teorema II.14 aseguraría la existencia de un automorfismo con matriz A t de determinante nulo, lo que es imposible ya que cada A t ha de ser no singular. El grupo lineal no es pues arcoconexo. Hay que probar ahora que hay exactamente dos componentes arcoconexas, algo que, aun siendo verdad para el grupo lineal, solo se demostrará aquí para el grupo ortogonal. Sea f una isometría de R n que conserva la orientación. Esto significa que el determinante de la matriz de f en cualquier base es positivo. Además, por el teorema II.11, existe una base ortogonal en la cual la matriz A de f adopta una forma con la diagonal llena de 1, 1 y bloques 2 2 del tipo ( cos αi sen α i sen α i cos α i Como el determinante de A es positivo, el número de menos unos debe ser par. Por otro lado, con cada pareja de menos unos nos podemos imaginar ). otro bloque 2 2 referido a un giro sin más que escribir ( cos π sen π sen π cos π Dado un número real t, denótese por A t a la matriz obtenida de A mediante el reemplazamiento de cada uno de los ángulos α i por tα i. Haciendo variar t entre 0 y 1 se obtendría ahora una curva que conecta a la matriz A con la matriz unidad, con lo que el conjunto O + n resulta ser arcoconexo. Un ). razonamiento semejante probaría la arcoconexión de O n. A continuación se recordará algo sobre funciones hiperbólicas, las cuales jugarán en relatividad especial un papel análogo al que desempeñan las trigonométricas en geometría euclídea. Para cada x R, se definen el coseno hiperbólico de x y el seno hiperbólico de x como los respectivos números reales cosh x = ex + e x, y senh x = ex e x. 2 2 9
El hecho de denominar a estas expresiones por apelativos semejantes a los trigonométricos se debe a numerosas analogías que quedarán patentes tanto aquí como en el capítulo que se avecina. De ahí que se defina la tangente hiperbólica en la forma tanh x = senh x cosh x. Por lo pronto, se mostrarán algunas propiedades que justifican esta denominación. Por ejemplo, un cálculo directo prueba la ecuación fundamental de la trigonometría hiperbólica: cosh 2 x senh 2 x = 1. En efecto: ( e cosh 2 x senh 2 x + e x ) 2 ( e x + e x ) 2 x = = 2 2 1 4 [(ex + e x ) 2 (e x e x ) 2 ] = 1 4 (e2x + e 2x + 2e x e x e 2x e 2x + 2e x e x ) = = 1 4 (4ex x ) = 4 4 = 1. No acaban aquí las similitudes. Las funciones f(x) = cosh x, g(x) = senh x son continuas en toda la recta real. La primera tiene como derivada a la segunda, es decir, f (x) = senh x y g (x) = cosh x. 10
Figura II.30 En la figura II.30 se plasman algunas de las propiedades de estas funciones hiperbólicas, que se recogen en el Teorema II.16 i) cosh x = 1 si y solo si x = 0. ii) senh x = 0 si y solo si x = 0. iii) iv) Para cada y R con 1 < y, existen dos únicos números reales x y z distintos entre sí tales que cosh x = y = cosh z. En este caso, se tiene que z = x. El seno hiperbólico es una función biyectiva. v) El coseno hiperbólico es una función par, esto es cosh x = cosh( x). vi) El seno hiperbólico es una función impar, o sea, senh x = senh( x). Para finalizar este capítulo realizaremos una breve incursión en el campo de las derivadas parciales con el exclusivo fin de justificar, más adelante, que la transformación de Lorentz triunfa en aquello en lo que fracasó la transformación de Galileo: Dejar invariante las ecuaciones de Maxwell del electro- 11
magnetismo. Dada una función f : R n R y un elemento a R n, por derivada parcial de f respecto de la variable x i en el punto a (i {1,..., n}) se entenderá al límite (si existe): f f(a + te i ) f(a) (a) = lim, x i t 0 t donde e i es el i ésimo vector de la base canónica de R n. Por ejemplo, si f(x, y, z) = x 2 +3y 3 z es una función de R 3 con valores en R, y a = (x, y, z), para calcular la derivada parcial respecto de x en a habrá que hacer f(a + te 1 ) = f(x + t, y, z) = t 2 + 2tx + x 2 + 3y 3 z. Además, f(a) = x 2 + 3y 3 z, por lo que f(a + te 1 ) f(a) = t 2 + 2tx. Se tiene entonces f t 2 + 2 t x (a) = lim x t 0 t = lim t 0 (t + 2x) = 2x. Hallemos ahora la derivada parcial respecto de y en el mismo punto: f(a + te 2 ) = f(x, y + t, z) = x 2 + 3 t 3 z + 9 t 2 y z + 9 t y 2 z + 3 y 3 z. Por lo tanto, f(a + te 2 ) f(a) = 3 t 3 z + 9 t 2 y z + 9 t y 2 z y f 3 t 3 z + 9 t 2 y z + 9 t y 2 z (a) = lim y t 0 t = lim t 0 ( 3 t 2 z + 9 t y z + 9 y 2 z ) = 9 y 2 z. Si se calcula ahora la parcial f z (a), se obtendrá el valor 3y3. Obsérvese que el proceso de paso al límite es superfluo en este ejemplo (y en la mayor parte de los casos a los que nos enfrentaremos), pues para determinar la derivada parcial de la función respecto de una determinada variable basta aplicar a f las reglas habituales de derivación como si dependiese de esa única variable y considerando como constantes al resto de las variables. 12
Para ilustrar la última de las afirmaciones vertidas considérese la función f : R 2 R dada por f(x, y) = y 2 cos x. Las derivadas parciales de f en un punto genérico (x, y) son f x (x, y) = y2 ( sen x) = y 2 sen x, f (x, y) = 2y cos x. y Y al igual que acontecía con las funciones reales de variable real, donde podía derivarse de nuevo la derivada de una función para obtener una segunda derivada, y a su vez derivarse esta para construir la tercera derivada, etcétera, es factible introducir un proceso análogo para las funciones de varias variables. A tal fin, considérese una función f : R n R. Supóngase que la derivada parcial f x i (x) existe para todo elemento x. Hay entonces definida una función f x i : R n R tal que x f x i (x). Si esta función resulta ser derivable en el punto a respecto a la variable x j, se denotará a tal derivada de segundo orden por 2 f x j x i (a) = ( f ) (a), x j x i Cuando i = j, se suele usar la notación f = 2 f x i x i x 2. i (i {1,..., n}). De forma semejante se definen derivadas de tercer orden y de orden superior. Se advierte que, aunque aquí solo se han examinado funciones con dominio en todo el espacio euclídeo, la derivación parcial no requiere de una condición tan fuerte. En análisis de varias variables suele restringirse a un entorno adecuado D del punto a en el que se realizará la derivación. Un resultado interesante en este apartado que se debe a Schwartz, es que si la función f : R n R tiene derivadas de segundo orden continuas en uno de esos entornos D, entonces f = x i x j f, x j x i (i, j = 1,..., n). 13
Sea f : R n R una función para la que existen todas las derivadas parciales f x i (i {1,..., n}) en cualquier punto de R n. Considérese el automorfismo de R n de ecuación a 11... a 1n (y 1,..., y n ) = (x 1,..., x n ).. a n1... a nn Si se denota por A = (a ij ) a la matriz del automorfismo anterior y por B = (b ij ) a la inversa de A, es obvio que x i = b i1 y 1 +... + b in y n para cada i {1,..., n}. Estas igualdades relacionan las variables x i en función de las y j. Si se sustituyen en la expresión de una función arbitraria g : R R, encontramos una nueva función ḡ, pero que ahora depende de las variables y 1,..., y n. Pues bien, la regla de la cadena establece que f = f x 1 + + f x n y j x 1 y j x n y j Por poner un ejemplo, sea f : R 3 R dada por = b 1j f x 1 + + b nj f x n. f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2 ) x 2 3 + 1. Considérese el cambio de variables { x1 = y 1 + y 2 y 3 x 2 = y 1 + y 3 x 3 = 2y 2. Si se sustituyen los valores de x i dados por las ecuaciones de arriba en la función f, se encuentra la nueva función f(y 1, y 2, y 3 ) = (2y 1 + y 2 ) 4y 2 2 + 1. Se pretende calcular f y 1 utilizando la regla de la cadena: f = f x 1 + f x 2 + f x 3 = f + f = y 1 x 1 y 1 x 2 y 1 x 3 y 1 x 1 x 2 = x x x 23 + 1 + 23 + 1 = 2 23 + 1 = 2 4y2 2 + 1. Por supuesto que en este ejemplo se ha dado un rodeo idiota pues la parcial pedida podría haberse determinado, con mucho menor gasto en cálculo, derivando directamente en la expresión de f. Pero hay ocasiones en que conviene 14
hallar las derivadas parciales de la nueva función sin tener constancia de su expresión analítica. Por último, interesa a los seguidores de este curso estudiar cómo se comportan los cambios de variables en las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Considérese la ecuación 2 2 f u 2 2 2 f u v + 2 f v 2 = 0. Se pretende efectuar el cambio de variable { u = x y v = y. Como no se conoce la función f que depende de u y v, tampoco es posible determinar la función f que dependerá de las nuevas variables x, y. general, si una función g depende de u y v, se denotará por ḡ a la función resultante de sustituir en g, la variable u por x y v por la variable y. Tras expresar las nuevas variables en función de las antiguas, se escribe { x = u + v y = v. La regla de la cadena afirma entonces que ya que x u = 1 y y u Por lo tanto, f u = f x x u + f y y u = f x, = 0. Análogamente f v = f x x v + f y y v = f x + f y. 2 f u 2 = 2 f x 2, y 2 f v 2 = f v v = ( f ) x x v v + ( f ) y y v v = En = ( x + ) f ( y v = x + )( f y x + f ) = y 15
Por otra parte = 2 f x 2 + 2 f y 2 + 2 2 f x y. 2 f u v = f u v = ( f ) = ( f x v x x + f ) = 2 f y x 2 + 2 f x y. En resumen, se trata de expresar las derivadas parciales que aparecen en la ecuación diferencial dada en función de las derivadas de la nueva función f. Sustituyendo en la ecuación diferencial, tenemos 2 2 f ( 2 x 2 2 f x 2 + 2 f ) + 2 f x y x 2 + 2 f y 2 + 2 2 f x y = 0. y, simplificando, se obtiene la expresión de la ecuación diferencial respecto a las nuevas variables x, y: 2 f x 2 + 2 f y 2 = 0. Se dirá que una ecuación diferencial es invariante frente a un cambio de variables dado, si al aplicar el cambio, la ecuación resultante es la misma salvo los nombres de las variables y de la función incógnita. Como ilustración, se verá que la ecuación 2 f x 2 + 2 f y 2 = 0 es invariante frente a rotaciones. Considérese el cambio de variables { x = cos α u + sen α v y = sen α u + cos α v, (α R), donde se reconoce una rotación de ángulo α en la función (u, v) (x, y). Despejando, las variables u, v se expresan en función de las x, y mediante { u = cos α x sen α y v = sen α x + cos α y. Introdúzcase este cambio de variables en la ecuación diferencial para obtener f x f f = cos α + sen α u v 16
Por otra parte, 2 f x 2 = cos2 α 2 f u 2 + sen2 α 2 f v 2 + 2 sen α cos α 2 f u v. 2 f y 2 = cos2 α 2 f u 2 + sen2 α 2 f v 2 2 sen α cos α 2 f u v, como debería comprobar nuestro estimado lector. Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial se llega a 2 f u 2 + 2 f v 2 = 0, que es la misma ecuación que la de partida, salvo por la traducción { x u, y v. Se acaba de demostrar que la ecuación es invariante frente a rotaciones. El conjunto O + 2 de las rotaciones del espacio euclídeo, formado por las isometrías propias (o, equivalentemente, por las matrices ortogonales 2 2 de determinante 1), constituye un grupo (compruébese) denominado el grupo especial ortogonal. Así, la ecuación diferencial que nos ocupaba ha resultado ser invariante bajo la acción de O + 2. 17