RESOLUCIÓ DE PROBLEMES MOVIMENT UNIFORMEMENT ACCELERAT 1.- Llegir el problema. 2.- Fer-se una idea de la situació, dibuixar-la i col locar el sistema de referència. 3.- Buscar les constants del moviment: Posició inicial: r 0 Velocitat inicial: v 0 Acceleració: a Totes tres constants les hem d escriure en coordenades cartesianes. 4.- Substituir les constants a les equacions del MUA. Així tindrem les equacions en funció del temps. 5.- De tots els punts pels que passa la partícula el problema ens dirà i ens demanarà alguna cosa d un o més d ells, a cadascun d aquests punts els hi direm punt problema A, B... resoldrem cadascun d aquests punts per separat Punt problema A: buscarem en aquest punt quin valor concret agafen les tres variables: Posició: r Velocitat v Temps: t La posició i la velocitat en coordenades cartesianes Substituir els valors de les variables a les equacions en funció del temps i resoldre el sistema d equacions que quedi. Punt problema B: els mateixos passos que l A. EXEMPLE Es llança una bola de neu des d una altura de d 1,80 m a una velocitat de 8 m/s, que forma un angle de 30º amb l horitzontal. Calcula a) On cau la bola a terra i quina velocitat (mòdul i direcció) té la bola en arribar a terra. b) El punt d altura màxima. r 0 Constants: Posició inicial: r 0 = 1,80 j m Velocitat inicial: està en coordenades polars, s ha de passar a cartesianes. v 0x = v 0 cos φ = 8 cos 30º = 6,93 m/s
v 0y = v 0 sin φ = 8 sin 30º = 4 m/s v 0 = 6,93 i + 4 j m/s Acceleració: és la gravetat: vertical, cap a baix de mòdul 10 m/s 2 a = -10 j m/s 2 Equacions en funció del temps Substituïm les tres constants a les equacions del MUA r = r 0 + v 0 t +½ a t 2 = 1,80 j + (6,93 i + 4 j) t + ½ (-10 j ) t 2 Operant i traient factor comú r = 6,93 t i + ( 1,8 + 4 t 5t 2 ) j m equació de la posició en funció del temps v = v 0 + a t = 6,93 i + 4 j +( -10 t j) Operant i traient factor comú v = 6,93 i + (4 10 t) j m/s equació de la velocitat en funció del temps Punts problema: Punt problema A: punt d arribada a terra. Buscarem en aquest punt quin valor concret agafen les tres variables: Posició: r = x i + 0 j m. (El vector de posició del punt d arribada a terra és un vector horitzontal, per tant la seva component y val zero) Velocitat v: desconeguda Temps t: desconegut. Com l únic valor numèric el tenim al vector de posició, substituïm a l equació de la posició en funció del temps: x i + 0 j = 6,93 t i + ( 1,8 + 4 t 5t 2 ) j Si dos vectors són iguals ho han de ser component a component, per tant tindrem dues equacions escalars: x = 6,93 t 0 = 1,8 + 4 t 5t 2 Resolent l equació de segon grau i rebutjant la solució negativa tenim el temps d arribada a terra. t = 1,12 s Substituint aquest valor de temps a la primera equació del sistema tindrem la coordenada x del punt d arribada a terra x = 6,93 t = 6,93 1,12 = 7,76 m Per calcular la velocitat amb què arriba a terra (seguim estant al punt A) només cal substituir el temps 1,12 s a l equació de la velocitat en funció del temps: v = 6,93 i + (4 10 t) j = 6,93 i + (4 10 1,12) j = 6,93 i 7,2 j m/s D aquest vector hem de calcular el mòdul:
2 2 2 2 v v x + v = 6,93 + ( 7,2) = 9,99 m/s = y I la direcció: ϕ = arc tg v v y x = arc tg 7,2 = -46,09º 6,63 Punt problema B: punt d altura màxima. Buscarem en aquest punt quin valor concret agafen les tres variables: Posició: r desconeguda Velocitat v = v x i + 0 j (Al punt d altura màxima la partícula no està pujant ni baixant, per tant la component y de la velocitat ha de ser zero) Temps t: desconegut Com l únic valor numèric el tenim al vector velocitat, substituïm a l equació de la velocitat en funció del temps: v x i + 0 j = 6,93 i + (4 10 t) j Si dos vectors són iguals ho han de ser component a component, per tant tindrem dues equacions escalars: v x = 6,93 Aquesta equació és trivial, la component x de la velocitat és constant. 0 = 4 10 t Resolent aquesta equació tenim el temps que triga en arribar al punt d altura màxima. t = 0,4 s Substituint aquest valor de temps a l equació de la posició en funció del temps tindrem el vector de posició del punt d altura màxima. r = 6,93 t i + ( 1,8 + 4 t 5t 2 ) j = (6,93 0,4) i + [1,8 + 4 0,4 5 (0,4) 2 ] j = = 2,77 i + 2,6 j m TROBADA ENTRE DOS MÒBILS Fer els passos 1,2,3,4 fins a tenir les equacions en funció del temps per cada mòbil (òbviament tots dos amb el mateix sistema de referència) Per buscar la trobada igualem la posició d un amb la posició de l altre: r 1 = r 2 i resolem les equacions que quedin. Al moviment circular sempre hi ha trobada entre dos mòbils, però de vegades en igualar les dues posicions arribem a una solució impossible físicament. La causa és que al moviment circular dues partícules estan al mateix lloc (es troben) no únicament quan ϕ 1 =ϕ 2 sinó també quan una li treu una (o més) voltes, per exemple ϕ 1 =45º i ϕ 2 = 405º és el mateix lloc encara que els valors de ϕ siguin diferents.
Per resoldre les trobades al moviment circular farem servir: ϕ ràpid - ϕ lent = n. 2π El valor n= 0 és equivalent a ϕ 1 =ϕ 2, si no apareix una solució s ha de provar n=1 (si aquí tampoc no aparegués cap solució estem resolent malament el problema). Les successives trobades apareixerien amb els següents valors de n. DINÀMICA D UNA PARTÍCULA Apliquem la dinàmica d una partícula als problemes en els que: Hi ha una única partícula Hi ha dues o tres partícules que es mouen unides (perquè estan en contacte, unides amb una corda...). Les partícules d aquests conjunts sempre tenen el mateix mòdul d acceleració. Les forces mútues que es fan aquestes partícules compleixen la 3a Llei de Newton i apareixeran com a dada o incògnita del problema. Un cop hem identificat el problema: 1.- Dibuixar totes les forces que actuen sobre cada partícula. 2.- Dibuixar l acceleració de cada partícula. L acceleració de la partícula sempre té la mateixa direcció que la velocitat (la direcció del moviment). Si la partícula està augmentant de velocitat (accelerant), el sentit de l acceleració és el mateix que el de la velocitat; si la partícula està disminuint de velocitat (frenant), l acceleració té el sentit contrari a la velocitat 3.- Dibuixar el sistema de referència: el més adequat és el que fa coincidir la direcció i el sentit de l eix X amb els de l acceleració. 4.- Escriure tots els vectors en coordenades cartesianes. 5.- Aplicar la 2a Llei de Newton a cada partícula i resoldre el conjunt d equacions. (Si havíem suposat el sentit de l acceleració i l acceleració ens dóna positiva la suposició era correcta, si ens dóna negativa l acceleració està en sentit contrari a com l havíem dibuixada) CINEMÀTICA DINÀMICA A les equacions de cinemàtica apareixen les magnituds posició, velocitat, acceleració i temps. A les equacions de dinàmica apareixen les magnituds força, massa, acceleració, coeficient de fregament i constant elàstica. Si en llegir un problema ens apareix (entre dades i incògnites) una barreja de magnituds de cinemàtica i de dinàmica per resoldre l s ha de fer servir la cinemàtica i la dinàmica. Per on començar? depèn de la incògnita. Si la incògnita és una magnitud de la dinàmica es comença per resoldre la part cinemàtica del problema amb l objectiu de calcular l acceleració (que és l única magnitud comuna a la cinemàtica i la dinàmica), després es resol la part dinàmica.
Si la incògnita és una magnitud de la cinemàtica es comença per resoldre la part dinàmica del problema amb l objectiu de calcular l acceleració (que és l única magnitud comuna a la cinemàtica i la dinàmica), després es resol la part cinemàtica. ENERGIA L energia és una magnitud que fem servir per resoldre problemes de moviment en els que actua alguna força que depèn de la posició (com ara la força elàstica). Si hi ha present una força d aquestes, el conjunt Cinemàtica-Dinàmica és incapaç de resoldre el problema de moviment. CÀLCUL DE TREBALLS Distingirem entre el treball que fa una força (treball individual) i el treball conjunt que fan entre totes les forces que actuen sobre una partícula (treball global). Treball individual: hi ha dues opcions: el producte de força per desplaçament per cosinus i la variació d energia. W = F x cos (no serveix per calcular el treball de la força elástica) Variació d energia: depèn si la força és conservativa o no conservativa. v Si és conservativa: W C = - E P v Si es no conservativa W NC = E M Treball global: hi ha dues opcions, la suma dels treballs individuals o la variació d energia. Suma dels treballs individuals: W G = W 1 + W 2 +...+ W n Variació d energia: W G = E C PROBLEMES DE MOVIMENT L energia es fa servir per resoldre problemes de moviment en els que intervenen forces que depenen de la posició. Si hi ha forces d aquest tipus el problema no es pot resoldre per cinemàtica-dinàmica. Hi ha forces d aquest tipus en: circumferències verticals, rampes no rectes i molles. Un fet a tenir en compte en les equacions d energia és que no apareix el temps. Un cop hem identificat el problema: 1.- Dibuixar la situació i identificar totes les forces que actuen (encara que només actuen en una part del recorregut) 2.- Mirar si hi ha forces que siguin perpendiculars a la trajectòria (en tot el recorregut) aquestes forces com no fan treball no afecten a l energia de la partícula. 3.- De les forces que queden mirar si són conservatives o no. Si són totes conservatives: energia mecànica constant, igualarem l energia mecànica que té la partícula en dos punts diferents.
E MA = E MB quedarà una equació amb una incògnita. Si hi ha una força no conservativa: igualarem el treball de la no conservativa amb la variació de l energia mecànica. W NC = E M Calculem independentment els dos membres de la igualtat: W NC = F NC x cos E M = E MB - E MA I igualem els dos resultats. Quedarà una equació amb una incògnita que pot ser de primer o de segon grau XOCS Un xoc és una interacció per contacte, molt curta, entre dues partícules que modifica la velocitat de totes dues. En un xoc la força que actua és una força interna per tant en un xoc sempre es conserva el moment lineal. Segons l energia perduda o no en el xoc es poden classificar en: Xoc elàstic (o perfectament elàstic): no es perd energia en el xoc. El problema es resol amb la constància del moment lineal i l energia Ec sistema abans del xoc = Ec sistema després del xoc Si el xoc és frontal queda un sistema de dues equacions amb dues incògnites i si és no frontal queda un sistema de tres equacions amb tres incògnites Xoc inelàstic: es perd energia al xoc. El problema es resol: Ec sistema després del xoc - Ec sistema abans del xoc = Ec Si el xoc és frontal queda un sistema de dues equacions amb dues incògnites i si és no frontal queda un sistema de tres equacions amb tres incògnites Xoc perfectament inelàstic: es perd energia al xoc i després del xoc les dues partícules es mouen unides (per tant tenen la mateixa velocitat). El problema es resol: Si el xoc és frontal queda una equació amb una incògnita i si és no frontal queda un sistema de dues equacions amb dues incògnites.
Si el problema demanés l energia perduda: Ec sistema després del xoc - Ec sistema abans del xoc = Ec