Tema 6: Ondas Onda: Perturbación espacial y/o temporal de una propiedad de un sistema Propiedad del sistema velocidad de propagación Tiempo 1 Tiempo 2 Tiempo 3 Posición espacial Onda periódica: El valor de la propiedad se repite en el tiempo y/o en el espacio velocidad de propagación Parámetros característicos de una onda periódica Longitud de onda o periodo ( longitud espacial) ( longitud temporal) Velocidad de propagación Amplitud Amplitud de la oscilación: F( x, t ) (puede ser positiva o negativa) Intensidad de la oscilación: [F( x, t )] 2 (siempre es positiva) Las amplitudes se suman, no las intensidades Onda periódica periodicidad temporal: F( x, t ) = F( x, t + T ) periodo periodicidad espacial: F( x, t ) = F( x + λ, t ) propiedad periodicidad temporal: F( x, t ) = F( x, t + T ) tiempo 0 T 2T 3T Periodo = tiempo de un ciclo Longitud de onda 1
periodicidad temporal 1 f = T angular 2π ω = T periodicidad espacial: F( x, t ) = F( x + λ, t ) f = número de ciclos por unidad de tiempo Forma general: F(t) = A sen [ ω t + Φ ] propiedad tiempo 0 1 segundo propiedad espacio 0 λ 2λ 3λ Longitud de onda = longitud de un ciclo periodicidad espacial Número de onda k = 1 λ Número de onda angular ^ 2π k = λ k = número de ciclos por unidad longitud Forma general: F(x) = A sen [ ^k x + Φ ] velocidad de propagación c = λ = f λ T c propiedad espacio 0 1 metro Algunos valores típicos para ondas sonoras Algunos valores típicos para ondas luminosas velocidad en el aire en un líquido en un sólido 344 m/s 1500 m/s 5000 m/s velocidad en el vacío en un líquido en un sólido 300000 km/s 200000 km/s 150000 km/s s audibles 20-20000 Hz por el hombre (1 Herz (Hz) = 1 s -1 ) idem longitudes de onda 0,017-17 m s visibles 400-750 THz por el hombre (1 THz = 10 12 s -1 ) idem longitudes de onda 400-700 nm 2
Ondas transversales La perturbación es perpendicular a la dirección de propagación La luz es una onda transversal: oscilaciones del campo electromagnético Campo eléctrico o magnético Vector campo eléctrico c Dirección de propagación Un rayo de luz visto de cerca : Campos eléctrico y magnético periódicos y perpendiculares Ondas perturbación paralela a propagación longitudinales E B E B B E B E c El sonido es una onda longitudinal: ondas de presión-concentración Ecuación general de onda en una dimensión La forma general de una onda depende de la posición y el tiempo F( x, t ) F( x, t ) debe cumplir: Ecuación de ondas clásica 2 F(x,t) 2 F(x,t) = c t 2 2 x 2 velocidad de propagación 3
Ecuación de ondas clásica en una dimensión 2 F(x,t) 2 F(x,t) = c t 2 2 x 2 Una solución general: onda armónica sinusoidal F(x,t) = A sen [ 2π (x/λ) + 2π (t/t) + Φ ] ^k = 2π/λ número de onda angular desfase ω = 2π/T angular recordad que c = λ/t = f/k = ω/k ^ F(x,t) = A sen [ k ^ x + ω t + Φ ] A: amplitud máxima de oscilación F(x 0,t) Ejemplo: oscilación en un punto fijo x 0 +A A 0 T -A tiempo F(x,t) = A sen [ k ^ x + ω t + Φ ] Φ : desfase Superposición e interferencia de dos ondas Onda F 1 F(x 0,t) desfase +A F(x=0, t=0) = A sen(φ) Onda F 2 0 -A tiempo Interferencia constructiva Onda F 1 + F 2 La interferencia depende del desfase Onda F 1 Onda F 2 Intensidad de una onda y superposición de dos ondas: las amplitudes se suman, no las intensidades I = [F(x,t)] 2 = [F 1 (x,t) + F 2 (x,t)] 2 = = [F 1 ] 2 + [F 2 ] 2 + 2F 1 F 2 = = I 1 + I 2 + 2 F 1 F 2 Interferencia destructiva Onda F 1 + F 2 Intensidad de las ondas F 1 y F 1 Término de interferencia 4
Propagación de una onda esférica Onda esférica Fuente Una onda esférica se propaga en todas direcciones F(r,t) = A sen( k ^ r - ω t + Φ) r r Fuente r distancia al centro de emisión Onda esférica Energía de una onda esférica F(r,t) = A sen( k ^ r - ω t + Φ) r r La amplitud decrece con la distancia P 0 Fuente Potencia P 0 Energía total por unidad de tiempo emitida por la fuente (watios, W) Fuente La Intensidad decrece con el cuadrado de r A 2 r 2 Energía de una onda esférica Onda plana r Intensidad Potencia por unidad de superficie (W/m 2 ) Onda esférica A/r c Fuente P I = 0 P = 0 S 4πr 2 r 5
Respuesta del oído humano a las ondas sonoras Consideramos ondas esféricas Intervalos audibles intensidades de 10-12 a 1 W/m 2 s Intensidad proporcional a 1 r 2 de 20Hz a 20kHz La respuesta del oído no es lineal, si no logarítmica y se caracteriza por la constante β : respuesta auditiva β = 10 log I I UMBRAL decibelios (db) Intensidad I UMBRAL = 10-12 W/m 2 umbral de audición Respuesta auditiva β = 10 log I I UMBRAL decibelios (db) β = 10 log Respuesta auditiva I I UMBRAL decibelios (db) Intensidad I UMBRAL = 10-12 W/m 2 umbral de audición si I = I UMBRAL β = 0 I UMBRAL = 10-12 W/m 2 I = I UMBRAL 10 β/10 Respuestas auditivas típicas (oído humano) 120 Estímulo acústico respuesta intensidad auditiva β (db) (W/m 2 ) umbral de audición 0 10-12 susurro al hablar 20 10-10 vía pública tranquila 40 10-8 conversación ordinaria 60 10-6 vía pública congestionada 70 10-5 Camión a 5 m de distancia 90 10-3 concierto rock (recinto cerrado) 110 0.1 umbral de dolor 120 1 Respuesta auditiva (db) 100 80 60 40 20 0 20 Curva de igual percepción sonora 100 1000 10000 I = I UMBRAL 10 β/10 Frecuencia del sonido (Hz) 6
Aislamiento sonoro: Absorción de una onda Coeficiente de aislamiento acústico Onda incidente Onda transmitida R = 10 log I INCIDENTE I TRANSMITIDA decibelios (db) I INCIDENTE I TRANSMITIDA Onda reflejada Medio absorbente Coeficiente de aislamiento acústico Ondas estacionarias R = 10 log I INCIDENTE I TRANSMITIDA decibelios (db) Vibraciones de una cuerda de extremos fijos: en los extremos la amplitud de la onda es cero I TRANSMITIDA = I INCIDENTE 10 -R/10 R grande = buen aislamiento Valor típico R 20 db En general R aumenta con la Estacionaria: La posición de los ceros de amplitud y de los máximos y mínimos es constante Ondas estacionarias Sólo son posibles ondas con longitudes de onda que quepan en la caja λ/2= L Ondas estacionarias Sólo son posibles ondas con longitudes de onda que quepan en la caja 3λ/2= L λ = L 2λ = L 7
Ondas estacionarias Sólo son posibles ondas con longitudes de onda que quepan en la caja Condición de caber en la caja n λ/2= L λ = 2 L/n n = 1, 2, 3,.. Longitudes de onda posibles en una cavidad Cómo se produce el habla Intensidad Las cuerdas vocales vibran con unas s determinadas por su longitud, grosor y tensión Espectro típico 1 khz 2 khz 3kHz Cómo se produce el habla Las cavidades nasal y bucal amplifican las s con distinta Frecuencias resonantes f1 f2 Intensidad f3 Ultrasonidos Frecuencias mayores que la máxima audible f > 20000 Hz (actualmente hasta 1 GHz) Uso médico: Alta intensidad (200,000 W/m 2 ): destrucción de cálculos renales Baja intensidad (10,000 W/m 2 ): Imágenes de ultrasonidos (ecografías) 1 khz 2 khz 3kHz Rayos γ (gamma) λ < 1 pm Luz: radiación electromagnética 10 22 Hz Frecuencia 10 14 Hz 10 3 Hz γ X UV IR micro radio Rayos X 1 pm- 10 nm Visible 400-800nm Ultravioleta 10-400 nm Longitud de onda Infrarrojo 0.8µm-1 mm microondas 0.1-50 cm ondas de radio λ > 50 cm Energía de la luz (radiación electromagnética) h c E = h ν = λ (ν es la ) h = 6.62 10-34 J.s constante de Planck c = 2.9978 10 8 m/s velocidad de la luz Unidades habituales en espectroscopía Energía: 1 ev = 1.602 10-19 J Longitud de onda: cm, mm, µm, nm, Å=0.1 nm Frecuencia: khz, MHz, GHz Número de onda: cm -1 8
Rayos γ (gamma): λ < 1 pm Unidad habitual: ev (1 pm 1.24 MeV) Acción sobre la materia: excitación de núcleos atómicos γ Rayos X: 1 pm < λ < 10 nm Unidad habitual: ev, Å (1 Å 12.4 kev) Acción sobre la materia: excitación de electrones internos X e - Ámbitos en los que aparece: Reacciones nucleares naturales (sol) o inducidas (centrales de producción de energía) Medicina, tratamientos anticancerígenos Ámbitos en los que aparece: Reacciones nucleares Colisiones de partículas de alta energía con superficies Tratamientos clínicos Ultravioleta (10-400nm) visible (400-800nm) Unidad habitual: nm (100 nm 12.4 ev, 700 nm 1.8 ev) Infrarrojo: 800 nm < λ < 1 mm Unidad habitual: cm -1, µm Acción sobre la materia: excitación de electrones de valencia UV-vis Acción sobre la materia: Vibración y rotación de los núcleos de moléculas IR (( )) Ámbitos en los que aparece: Luz solar y artificial Reacciones químicas Cuerpos calientes Ámbitos en los que aparece: Luz solar y artificial Cuerpos calientes y templados Microondas (0.1-50 cm) ondas de radio (λ > 50 cm) Unidad habitual: Hz, MHz Ultravioleta visible Infrarrojo Acción sobre la materia: Rotación pura de moléculas Vibración-rotación de enlaces débiles no covalentes Ámbitos en los que aparece: Luz solar y radiación cósmica Radiación artificial (osciladores electrónicos) Log (potencia W/m 3 ) Espectro del sol Longitud de onda λ (µm) Espectro de emisión de los cuerpos en equilibrio 9
Los átomos y moléculas absorben y emiten luz en zonas características del espectro Ejemplo: absorción UV del ozono Los átomos y moléculas absorben y emiten luz en zonas características del espectro Ejemplo: absorción de las clorofilas A y B O 3 Absorbancia Longitud de onda (nm) Medida de s Fuente en movimiento f 0 v Fuente f 0 Observador menor f < f 0 mayor f > f 0 Efecto Doppler La detectada es distinta a la emitida cuando la fuente y/o el observador se mueven Fuente f 0 Onda c observador f D f 0 V F V D sentido del movimiento f D = f 0 c - v D c - v F 10
Efecto Doppler en el espectro de un átomo átomo Los átomos emiten luz con s características f 0 luz Efecto Doppler en el espectro de un átomo c átomo f 0 átomo que se aleja V F átomo en reposo f D átomo que se acerca Espectro del átomo f 0 f - < f 0 f 0 f + > f 0 Espectro del átomo de hidrógeno Transición 2p 1s del hidrógeno se aleja a 10000 m/s átomo en reposo f 0 = 24,677 THz f - = 24,676 THz se acerca a 10000 m/s f + = 24,678 THz La orientación de los murciélagos mediante la reflexión de ultrasonidos Variación de la intensidad y la I 0 f 0 v I D f D Detecta presas y obstáculos Intensidad distancia velocidad (efecto Doppler) 11
Variación de la intensidad y la PROBLEMA v POLILLA Intensidad I 0 f 0 v I D f D distancia velocidad (efecto Doppler) a) Un murciélago vuela hacia una pared lisa emitiendo ultrasonidos de 39 khz. La onda que recibe rebotada en la pared la percibe a 41 khz. A qué velocidad vuela el murciélago? b) Un murciélago vuela hacia una polilla a 9 m/s, mientras que la polilla se acerca hacia él a 8 m/s. La que le llega rebotada al murciélago es de 83 khz. Cuál es la emitida por el murciélago? Óptica Geométrica Ley de la reflexión: Los ángulos de incidencia y De reflexión son iguales Reflexión especular y difusa La ley de la reflexión se cumple para cada rayo Refracción Velocidad de la onda c 1 θ 1 Ley de Snell de la refracción sen θ 1 c 1 n = = 2 sen θ 2 c 2 n 1 θ θ θ 2 índice de refracción de un medio n 1 = c/c 1 n 2 = c/c 2 Reflexión especular Reflexión difusa Velocidad de la onda c 2 Aire n=1.0003 Índices de refracción a 590nm Agua n=1.33 Aceite n=1.50 Cuarzo n=1.46 La velocidad de la luz en un medio dispersivo y, por tanto, el índice de refracción, dependen de la longitud de onda de la luz Reflexión total interna Aire (n=1.00) Velocidad de la onda c 1 (λ) Las longitudes de onda cortas se dispersan y son más lentas n(rojo) < n(violeta) Agua (n=1.33) Velocidad de la onda c 2 (λ) Ángulo crítico sen θ c = n 2 /n 1 (siempre n 2 < n 1 ) 12
Las lentes utilizan la ley de la refracción para dirigir los rayos de luz El ojo humano (humor vítreo) (cristalino) 13
El ojo como lente convergente Miopía Se corrige con una lente divergente gafas ojo Hipermetropía Astigmatismo Se corrige con una lente convergente gafas ojo Percepción del color 14