HIDROSTATICA Definiciones Graficos Ejemplos Problemas Resueltos Test Propuestos 1
UNIDAD No. 4 - HIDROSTATICA BREVES DEFINICIONES TEORICAS FLUIDOS Se entiende por fluido un estado de la materia en el que la forma de los cuerpos no es constante, sino que se adapta a la del recipiente que los contiene. Diferencia entre líquidos y gases a) Los gases, a diferencia de los líquidos, pueden comprimirse b) Los líquidos y los gases corresponden a dos tipos diferentes de fluidos. Los primeros tienen un volumen constante que no puede mortificarse apreciablemente por compresión. Se dice por ello que son fluidos incompresibles. Los segundos no tienen un volumen propio, sino que ocupan el del recipiente que los contiene. c) La fuerza de repulsión entre las moléculas de los gases es mayor a la de atracción, mientras que los líquidos, la fuerza de atracción entre sus moléculas es igual a la de repulsión. Pesos específicos y densidades Los cuerpos difieren por lo general en su masa y en su volumen. Estos dos atributos físicos varían de un cuerpo a otro, de modo que si consideramos cuerpos de la misma naturaleza, cuanto mayor es el volumen, mayor es la masa del cuerpo considerado. No obstante, existe algo característico del tipo de materia que compone al cuerpo en cuestión y que explica el porqué dos cuerpos de sustancias diferentes que ocupan el mismo volumen no tienen la misma masa o viceversa. Aun cuando para cualquier sustancia la masa y el volumen son directamente proporcionales, la relación de proporcionalidad es diferente para cada sustancia. Es precisamente la constante de proporcionalidad de esa relación la que se conoce por densidad. Densidad Es la relación entre la masa del cuerpo y el volumen del mismo. La densidad puede ser absoluta o relativa. Densidad absoluta: es la relación entre la masa y su volumen 2
Formula δ = m v CGS S.I. ( M.K.S.) TECNICO La densidad del agua es de 1 gr/cm 3 en el CGS y 1000 kg/ cm 3 en el S.I. Densidad relativa La densidad relativa de una sustancia es el cociente entre su densidad y la de otra sustancia diferente que se toma como referencia o patrón: δ r = δ / δ p La densidad relativa es a dimensional; En la práctica y bajo el despeje de formula, en un ejemplo dado de una δ r = 0,8, esta es directamente igual en el CGS, es decir, consideramos directamente como 0,8 gr / cm 3. Peso especifico El peso específico ρ que se define como el cociente entre el peso P de un cuerpo y su volumen. El peso específico representa la fuerza con que la Tierra atrae a un volumen de la misma sustancia considerada. = Peso especifico absoluto: es la relación entre el peso y su volumen Formula = v CGS S.I. ( M.K.S.) TECNICO El peso especifico del agua es de 1 gf/cm 3 en el CGS y 10000 N/ cm 3 en el S.I., si la gravedad utilizada es 10 m/s 2 o 9800 N/m 3, si la gravedad es 9,8 m/s 2 3
Relación entre peso especifico y densidad La densidad está relacionada con el grado de acumulación de materia (un cuerpo compacto es, por lo general, más denso que otro más disperso), pero también lo está con el peso. Así, un cuerpo pequeño que es mucho más pesado que otro más grande es también mucho más denso. Esto es debido a la relación W = m.g, existente entre masa y peso. No obstante, para referirse al peso por unidad de volumen la física ha introducido el concepto de peso específico que se define como el cociente entre el peso P de un cuerpo y su volumen. Sabemos que el peso especifico, en el S.I. es: =...pero sabemos que W = m g y reemplazando en la ecuación, tenemos: = m y como sabemos que la densidad es m/v, tenemos: = δ. g PRESION El concepto de presión Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo deformable, los efectos que provoca dependen no sólo de su intensidad, sino también de cómo esté repartida sobre la superficie del cuerpo. El cociente entre la intensidad F de la fuerza aplicada perpendicularmente sobre una superficie dada y el área S de dicha superficie se denomina presión: La presión representa la intensidad de la fuerza que se ejerce sobre cada unidad de área de la superficie considerada. Cuanto mayor sea la fuerza que actúa sobre una superficie dada, mayor será la presión, y cuanto menor sea la superficie para una fuerza dada, mayor será entonces la presión resultante. S F Formula = 4
Unidades de medidas de presión CGS S.I. ( M.K.S.) TECNICO = Ba = Pa Relaciones En el S.I., tenemos que la presión se mide en reemplazando sus equivalentes, tenemos, simplificando y como se podrá notar, se obtiene la relación fácilmente, y solo consiste en pasar a las unidades indicadas en la comparación. Pa = 10 Ba También es importante manejar las sgte. Relaciones: 1 bar = 10 5 Pa y 1 milibar (mbar) = 10-3 bar 100 Pa = 1 hpa 1 atm = 1.013x10 5 Pa 1.013 bar = 1013 mbar 1013 hpa = 76 cm de Hg Estos valores lo demostraremos en la experiencia de torricelli Teorema general de la hidrostática o de Stevin Todos los líquidos pesan, por ello cuando están contenidos en un recipiente las capas superiores oprimen a las inferiores, generándose una presión debida al peso. La presión en un punto determinado del líquido deberá depender entonces de la altura de la columna de líquido que tenga por encima suyo. Considérese un punto cualquiera del líquido que diste una altura h de la superficie libre de dicho líquido Enunciado La diferencia de presiones que soporta un cuerpo sumergido en el seno de una masa liquida en reposo, es igual al producto del peso específico por la distancia vertical que los separa. 5
F h P P =. h F Considerando que el cuerpo se encuentra sumergido y en estado de reposo, y considerando la sumatoria sobre el eje y, tenemos: F y = 0 F + W - F = 0 transponiendo términos, tenemos: F - F = W. Pero = w/v w =. V F - F =. V. Donde V = S. h, luego: F - F =. S. h. Dividiendo toda la expresión por S: F/S - F /S =. S. h/s... Donde finalmente: P P =. h Conceptos básicos de presión a) presión a una profundidad P P =. h Existe una distancia, pero esta es horizontal y no vertical, por tanto: P P P P =. h P = P El cual indica que todos los cuerpos que se encuentran a una misma profundidad, necesariamente soportan la misma presión 6
b) Con relación al nivel del mar P 2 Es conveniente para no equivocarse con los signos, considerar los sgtes.: Nivel del mar para abajo: mayor profundidad menos menor profundidad mar P P 1 h 1 h 2 P 1 P =. h 2 Nivel del mar para arriba: menor altura menos mayor altura P P 2 =. h 1 Principio de Pascal La presión aplicada en un punto de un líquido contenido en un recipiente se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo. El principio de Pascal puede ser interpretado como una consecuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática y del carácter incompresible de los líquidos. En esta clase de fluidos la densidad es constante. F 1 F2 = S 2 S 1 Experiencia de Torricelli Para comprobar la existencia de la presión atmosférica, Torricelli tomo un tubo de vidrio de 90 cm de longitud, lo lleno de mercurio de densidad 13600 kg/m 3, y lo invirtió en una cubeta que también contenía mercurio. Torricelli comprobó que el mercurio solo descendía hasta una altura de 76 cm con respecto al nivel del liquido y se estacionaba en ese punto. Comprobó que el mercurio no podía descender por que sobre la cubeta actuaba una fuerza externa ( fuerza atmosférica), que lo impedía subir. 7
Valor de la presión atmosferica Vacio F AT H = 76 cm Por el teorema general de la hidrostática, tenemos que: P P = δ. g. h y reemplazando numéricamente P = 13600 kg/m 3. 9,8 m/s 2. 0, 76 m P AT = 101.300 N/m 2 = 1 AT Por tanto: 1 AT es la que equilibra una columna de mercurio de 76 cm de altura. Relaciones 1 AT = 76 cm de h g = 760 mm h g = 1,013 kg/cm 2 = 101.300 N/m 2 = 1013 hpa = 1013 mbar = 1.10 5 N/ m 2 Vasos comunicantes Son recintos que se comunican entre sí y pueden ser con líquidos iguales o líquidos diferentes. Son aplicaciones del teorema de la hidrostática. Si se tienen dos recipientes comunicados y se vierte un líquido en uno de ellos en éste se distribuirá entre ambos de tal modo que,independientemente de sus capacidades, el nivel de líquido en uno y otro recipiente sea el mismo. Este es el llamado principio de los vasos comunicantes, que es una consecuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática. Si se toman dos puntos A y B situados en el mismo nivel, sus presiones hidrostáticas han de ser las mismas. a) Con líquidos iguales 1 2 Pat Pat h 1 h 2 P nivel Por el teorema general de la hidrostática y sabiendo que en la parte superior actúa la presión atmosférica, tenemos: En el tubo 1: P P at =. h 1. ( 1 ) En el tubo 2: P P at =. h 2.. (2 ) Nótese que por presión a una profundidad P es común Por tanto las ecuaciones 1 y 2 son iguales, y como dos cantidades iguales a una tercera, son iguales, tenemos:. h 1 =. h 2 y como se trata de líquidos iguales, sus densidades son iguales. Por tanto: h 1 = h 2 A líquidos iguales, alturas iguales 8
b) líquidos diferentes Pat Pat Por el teorema general de la hidrostática y sabiendo que en la parte superior actúa la presión atmosférica, tenemos: En el tubo 1: P P at = 1. h. ( 1 ) nivel En el tubo 2: P P at = 2. h 1.. ( 2 ) P Nótese que por presión a una profundidad P es común Por tanto las ecuaciones 1 y 2 son iguales, y como dos cantidades iguales a una tercera, son iguales, tenemos: Esta ecuación permite, a partir de la medida de las alturas, la determinación experimental de la densidad relativa de un líquido respecto de otro y constituye, por tanto, un modo de medir densidades de líquidos no miscibles si la de uno de ellos es conocida. Prensa hidráulica 1. h 1 = 2. h 2... Proporcionando, tenemos: Lo que nos indica que: = h h a mayor altura, menor es su densidad Es una aplicación del principio de pascal y de los vasos comunicantes, donde por medio de una palanca de primer genero se aplica una potencia P para vencer una resistencia R, por medio de la presión ejercida por el liquido sobre el pistón CD. P x b p = R x b r Palancas bp P C R D A B = Piston Principio de Pascal Liquido Al accionar la palanca sobre el piston AB, este desciende creando un vacio, que al subir de nuevo arrastra al liquido y llena el conducto de dicho liquido, que, no vuelve al recinto pues se cierran las válvulas de retorno. El proceso sigue de la misma manera hasta que el piston CD comience a recibir presión a través del líquido y comience a elevarse y elevar la carga o resistencia. 9
La presión representa la intensidad de la fuerza que se ejerce sobre cada unidad de área de la superficie considerada. Cuanto mayor sea la fuerza que actúa sobre una superficie dada, mayor será la presión, y cuanto menor sea la superficie para una fuerza dada, mayor será entonces la presión resultante. El concepto de presión es muy general y por ello puede emplearse siempre que exista una fuerza actuando sobre una superficie. Sin embargo, su empleo resulta especialmente útil cuando el cuerpo o sistema sobre el que se ejercen las fuerzas es deformable. Los fluidos no tienen forma propia y constituyen el principal ejemplo de aquellos casos en los que es más adecuado utilizar el concepto de presión que el de fuerza. Cuando un fluido está contenido en un recipiente, ejerce una fuerza sobre sus paredes y, por tanto, puede hablarse también de presión. Si el fluido está en equilibrio las fuerzas sobre las paredes son perpendiculares a cada porción de superficie del recipiente, ya que de no serlo existirían componentes paralelas que provocarían el desplazamiento de la masa de fluido en contra de la hipótesis de equilibrio. La orientación de la superficie determina la dirección de la fuerza de presión, por lo que el cociente de ambas, que es precisamente la presión, resulta independiente de la dirección; se trata entonces de una magnitud escalar. A nivel del mar la presión atmosférica es de mayor valor que en lo alto de una montaña. Y no tiene nada de extraño, la cantidad de aire que está sobre el nivel del mar es más que la que hay sobre la cumbre de la montaña, por lo tanto pesa más y, en consecuencia, ejerce una mayor presión. En un líquido, la presión aumenta con la profundidad, la presión a una cierta profundidad en un líquido, por ejemplo en una piscina con agua, es mayor que a nivel de la superficie. Esto se debe a que a la presión atmosférica hay que sumar la presión que ejerce el peso del agua que está sobre el lugar, o punto, donde se desea conocer la presión. En el SI la unidad de presión es el Pascal, se representa por Pa y se define como la presión correspondiente a una fuerza de un newton de intensidad actuando perpendicularmente sobre una superficie plana de un metro cuadrado. 1 Pa equivale, por tanto, a 1 N/m ². Existen, no obstante, otras unidades de presión entre ellas se encuentran la atmósfera y el bar. La atmósfera se define como la presión que a 0 C ejercería el peso de una columna de mercurio de 76 cm de altura y 1 cm ² de sección sobre su base. 1 atmósfera = 1,013.10 5 Pa. El bar es realmente un múltiple del pascal y equivale a 10 5 N/m ². En meteorología se emplea con frecuencia el milibar (mb) o milésima parte del bar 1 mb = 10 ² Pa y 1 atmósfera = 1.013 mb. El término δgh se llama presión manométrica, ya que corresponde a la presión obtenida de la lectura de un manómetro, es decir, la diferencia entre la presión total y una presión de referencia, que con frecuencia es la presión atmosférica. El peso específico representa la fuerza con que la Tierra atrae a un volumen unidad de la misma sustancia considerada. Los cuerpos difieren por lo general en su masa y en su volumen. Estos dos atributos físicos varían de un cuerpo a otro, de modo que si consideramos cuerpos de la misma naturaleza, cuanto mayor es el volumen, mayor es la masa del cuerpo considerado. No obstante, existe algo característico del tipo de materia que compone al cuerpo en cuestión y que explica el porqué dos cuerpos de sustancias diferentes que ocupan el mismo volumen no tienen la misma masa o viceversa. 10
La densidad está relacionada con el grado de acumulación de materia (un cuerpo compacto es, por lo general, más denso que otro más disperso), pero también lo está con el peso. Así, un cuerpo pequeño que es mucho más pesado que otro más grande es también mucho más denso. Esto es debido a la relación W = m.g existente entre masa y peso. Como cada unidad material representa un átomo o molécula y estos tienen masa, la que se mide en gramos o en kilogramos, entonces la densidad de una materia representa cuántos gramos o kilogramos hay por unidad de volumen. Hay sustancias que tienen más átomos por unidad de volumen que otros, en consecuencia tienen más gramos, o kilogramos, por unidad de volumen. Por lo tanto, hay sustancias que tienen más densidad que otros. La densidad del agua, por ejemplo, es de 1 gr/cm3. Esto significa que si tomamos un cubo de 1 cm de lado y lo llenamos de agua, el agua contenida en ese cubo tendrá una masa de un gramo. La densidad del mercurio, otro ejemplo, es de 13,6 gr/cm3. Esto significa que en un cubo de 1 cm de lado lleno con mercurio se tiene una masa de 13,6 gramos. Los cuerpos sólidos suelen tener mayor densidad que los líquidos y éstos tienen mayor densidad que los gases. El principio de Pascal puede ser interpretado como una consecuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática y del carácter incompresible de los líquidos. En esta clase de fluidos la densidad es constante, de modo que de acuerdo con la ecuación p = p 0 + ρ. g.h si se aumenta la presión en la superficie libre, por ejemplo, la presión en el fondo ha de aumentar en la misma medida, ya que ρ. g.h no varía al no hacerlo h. La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental del principio de Pascal y también un dispositivo que permite entender mejor su significado. Consiste, en esencia, en dos cilindros de diferente sección comunicados entre sí, y cuyo interior está completamente lleno de un líquido que puede ser agua o aceite. Dos émbolos de secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en cada uno de los dos cilindros, de modo que estén en contacto con el líquido. Cuando sobre el émbolo de menor sección S 1 se ejerce una fuerza F 1 la presión p 1 que se origina en el líquido en contacto con él se transmite íntegramente y de forma instantánea a todo el resto del líquido; por tanto, será igual a la presión p 2 que ejerce el líquido sobre el émbolo de mayor sección S 2. La prensa hidráulica es una máquina simple semejante a la palanca de Arquímedes, que permite amplificar la intensidad de las fuerzas y constituye el fundamento de elevadores, prensas, frenos y muchos otros dispositivos hidráulicos de maquinaria industrial. El principio de los vasos comunicantes: Si se tienen dos recipientes comunicados y se vierte un líquido en uno de ellos, éste se distribuirá entre ambos de tal modo que, independientemente de sus capacidades, el nivel de líquido en uno y otro recipiente sea el mismo. Este es el llamado principio de los vasos comunicantes, que es una consecuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática. Si se toman dos puntos A y B situados en el mismo nivel, sus presiones hidrostáticas han de ser las mismas, necesariamente las alturas h A y h B de las respectivas superficies libres han de ser idénticas h A = h B. si los líquidos son iguales y Si se emplean dos líquidos de diferentes densidades y no miscibles, entonces las alturas serán inversamente proporcionales a las respectivas densidades. 11
Principio de Arquímedes 1. Todo cuerpo sumergido en el seno de una masa liquida en reposo experimenta un empuje vertical de abajo hacia arriba, igual al peso del liquido desalojado. Peso en el aire E Vs = volumen sumergido Se tiene un recipiente completamente lleno de un líquido hasta la altura de un cilindro de vaciamiento. Al sumergir un cuerpo en el mismo, se derrama una cierta cantidad de líquido, que cae en un recipiente unido a un dinamómetro, capaz de pesar el liquido desalojado. Dice Arquímedes que el empuje que recibe el cuerpo es igual al peso de dicho liquido desalojado. Liquido desalojado Dinamómetro para Pesar el liquido desalojado Por Conclusión de Arquímedes, tenemos: E = W liquido desalojado E = W líquido desalojado pero por definición de Peso especifico : = w/v w =. V E = liquido. V.. y como = δ.g, tenemos finalmente que: E = liquido. V s E = δ liquido..g. V s 2. Todo cuerpo sumergido en el seno de una masa liquida en reposo experimenta una perdida aparente de peso, igual al peso del liquido desalojado. Peso en el aire Liquido desalojado E Vs = volumen sumergido Dinamómetro para Pesar el liquido desalojado Se tiene un recipiente completamente lleno de un líquido hasta la altura de un cilindro de vaciamiento. Al sumergir un cuerpo en el mismo, se derrama una cierta cantidad de líquido, que cae en un recipiente unido a un dinamómetro, capaz de pesar el líquido desalojado. Dice Arquímedes que la perdida aparente de peso es debido al empuje y este es igual al peso de dicho líquido desalojado. W A - W l = E 12
Por Conclusión de Arquímedes, tenemos: Peso en el aire menos el peso en el liquido es igual al empuje W A - W l = E pero E = liquido. V s y reemplazando, tenemos: W A - W l = liquido. V s W A - W l = δ liquido.g. V s Resumen de la teoría Los cuerpos sólidos sumergidos en un líquido experimentan un empuje hacia arriba. Este fenómeno, que es el fundamento de la flotación de los barcos, era conocido desde la más remota antigüedad, pero fue el griego Arquímedes (287-212 a. de C.) quien indicó cuál es la magnitud de dicho empuje. De acuerdo con el principio que lleva su nombre, todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de líquido desalojado. En el equilibrio de los cuerpos sumergidos y de acuerdo con el principio de Arquímedes, para que un cuerpo sumergido en un líquido esté en equilibrio, la fuerza de empuje E y el peso W han de ser iguales en magnitudes y, además, han de aplicarse en el mismo punto. En tal caso la fuerza resultante R es cero y también lo es el momento M, con lo cual se dan las dos condiciones de equilibrio. La condición E =W, equivale de hecho a que las densidades del cuerpo y del líquido sean iguales. En tal caso el equilibrio del cuerpo sumergido es indiferente. En el equilibrio de los cuerpos flotantes, tenemos que Si un cuerpo sumergido sale a flote es porque el empuje predomina sobre el peso (E >W). En el equilibrio ambas fuerzas aplicadas sobre puntos diferentes estarán alineadas. 13