NORMAL SUPERIOR LA HACIENDA

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1 NORMAL SUPERIOR LA HACIENDA DPTO. DE CIENCIAS NATURALES ASIGNATURA: FISICA 1

2 MECÁNICA DE FLUIDOS 1. Sólidos y Fluidos La materia se clasifica, por lo general en uno de los tres estados o fases: sólidos, líquido o gaseoso. Debido a que los líquidos y gases fluyen con facilidad, reciben el nombre de fluidos. Un sólido es una sustancia rígida que conserva su forma frente a fuerzas externas de distorsión, mientras que un fluido es una sustancia no rígida que no conserva su forma frente a tales fuerzas. El líquido se va al fondo del recipiente que lo contiene y el gas se expande para llenar todo el volumen accesible. Los átomos en un sólido vibran en torno a posiciones de equilibrio fijas, mientras que los átomos o moléculas en un líquido se mueven con relativa libertad y colisionan frecuentemente unos con otros. Los átomos en un sólido o en un líquido están apretados en forma compacta, lo cual dificulta reducir su volumen; son casi incompresibles. Los átomos o moléculas de un gas están separados, colisionan con mucha menos frecuencia que las de un líquido. Los gases en general son compresibles. En este capítulo estudiaremos las propiedades fundamentales de los fluidos en reposo (Hidrostática) y en movimiento (Hidrodinámica) 1.1. Densidad Antes de estudiar la estática y la dinámica de los fluidos, es importante entender algunos conceptos claves como es la densidad y la presión. Una propiedad muy importante de cualquier material es su densidad, la cual es definida como la masa de una sustancia contenida en la unidad de volumen. La densidad de un material homogéneo, como el agua o el hierro; tiene el mismo valor en todas partes. Decimos que la densidad es una propiedad característica de la materia homogénea pues nos ayuda a identificarla. La densidad es una magnitud física derivada porque proviene de la combinación entre la masa y el volumen. Se puede entender que la densidad es la magnitud física que nos indica como está distribuida la masa de una sustancia en la unidad de volumen. Usamos la letra griega ρ(rho) para representar la densidad. La densidad se puede determinar mediante la relación ρ = m v Las unidades en que se expresa la medida de la densidad en el S.I es ( Kg m ). También se usa mucho la unidad 3 del sistema c.g.s es ( g cm ). 3 En la siguiente tabla se dan las densidades de varias sustancias comunes a temperaturas ordinarias. Sustancia Densidad en ( ) kg m 3 Densidad en ( g cm 3 ) Densidad de Peso ( N m 3 ) Sólidos Aluminio , Latón , Cobre , Vidrio , Oro , Hielo 920 0, Hierro , Plomo , Plata , Acero , Madera 810 0,

3 Observación Sustancia Densidad en ( ) kg m 3 Densidad en ( g cm 3 ) Densidad de Peso ( N m 3 ) Líquidos Alcohol 790 0, Benceno 880 0, Gasolina 680 0, Agua Aceite 920 0,92 Glicerol , Agua de mar , Mercurio ,6 Gases Aire 1,29 0, ,642 Helio 0,18 0,00018 Dióxido de carbono 0,76 0,00076 Hidrógeno 0,09 0,00009 Nitrógeno 1,25 0,00125 Oxígeno 1,43 0,00143 La densidad de algunos materiales varía de un punto a otro dentro del material; un ejemplo de ello es la atmósfera terrestre (que es menos densa a mayor altitud) y los océanos (que son más densos a grandes profundidades). En el caso de estos materiales la ecuación ρ = m v describe la densidad media. En general, la densidad de un material depende de los factores ambientales como la temperatura y la presión 1.2. Densidad y peso específico Para referirse al peso de un cuerpo o sustancia por unidad de volumen, es decir, la fuerza con que la tierra atrae a un volumen unidad, se introduce el concepto de peso específico (D) el cual se define como el cociente entre el peso (W ) y su volumen (V ), es decir, D = W V La relación entre peso específico y densidad es la misma que la existente entre peso y masa. Reemplazando el peso W = m g se tiene D = W V = m g V = ( m V ) g = ρ g Siendo la unidad de medida N m Densidad Relativa La densidad relativa (ρ r ), de una sustancia es el cociente entre la densidad (ρ) y la densidad de otra sustancia (ρ ), tomada como referencia y denominada patrón, es decir, ρ r = ρ ρ Siendo esta una cantidad adimensional. Para sustancias líquidas se suele tomar como patrón la densidad del agua a 4 o C. Para gases la sustancia de referencia la constituye el aire que a la temperatura de 0 o C y presión de una atmosfera, tiene una densidad de 1,293 Kg m 3 3

4 1.4. Cálculo de la densidad en los líquidos En el laboratorio, vamos a coger agua en un recipiente y, utilizando una probeta y la balanza, vamos a determinar las masas que tienen diferentes volúmenes de agua; los vamos a anotar: Masa de agua Volumen de agua m 1 = V 1 = m 2 = V 2 = m 3 = V 3 = Hacemos otras medidas similares con aceite: Masa de aceite Volumen de aceite m 4 = V 4 = m 5 = V 5 = m 6 = V 6 = A continuación, dividimos cada medida de la masa de agua por el volumen que ocupa y lo mismo hacemos con las medidas obtenidas con el aceite. Masa Volumen m 1 V 1 = Masa Volumen m 4 V 4 = m 2 V 2 = m5 V 5 = m 3 V 3 = m 6 V 6 = Qué observaremos? Que los cocientes obtenidos con las medidas del agua son iguales entre sí, lo mismo que ocurre con las del aceite; pero, comparadas las unas con las otras, veremos que son diferentes. Que hemos calculado en esos cocientes? Hemos hallado la masa de la unidad de volumen de cada uno de estas sustancias, es decir, su densidad Cálculo de la densidad en los sólidos Para hallar la densidad, utilizaremos la relación: densidad = masa volumen 1. Lo primero que haremos es, determinar la masa del sólido en la balanza. m = g 2. Para hallar el volumen se tienen dos métodos Cuerpos regulares (Método geométrico): Aplicaremos la fórmula que nos permite su cálculo. Si es necesario conocer alguna de sus dimensiones las mediremos con el calibre, la regla o el instrumento de medida adecuado. Si se trata de un paralelipípedo, el volumen corresponde al producto: V = a b c 4

5 Donde a, b, c corresponden a las dimensiones (largo, ancho y alto). Si el objeto es cilíndrico, el volumen corresponde al producto: V = π r 2 h siendo r el radio y h la altura Si el objeto es esférico, el volumen corresponde al producto: siendo r el radio de la esfera V = 4 3 π r3 Utilizar la regla y el Vernier para tomar los datos de las dimensiones de cada sólido. Dimensiones Cilindro Paralelepípedo Esfera Sólido Masa(g) r(cm) h(cm) a(cm) b(cm) c(cm) r(cm) V(cm 3 ) Al Fe Cu Madera Cuerpos irregulares (Método de inmersión) En un recipiente graduado (probeta) echaremos agua y anotaremos su nivel (V i ). Luego, sumergiremos totalmente el objeto y volveremos a anotar el nuevo nivel (V f ), La diferencia de niveles será el volumen del sólido. V s = V f V i Sólido Masa(g) V i (cm 3 ) V f (cm 3 ) V(cm 3 ) Al Fe Cu Madera 3. Por ultimo calculamos la densidad, aplicando la relación escrita para la densidad. densidad = masa volumen Ejemplo Peso de un cuarto lleno de aire Calcule la masa y el peso del aire del salón de laboratorio cuyo piso mide 6.0 m de ancho por 8.0 m de largo y tiene una altura de 3.0 m. Qué masa y peso tiene un volumen igual de agua? Solución Suponemos que el aire es homogéneo, así que la densidad es la misma en todo el cuarto de laboratorio. (Es verdad que el aire es menos denso a gran altitud que cerca del nivel del mar, pero la variación de la densidad a lo largo de la altura de 3.0 m es despreciable). 5

6 Usaremos la ecuación que relaciona la masa (incógnita) con el volumen (que se puede calcular a partir de las dimensiones) y la densidad (se busca en una tabla de valores) El volumen (V) para un cuerpo geométrico como un cuarto se calcula La masa del aire está dada por la ecuación V = l a h == (6,0 8,0 3,0)m 3 = 144m 3 m = ρ V = (1,2 kg m 3 )(144m 3 ) = 172,8kg El peso del aire es w = m g = (172,8kg)(9,8 m s 3 ) = 1693,44N Calcule usted la masa del agua y el peso para el mismo volumen Conclusión. El aire contenido en un cuarto está pesando lo mismo que 3 jóvenes de 57.3 kg cada uno. El agua es casi mil veces más densa que el aire su masa y su peso son mayores en la misma proporción. De hecho, el peso de un cuarto lleno de agua seguramente hundiría el piso de una casa común Presión Al aplicar una fuerza sobre un cuerpo deformable, los efectos que provoca dependen no solo de su intensidad, sino también cómo está repartida sobre la superficie del cuerpo. Así un golpe de martillo sobre un clavo bien afilado hace que penetre más en la pared de lo que haría otro clavo sin punta que recibiera el mismo impacto. Una persona situada de puntillas sobre una capa de nieve blanda se hunde, en tanto que otra de igual peso que calce raquetas, al repartir la fuerza de su peso en un superficie mayor, puede caminar sin dificultad. Un sólido al entrar en contacto con otro ejerce una fuerza en su superficie tratando de penetrarlo. El efecto deformador de esa fuerza o la capacidad de penetración depende de la intensidad de la fuerza y del área de contacto. La presión es la magnitud que mide esa capacidad. El cociente entre la intensidad de la fuerza F aplicada perpendicularmente sobre una superficie dada y el área S de dicha superficie se denomina presión. P = F S La presión representa la intensidad de la fuerza que se ejerce sobre cada unidad de área de la superficie considerada. Cuanto mayor sea la fuerza actúa sobre la superficie dada, mayor es la presión, y cuanto menor sea la superficie para una fuerza dada, mayor será entonces la presión resultante. Si la fuerza no es perpendicular a la superficie sobre la cual actúa, es decir, forma un ángulo teta con aquella, se considera entonces la componente perpendicular, es decir, F senθ y la presión entonces se puede calcular a partir de P = F sen(θ) S 6

7 Note que la componente F cos(θ) tiende a producir una traslación o movimiento. Unidades de Presión En el sistema S.I la unidad de presión es el Pascal se representa por (P a ) y se define como la presión ejercida por una fuerza de 1 N actuando perpendicularmente sobre una superficie plana de 1 m 2. Por lo tanto 1P a = 1( N m 2 ) Existen otras unidades de presión que sin corresponder a ningún sistema de unidades en particular han sido consagradas por el uso y se siguen usando en la actualidad junto con el Pascal. Entre ellas se encuentran la atmósfera y el bar. La atmósfera (atm), se define como la presión que a 0 o C ejercería el peso de una columna de mercurio de 0.76 m de altura y 1 cm 2 de sección transversal sobre su base. El bar corresponde a un multiplo del Pascal y equivale a 10 5 Pa. Por otro lado en meteorología se emplea con frecuencia el milibar (mbar) donde 1mbar= 100P a 1.7. La presión en los fluidos El concepto de presión es muy general y por ello puede emplearse siempre que exista una fuerza actuando sobre una superficie. Sin embargo, su empleo resulta especialmente útil cuando el cuerpo o sistema sobre el que se ejercen las fuerzas es deformable. Los fluidos no tienen forma propia y constituyen el principal ejemplo de aquellos casos en los que es más adecuado utilizar el concepto de presión que el de fuerza. Cuando un fluido está contenido en un recipiente, ejerce una fuerza sobre sus paredes y, por tanto, puede hablarse también de presión. Si el fluido está en equilibrio las fuerzas sobre las paredes son perpendiculares a cada porción de superficie del recipiente, ya que de no serlo existirían componentes paralelas que provocarían el desplazamiento de la masa de fluido en contra de la hipótesis de equilibrio. La orientación de la superficie determina la dirección de la fuerza de presión, por lo que el cociente de ambas, que es precisamente la presión, resulta independiente de la dirección; se trata entonces de una magnitud escalar. P = F S La fuerza que ejerce un fluido sobre las paredes del recipiente que lo contiene siempre actúa perpendicularmente a dichas paredes Los fluidos ejercen presión en todas las direcciones La presión hidrostática Todos los líquidos pesan, por ello cuando están contenidos en un recipiente las capas superiores oprimen a las inferiores, generándose una presión debida al peso. La presión en un punto determinado del líquido deberá depender entonces de la altura de la columna de líquido que tenga por encima de él. 7

8 Considérese un punto cualquiera del líquido que diste una altura h de la superficie libre de dicho líquido. La fuerza del peso debido a una columna cilíndrica de líquido de base S situada sobre él puede expresarse en la forma F peso = m g = ρ V g = ρ g h S Siendo V el volumen de la columna y ρ la densidad del líquido. Luego la presión debida al peso vendrá dada por: O bien P h = F peso S = ρ g h S S = ρ g h P h = ρ g h = D h Donde D h es la densidad de peso. Por consiguiente, la presión en el interior de un fluido es directamente proporcional a la profundidad h. La ecuación anterior generalmente recibe el nombre ecuación de presión - profundidad. Se supone que la densidad es constante. Se trata de una suposición razonable en el caso de los líquidos y de volúmenes relativamente pequeños en gases. En la atmósfera la densidad del aire no es constante con la altura, porque el peso de la atmosfera de capas superiores comprime el aire cercano a la superficie terrestre Propiedades de la presión en un medio fluido 1. La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas las direcciones. 2. La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido en reposo (y situado en un campo gravitatorio constante) es la misma. 3. En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior del fluido una parte de este sobre la otra es normal a la superficie de contacto (Corolario: en un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce el fluido sobre la superficie sólida que lo contiene es normal a ésta). 4. La fuerza asociada a la presión en un fluido ordinario en reposo se dirige siempre hacia el exterior del fluido, por lo que debido al principio de acción reacción, resulta en una compresión para el fluido, jamás una tracción. 5. La superficie libre de un líquido en reposo (y situado en un campo gravitatorio constante) es siempre horizontal. Eso es cierto sólo en la superficie de la Tierra y a simple vista, debido a la acción de la gravedad que es constante. Si no hay acciones gravitatorias, la superficie de un fluido es esférica y, por tanto, no horizontal. 6. En los fluidos en reposo, un punto cualquiera de una masa líquida está sometida a una presión que es función únicamente de la profundidad a la que se encuentra el punto. Otro punto a la misma profundidad, tendrá la misma presión. A la superficie imaginaria que pasa por ambos puntos se llama superficie equipotencial de presión o superficie isobárica. 8

9 Ejemplo 1 Presión hidrostática en el fondo marino Un laboratorio cilíndrico marino, cuyo diámetro mide 3 m y cuya altura es de 2.5 m, se sumerge en el océano de modo que su parte suprior se encuentra a 60 m debajo el nivel del mar. Cuáles son a) la presión y la fuerza sobre la parte superior del laboratorio y b) la presión sobre el fondo del laboratorio debida al agua del mar? Solución a) Según la tabla de datos la densidad del agua de mar es de 1025 kg m 3. Entonces a una profundidad de h = 60 m, se tiene P = ρ g h = 1025 Kg m 3 9,8 m s 2 60m = N m 2 = 6, P a El área de la parte superior circular del laboratorio es A = π r 2 = (3,14)(1,5m) 2 = 7,065m 2 Como presión es P = F S, entonces la fuerza F viene dada por F = P S = ( N m 2 )(7,065m 2 ) = ,5N b) en el fondo del laboratorio marino se halla a una profundidad h = 62,5m debajo el nivel del mar, y por tanto la presión a esta profundidad es P = ρ g h = 1025 Kg m 3 9,8 m s 2 62,5m = ,5 N m 2 = 6, P a 1.8. Teorema fundamental de la hidrostática Hemos demostrado que la presión que ejerce un líquido en reposo depende del peso específico (D = ρ g) del líquido y de la distancia (h) a la superficie libre de éste. Si ahora consideramos dos puntos A y B a diferentes profundidades de una columna de líquido en equilibrio, el mismo razonamiento nos permite afirmar que la diferencia de presión será: P B P A = ρ g (h B h A ) = ρ g h = D h Este resultado constituye el llamado teorema fundamental de la hidrostática: La diferencia de presión entre dos puntos dentro de una misma masa líquida es el producto del peso específico del líquido por la distancia vertical que los separa. 9

10 Ésta es la razón por la cual dos puntos de un fluido a igual profundidad estarán a igual presión. Por el contrario, si la presión en ambos puntos no fuera la misma, existiría una fuerza horizontal desequilibrada y el líquido fluiría hasta hacer que la presión se igualara, alcanzando una situación de equilibrio. Ejemplo Aplicación de la ecuación fundamental de la hidrostática Una arteria de diámetro mayor que 0,3cm ofrece poca resistencia al flujo de la sangre, de modo que la presión en ella solo depende de la distancia vertical a la aorta. La distancia promedio para un adulto de la aorta a los pies, cuando estamos de pie erguidos es 1,35m aproximadamente. Si la densidad de la sangre es de 1,050 g ml y la presión media a nivel del corazón es de 100 mmhg. Determinese a) la presión a nivel de los pies. b) la presión a nivel de la cabeza, si la distancia promedio del corazón a la cabeza es de 35 cm. Solución parte a) De acuerdo con la ecuación fundamental de la hidrostática P B P A = ρ g h Considerando que la presión media del corazón es P A = 100mmHg y h la distancia promedio del corazón a los pies. Sustituyendo datos P B 100mmHg = (1050 Kg m 3 9,8 m s 2 1,35m) = 13891,5 N m 2 Como las cantidades se encuentran en diferentes sistemas de unidades aplicamos la equivalencia 760mmHg = N m 2, con lo cual nos queda P B 100mmHg = 13891,5 N m = 104,22mmHg 2 Estando en la misma unidad de medida podemos operar las cantidades, por tanto P B = 100mmHg + 104,22mmHg = 204,22mmHg Este resultado nos muestra que la presión arterial es mayor a nivel de los pies, lo que conlleva a un mayor desarrollo de las venas en los pies. Queda como ejercicio la parte b) 1.9. El principio de Pascal y sus aplicaciones La presión aplicada en un punto de un líquido contenido en un recipiente se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo. Este enunciado, obtenido a partir de observaciones y experimentos por el físico y matemático francés Blas Pascal ( ), se conoce como principio de Pascal. El principio de Pascal puede ser interpretado como una consecuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática y del carácter incompresible de los líquidos. En esta clase de fluidos la densidad es constante, de modo que de acuerdo con la ecuación p = po + ρ g h si se aumenta la presión en la superficie libre, por ejemplo, la presión en el fondo ha de aumentar en la misma medida, ya que ρ g h no varía al no hacerlo h. La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental del principio de Pascal y también un dispositivo que permite entender mejor su significado. Consiste, en esencia, en dos cilindros de diferente sección comunicados 10

11 entre sí, y cuyo interior está completamente lleno de un líquido que puede ser agua o aceite. Dos émbolos de secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en cada uno de los dos cilindros, de modo que estén en contacto con el líquido. Cuando sobre el émbolo de menor sección S 1 se ejerce una fuerza F 1 la presión p 1 que se origina en el líquido en contacto con él se transmite íntegramente y de forma instantánea a todo el resto del líquido; por tanto, será igual a la presión p 2 que ejerce el líquido sobre el émbolo de mayor sección S 2, es decir: Presion de entrada = Presión de salida Por tanto P 1 = P 2 F 1 S 1 = F 2 S 2 Si la sección S 2 es veinte veces mayor que la S 1, la fuerza 1 aplicada sobre el émbolo pequeño se ve multiplicada por veinte en el émbolo grande. La prensa hidráulica es una máquina simple semejante a la palanca de Arquímedes, que permite amplificar la intensidad de las fuerzas y constituye el fundamento de elevadores, prensas, frenos y muchos otros dispositivos hidráulicos de maquinaria industrial. Ejemplo 1 Aplicación del principio de pascal El elevador hidráulico de un garaje funciona mediante una prensa hidráulica conectada a una toma de agua de la red urbana que llega a la máquina con una presión de N m 2. Si el radio del émbolo es de 20 cm y el rendimiento es de un 90 %, determinar cuál es el valor en toneladas de la carga que como máximo puede levantar el elevador. Solución De acuerdo con el principio de Pascal: que para una prensa hidráulica se transforma en: P 1 = P 2 F 1 S 1 = F 2 S 2 11

12 En este caso el dato que correspondería al émbolo pequeño de la prensa se facilita en forma de presión, de modo que combinando las ecuaciones anteriores se tiene: F 1 = P 1 S 1 F 1 = ( N m )(π(0,20m) 2 ) 2 F 1 = 62800N Como el rendimiento es del 90 % el valor efectivo de la carga máxima expresado en Newton será F 2 = 90 %F 1 F 2 = 0,9(62800N) F 2 = 56520N F 2 = 56520N 1Kgf 9,8N F 2 = 5767,34Kgf Una tonelada métrica equivale al peso de un cuerpo de kg de masa, por tanto F 2 = 5767,34Kgf = 5767,34Kgf El principio de los vasos comunicantes 1T on 1000Kgf = 5,76T on Si se tienen dos recipientes comunicados y se vierte un líquido en uno de ellos en éste se distribuirá entre ambos de tal modo que, independientemente de sus capacidades, el nivel de líquido en uno y otro recipiente sea el mismo. Éste es el llamado principio de los vasos comunicantes, que es una consecuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática. Si se toman dos puntos A y B situados en el mismo nivel, sus presiones hidrostáticas han de ser las mismas, es decir: P B = P 0 + ρ g h B y P A = P 0 + ρ g h A luego si P A = P B necesariamente las alturas h A y h B de las respectivas superficies libres han de ser idénticas h A = h B. Si se emplean dos líquidos de diferentes densidades y no miscibles, entonces las alturas serán inversamente proporcionales a las respectivas densidades. En efecto, si P A = P B, se tendrá: simplificando g, entonces se tiene que ρ A g h A = ρ B g h B ρ A h A = ρ B h B Esta ecuación permite, a partir de la medida de las alturas, la determinación experimental de la densidad relativa de un líquido respecto de otro y constituye, por tanto, un modo de medir densidades de líquidos no miscibles si la de uno de ellos es conocida. 2. Empuje hidrostático: Principio de Arquímedes Los cuerpos sólidos sumergidos en un líquido experimentan un empuje hacia arriba. Este fenómeno, que es el fundamento de la flotación de los barcos, era conocido desde la más remota antigüedad, pero fue el griego Arquímedes ( a. de C.) quien indicó cuál es la magnitud de dicho empuje. De acuerdo con el principio que lleva su nombre, todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de líquido desalojado. 12

13 Aun cuando para llegar a esta conclusión Arquímedes se apoyó en la medida y experimentación, su famoso principio puede ser obtenido como una consecuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática. Demostración Considérese un cuerpo en forma cilindrica, con área de sección transversal A, h representa la altura del cilindro el cual está completamente sumergido en un fluido como se muestra en la figura. Dado que las fuerzas laterales se compensan mutuamente, sólo se considerarán las fuerzas sobre las caras horizontales. La fuerza F 1 sobre la cara superior estará dirigida hacia abajo y de acuerdo con la ecuación fundamental de la hidrostática su magnitud se podrá escribir como: F 1 = P 1 A = ρ g h 1 A siendo A la superficie de la cara superior y h 1 su altura respecto de la superficie libre del líquido. La fuerza F 2 sobre la cara inferior estará dirigida hacia arriba y, como en el caso anterior, su magnitud vendrá dada por F 2 = P 2 A = ρ g h 2 A La resultante de ambas representará la fuerza de empuje hidrostático E. pero, dado que A es común y h 2 = h 1 + h, resulta: E = F 2 F 1 E = (ρ g h 2 A) (ρ g h 1 A) E = ρ g A(h 2 h 1 ) E = ρ g h A E = ρ g V 13

14 que es precisamente el valor del empuje predicho por Arquímedes en su principio, ya que V = h A es el volumen del cuerpo, ρ la densidad del líquido, m = ρ V la masa del liquido desalojado y finalmente m g es el peso de un volumen de líquido igual al del cuerpo sumergido. E = m g 2.1. Equilibrio de los cuerpos sumergidos De acuerdo con el principio de Arquímedes, para que un cuerpo sumergido en un líquido esté en equilibrio, la fuerza de empuje E y el peso P han de ser iguales en magnitudes y, además, han de aplicarse en el mismo punto. En tal caso la fuerza resultante R es cero y también lo es el momento de torsión τ, con lo cual se dan las dos condiciones de equilibrio. La condición E = P equivale de hecho a que las densidades del cuerpo y del líquido sean iguales. En tal caso el equilibrio del cuerpo sumergido es indiferente. Si el cuerpo no es homogéneo, el centro de gravedad no coincide con el centro geométrico, que es el punto en donde puede considerarse aplicada la fuerza de empuje. Ello significa que las fuerzas E y P forman un par que hará girar el cuerpo hasta que ambas estén alineadas Equilibrio de los cuerpos flotantes Si un cuerpo sumergido sale a flote es porque el empuje predomina sobre el peso (E > P). En el equilibrio ambas fuerzas aplicadas sobre puntos diferentes estarán alineadas; tal es el caso de las embarcaciones en aguas tranquilas, por ejemplo. Si por efecto de una fuerza lateral, como la producida por un golpe de mar, el eje vertical del navío se inclinara hacia un lado, aparecerá un par de fuerzas que harán oscilar el barco de un lado a otro. Cuanto mayor sea el momento de torsión τ del par, mayor será la estabilidad del navío, es decir, la capacidad para recuperar la verticalidad. Ello se consigue diseñando convenientemente el casco y repartiendo la carga de modo que rebaje la posición del centro de gravedad, con lo que se consigue aumentar el brazo del par. Ejemplo 1 Aplicación del principio de Arquímedes Un globo de goma tiene 8g de masa cuando está vacío. Para conseguir que se eleve se infla con gas ciudad. Sabiendo que la densidad del aire es de 1,29 kg m y la del gas ciudad 0,53 kg 3 m determinar el volumen que, 3 como mínimo, ha de alcanzar el globo para que comience a elevarse. Solución Para que el globo inicie el ascenso, la fuerza del empuje ha de ser superior a la del peso: E P En virtud del principio de Arquímedes: ya que en este caso el fluido desalojado es el aire. E = ρ aire g V Por otra parte, el peso P será la suma del peso del globo más el peso del gas ciudad que corresponde al volumen V, es decir: P = m globo g + m gas g P = (m globo + m gas ) g P = (m globo + ρ gas V ) g Como E P, entonces ρ aire g V (m globo + ρ gas V ) g 14

15 Simplificando g, y ordenando la ecuación m globo V ρ aire ρ gas Reemplazando datos se obtiene que el volumen mínimo será, de 10,5 litros. Ejemplo 2 Aplicación del principio de Arquímedes Un cilindro metálico cuya área es A = 10 cm 2 y altura de H = 8 cm, flota en mercurio, como se muestra en la figura. La parte del cilindro sumergida es de h = 6 cm. a) Qué valor tiene el Empuje hidrostático sobre el cilindro (g = 9.8 m s 2 )? b) Cuál es el valor del peso del cilindro metálico? c) Cuál es la densidad del cilindro? Solución Parte a) Por definición sabemos que el Empuje hidrostático es igual al peso del líquido desalojado E = m (liq des) g = ρ (liq) V (d) g El volumen desalojado corresponde al volumen del cilindro sumergido V (cil sum) V (d) = V (cil sum) V (d) = A h V (d) = 10cm 2 6cm = 60cm 3 por tanto transformando los gramos a Kilogramos E = ρ (liq) V (d) g E = 13,6 g cm 3 60cm 3 9,8 m s 2 E = 8160(g m s 2 ) E = 8160g m s 2 1Kg 1000g = 8,16N Parte b) Observamos que el sistema se encuentra en equilibrio, por tanto ΣF = 0. 15

16 Notamos que el empuje actúa hacia arriba y el peso hacia abajo, luego despejando se obtiene Por lo tanto el peso del cilindro es de 8.16 N E w = 0 E = w = 8,16N Parte c) Por definición tenemos que la densidad es masa por unidad de volumen, para hallar la densidad se requiere conocer la masa y el volumen del cuerpo. Para la masa la determinamos a partir del peso, ya que w = m g, luego m = w g = 8,16N 9,8( m = 0,816Kg = 816g s 2 ) Para el volumen aplicamos la formula del volumen del cilindro V = A H = 10cm 2 8cm = 80cm 3. La densidad será entonces ρ = m V = 816g 80cm = 10,2( g 3 cm ) Manómetros y barómetros Un manómetro es un aparato que sirve para medir la presión de los gases contenidos en recipientes cerrados. Existen, básicamente, dos tipos de manómetros: los de líquidos y los metálicos. Los manómetros de líquidos emplean, por lo general, mercurio que llena un tubo en forma de U. El tubo puede estar o abierto por ambas ramas o abierto por una sola. En ambos casos la presión se mide conectando al recipiente que contiene el gas el tubo por su rama inferior y abierta y determinando el desnivel h de la columna de mercurio entre ambas ramas. Si el manómetro es de tubo abierto entonces es necesario tomar en cuenta la presión atmosférica P 0 en la ecuación P = P 0 ± (ρ g h). Si es de tubo cerrado, la presión vendrá dada directamente por P = (ρ g h). Los manómetros de este segundo tipo permiten, por sus características, la medida de presiones elevadas. En los manómetros metálicos la presión del gas da lugar a deformaciones en una cavidad o tubo metálico. Estas deformaciones se transmiten a través de un sistema mecánico a una aguja que marca directamente la presión del gas sobre una escala graduada. El barómetro es el aparato con el que se mide la presión atmosférica. Como en el caso de los manómetros, los hay también de mercurio y metálicos. Los primeros se basan en el dispositivo utilizado por Torricelli en sus experimentos. El llamado barómetro de fortín es, de hecho, una reproducción mejorada del aparato 16

17 de Torricelli. Su cubeta posee un fondo compuesto de un material flexible, por lo que puede ser alterado mediante un tornillo auxiliar con el fin de conseguir ajustar el nivel del mercurio de la cubeta al cero de la escala graduada cada vez que se efectúa una medida. Los barómetros de sifón son simples manómetros de tubo cerrado en los cuales la rama corta del tubo en U hace las veces de cubeta y la rama larga de tubo de Torricelli. Los barómetros metálicos o aneroides constan de una caja metálica de paredes relativamente elásticas, en cuyo interior se ha efectuado el vacío. Un resorte metálico hace que las paredes de la caja estén separadas. En su ausencia dichas paredes tenderían a aproximarse por efecto de la presión exterior. Por igual procedimiento variaciones en la presión atmosférica producen cambios en la forma de la caja que se transmiten al resorte y éste los indica, a través de un mecanismo de amplificación, sobre una escala graduada en unidades de presión. Los barómetros metálicos pueden mortificarse de forma que sus resultados queden registrados en un papel. De este modo se puede disponer de información sobre cómo varía la presión atmosférica con el tiempo EJERCICIO PRINCIPIO DE ARQUIMEDES 1. Un barco, cuyo peso es 80 kgf, navega rio abajo hasta llegar al mar. a. Qué valor tenía el empuje cuando estaba en el rio? b. Cuando navega en el mar. Qué valor tiene el empuje hidrostático que recibe? c. La parte sumergida del barco, aumenta, disminuye o no se altera cuando pasa del rio al mar? 2. Un bloque de madera, cuyo volumen es de 10 litros, flota en el agua, teniendo la mitad de su volumen sumergido. a. Cuál es, en litros el volumen del agua desplazada por el cuerpo? b. Cuál es, en kgf, el peso de esta agua desplazada? c. De acuerdo con el principio de Arquímedes, cuál es el empuje hidrostático que recibe el bloque? d. Cuál es, en kgf, el peso del bloque? 3. Suponga que usted empuja el cuerpo del ejercicio anterior, hundiéndolo completamente en el agua. a. Cuál es en litros el volumen del agua desplazada? b. Cuál sería, en kgf, el empuje hidrostático ascendente que actuaría sobre el bloque? c. Cuál es el valor de la fuerza que se tendría que hacer para mantener sumergido al bloque 4. La figura de este ejercicio muestra un cilindro, cuya área de la base es de A = 10cm 2, flotando en un liquido con densidad ρ = 3,0( g cm 3 ). a. Cuál es en litros, el volumen (V d ) del líquido desplazado por el cilindro? b. Cuál es, en Newton, el valor del empuje ascendente que el cilindro recibe? c. Cuál es el valor del peso el cilindro? d. Cuál es la masa en gramos del cilindro? e. Cuál es la densidad del cilindro en ( g cm 3 ) 5. Arquímedes peso la corona del rey Hierón; primero en el aire peso gramos y después en el agua peso gramos. Con esto demostró que no era de oro puro cuya densidad es de 19.3 ( g cm ). Por 3 qué? R// encontró una densidad de 16.6 ( g cm ) 3 6. Un cuerpo que pesa 100 kg en el aire, pesa solamente 80 kg en el agua. Calcular el volumen y la densidad del cuerpo. R// cm 3 ; 5 ( g cm 3 ) 7. Un cuerpo pesa 10 kg en el aire, 9 kg en el agua y 8 kg en un líquido. Determine el volumen del cuerpo, la densidad del cuerpo y la densidad del líquido. R// 1000 cm 3 ; 10 ( g cm ); 2 ( g 3 cm ) 3 17

18 8. Un corcho cubico de 10 cm de arista, de densidad 0.3 ( g cm 3 ) flota sobre el agua. Qué altura del bloque queda por encima de la superficie del agua? R // 7 cm 9. En un vaso con agua, 90 % del volumen de un bloque de hielo está sumergido. Cuál es la densidad del hielo?. R// 0.9 ( g cm 3 ) 10. Un cuerpo de 10 kgf y de densidad 5 ( g cm 3 ) se suspende de un dinamómetro y se sumerge en el agua. Cuál es la lectura del dinamómetro? R// 8 kgf 11. Una canoa de 50 kgf puede desplazar al máximo un volumen de 0.9 m 3 de agua. Cuántas personas de 85 kgf pueden subir a bordo? R// 10 personas 12. Un bloque cubico de hierro, de arista 10 cm y densidad 7.8 ( g cm 3 ), flota sobre mercurio. Si se vierte agua sobre la superficie del mercurio, que altura debe tener la capa de agua para que su superficie alcance justamente la cara superior del bloque? R// 4.6 cm 13. Una pelota de ping - pong de 2.50 cm de diámetro y 5 gramos de masa esta en el fondo de una cubeta llena de agua sostenida por un hilo. Cuál es la tensión en el hilo? 14. Un objeto flota en el agua con 20 % de su volumen sobre el nivel del agua. Cuál es la densidad media del objeto? 18