Jaime Alonso Restrepo Mejía.

Negociación del valor relativo (spreads) en la curva de rendimiento TES, un proceso Orstein Uhlenbeck Cointregrado, ajustado por ACP ¹ Jaime Alonso Restrepo Mejía. Resumen Realizar negociación de valor relativo sobre la curva de los bonos de deuda pública de la republica de Colombia parecería algo simple. Sin embargo, en la práctica se demuestra totalmente lo contrario. El riesgo en este tipo de negociación, donde el manejo del spread entre una referencia y otra puede ampliarse más de los límites de riesgo asignados, podría generar como resultado de dicha estrategia en una negociación con pérdidas importantes por tiempo indeterminado a no ser de cancelar la negociación rápidamente. A continuación se presenta una metodología que disminuye de forma importante la probabilidad de pérdidas y aumenta la probabilidad de éxito en este tipo de negocio, utilizando herramientas econométricas, de estadística multivariada y de series de tiempo, suponiendo que el spread está gobernado matemáticamente por la ecuación diferencial parcial del tipo de reversión a la media llamada Orstein-Uhlenbeck. El proceso anteriormente descrito será ajustado por medio del Análisis de Componentes Principales para luego aplicar el método de Cointegración de dos pasos de Engle-Granger para aquellos títulos que hacen parte del primer componente, es decir aquellos que contribuyendo en más del 50% a la variación del sistema. Palabras Claves: Renta Fija, Valor relativo, Cointegración Clasificación JEL: G12, G14, G17, C10, C22 ¹ Trabajo presentado para optar por el título de Magister en Economía de la Pontificia Universidad Javeriana.

Negotiating relative value (spreads) in the TES yield curve, a Cointegrated Orstein Uhlenbeck process, adjusted by PCA ¹ Jaime Alonso Restrepo Mejía. Abstract Negotiating relative value (spreads) in government bonds and especially in the Colombian bond market seems so simple. However, in practice it proves quite the opposite. The risk in this type of negotiation, where the management of the spread between a reference and the other can be extended over assigned risk limits, could generate as a result of this strategy in major losses indefinitely unless you cancel rapidly the trade. In this research I give a methodology that significantly reduces the probability of losses and increases the probability of success in this type of business, using econometric tools, and multivariate statistical time series, assuming that the spread between two bonds is governed mathematically by the partial differential equation of the type of mean reversion called Ornstein-Uhlenbeck. The process described in this study will be adjusted by the means of the Principal Component Analysis and then applying the method of two-step cointegration describe by Engle-Granger for those securities that are part of the first component, i.e. those that contribute more than 50% of the variation of the system. Keywords: Fixed Income, Relative Value, Cointegration JEL Classification: G12, G14, G17, C10, C22 ¹ This paper is presented as a final research to obtain a master s degree in economics from the Pontificia Universidad Javeriana.

Tabla de contenido SECCIÓN 1.... 1 Introducción... 1 Sección 2.... 4 Revisión de la literatura sobre el tema.... 4 b. Artículos Relacionados... 11 Sección 3... 16 3.1. Especificación del modelo propuesto:... 16 Debilidades de la metodología anterior... 17 Paso 1). Conocimiento experto y teoría económica:... 18 Paso 2). Inspección visual:... 24 Paso 3).Pruebas Estadísticas (Tests)... 26 Sección 4: Aplicación y Resultados del modelo.... 28 Sección 5 Conclusiones.... 38 Apéndice 1... 39 Revisión del concepto O-U:... 39 Apéndice 2... 41 Revisión del concepto de Análisis de Componentes Principales (ACP).... 41 Sección 6: Bibliografía.... 42 Tabla de Gráficos Inspección Visual Gráfico 1 Tes 2024 vs Tes 2014.25 Gráfico 2 Tes 2015 vs Tes 2024.25 Gráfico 3 Tes 2020 vs Tes 2018 25

Gráfico 4 Distribución por pesos de los componentes..31 Gráfico 5 Comportamiento de las tasas de interés de los bonos y residuos..34 Gráfico 6 Comportamiento de las tasas de interés de los bonos y residuos..35 Gráfico 7 Raíces inversas en círculo unitario.37 Tablas Tabla 1- Bonos de deuda pública de la República de Colombia 28 Tabla 2- Matriz de Correlaciones de Tasas de interés de los bonos..29 Tabla 3- ACP distribuido por componentes en orden de importancia...29 Tabla 4- Pesos de las variables dentro del componente más importante.30 Tabla 5- Resultados de las pruebas de raíz unitaria...31 Tabla 6- Resultado de Prueba de Causalidad de Granger.32 Tabla 7- Resultado de test de cointegración E-G y P-O..33 Tabla 8-Prueba de Johansen de Causalidad..36 Tabla 9-Relación entre variables en el VEC.36

1 Sección 1. Introducción En las áreas de negociación de las entidades financieras colombianas como a nivel internacional se tienen grupos de personas (negociadores o traders) que compran y venden diferentes activos con cumplimiento el mismo día, o en otros casos para mantener dichos activos en posición por un período de tiempo t (donde t > 3 días). Estos grupos de personas conforman unidades de negocio con asignación de presupuestos que por lo general no son nada despreciables. Dentro de estas unidades de negocio se tienen por ejemplo: negociación de monedas, negociación de títulos de deuda pública emitida en moneda local (COP), deuda pública emitida en moneda diferente al COP regularmente en USD, negociación de títulos o bonos corporativos y negociación de productos derivados como forwards, futuros, opciones y swaps. Existe igualmente un grupo de persona que conforman la unidad de ALM (Asset Liability Management) que se encuentran localizados físicamente en la misma área, pero su filosofía de negociación a pesar de usar los mismos activos financieros tienen unos objetivos claramente diferentes. Dentro de esta gran variedad de unidades de negocio se encuentra la negociación de la deuda pública o títulos de deuda pública TES. Alexander Gibllin y Weddington III (2002) plantean tres tipos de estrategias que realizan específicamente los fondos de cobertura que bien podrían aplicarse a nuestro entorno; a saber: Estrategia Direccional, Estrategia de Arbitraje y Estrategia Clásica de Cobertura. En la estrategia direccional la idea es que los negociadores de bonos tomen posiciones largas o cortas en una determinada temporalidad con el fin de vender o recomprar bonos y generar utilidad. Esta estrategia usualmente es la más común y la toma de decisión se fundamenta en un alto porcentaje en análisis técnico o en análisis fundamental.

2 En la estrategia de cobertura clásica, la idea es comprar un bono pero no venderlo sino mantenerlo y cuando el mercado se encuentre en contra de la posición, tomar una cobertura con un futuro y neutralizar la posible pérdida (no necesariamente cuando se encuentre en contra de la posición, la cobertura puede tomarse en el futuro mucho antes). La idea está orientada a una estrategia llamada de carry trade con el fin de mantener la diferencia entre el costo de tener la posición del bono comprado contra el rendimiento que este activo produce. Este tipo de estrategia es muy común pero en mercados donde el desarrollo de los futuros de bonos no es profundo (líquido) las estrategias serán muy limitadas en la consecución de los objetivos planteados. La estrategia de arbitraje es aquella que hace referencia a comprar y vender al mismo tiempo dos activos y generar utilidad con un riesgo menor a las dos estrategias anteriormente mencionadas. Duarte, Fan y Longstaff (2005) definen las estrategias de arbitraje más usadas en los mercados internacionales, estas son: El arbitraje del spread en la curva de permutas financieras swaps, el arbitraje en la curva de tipos de interés, el arbitraje de las tasas de interés en hipotecas, el arbitraje de volatilidad y el arbitraje de estructura de capital. En Colombia, el arbitraje más común de todos los anteriormente expuestos es el arbitraje en la curva de tipo interés. Según Dubil (2004) dentro de este grupo de arbitraje se encuentran diferentes estrategias: Una hace referencia a la estrategia de cupón cero vs cupón del bono (más conocida por sus siglas en inglés como STRIPS), otra estrategia hace referencia al arbitraje cubierto con duración y por último la estrategia de spreads entre bonos de deuda pública con diferentes vencimientos. Todas estas estrategias son conocidas como estrategias de valor relativo y es por tanto en este punto en donde se desarrolla la presente investigación; específicamente en la negociación del spread relativo (SR) entre bonos de deuda pública con diferentes vencimientos. A pesar de que la mayor fuente de utilidad proviene de estrategias direccionales, la negociación del valor relativo (spreads) ha venido ganando más atención en el mercado financiero colombiano en años recientes. Sin embargo y como se mostrará más adelante, la metodología que usa el mercado actualmente no es la

3 más adecuada y por tanto se presenta otra metodología a consideración, más robusta, de forma tal que al tomar decisiones de negociación en un spread las probabilidades de éxito sean mayores a las basadas en el método conocido como Z score (puntaje estandarizado) o también conocido como el método de la distancia. La metodología propuesta se basa en el modelo de cointegración presentado por Engle y Granger (1987), aplicado en este caso a los spreads de los bonos de deuda pública que componen la curva de rendimiento; todo lo anterior basado y ajustado con la metodología de análisis de componentes principales (ACP), metodología ésta última, desarrollada de forma clara y concisa en Jolliffe (2002), Basilevsky (1994) y Duntenman (1989). La idea entonces es crear una metodología de mínimo riesgo para capturar desequilibrios generados en la curva de rendimientos a través de spreads. La metodología es considerada de mínimo riesgo debido a que se trata de negociar el spread que al momento indicado tenga una oportunidad de arbitraje hacia el mercado es decir se toma una posición larga (corta) en una referencia contra una posición corta (larga) neutralizando ambas posiciones y obteniendo solamente el exceso del desequilibrio (beneficio).

4 Sección 2. Revisión de la literatura sobre el tema. Se podría decir que existen tres personas a las cuales se les atribuye el descubrimiento del arbitraje, más comúnmente conocida como el arbitraje estadístico. Este tipo de modelaje financiero se centró en principio sobre acciones aunque como veremos en el desarrollo la presente investigación, también se aplica al arbitraje entre el spread generado por las tasas de interés de bonos con características homogéneas. Paul Wilmott, Profesor investigador y consultor en el área de las matemáticas aplicadas a las finanzas en Wilmott (2005) dice haber sido él y su grupo de investigadores los que entre diciembre de 1979 y enero de 1980 descubrieron el tema. Sin embargo, dan crédito al área de de investigaciones cuantitativas de Morgan Stanley en cabeza de Gerry Bamberger quienes descubrieron una versión mejorada del arbitraje estadístico en el año de 1982. Ahora, Pole (2007), Vidgamurthy (2004) y Gatev, Goetzman y Rouwenhorst (2006) dan crédito al mismo Morgan Stanley pero a otro grupo de investigadores cuantitativos, a cargo de Nunzio Tartaglia por el año de 1985. Dentro de este grupo de investigadores y otros más que se han unido desde aquella época en adelante a desarrollar modelos matemáticos y estadísticos de arbitraje, se podría decir que existen cuatro modelos que son los más conocidos y aplicados en los mercados financieros, los cuales se describen a continuación:

5 a). Modelos. a.1) Método del Spread Estocástico. Este método escrito por Elliott, Vanderhoek y Malcom (2005), se fundamenta matemáticamente en un proceso de reversión a la medida mediante la ecuación: x k+ 1 - x k = a b. x k. τ + ς. τ. ε k+1 (1) Donde a es no negativo y R ε R es el iid Guausiano N 0,1 ς 0 b > o El proceso descrito por la ecuación (1) revierte a la media μ = a b con parámetro de fuerza de ajuste b. Podríamos escribir la ecuación (1) como: x k+1 = A + B x k + C ε k+1 (2) Con A = a τ 0 B = 1 b τ en donde 0 < B < 1 C = ς τ Adicionalmente: x k X k. τ donde X t t o Que satisface la ecuación diferencial estocástica: dx t = a b. x t. dt + ς dω(t) (3) Donde: {ω(t) t o} es un proceso de movimiento Browiano estándar.

6 La observación del proceso Y k de X k es un ruido Gaussiano de la forma: Donde Y k = X k + D. W k (4) W k es un i. i. d Gaussiano N 0,1 e independiente de ε k y D > 0 Asumimos que: 0 C < D para valores pequeños de y recordemos que C = ς. τ Estableciendo: Y k= ς. y 0, y 1, y 2.. la cual representa la información, podría decirse que: X k = E[x k y k ] Para poder estimar, necesitamos conocer los valores de A, B, C, D de los datos observados, es decir que : Y k = Spread observado entre dos activos en el tiempo t k Se asume que el spread observado presenta ruido pero tiene un proceso de reversión a la media x k Caso 1 Si Y K > χ k χ k 1 = E χ k y k 1 El spread sería muy significativo y el negociador podría tornar una posición larga en el spread del negocio y realizar un beneficio (utilidad) cuando ocurra la corrección. Caso 2 Si Y K < χ k χ k 1 El negociador podría tomar una posición corta en el spread y realizarán un beneficio (utilidad) cuando ocurra la corrección.

7 a.2) Método Estocástico de Spread Residual. Este método propuesto por Do, Faff y Hamza (2006) parte del supuesto de que existe un equilibrio relativo entre la medición de los activos. Al existir un precio construido por un estado en desequilibrio, éste será cuantificado a través de una función llamada función de spread residual, de la forma G(R A t, R B t, U T ) donde U denota un vector exógeno de información presente en el equilibrio. El término spreads residual hace una referencia al hecho de que la función descrita anteriormente captura accesos por arriba o por debajo de un spread de largo plazo el cual podría tomar valores diferentes de cero, dependiendo de la cuantificación del spread. Debido a las fuerzas del mercado, el valor relativo del spread debería volver (revertirse) a su estado de equilibrio en el largo plazo. Sea X el estado de tener un precio fuera del equilibrio o un llamado spread residual, respecto a un nivel determinado de equilibrio. La dinámica del proceso está gobernada por una ecuación aplicada tomada de Vasicek (1977) que sigue un proceso de Ornstein Uhlenbeck (ver Anexo1). El precio fuera de equilibrio es: dx t = k θ X t. dt + ς. d B t (5) Y t = G t = X t + W t (6) Estas dos ecuaciones constituyen el modelo de espacio-estado del error en el precio de equilibrio definido con respecto a un equilibro establecido entre los dos activos. El objetivo central de este método es poder especificar la función residual del spread G. Para obtener este objetivo uno de los caminos es usar modelos de estadística multivariada como el modelo de factores que ha sido aplicado con éxito en la teoría del portafolio APT de S. Ross.

8 a.2.1) Aproximación al Control Estocástico. Mudchanatongsuk, Primbs y Wong (2008) se basan en el análisis de los dos métodos anteriores, para encontrar una solución óptima, cerrada utilizando la conocida ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman. Esta aproximación no se considera un nuevo método ya que el proceso sigue siendo de orden Ornstein Uhlenbeck (ver Anexo1). La estructura de aproximación en principio es muy similar a las planteadas en los métodos a.1 y a.2 veamos: Si tenemos: M (t) = Activo libre de riesgo, r = Tasa de interés libre de riesgo (en Compuesto Continuo) entonces: dm (t) = r. M (t). dt (7) Si hacemos A(t) = Activo 1 y B(t) = Activo 2 Donde B(t) sigue un proceso de movimiento browniano geométrico db t = μ. B t. dt + ς. B t. dz(t) (8) Donde: μ = Tendencia ς = Volatilidad Z t = Movimiento browniano standar Ahora: x(t) = spread de dos activos x(t)= lna(t) lnb t x(t) sigue siendo un proceso O-U (ver Anexo 1). dx(t)= k(θ X(t)). dt + ƞ. dw(t) (9) Donde k θ X t es la tendencia y representa el cambio instantáneo esperado en el spread en el momento t.

9 θ = Nivel de equilibrio de largo plazo donde el spread debería revertir. k = Tasa de reversión (o fuerza) que debe ser positiva para garantizar estabilidad alrededor del valor de equilibrio. ƞ = Es el parámetro de desviación estándar y determina la volatilidad del spread w(t)= Es el movimiento Browniano Estándar donde ρ (Rho) denota el coeficiente de correlación entre Z(t) y w(t). Usando el lema de ITŌ obtenemos la dinámica de A(t) así: da t = μ + k θ X t + 1 2. ƞ2 + ρ. ς. ƞ. A t dt + ς. A t dz t + n. A t. dw(t) (10) Donde Ρ. σ. Ƞ = Covarianza entre el proceso de wiener w(t) y Z(t). Ahora, se dice que V(t) es el valor de financiamiento (propio) del portafolio y h(t) y ĥ(t) sean los pesos asignados en el portafolio al activo 1 y al activo 2. Se requiere entonces que: h(t)= ĥ(t). Finalmente, observe que el peso del portafolio en el activo libre de riesgo es 1. Uniendo lo anteriormente expuesto se dice que la dinámica del valor del beneficio del portafolio estará dada por la ecuación: dv t = V t (t). da(t) A(t) + ĥ t. dβ (t) β (t) + dm(t) M(t) } (11) Finalmente: dv t = V t. t. k θ X t. 1 2 ƞ2 + ρ. ς. ƞ + r dt + ƞ. dw(t) (12)

10 a.3 Método de la Distancia. Este método propuesto por Gatev, Goetzman y Rouwenhorst (2006), tiene un componente adicional al proceso de reversión a la media contemplado en los métodos anteriores. El aporte a resaltar en este método, es que teniendo los activos motivo del análisis, se miden sus diferencias al cuadrado de forma histórica y cuando las diferencias (distancias) se separan (alejan) de cierto nivel, se realiza la negociación. El método contempla algunas técnicas de negociación como por ejemplo el nivel de entrada en el negocio, el nivel de salida y el nivel del número de desviaciones en términos de la volatilidad usada. Algunos autores como por ejemplo Martellini, Priaulet y Priaulet (2003) llaman a este método Z-score o puntaje estandarizado ya que la distancia es obtenida por medio de las diferencias entre los activos estandarizados, es decir del rendimiento se resta la media y se divide por la desviación estándar (de dichos rendimiento). a.4 Método de la Cointegración. El método de la cointegración fue propuesto y demostrado de forma general por Engle y Granger (1987) y planteado con anterioridad en Granger (1981) y Granger y Weiss (1983). Las ideas a desarrollar en este punto, siguen los planteamientos expuestos en Montenegro (2007), Asteriou y Hall (2007) y en Vidyamurthy (2004). De forma concisa, el análisis se basa en una combinación lineal entre dos variables: X t e Y t estimada por una regresión de la forma Donde Y t = β 1 + β 2 X t + u t (13) ǔ t = y t β 1 β 2 X t (14)

11 Siendo ǔ t los residuos. Ahora, sí ǔ t ~ I(0), entonces las variables X t e Y t se dice que estarán cointegradas. Podemos entonces expresar la relación entre X t e Y t utilizando un mecanismo de corrección de error que corrige desviaciones de corto plazo hacia la relación que nos interesa que es la de largo plazo así: Y t = a o + b 1 X t π. u t 1 + Y t (15) Donde: b 1 = Mide el impacto del cambio que X t tendría en Y t. π = Efecto de ajuste que mide cuanto es corregido debido al desequilibrio. b. Artículos Relacionados Existen varios artículos a nivel internacional que aplican un análisis de cointegración a las tasas de interés de deuda pública. Se revisaran cuatro trabajos en orden de importancia que se consideran de gran aporte a la presente investigación. Se aclara de antemano que en ninguno de estos trabajos se aplican el 100% de las ideas (metodologías) aquí propuestas, lo que hace más interesante el aporte de esta investigación. b.1 Trabajo de Hall, Anderson y Granger (1992): Este es uno de los trabajos más importantes sobre cointegración aplicado a la tasa de interés de tesoros americanos. El problema básico es explicar el porqué las tasas de interés de diferentes vencimientos parecen moverse en forma coordinada a través del tiempo. La posible solución al problema de explicar este fenómeno es bien interesante y nada fácil ya que el comportamiento de las tasas de interés por lo general no se considera como un proceso estocásticamente estacionario. Sin embargo diversos trabajos como en Engle y Granger (1987), muestran como sí es posible trabajar con este tipo de variables. El planteamiento parte de contemplar la

12 estructura de la curva de rendimiento basado en un cálculo de las tasas futuras de forma recursiva partiendo del concepto propuesto por Fisher, Keynes y Hicks. Donde: R k, t = 1 k. k F(j, t) Para k =1,2,3 (16) j = 1 Donde: F(j, t) son tasas futuras. La relación se asume como: F j, t = E t R 1, t + j 1 +. (j, t) (17) La primera parte de la ecuación al lado derecho son las expectativas basadas en información disponible en t. La segunda parte de la ecuación al lado derecho es la prima de riesgo. Sustituyendo se obtiene: R k, t = 1 k k E t R 1, t + j 1 + L (k, t ) (18) j = 1 Donde: L k, t = 1 k k. (j, t) (19) j = 1 Como dicen Campbell y Schiller (1988): Muchas variables económicas pueden estar cointegradas cuando son correctamente medidas, algunas veces de forma natural o algunas veces en unidades logarítmicas. Algunos ejemplos muy usados son el consumo, el ingreso, las tasas de interés y los precios de las acciones con sus dividendos. Sabemos por la ecuación (18) que: R (k, t) = 1 k k j = 1 E t R 1, t + j 1 + L. k + t

13 Reorganizando: Donde: k=1 j =i j =1 R k, t R 1, t = 1. E k i=1 t R 1, t + j + L(k, t) (20) R k, s = R k, s R (k, s 1); R 1, t y L k, t son estacionarias. Dadas dichas condiciones, el lado izquierdo de la ecuación es también estacionario en donde (1, 1) T es un vector de cointegración para: X t = [R(k, t), R (1, t)] T Lo cual implica que cada tasa de interés R(k,t) está cointegrada con R(1,t) y que los spreads entre R k, t y R(1, t) son combinaciones lineales estacionarias de X t que resultan de la cointegración de X t. La modelación de los datos se realiza bajo la ecuación planteada en Engle y Granger (1987) de la forma: X t = δ S t 1 μ + C B X t 1 + d B ε(t) (21) Donde S t 1 μ es el término de corrección de error y δ es una matriz de coeficientes de ajustes. El resultado de la investigación de este artículo muestra que a pesar de que las tasas de interés de los bonos de diferentes vencimientos se separan unas de otras en el corto plazo, se ajustan cuando los spreads entre ellas se desvían de un umbral de valor de equilibrio μ. Se concluye por lo tanto que es apropiado modelar la estructura de las tareas de interés de los tesoros americanos como un sistema cointegrado.

14 b.2. Trabajo de Bradley y Lumpkin (1992). El documento examina la posible relación temporal de las observaciones de las tasas de los tesoros americanos analizando siete vencimientos diferentes. El análisis contempla: tasas de interés a tres meses, un año, tres, cinco, siete, diez y treinta años. El supuesto aplicado en el documento parte de la hipótesis de las expectativas de la estructura de tasas de interés. Se asume entonces que los inversores son neutrales al riesgo del tipo de interés y consideran que bonos de diferentes vencimientos son sustitutos perfectos. Se plantea entonces que las tasas de interés de largo plazo son un promedio del comportamiento de las tasas de interés de corto plazo y del valor de las tasas de interés de corto plazo a futuro. Si existen diferencias en las tasas de interés de forma importante, existe la posibilidad de un arbitraje y por lo tanto dicho exceso se eliminaría. Se usa el proceso (modelo) de dos pasos propuesto por Engle y Granger (1987) para determinar si las tasas de interés analizadas pertenecen a un sistema cointegrado. El resultado es un claro soporte a la idea de que existe un equilibrio en la estructura de tasas de interés de rendimientos que evita que alguna referencia (de un bono específico) se desvíe de manera importante de una línea media por un período de tiempo considerablemente largo. b.3 Trabajo de Ramaprasad Bhar (1994). En este estudio se analizan seis bonos del tesoro australiano convencimiento de trece semanas a quince años. El estudio es una clara extensión del trabajo de Bradley y Lumpkin (1992) pero aplicado al mercado de bonos del Tesoro Australiano. La metodología se basa en el modelo de dos pasos de Engle y Granger (1987). El resultado, es una clara evidencia de que las tasas de interés del tesoro australiano

15 están cointegradas. Intuitivamente se dice que este comportamiento cointegrado sugiere que los movimientos de las tasas de interés son posibles pero sin desviarse de forma significativa unas de otras ya que habría posibilidad de arbitrar y generar utilidades de forma importante. b.4.trabajo de Stock y Watson (2006). En su libro de econometría, Stock y Watson (2006) plantean un ejercicio interesante para analizar la relación existente entre la tasa de interés del corto plazo (90 días) del mercado de tesoros americanos y la tasa del bono del tesoro americano de un año. A pesar de que es un estudio sencillo y con sólo dos bonos se confirma que aplicando el modelo de cointegración para estos dos activos los análisis arrojados por las pruebas de raíces unitarias y del modelo en sí, dan crédito para poder afirmar que el modelaje de las dos tasas de interés mencionadas anteriormente pertenecen a un sistema cointegrado.

16 Sección 3 3.1. Especificación del modelo propuesto: 3.1.1. Método usado por el mercado para negociar valor relativo (spreads). La metodología más usada por el mercado colombiano es muy cercana a la planteada Gater, Goetzman y Rouwenhorst (2006). El cual como se ha visto, es llamado el método de la distancia. Algunas aplicaciones a tasas de interés utilizando esta metodología está en Nath (2003), en Martellini, Priaulet y Priaulet (2003) y en Choudhry (2004). La metodología que se plantea, es tomar las tasas de interés negociadas por el mercado de los bonos de deuda pública y establecer una comparación entre dos tasas de interés pertenecientes a dos referencias distintas. De esta manera se identifica un spread en donde se aplica un análisis estadístico histórico realizando una estandarización. Lo que se busca es establecer una puntuación o medición conocida como z-score o puntaje estandarizado, que no es más que la medida de dispersión alrededor de un valor de análisis, en este caso el valor de análisis usado es la media del spread. La fórmula del cálculo es: NS = S μ α σ Donde: NS: Nuevo Spread Estandarizado S: Spread motivo del análisis μ: Medida del spread ς: Desviación standard del Spread α: es elnivel de confianza establecido para tomar decisiones de compra o venta del spread

17 Se recuerda que: α = ±1 Corresponde a un 68% del área bajo la curva de distribución normal. α = ±2 Corresponde a un 95%. α = ±3 Corresponde a un 99,7%. Al aplicar la metodología estadística anterior, se obtiene un nuevo valor estandarizado (NS) y se comprueba si es un valor significativo planteando una prueba de hipótesis de la forma: Ho : NS = N H1 : NS N Donde N = Valor normal si se encuentra dentro de los parámetros del área de la distribución normal establecidos anteriormente. Los valores usados para α son: 1%, 5% y 10%. El resultado de la evaluación de la prueba de hipótesis, es aquella donde, si se rechaza Ho, el valor del spread estaría en una región critica, por lo tanto se debería negociar el spread. Debilidades de la metodología anterior Algunas debilidades que se deben tener en cuenta al momento negociar un spread bajo este método son: 1. Cuál debería ser el valor de α cuando aplicamos las pruebas estadísticas? α = +/-1,+/-2,o +/-3?. Recordemos que este es el factor que multiplica el término σ. 2. No existe un método de medición para determinar la fortaleza de la relación entre cada uno de los bonos motivo del análisis.

18 3. No se puede determinar cual bono vender y/o cuál bono comprar. 4. En el análisis estadístico se estandariza bajo el supuesto de normalidad, sin embargo en la práctica, se ha comprobado por diferentes metodologías y por varios investigadores, que las distribuciones en finanzas son puntudas en la parte central de la distribución y poseen colas pesadas. 5. En la metodología expuesta se trabaja con las tasas de interés que se obtienen de la curva de rendimiento directamente, es decir, que no tienen en cuenta el efecto que genera la reinversión de los intereses pagados por los cupones del título lo que distorsiona el análisis. 3.1.2. Método propuesto: Negociación de valor relativo aplicando cointegración ajustado por análisis de componentes principales (ACP). El método propuesto se basa en el método de dos pasos de cointegración propuesto por Engle y Granger (1987). Adicionalmente se aplica el análisis de componentes principales (ver Anexo2) para determinar los bonos que más importancia tienen en el tipo de movimiento de la curva de rendimiento. Para mostrar el desarrollo de las ideas se seguirá el planteamiento de Stock y Watson (2006). Los autores Stock y Watson (2006) plantean que para determinar si dos variables son cointegradas debemos seguir tres pasos que son: 1) Uso del conocimiento experto y teoría económica, 2) Inspección visual de las series de análisis y 3) Pruebas (tests) estadísticos que soportan o rechazan el análisis anterior. Aplicando el anterior procedimiento se expondrán las ideas así: Paso 1). Conocimiento experto y teoría económica: Durante varios años se ha tenido experiencia por parte del autor de la presente investigación en la negociación de diferentes activos financieros para tesorerías pertenecientes a bancos nacionales como internacionales. En el área de tasas de interés, las posiciones direccionales son las más comunes, sin embargo las

19 negociaciones de valor relativo (spreads) cada vez son más atractivas, pero el análisis para la toma de decisiones se fundamenta en el método visto anteriormente, el cual es el de mayor uso y sencillez para los negociadores del mercado. Uno de los grandes problemas al cual se enfrentan los negociadores, es el hecho de que se negocia el valor relativo (spread) y pasado un tiempo prudencial (t), este spread no se cierra (es decir no converge) sino que se amplía cada vez mas hasta llegar al punto de alcanzar el nivel de pérdida máxima permitida (stop loss) por las área de riesgo de las entidades financieras. Debido a lo anterior se procede a cerrar la posición obteniendo una pérdida importante en el libro de negociación de la entidad respectiva. La experiencia muestra que la negociación se realiza sin tener muy claro si el nivel de entrada en el valor relativo (spread) es el adecuado, si los dos bonos motivo de la negociación tienen una relación estadísticamente importante o si por el contrario la liquidez de un bono afecta la negociación de otro y por lo tanto el valor relativo (spread) no se ajustará rápidamente. Sin embargo, detrás de estas prácticas de mercado existe realmente una teoría económica que se fundamenta en la hipótesis de expectativas que se popularizó por los escritos de Fisher (1930), Keynes (1930) y Hicks (1953). Para aplicar esta teoría y comprobar que realmente está vigente, se usaron los documentos de Marín y Rubio (2001), Campbell, Lo y MacKinlay (1997) y Cox Ingersoll y Ross (1981). La hipótesis pura de expectativas de forma sencilla, manifiesta que los bonos se valoran de tal forma que las tasas de interés de corto plazo deben ser iguales a las expectativas de las tasas de interés futuras (o futuras implícitas) por tanto podemos establecer la siguiente relación: 1 + r n n = 1 + rf 1 0 1 + rf 2 1 1 + rf n n 1 (22)

20 Donde r es la tasa de interés cupón cero. Por tanto esta curva de cupón cero, es una media geométrica de las tasas futuras implícitas rf. Por consiguiente: (1 + rf n n 1 )^(n n 1 ) = 1+r n n 1+ r n 1 n 1 (23) Es decir: 1 + r n n 1 + r n 1 n 1 n 1 n 1 ) (1 + rf n )^(n Si usamos un determinado período de tiempo en las ecuaciones (22) o (23) diremos que: La tasa de interés esperada de un bono que vence en t=2 deberá ser igual a la tasa de interés que con certeza tiene el bono que vence en t=1 1 1 = E Pb 2 (24) Donde Pb= precio del bono. 1 Pb 2 = Precio del bono al final del t = 1 hasta el final del t = 2. En valor presente: 1 = E Pb 1 2 Pb 1 Pb 2 (25) Pb 1 = precio del bono para el período t =1 desde hoy (t = 0). Ahora la tasa de interés obtenida al invertir en un bono a un año (t = 1) volviendo a reinvertir el flujo de caja total obtenido al final de dicho período, en otro bono, con vencimiento de un año, deberá ser igual a la tasa de interés garantiza de una inversión en un bono a dos años. 1 Pb 2 = 1 Pb 1 E 1 Pb 2 1 (26)

21 Sin embargo las ecuaciones (25) y (26) deberían ser iguales de la forma: Reemplazando 1 Pb 1 = E Pb 2 1 Pb 2 y 1 Pb = 1 E 1 2 Pb 1 1 Pb 2 1 = E Pb 1 2 Pb 2 Pb 2 E [ 1 Pb 2 1] Finalmente, reorganizando y cancelando algunos términos obtenemos: E 1 Pb 2 1 = 1 E Pb 2 1 (27) Aplicando el teorema de Jensen obtenemos como conclusión que esta igualdad no se satisface, a menos que el Pb 1 2 sea determinístico, lo cual no tendría sentido en un funcionamiento de libre mercado. Por lo anterior, la hipótesis pura de expectativas da paso a un análisis más ajustado al mercado llamado simplemente hipótesis de expectativas, que a diferencia de lo planteado anteriormente, donde los excesos de rendimiento (desviaciones de las tasas futuras implícitas) debería ser cero, la nueva hipótesis permite excesos de rendimientos pero siempre y cuando estos sean constantes. Diremos entonces que la hipótesis de expectativas es un análisis más general que la hipótesis pura de expectativas, permitiendo diferencias en las tasas de interés futuras implícitas, siendo estas constantes pero que dependan del vencimiento de los bonos. Generalmente estas diferencias existentes se conocen con el nombre de prima de riesgo. No es motivo de la presente investigación analizar quienes están a favor o en contra de tales postulados los cuales como es bien conocido, son muchos los investigadores y académicos de una lado como del otro. Incluso, otras teorías han

22 salido de la academia al mercado, buscando otra alternativa de solución. Lo más importante de las anteriores hipótesis que se plantean, es poder identificar la introducción implícita que se hace al concepto de equilibrio. Para el desarrollo de esta idea se seguirá el planteamiento de Barnerjee, Dolado, Galbraith y Hendry (2003) en donde se define un estado de equilibrio como: Aquel que no tiene tendencia a cambiar. Generalmente se considera a las finanzas como una disciplina que presenta una forma de equilibro estable. Es decir que cuando se tiene un equilibrio inestable, éste no durará mucho tiempo debido a la generación de choques estocásticos de la economía. Por tanto, el concepto de equilibrio podríamos decir que son estados a los cuales un sistema es atraído. La descripción del sistema sería a través de la expresión: f X 1, X 2, X 3, X n = 0. Si consideramos n variables descritas en la función como X 1, X 2, X 3, X n cuando exista una relación entre ellas y se mantenga, diremos entonces que el sistema está en equilibrio. Sin embargo la relación entre dichas variables algunas veces no pueden ser armónicas en el corto plazo, lo que generaría una desviación, pero lo importante es que en el largo plazo existirá una relación más fuerte que hará que el sistema converja a través del tiempo. Esto nos introduce a que en el largo plazo, las variables descritas en el sistema deberán tener un movimiento correlacionado los cuales serán especificadas por cada sistema. Esta idea se podría representar como X 1 = βx 2 De esta forma denotamos una relación lineal de largo plazo entre X 1 y X 2. Teniendo el concepto de equilibrio expuesto por Barnerjee, Dolado, Galbraith y Hendry (2003) más claro, aplicaremos ahora las ideas expuestas por Black (1985) sobre el

23 equilibrio, ruido e información pero ya en el entorno de los mercados financieros motivo de esta investigación. Ante la pregunta Por qué si el valor relativo (spread) entre dos bonos se desvía de un valor de equilibrio (o umbral) los negociadores siguen operando sin darse cuenta?. Sin embargo, pasado cierto tiempo, se comienza a revertir la tendencia hacia la media del equilibrio. Para dar respuesta aplicamos entonces la relación expuesta por Black (1985): Donde: P(t) = Precio del Bono I t = Información N t = Ruido P t = I t + N t (28) El mercado de los activos financieros será más líquido a medida que aumenten las estrategias de negociación, estas estrategias se basan en la información I t y en el ruido N t. Existen variedad de grupos de inversores que usan una estrategia o la otra, sin embargo, para los que negocian basados en información I t la velocidad de llegar al precio por medio de un shock es tal que la mayoría de veces este grupo de negociadores termina usando la estrategias del ruido N t, es decir que tanto los que negocian en la estrategia del ruido N t, como los que usan la estrategia de información I t, al final terminan haciendo que el impacto en el precio P(t) sea mayor ocasionado por el mismo ruido N t que por la misma información I t. El negociar con una estrategia basada en el ruido N t es usar opiniones, sentimientos, herramientas diversas de análisis que suponen un comportamiento determinado del activo. Por otra parte, el negociar con una estrategia basada en información I t es aplicar análisis basado en información que ha sido publicada. Cuando N t > I t => P(t) se aleja del equilibrio, esto hace que el P(t) sea imperfecto y por tanto se debería corregir por parte de agentes del mercado que tengan conocimiento y por consiguiente N t > I t => P(t) volverá a su estado de equilibrio de largo plazo. Es importante hacer claridad de que si no existieran las estrategias de

24 los inversores basadas en el ruido N t no habría una negociación significativa en los activos financieros. Merton (1971) desarrolla todo una serie de reglas en un modelo en tiempo continuo, donde muestra que en el largo plazo los precios (o valor relativo) deben converger a un nivel de equilibrio cuando estos se desvían de manera importante. Paso 2). Inspección visual: En este apartado se presenta, como su nombre lo indica, una representación gráfica del comportamiento del valor relativo (spread) de diferentes pares de bonos de deuda pública de Colombia. La idea es poder observar una estructura de convergencia, o de reversión a la media en un horizonte de largo plazo. Por medio de la inspección visual, se obtienen las primeras conclusiones sobre la relación del valor relativo entre activos del análisis, aunque no tiene soporte estadístico, es un metodología que ha sido usada por los investigadores con buenos resultados prácticos.

25 Gráfico 1 TES 2024 vs TES 2014 Gráfico 2 TES 2015 vs TES 2014 Gráfico 3 TES 2020 vs TES 2018