Ministerio de Educación Nuevo Bachillerato Ecuatoriano Programación lineal Con el fin de motivar a sus estudiantes, un profesor de Matemática decide proporcionarles dos paquetes de golosinas: uno con 2 chupetes otro con 1 chocolates. La tarea asignada consiste en empacar dos tipos de combinaciones. En la de tipo A solo pueden ir un chupete un chocolate, mientras que la de tipo B debe contener 3 chupetes 1 chocolate. Por cada grupo de golosinas del tipo A, el profesor pagará 3 monedas de diez centavos; por las del tipo B, 5 monedas de diez centavos. Cuántos grupos de golosinas de cada tipo les conviene formar para conseguir la maor cantidad de dinero? INCÓGNITAS DEL PROBLEMA Luego de una apropiada lectura, identificamos las variables que intervienen para denotarlas adecuadamente. En este caso nos preguntamos cuántos GRUPOS de golosinas de cada tipo conviene formar. El número de grupos de cada tipo son las incógnitas de la situación. Las llamaremos e, respectivamente. Representemos los datos en una tabla para poder relacionarlos: TIPO DE GRUPOS GRUPOS DE GOLOSINAS CHUPETES CHOCOLATES A B 3 TOTAL + 3 + Como el número de chupetes disponibles para formar los grupos de golosinas del tipo A B son 2, se tiene que 3 2. Como el número de chocolates disponibles para formar los grupos de golosinas del tipo A B son 1, se tiene que 1. Además, es claro que el número de grupos de golosinas no puede ser negativo: La ganancia total en monedas de diez centavos se representa por la epresión G(, ) 3 5, cuo valor queremos que sea máimo. FUNCIÓN OBJETIVO Es la epresión que debe En resumen: Deseamos averiguar para qué valores de e la epresión
ser maimizada o minimizada que da respuesta a la situación problema. En este caso, es la epresión que representa las ganancias por la tarea realizada que se busca maimizar (encontrar el valor máimo). G(, ) 3 5 se hace lo más grande que sea posible, considerando que e están sometidas a las restricciones siguientes: 3 1 2 RESTRICCIONES DEL PROBLEMA Son situaciones que condicionan el problema que, en general, se proponen usando epresiones algebraicas. En ese caso es el número de grupos de golosinas de cada tipo, de chupetes de chocolates. Pasemos a la representación gráfica de las restricciones: Cada una de las restricciones limita los posibles valores de e. Veamos la restricción en el gráfico de cada una de ellas: 1. Se observa que los puntos de la región sombreada satisfacen la restricción, pues cualquier punto de la región tiene coordenadas: abscisa R {} ordenada R.
2. Se observa que los puntos de la región sombreada satisfacen la segunda restricción, pues cualquier punto de la región tiene coordenadas: abscisa R {} ordenada R {}. 3. + 3 2 2 Para verificar de manera práctica que la validez de la región sombreada se relaciona con la restricción 3 2, se toma cualquier punto de dicha región se reemplazan sus coordenadas en las variables correspondientes de la desigualdad dada. Por ejemplo, si tomamos el punto (,), donde, lo reemplazamos en la epresión 3 2, se tiene que 3 2 es verdadera, puesto que 2.
4. 1 De manera similar se procede con la inecuación 1. Se toma el punto (1,2) perteneciente a la región sombreada, cuas coordenadas se sustituen en la epresión dada, se obtiene 1 2 1, ecuación que es verdadera, puesto que 3 1, lo cual ratifica que los puntos de la región sombreada representan la restricción. Si se juntan las restricciones anteriores en un solo gráfico, se tiene: La región común a todas las restricciones es denominada de posible solución o ZONA FACTIBLE (en este caso, la zona factible tiene una cantidad finita de puntos, puesto que e representan números de golosinas. Se puede proceder, entonces, a averiguar cuántos puntos de posible solución tiene esta región). Se marcan los vértices del polígono que determina la ZONA FACTIBLE.
Se obtienen las coordenadas de los vértices del polígono de la zona factible (de ser necesario, se hacen los cálculos respectivos). A = (,) B = (,2/3) C = (5,5) D = (1,) Se reemplazan las coordenadas de los vértices en la función objetivo : G(, ) 3 5 A = (,) G (,) 3 5 B = (,2/3) G (,2 / 3) 3 5 2 / 3 1 / 3 C = (5,5) G (5,5) 3 5 5 5 4 D = (1,) G (1,) 3 1 5 3 Se observa que el valor máimo se logra al reemplazar las coordenadas del punto C, de coordenadas (5,5), con un valor de 4, que corresponde a 4 monedas de 1 centavos. Esto significa que se deben formar 5 grupos del tipo A 5 grupos del tipo B.