Asociación Española de Ingeniería Mecánica XVIII CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA Aspectos a considerar en la mejora de modelos de elementos finitos en máquinas herramienta mediante datos procedentes del análisis modal experimental J.M. Hernández, I. Olabarrieta, I. Garitaonandia, M.H. Fernandes, J. Albizuri Dpto. Ingeniería Mecánica. Universidad del País Vasco / Euskal Herriko Unibertsitatea jesusmaria.hernandez@ehu.es J. Muñoa IDEKO-IK4 Resumen En esta comunicación se analizan los factores determinantes en la mejora de modelos de elementos finitos mediante la utilización de datos procedentes del análisis modal experimental, y se aplican al estudio de máquinas herramienta, y en concreto, a una fresadora universal. En la primera parte se describen las características básicas de la fresadora objeto de estudio y se muestran los resultados obtenidos mediante MEF y ensayos experimentales. A continuación se presenta el procedimiento de correlación realizado y las dificultades que entraña. Por ejemplo, la necesidad de realizar rotaciones, traslaciones y cambios de escala al modelo experimental para que encaje con el modelo numérico, o en el caso de máquinas herramienta de varios ejes, como el que nos ocupa, la necesidad de realizar desplazamientos relativos a lo largo de algún eje de alguna de las subestructuras que forman parte de la máquina. Aún así, en algunas ocasiones todavía es necesario emparejar los nudos de ambos modelos de forma manual. Posteriormente se analiza el proceso de actualización, que realmente está precedido de una fase muy importante: la selección de los parámetros del modelo de elementos finitos a modificar, para que el modelo resultante disponga de sentido físico. En la comunicación se presentan diferentes alternativas para llevar a cabo este proceso: elección de parámetros globales o locales, descomposición en diferentes fases, selección de los elementos de unión Finalmente se describe la actualización propiamente dicha, que no es más que un proceso de minimización de una función objetivo. En este punto se presentan los resultados obtenidos escogiendo distintas variables de actualización, y se extraen conclusiones para la realización de trabajos con este tipo de máquinas. INTRODUCCIÓN El método de los elementos finitos (MEF) es una herramienta ampliamente utilizada para el diseño y simulación de sistemas mecánicos. No obstante, aún existen algunos inconvenientes e incertidumbres que dificultan la calidad y fiabilidad de los resultados obtenidos mediante este método, como por ejemplo, la asignación de valores a las propiedades de los materiales, la modelización de las acciones actuantes y de las condiciones de contorno, el mallado empleado, es decir, el tipo de elementos y su densidad, etc. En el caso de las máquinas herramienta, a este listado se añaden problemas específicos de estos sistemas constituidos por diferentes componentes que disponen de movimiento relativo entre ellos mediante sistemas de guiado. De hecho, la modelización de estos enlaces entre componentes supone un elemento de capital importancia en estos sistemas mecánicos. Asimismo, puesto que la máquina presenta distintas configuraciones, en función de la posición de cada uno de sus componentes, se introduce una característica no lineal adicional que afecta a las prestaciones generales de la máquina y, en concreto, a su estabilidad en condiciones de
J.M. Hernández et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica (00) funcionamiento, incrementando la posibilidad de aparición de vibraciones autoexcitadas o chatter. Debido al efecto dañino de estas vibraciones, desde los años 50 se vienen desarrollando estudios para eliminarlas. Los primeros se deben a Tobias y Fishwick [], Gurney y Tobias [], Tlusty y Polacek [3] y Merritt [4], y conducían a modelos de chatter gobernados por ecuaciones diferenciales, que posteriormente diferentes autores han transformado en diagramas de estabilidad para los distintos procesos de torneado [5], fresado [6] y rectificado [7], entre otros. Esta problemática refuerza la necesidad de obtener modelos numéricos mejorados de máquinas herramienta que sean capaces de reproducir estas exigencias en su funcionamiento, para de ahí poder optimizar el diseño y eliminar los problemas de estabilidad [8]. Por todo ello, resulta interesante utilizar el análisis modal experimental (AME) como herramienta para validar primero y mejorar después, el modelo de elementos finitos del sistema objeto de estudio [9,0], porque una de las ventajas fundamentales del AME es que el error al estimar las frecuencias naturales del sistema es inferior al %, lo que aporta una precisión muy elevada. Algunos trabajos mostrando el uso combinado de estas técnicas en máquinas herramienta han sido realizados por Garitaonandia et al. [], Bais et al. [] y Houming et al. [3], distinguiéndose este último por el análisis de la herramienta en diferentes posiciones. En general, se puede considerar que el proceso general de validación y mejora o actualización de un modelo de elementos finitos mediante datos procedentes del análisis modal experimental consta de tres etapas [4]: correlación, localización de errores y selección de parámetros, y actualización. Así, en primer lugar se estudia la correlación entre frecuencias y modos de vibración obtenidos numérica y experimentalmente. Esta etapa será la que proporcionará una primera indicación sobre la validez del modelo. Aquí, es importante destacar la necesidad de realizar un correcto análisis modal experimental, disminuyendo los posibles errores en la ejecución de ensayos, instrumentación y adquisición de datos. Si tras la correlación se observara que el modelo numérico no es válido, el siguiente paso consistiría en determinar cuáles son las zonas de error, y en consecuencia, decidir qué parámetros de diseño han sido introducidos de forma incorrecta. Para realizar esta estimación se utilizan técnicas de localización de errores. Finalmente, la última etapa consiste en actualizar el modelo en las zonas indicadas por la técnica de localización. La actualización está basada en una aproximación en serie de Taylor de primer orden del valor de las variables de diseño que la localización de errores ha indicado que pueden estar introducidas o estimadas erróneamente. Para ello, partiendo de los valores iniciales, mediante un proceso iterativo basado en el cálculo de sensibilidades, se actualizan las variables elegidas de forma que el modelo de elementos finitos final represente la mejor aproximación a los valores del sistema obtenidos experimentalmente. En esta comunicación se analizan todas las fases del proceso, aplicándose al estudio de máquinas herramienta, y en concreto, a una fresadora universal, destacando los factores que más afectan a su correcta utilización. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LA MÁQUINA El trabajo se ha realizado sobre una fresadora de tres ejes, modelo DS360, en la que se distinguen cuatro componentes: bancada, columna, consola y carnero. En primer lugar, se elaboró un modelo de elementos finitos con un total de 795 nudos y 4980 elementos, tal como se muestra en la Fig. (), utilizando fundamentalmente elementos shell y en algunas zonas elementos solid para los componentes de la máquina. El material empleado ha sido acero y fundición. Los sistemas de guiado se han modelizado mediante elementos spring, introduciendo valores de la rigidez elevados en las direcciones restringidas por cada sistema y valores prácticamente nulos en la dirección de guiado. Similar modelización se ha seguido para los husillos a bolas, aunque en este caso los valores asignados a la rigidez eran altos únicamente en la dirección del movimiento [5]. Por último, los motores que proporcionan el movimiento en los tres ejes se han modelizado como masas puntuales, mientras que para los apoyos de la fresadora también se han empleado elementos spring. No se han considerado los sistemas de protección y control que, aún siendo necesarios para un correcto funcionamiento de la máquina, no influyen en su comportamiento dinámico. Mediante este modelo se determinaron las frecuencias y modos de vibración. Para definir el rango de frecuencias objeto de estudio se han considerado las pruebas de mecanizado realizadas sobre la máquina en condiciones de chatter. En estas pruebas se constató que las vibraciones principales de chatter se producen en el rango de frecuencias de 49.54 Hz a 5.6 Hz. Teniendo en cuenta este dato, y la posible necesidad de actualizar el modelo, lo que supondría una modificación de estas frecuencias, se han obtenido las frecuencias naturales que se
Aspectos a considerar en la mejora de modelos de elementos finitos en máquinas herramienta mediante 3 muestran en la Tabla () y los modos de vibración asociados. A modo de ejemplo, la Fig. () muestra el segundo modo numérico obtenido. Por otra parte, también se llevó a cabo un análisis modal experimental de la fresadora. Se utilizó un martillo instrumentado como medio de excitación del sistema, y acelerómetros triaxiales situados en los 75 puntos indicados en la Fig. (), para recoger un total de 5 señales que fueron analizadas mediante el software TestLab y del que se extrajeron las frecuencias experimentales que se muestran en la Tabla () y los modos de vibración asociados. A modo de ejemplo, la Fig. () muestra el primer modo experimental obtenido. Fig.. Modelos numérico y experimental de la fresadora universal. Tabla. Frecuencias naturales obtenidas del modelo de elementos finitos y del modelo experimental. MEF 3 4 5 6 7 8 9 Frecuencia (Hz) 33.33 35.75 54.5 8.96 87.4 9.5.59 39.6 46.58 MEF 0 3 4 5 Frecuencia (Hz) 50.36 77.80 0.3.35 30.5 35.97 AME 3 4 5 6 7 Frecuencia (Hz) 33.83 69.54 77.5 84.66 07.5 45.38 55.57 MEJORA DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS Correlación entre el modelo numérico y el modelo experimental Una vez realizado el análisis modal de la fresadora, tanto de forma numérica como experimental, se dispone de dos modelos diferentes que representan el mismo sistema físico. Teóricamente los dos modelos deberían proporcionar los mismos parámetros modales pero, como se puede observar en la Tabla (), de la comparación de las frecuencias naturales obtenidas se observa que no hay una correspondencia clara entre ellas. Por lo tanto, en esta primera fase se trataría de cuantificar la cercanía de los dos modelos utilizados. Para ello, en primer lugar se realiza la correlación geométrica entre los modelos, necesaria porque los sistemas de coordenadas en los que se encuentran definidos pueden ser distintos, los sistemas de unidades también podrían variar, y adicionalmente, en el caso concreto de máquinas herramienta, alguna de sus componentes podría estar desplazada o girada en alguno de los modelos. Así, en la Fig. (), se pueden observar las diferencias geométricas entre los modelos numérico y experimental, que conducen a la necesidad de trasladar y girar el modelo experimental para alcanzar una primera correlación global entre los modelos.
J.M. Hernández et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica (00) 4 Fig.. Diferencias geométricas entre los modelos numérico y experimental. Aún así, en este caso también fue necesario desplazar verticalmente el conjunto formado por consola y carnero para ajustar definitivamente los dos modelos, lo que supuso reasignar a los elementos spring que representan la unión entre este conjunto y la columna, nuevos nudos en ésta, y asegurar que se mantenían horizontales, tal como se muestra en la Fig. (3). Fig. 3. Reasignación de nudos en la unión consola-columna: (dcha.) estado inicial, (izda.) estado final. Tras el ajuste geométrico, esta fase finaliza con el emparejamiento entre los nudos del modelo numérico y los puntos de medida experimentales, que conviene realizar primeramente de forma automática, es decir, emparejando aquellos nudos que se encuentran a una distancia concreta, y refinando posteriormente de forma manual para evitar emparejamientos erróneos. A pesar de todo, tal como se puede observar en la Fig. (4), aún existen puntos experimentales que no disponen de pareja en el modelo numérico. Fig. 4. Emparejamiento de nudos numéricos y puntos de medida experimentales. La correlación entre el modelo numérico y el modelo experimental continúa con el análisis de frecuencias naturales y modos de vibración. Así, la comparación entre las frecuencias reflejadas en la Tabla () pone de manifiesto la dificultad de emparejar estos parámetros, es decir, conocer cuál es la frecuencia numérica que
Aspectos a considerar en la mejora de modelos de elementos finitos en máquinas herramienta mediante 5 corresponde a cada una de las obtenidas experimentalmente. Por ello, es interesante utilizar los modos de vibración para determinar esa relación, y la herramienta más ampliamente empleada para ello es el Modal Assurance Criterion, MAC [6], definido por la Ec. (), y que permite establecer la correspondencia entre modos numéricos y experimentales. MAC num, exp T numw exp T T W W num Aplicando este criterio Tabla () - para relacionar los 5 modos numéricos con los 7 modos experimentales de la máquina, se pueden observar dos correspondencias elevadas, MAC = 9. % y MAC = 9.%, mientras que entre el resto de modos la relación es menos clara. No obstante, ya se puede establecer una primera correlación entre ambos modelos Tabla (3) -. Tabla. Valores iniciales del MAC en %. Modos de vibración (Hz) (33.83) (69.54) 3 (77.5) 4 (84.6) num exp 5 (07.5) 6 (45.38) exp 7 (55.57) (33.33) 6.3 0.8 4.9 0. 4.4 3. 0. (35.75) 9. 0.3.6 0.9 0.8 0.5.4 3 (54.5) 0.6 0. 0.0 3. 0.0 0.0 5.9 4 (8.96) 0. 57.4 5.7.0.9.7.3 5 (87.4).4 0.4 0. 0.5 0.0 0.0 0.0 6 (9.5).9 8.4 0.6 77.5 0.7 0.9 34.8 7 (.59) 0.0 0. 8.7 0.8 5. 0. 0.0 8 (39.6) 0.0 3.6 0.8. 70. 4.6 0.8 9 (46.58) 0. 4.7 0.6 5.0 3.5 0.6 8.9 0 (50.36) 0.3 0.0 0.0 0.6 0.0 0. 9.7 (77.80) 0.0 0.5 7.7 0.0 4.5 9. 0.0 (0.3) 0.0. 0.4 0.0 4.5 3. 0.0 3 (.35) 0.0 0. 0.8 0..3 0. 0. 4 (30.5) 0.9 0.4 0. 6.5. 3.6 56.0 5 (35.97) 0.0. 4.6.3 4.6.5 9.6 () Tabla 3. Emparejamiento inicial entre los modelos numérico y experimental. Par Modo EF Frecuencia (Hz) Modo AME Frecuencia (Hz) Diferencia (%) MAC (%) 35.75 33.83 5.66 9. 4 8.96 69.54 9.30 57.4 3 6 9.5 4 84.66 8.85 77.5 4 8 39.6 5 07.5 30.30 70. 5 77.80 6 45.38.30 9. Selección de parámetros a actualizar Este segundo paso del proceso de actualización es especialmente crítico, ya que normalmente no se conocen las
J.M. Hernández et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica (00) 6 variables del modelo numérico que originan las diferencias entre los dos modelos. En el caso de las máquinas herramienta una posible fuente de error es la modelización adoptada para los sistemas de guiado que desarrollan el movimiento relativo entre diferentes componentes (Fig. 4). En la práctica estos elementos se modelizan mediante elementos elásticos que aportan mayor o menor rigidez en diferentes direcciones, siendo de muy difícil cuantificación los valores numéricos de estas rigideces, y presentando por tanto, una gran incertidumbre. Figura 4. Sistema de guiado entre bancada y columna. Por otra parte, los motores que guían a los diferentes husillos se han modelizado mediante masas puntuales de valor igual al elemento que modelizan, unidas rígidamente a la estructura. Esta modelización sería adecuada si los motores no se movieran, pero evidentemente ocurre lo contrario, y presentan desplazamientos que suponen la aparición de una inercia que no se considera en el modelo numérico. Otro parámetro relativamente incierto es el material de los diferentes componentes de la máquina. En el modelo que nos ocupa existen 6 tipos de materiales, tal como se muestra en la Tabla (4), alguno de los cuales puede presentar incertidumbres, como la fundición. Además, son muchos los elementos englobados dentro de unas mismas características, resultando el valor numérico de estas propiedades difícil de determinar con precisión. Tabla 4. Propiedades de los materiales definidos en el modelo numérico. Material Densidad Módulo de Young Coeficiente de Poisson +7.800E-006 +.0680E+008 +.9000E-00 +7.000E-006 +.500E+008 +.5000E-00 3 +7.000E-006 +.7500E+008 +.5000E-00 4 +.9600E-006 +5.700E+007 +.9000E-00 5 +7.000E-009 +.500E+008 +.5000E-00 6 +7.000E-009 +.500E+0 +.5000E-00 Por último, también es fuente de gran incertidumbre la modelización del apoyo de la máquina sobre el suelo, tal como se puede observar en la Fig. (5). En este caso se han utilizado elementos spring para realizarla, pero los valores de la rigidez asociada se desconocen. Figura 5. Elementos de unión entre la máquina herramienta y el suelo. Tal como se deduce de los párrafos anteriores, del conjunto de posibles parámetros a actualizar hay algunos que presentan una incertidumbre mayor que otros. Entre los primeros se encontrarían los correspondientes a los
Aspectos a considerar en la mejora de modelos de elementos finitos en máquinas herramienta mediante 7 elementos que modelizan apoyos y sistemas de guiado, y entre los segundos, las masas puntuales que representan los motores de la máquina y algunas de las características de los materiales empleados en la definición del modelo numérico. Por ello, es interesante determinar cuál es la influencia de cada uno en la mejora del modelo de elementos finitos, de tal forma que las frecuencias obtenidas se acerquen a las experimentales. Esta influencia se puede analizar mediante el análisis de sensibilidad de estos parámetros frente a las frecuencias [7], tal como se indica en la Ec. (). exp exp m exp num num mnum p p p En donde la matriz de sensibilidades S p i m j p p p m p p e e p m e p p p se puede representar gráficamente, tal como se muestra en la Fig. (6) para el caso que nos ocupa. Se puede observar cómo los parámetros que más influyen en la diferencia entre frecuencias son el 4 y 5 (masas puntuales), 6 y 7 (módulos de elasticidad del acero y la fundición), y (rigidez de los apoyos), teniendo menor influencia las características de los sistemas de guiado. e () Figura 6. Análisis de sensibilidad de diferentes parámetros del modelo numérico. Actualización En esta etapa se trata de mejorar el modelo de elementos finitos tomando en consideración los resultados obtenidos en los apartados anteriores. Así, en la Tabla (3) se ha establecido una primera correlación entre el modelo de elementos finitos y el modelo experimental, observándose que existen importantes diferencias entre las frecuencias de ambos. El objetivo de la actualización es modificar los valores de los parámetros erróneamente modelizados en el modelo de elementos finitos para que las frecuencias del modelo actualizado se acerquen lo más posible a las del modelo experimental, ya que se asume que éstas presentan un error de estimación inferior al %. Por ello, teniendo en cuenta las incertidumbres existentes en los parámetros a actualizar se ha procedido a realizar tres actualizaciones. En la primera se han incluido como parámetros los valores de la rigidez introducidos en los elementos spring que simulan los sistemas de guiado y los apoyos sobre el suelo. Se trata de un número considerable de elementos, por lo que el estudio se ha llevado a cabo agrupando los elementos que representan el mismo sistema o apoyo. La actualización se basa en la Ec. (), en donde las incógnitas son los valores del vector {p}, que representa la variación de los valores de las variables de diseño seleccionadas como parámetros a actualizar. Esta ecuación se resuelve de forma iterativa empleando la teoría bayesiana de estimación de parámetros [8]. En la resolución se
J.M. Hernández et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica (00) 8 ha permitido una variación relativa máxima de cada parámetro de un 5% en cada iteración, aunque no se ha introducido ninguna restricción a la variación total. La función objetivo a minimizar escogida ha sido la diferencia entre frecuencias numéricas y experimentales y se han tenido en cuenta los cinco primeros pares, es decir, aquellos en los que el valor MAC era superior al 70 % y el segundo par debido a su importancia. En la segunda actualización, además de estos parámetros, se ha introducido el valor del módulo de elasticidad de aquellos elementos que respondían a materiales tipo acero o fundición, también agrupados según las diferentes zonas de la máquina. En este caso se ha limitado la variación total máxima de los primeros a un 0 % y de los segundos a un 0 %. El resto de características del proceso de actualización se han mantenido como en el caso anterior. Por último, la tercera actualización se ha llevado a cabo en dos fases. En la primera se han tomado como parámetros las masas puntuales, permitiendo una variación total máxima del 0 %, y el módulo de elasticidad de los mismos materiales que en la actualización anterior, mientras que en la segunda fase se han añadido los valores de la rigidez de los sistemas de guiado y apoyos. Los resultados de las tres actualizaciones se muestran en la Tabla (5). Tabla 5. Resultados de las tres actualizaciones. Par Modo EF Frecuencia actualizada (Hz) 4 3 5 4 8 5 0 33.78 33.8 33.83 69.34 69.08 68.98 84.64 85.04 84.34 09.06 08.4 09.70 44.74 45.56 44.36 Modo AME Frecuencia (Hz) 33.83 69.54 4 84.66 5 07.5 6 45.38 Diferencia (%) -0.6-0.05-0.0-0.9-0.65-0.80-0.0 0.45-0.37.78.8.38-0.44 0. -0.70 MAC (%) 93.5 96.0 96. 68.0 68. 68.0 74.6 76.0 78.0 59.5 6.0 70.7 89.9 9.0 9. Comparando esta tabla con los resultados de la Tabla (3), se observa que en todos los casos se ha conseguido reducir muy considerablemente la diferencia entre las frecuencias naturales numéricas y experimentales, manteniendo o mejorando el valor del MAC. Por lo tanto, se dispondría de un modelo de elementos finitos válido para el rango de frecuencias de interés, independientemente de la actualización realizada, aunque evidentemente, con valores distintos de los parámetros actualizados. Ahora bien, una vez obtenido este resultado surge la siguiente cuestión: cuál de las tres actualizaciones es real? Todas ellas reproducen bastante bien las frecuencias obtenidas experimentalmente, pero para ello se han modificado parámetros distintos del modelo de elementos finitos. En definitiva, cuál es la que genera valores reales de las variables de diseño, y lo que es más importante, válidos para otras posiciones de la máquina, o en condiciones de funcionamiento? Porque no hay que olvidar que el objetivo final sería obtener un modelo numérico muy fiable, que permitiera predecir la aparición de vibraciones autoexcitadas o chatter.
Aspectos a considerar en la mejora de modelos de elementos finitos en máquinas herramienta mediante 9 La respuesta no es sencilla. En [9] se ha comprobado la primera de las actualizaciones realizando un nuevo análisis modal experimental en una configuración de la máquina bastante alejada de la original. Los resultados son aceptables en algunas frecuencias, pero en otras, aunque mejoran, no se acercan lo suficiente a lo indicado por el modelo experimental, por lo que se deduce la necesidad de seguir trabajando para validar las actualizaciones realizadas. CONCLUSIONES En este trabajo se presenta el proceso realizado para mejorar el modelo de elementos finitos de una fresadora universal en base a datos procedentes del análisis modal experimental, y se indican las dificultades a superar, fundamentalmente en la realización de la correlación geométrica y en la selección de parámetros a actualizar. Se ha observado que es esta última la etapa más crítica, y en este caso, se ha utilizado un método de localización de errores basado en el análisis de sensibilidad, precedido de un amplio conocimiento de las características de la máquina, para poder llevarla a cabo con cierta fiabilidad. Los resultados obtenidos muestran que, a pesar de la dificultad del sistema mecánico estudiado, estructurado en diferentes componentes que disponen de movimiento relativo entre ellos, se ha conseguido finalmente disponer de modelos de elementos finitos cuyas frecuencias se ajustan a las experimentales con mucha precisión, y por extensión, validar la modelización realizada en elementos especialmente complejos en las máquinas herramienta, como los sistemas de guiado, los apoyos y las uniones en general. Finalmente, se confirma la necesidad de seguir trabajando para conseguir la actualización real del sistema, de tal forma que el modelo obtenido sea válido para cualquier configuración de la máquina y en distintas condiciones de funcionamiento. REFERENCIAS [] S.A. Tobias, W. Fishwick, Theory of regenerative machine tool chatter, The Engineer, 05 (958), 99-03. [] J.P. Gurney, S.A. Tobias, A graphical analysis of regenerative machine tool instability, ASME Journal of Engineering for Industry, 84 (96), 03-. [3] J. Tlusty, M. Polacek, The stability of the machine tool against self-excited vibration in machining, ASME Production Engineering Research Conference, Pittsburg, Estados Unidos, 963. [4] H.E. Merritt, Theory of self-excited machine-tool chatter, ASME Journal of Engineering for Industry, 87 (965), 447-454. [5] E. Budak, E. Ozlu, Analytical modelling of chatter stability in turning and boring operations: a multidimensional approach, Annals of the CIRP, 56 (007), 40-404. [6] Y Altintas, E. Budak, Analytical prediction of stability lobes in milling, Annals of the CIRP, 44 (995), 357-36. [7] I. Garitaonandia, M.H. Fernandes, J. Albizuri, J.M. Hernández, D. Barrenetxea, A new perspective on the stability study of centerless grinding process, International Journal of Machine Tools & Manufacture, 50 (00), 65-73. [8] Y. Altintas, C. Brecher, M. Weck, S. Witt, Virtual Machine Tool, CIRP Annals Manufacturing Technology, 54 (005), 5-38. [9] J.M. Hernández, Correlación de la modelización por elementos finitos con el análisis modal experimental: métodos de actualización de matrices del modelo, Tesis Doctoral, Universidad del País Vasco, Bilbao, (994). [0] T. Janter, Construction oriented updating of dynamic finite element models using experimental modal data, Tesis Doctoral, Katholieke Universiteit Leuven, Bélgica (989). [] I. Garitaonandia, M.H. Fernandes, J. Albizuri, Dynamic model of a centerless grinding machine based on an updated FE model, International Journal of Machine Tools & Manufacture, 48 (008), 83-840. [] R.S. Bais, A.K. Gupta, B.C. Nakra, T.K. Kundra, Studies in dynamic design of drilling machine using updated finite element models, Mechanism and Machine Theory, 39 (004), 307-30. [3] Z. Houming, W. Chengyang, Z. Zhenyu, Dynamic characteristics of conjunction of lengthened shrink-fit holder and cutting tool in high-speed milling, Journal of Material Processing Technology, 07 (008), 54-6. [4] J.M. Hernández, J.I. Llorente, M.H. Fernandes, R. Avilés, Un método integrado de actualización de modelos de elementos finitos utilizando datos procedentes del análisis modal experimental, Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería, (996), 53-7.
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