LINEAS DE INFLUENCIA Recopilación Ing. Ramiro Piatti Ayudante Ad-Honorem 1. INTRODUCCION 1.1. OBJETO Este apunte tienen por finalidad presentar el tema líneas de influencias buscando lograr un enfoque actualizado del mismo. Para ello, se ha tenido espacialmente en cuenta la utilización de la computación aplicada a la ingeniería estructural. No se insistirá, entonces, en los enfoques tradicionales que se encuentran extensamente tratados en numerosas obras, algunas de las cuales se citan en las referencias bibliográficas. 1.2. CONDICIONES DE TRABAJO Tanto la teoría como las aplicaciones de las líneas de influencia se basan en la validez del principio de superposición de efectos. Este tema tiene únicamente sentido, entonces, en estructuras de comportamiento lineal. 2. DEFINICIONES 2.1. CARGAS MOVILES Cargas móviles son aquellas causas estáticas o cinemáticas que pueden ocupar distintas posiciones sobre las estructuras. El elemento distintivo de este tipo de cargas es el carácter variable de su posición y no deben entonces ser confundidas con las cargas dinámicas, cuya esencia es su dependencia de la variable tiempo. 2.2. TREN DE CARGAS Tren de cargas es un conjunto de cargas móviles que mantienen su posición relativa al recorrer las estructuras. Frecuentemente los trenes de cargas representan la acción de vehículos. 2.3. LINEA DE INFLUENCIA Línea de influencia de un efecto ei debido a una causa Cj, es un gráfico cuya ordenada en una sección genérica j móvil mide la intensidad del efecto e en la sección fija i, producido por una causa unitaria C que actúa en la sección j. La figura 1 ilustra sobre la definición. Las diferencias entre la línea de influencia y el diagrama de un efecto se puede apreciar en las figuras 2 y 3. 1 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
FIGURA 1 Línea de influencia de ei debido a Cj FIGURA 2 DIAGRAMA Representación del valor de un mismo efecto en cualquier sección, debido a la acción de una causa fija. Se grafica el valor del efecto en el lugar que el mismo se produce. 2 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
FIGURA 3 LINEA DE INFLUENCIA Representación del valor de un mismo efecto en una única sección, debido a la acción de una causa móvil. En el lugar que actúa la causa se grafica el valor de un único efecto. 3. METODOS DE CALCULO 3.1. EL METODO DIRECTO Siguiendo la definición, una manera de construir la línea de influencia de un efecto ei debido a una causa Cj móvil, será calcular dicho efecto para varias posiciones de la causa Cj. Se contara así con una cierta cantidad de ordenadas de la línea de influencia, lo cual permite su trazado por puntos. Este procedimiento se denomina método directo. Naturalmente, el empleo del método directo implica resolver la estructura repetidas veces. Esta circunstancia desalentó en el pasado el uso de este procedimiento. Actualmente, la intensiva aplicación de la computación en la resolución de estructuras ha revertido dicha tendencia. Por su naturaleza, el Método Directo no resulta apto para trazados a mano alzada, es decir construcciones cualitativas de las líneas de influencia. Ejemplo 1: en la estructura de la figura 4 se desea obtener la línea de influencia del Momento Flector en la sección 5 debido a fuerzas verticales, empleando el Método Directo. En este caso el efecto ei = Mf5 y la causa móvil Cj = Fvj = 1. 3 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
FIGURA 4 4 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Ejemplo 2: utilizando la estructura del ejemplo 1, ver figura 5, obtener la línea de influencia del desplazamiento vertical en la sección 2 debido a giros relativos, empleando el Método Directo. En este caso el efecto ei = uy2 y la causa móvil Cj = θrj = 1. FIGURA 5 5 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
3.2. LEY DE BETTI. METODO INDIRECTO Otra manera de construir líneas de influencias es mediante aplicación de la ley de Betti. Esta será, en esencia una aplicación del Teorema de los Trabajos Virtuales; en algunos esta forma de trabajo, aplicada a líneas de influencia de efectos estáticos, se suele designar como Método Cinemático. La ley de Betti se expresa de la siguiente manera: Ci * ei(cj) = Cj * ej(ci) siendo: Ci: causa actuante en la sección i ei(cj): efecto correspondiente con la causa Ci, pero producido por la causa Cj Cj: causa actuante en la sección j ej(ci): efecto correspondiente con la causa Cj, pero producido por la causa Ci El signo del segundo miembro será positivo si ambas causas Ci y Cj son de la misma naturaleza (ambas estáticas o ambas cinemáticas); en caso contrario será negativo. Si elegimos arbitrariamente y por comodidad Ci de valor unitario (positivo o negativo, según convenga): ei(cj) = Cj * ej(ci=1) Considerando ahora que la sección i sea fija y la j móvil, bastara con asignar valor unitario a la causa Cj para que el primer miembro represente la ordenada genérica de la línea de influencia de ei, debido a la causa Cj unitaria. ei(cj=1) = ej(ci=1) (1) El segundo miembro de (1) representa las ordenadas de un diagrama del efecto ej, producido por la causa unitaria Ci. De este modo, hemos transformado el cálculo de un efecto en una sección fija debido a una causa móvil, en el cálculo de otro efecto en una posición variable, debido a una causa fija. Resulta ahora natural designar la obtención de líneas de influencia mediante la ley de Betti como Método Indirecto. Las ventajas del mismo son las siguientes: a. Para determinar los valores del segundo miembro, bastara resolver la estructura una única vez. Esto conduce a una simplificación practica, tanto en la resolución manual como computacional. b. La obtención del diagrama de un efecto debido a una causa fija resulta en general más simple e intuitivo. Ello permite, inclusive, el trazado a mano alzada de las líneas de influencia, aspecto muy interesante para análisis cualitativos. A continuación se desarrolla un ejemplo con el fin de mostrar una aplicación concreta del Método Indirecto. Ejemplo 3: consideremos el pórtico de la figura 6. Se desea obtener el trazado cualitativo de la línea de influencia del momento flector M en la sección 5, debido a fuerzas verticales. 6 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
FIGURA 6 Entonces: Sección fija: i=5 Causa unitaria móvil: Cj = Fvj = 1 (fuerza externa activa, vertical) Efecto fijo buscado: ei(cj) = M5(Fvj=1) (momento flector) Las restantes magnitudes se deducen por ser correspondientes con las anteriores: Causa correspondiente con el efecto M5 buscado: Ci = θr5 = -1 (giro relativo) El signo negativo se ha elegido por comodidad. Efecto correspondiente con la causa Fvj: ej(ci=-1) = Uvj(θr5=-1) (desplazamiento absoluto, vertical) Planteando ahora la ley de Betti: Finalmente: (-1) * M5(Fvj=1) = -Uvj(θr5=-1) M5(Fvj=1) = Uvj(θr5=-1) Hemos logrado transformar el cálculo del momento flector M en la sección 5 debido a fuerzas verticales, en el diagrama de desplazamientos verticales Uv, debidos a un giro relativo en la sección 5 (movimiento impuesto a un vínculo interno) de valor unitario, negativo. Obsérvese que, en este caso, la elección del signo negativo para Ci ha permitido que M5 y Uvj tengan el mismo signo. En la figura 7 se ha trazado (línea punteada) el diagrama de desplazamientos producidos por la rotación relativa en la sección 5. Considerando infinita la rigidez 7 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
axial de las barras, solo habrá desplazamientos verticales en el dintel. Así, la línea llena representa la línea de influencia. FIGURA 7 Trazado cualitativo de la línea de influencia Ejemplo 4: obtener la línea de influencia del ejemplo 2, pero ahora, utilizando el Método Indirecto. Ver figura 8 Planteando la ley de Betti obtenemos: L.I Uy2(θrj=1) = Mfj(Fv2=-1) FIGURA 8 3.3. METODOS COMPUTACIONALES La obtención de las líneas de influencia por métodos computacionales se puede realizar tanto por el Método Directo como por el Método Indirecto. La conveniencia 8 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
de cada uno de ellos dependerá de cada problema en particular y residirá en razones de comodidad, de acuerdo a las características de los programas disponibles. Las consideraciones que se desarrollan a continuación corresponden al empleo de programas de propósitos general, ya que no se justifica el desarrollo de programas específicamente dirigidos a la obtención de líneas de influencia. Empleando el Método Directo, resultará imprescindible que el modelo de la estructura incluya un nodo en la sección en que se desea la línea de influencia. Deberá procesarse el modelo tantas veces como puntos de la línea de influencia se deseen, modificando la posición de la causa para cada procesamiento. Mediante el Método Indirecto solo resultará necesario un único procesamiento, sin embargo el modelo deberá incluir nodos en cada lugar en que se deseen valores de la línea de influencia. Como puede apreciarse, deberá decidir entre procesar varias veces un modelo sencillo o procesar un modelo algo más complejo, una única vez. Un caso bastante frecuente en la práctica es la búsqueda de líneas de influencias de esfuerzos internos (M,N,Q). En estos casos, la aplicación del Método Indirecto significará imponer a la estructura una magnitud cinemática correspondiente con el esfuerzo interno deseado. Por ejemplo, si se esta analizando un momento flector, deberá imponerse un giro relativo. Esto puede parecer un impedimento para la resolución computacional de la estructura, ya que en general los programas no admiten como estado de carga movimientos impuestos a los vínculos internos. No obstante, un artificio numérico permite salvar el obstáculo. En efecto, cuando no sea factible imponer un movimiento relativo a las dos caras de una misma sección, podrá sin embargo imponerse ese movimiento relativo a dos secciones distintas. Si las mismas están separadas por una distancia finita pero pequeña, y despreciable en términos prácticos, el resultado será el perseguido. El movimiento relativo se logra cargando las secciones con un sistema auto equilibrado de fuerzas exteriores, correspondiente con dicho movimiento relativo. 4. LINEAS DE INFLUENCIA EN ESTRUCTURAS ISOSTATICAS En esta presentación del tema líneas de influencia no se ha hecho distinción entre los casos de estructuras isostáticas e hiperestáticas. En efecto, con el enfoque utilizado no resulta necesaria dicha distinción ya que los métodos de análisis propuestos son independientes de esas circunstancias y se aplican de igual manera en cualquier caso. De todos modos, cabe hacer una referencia al caso particular, bastante frecuente, de las líneas de influencia de efectos estáticos en estructuras isostáticas. Al respecto, demostraremos que las mismas están siempre constituidas por rectas (funciones lineales) Para ello, aprovecharemos el Método Indirecto; de acuerdo a la ley de Betti, las líneas de influencia de esfuerzos internos y reacciones de vínculo externo debida a fuerzas, serán coincidentes con los diagramas de desplazamientos producidos por movimientos impuestos a los vínculos (interno o externo). Si la estructura es isostática, frente a dichas causas cinemáticas sus chapas componentes se desplazaran sin deformarse, es decir moviéndose como rígidas. Como nos enseña la cinemática, los diagramas de desplazamientos serán, entonces, rectas. Se presenta a continuación un ejemplo relativo al párrafo anterior. Ejemplo 5: consideremos la viga continua isostática de la figura 9. Se desea obtener el trazado cualitativo de la línea de influencia del esfuerzo de corte Q en la sección 1, debido a fuerzas verticales. 9 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
FIGURA 9 Viga continua isostática Entonces: Sección fija: i=1 Causa unitaria móvil: Cj = Fvj = 1 (fuerza externa activa, vertical) Efecto fijo buscado: ei(cj) = Q1(Fvj=1) (esfuerzo de corte) Las restantes magnitudes se deducen por ser correspondientes con las anteriores: Causa correspondiente con el efecto Q1 buscado: Ci = Utr1 = -1 (desplazamiento transversal relativo) El signo negativo se ha elegido por comodidad. Efecto correspondiente con la causa Fvj: ej(ci=-1) = Uvj(Utr1=-1) (desplazamiento absoluto, vertical) Planteando ahora la ley de Betti: Finalmente: (-1) * Q1(Fvj=1) = -Uvj(Utr1=-1) Q1(Fvj=1) = Uvj(Utr1=-1) Hemos logrado entonces transformar el cálculo del esfuerzo de corte Q en la sección 1 debido a fuerzas verticales, en el diagrama de desplazamientos verticales Uv, debidos a un desplazamiento transversal relativo en la sección 1 (movimiento impuesto a un vínculo interno) de valor unitario, negativo. Obsérvese que, en este caso, la elección del signo negativo para Ci ha permitido que Q1 y Uvj tengan el mismo signo. En la figura 10 se ha trazado el diagrama de desplazamientos producidos por el desplazamiento transversal relativo en la sección 1, o sea la línea de influencia buscada. 10 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
FIGURA 10 Línea de influencia de Q Aplicación de la cadena cinemática para el trazado de líneas de influencia de cargas estáticas en estructuras isostáticas. Reglas: 1.- Se pone en evidencia la incógnita dando un grado de libertad. 2.- Se determinan los polos del mecanismo cinemático y se da un desplazamiento. 3.- Se traza el diagrama de corrimientos en la dirección que se desea conocer la línea de influencia. Para establecer el signo de la línea de influencia decimos como regla general: A la parte positiva del diagrama de corrimientos corresponde signo contrario al del desplazamiento correspondiente con la incógnita 5. APLICACIONES DE LA LINEA DE INFLUENCIA En las líneas de influencia los efectos fueron estudiados para causas unitarias, por consiguiente, basta multiplicar la ordenada de la línea de influencia por la magnitud de la carga para obtener el efecto correspondiente. Mediante una línea de influencia puede calcularse el efecto provocado por cargas móviles de diversos tipos; p. ej., una carga C, un grupo de cargas o tren de cargas C1, C2,..., Cn o una carga repartida total o parcial de intensidad uniforme o variable. Además se determinan los estados de carga que hacen el efecto máximo o mínimo, y se miden los valores correspondientes del efecto. a) Si la estructura es recorrida por una carga concentrada cualquiera C (figura 11), el efecto es proporcional a la intensidad de la carga; por consiguiente se tiene Efecto = Cη Como se observa si la carga fuera unitaria las ordenadas η de la línea de influencia, leídas bajo la carga, dan directamente, el valor del efecto provocado. 11 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
FIGURA 11 η b) Si la estructura está sometida a un tren de cargas C1, C2,..., Cn y si η1, η2,...,ηn son las ordenadas leídas bajo las cargas (figura 12), superponiendo los efectos se tiene FIGURA 12 η1 η2 η3 η4 Efecto = n Cη C) Si la estructura está sometida a una carga repartida c, total o parcial (figura 13), basta descomponerla en cargas elementales cdx para encontrarnos en el caso anterior. Por consiguiente, se tiene 12 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
FIGURA 13 η Efecto = f a b c dx. η Si c está uniformemente repartida, Efecto = c f a b ηdx = c Ω ab siendo Ω ab el área limitada por la línea de influencia bajo la zona cargada. Cuando una línea de influencia tiene unos tramos con ordenadas positivas y otros con ordenadas negativas, indica para qué posiciones de la carga es positivo o negativo el efecto. Así, por ejemplo para determinar el efecto máximo se deben cargar las zonas con ordenadas positivas, de la línea de influencia, y descargar las zonas con ordenadas negativas. Los efectos calculados con los procedimientos anteriores valen también, si las cargas son permanentes, sin que sea necesario emplear un procedimiento separado. 13 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
6. BIBLIOGRAFIA - Belluzzi, O : Ciencia de la Construcción. Edit. Aguilar. - Conter, M : Nociones de cinemática y líneas de influencia. C.E.I.L.P. - Fliess, E : Estabilidad I. Edit. Kapelusz. - Anger, G. : Líneas de influencia a décimos para vigas continuas. Edit. Meduza. - Rozycky, L. : Vigas continuas con momento de inercia variable. E.U.D.E.B.A. 14 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm