Tema 1. Movimiento armónico simple (m.a.s.)

Tema 1. Movimiento armónico simple (m.a.s.) Si observas los movimientos que suceden alrededor tuyo, es muy probable que encuentres algunos de ellos en los que un objeto se mueve de tal forma que su posición se repite en el tiempo. A este tipo de movimientos se les denomina movimientos periódicos. El tiempo que tarda en volver a su posición inicial se denomina período. En la siguiente animación puedes ver el conocido como "péndulo de Newton", que es un ejemplo de sistema físico con movimiento periódico. Animación 1. DemonDeLuxe. Creative Commons Dentro de los movimientos periódicos destacan los conocidos como movimientos armónicos simples o simplemente m.a.s., que son los ejemplos más simples de movimientos periódicos. Este es el caso de un columpio o del conocido botafumeiro de la Catedral de Santiago de Compostela, que puedes observar en los videos mostrados a continuación: Video 1. SoylentGreen GNU Free Documentation Video 2. Mdiagom Dominio público Estos sistemas simples realizan un movimiento oscilatorio de ida y vuelta entre dos extremos alrededor de un punto, denominado de equilibrio, en el que no actúa fuerza neta. Ellos serán el objeto de estudio de este tema. Física Página 1 de 32

1. Conceptos previos: Velocidad y aceleración En la Física y química de 1º de Bachillerato estudiaste los conceptos necesarios para describir el movimiento de un objeto. Antes de que inicies el estudio de los contenidos propios de este curso, es conveniente que recuerdes algunas magnitudes imprescindibles para el desarrollo de los mismos. El estudio del movimiento vibratorio armónico simple, lo realizarás más fácilmente si profundizas un poco más en esos conceptos. Posición La posición de un cuerpo, en un sistema de referencia, queda definida por un vector, el vector de posición. Imagen 1. Elaboración propia La ecuación que expresa el vector de posición en función del tiempo se denomina ecuación de posición. Velocidad La velocidad de un cuerpo es la rapidez con que cambia la posición de un cuerpo y la podrás expresar : Es decir, el cociente entre el desplazamiento y el tiempo transcurrido. Esta velocidad es en realidad la velocidad media en ese intervalo de tiempo. Imagen 2. Elaboración propia Si mides la velocidad en intervalos cada vez más pequeños de tiempo, el resultado que obtendrás en el límite cuando Δt se hace casi cero será: Física Página 2 de 32

que recibe el nombre de velocidad instantánea. En matemáticas has visto que este límite se utiliza para definir la derivada de la función, y, por tanto, podrás definir la velocidad instantánea como la derivada de con respecto a t: La ecuación de posición y la de la velocidad son lasecuaciones del movimiento. Si el movimiento se produce en una dimensión, eligiendo ésta como el eje X, la velocidad la podremos expresar como: El vector velocidad instantánea tiene la dirección de la tangente a la trayectoria en ese punto y el sentido del movimiento. La ecuación de posición de un móvil es x = 3 + 2t + t 2, en unidades del S.I. Calcula su velocidad media en los 5 primeros segundos y las velocidades instantáneas en el instante t=0 y t = 5 segundos. Aceleración La aceleración de un cuerpo es la rapidez con que cambia su velocidad y la podemos expresar: Esta es la aceleración media, pero, análogamente que en el caso de la velocidad, puedes definir la aceleración instantánea como la aceleración media en el límite cuando Δt se hace casi cero: Imagen 3. Elaboración propia El vector aceleración puedes expresarlo como la suma de dos componentes, una asociada a la variación del módulo de la velocidad, aceleración tangencial, y otra asociada al cambio de la dirección de la velocidad (dirección del movimiento), aceleración normal. Física Página 3 de 32

Imagen 4. Elaboración propia con vector unitario en la dirección tangencial y vector unitario en la dirección normal. La aceleración tangencial se obtiene como la derivada del módulo de la velocidad con respecto al tiempo: La aceleración normal (llamada también centrípeta) tiene como módulo: con R el radio de curvatura de la trayectoria Un cuerpo describe una circunferencia de 5 m de radio con una velocidad de 3,5 m/s. Cuál es su aceleración tangencial? Y la normal? Cuál es el módulo de su aceleración? El vector de posición de un cuerpo es aceleración,? m. Cuál es su velocidad,, y su Física Página 4 de 32

1.1 Trabajo y energía Trabajo En la física y química de 1º has visto que el trabajo mecánico realizado por una fuerza constante cuando actúa sobre un cuerpo que realiza un desplazamiento, se define como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento: Imagen 5. Elaboración propia Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es negativo Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo. Imagen 6. Elaboración propia Aplicado a un movimiento rectilíneo, el trabajo realizado por una fuerza constante coincide con el área comprendida bajo la gráfica fuerza-posición sombreada en la figura. Imagen 7. Elaboración propia En la práctica, las fuerzas en la naturaleza no son constantes, varían con la posición. Para calcular el trabajo se puede usar el área comprendida bajo la gráfica fuerza-posición. Por ejemplo, si representas una fuerza variable F x en función de la posición x, el trabajo realizado por la fuerza F x que actúa sobre un cuerpo que se mueve entre x 1 y x 2 es: W = área bajo la curva Física Página 5 de 32

Imagen 8. Elaboración propia La fuerza que se representa en la gráfica, depende de la posición y actúa sobre un cuerpo que se desplaza 25 m. Calcula el trabajo realizado por la fuerza en ese desplazamiento. En el curso anterior también aprendiste que la energía cinética de un cuerpo se define como donde m es la masa del cuerpo y v la velocidad a la que se mueve El trabajo realizado por las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual a la variación experimentada por su energía cinética (Teorema de las fuerzas vivas o de la energía cinética) También aprendiste que los cuerpos poseen una energía asociada a su posición denominada energía potencial,. La suma de la energía cinética y la energía potencial es la energía mecánica y para un sistema aislado, su energía mecánica permanece constante si no existen rozamientos. Cuando el trabajo de una fuerza sobre un sistema mantiene constante su energía mecánica, dicha fuerza se denomina fuerza conservativa. Si bajo la acción de una fuerza, la energía mecánica del sistema no se conserva, la fuerza es no conservativa o disipativa. Son ejemplo de fuerzas conservativas, la gravitatoria, la elástica y la electrostática ( tres fuerzas que estudiarás en este curso). Una de las propiedades más importante de las fuerzas conservativas es que el trabajo realizado solo depende de las posiciones inicial y final del cuerpo y no de la trayectoria seguida. Esto puede expresarse, teniendo en cuenta la definición de trabajo: Física Página 6 de 32

Otra propiedad, que se deriva de la anterior, es que el trabajo realizado por las fuerzas conservativas a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo. Imagen 9. Elaboración propia El peso es una fuerza conservativa? Imagen 12. Elaboración propia Un cuerpo de 10 kg de masa, se mueve con una velocidad de 5 m/s cuando empieza a actuar sobre él la fuerza que se representa en la figura. Cuál es su energía cinética en el instante inicial? y en la posición final? Física Página 7 de 32

2. Cinemática del m.a.s. Se denomina movimiento periódico aquel en el que los valores de sus magnitudes cinemáticas (posición, velocidad y aceleración) se repiten a intervalos iguales de tiempo. A cada repetición de estos valores se le denomina ciclo. Todo movimiento periódico puede definirse a partir de dos magnitudes: Periodo (T): Es el tiempo que se tarda en completar un ciclo completo. Se expresa en segundos. Frecuencia (f): Es el número de veces que se repite un ciclo completo en un segundo. Su unidad es s -1, unidad que recibe también el nombre de hercio (Hz). Periodo y frecuencia son funciones inversas entre sí: Animación 2. josiño. Dominio público El corazón de un atleta late 60 veces en 20 s cuando está en pleno esfuerzo. Cuando descansa lo hace 36 veces en 30 s. Cuáles son el período y la frecuencia del latido cardiaco durante el esfuerzo y en el descanso? Animación 3. Evil Saltine GNU Free License Cuando los movimientos periódicos tienen lugar en torno de un punto central de equilibrio, reciben el nombre de movimientos oscilatorios o vibratorios. De entre estos, los que tienen mayor interés son los movimientos armónicos. Física Página 8 de 32

Denominamos movimientos armónicos simples (m.a.s.) a aquellos en los que la partícula se mueve en línea recta en torno a un punto de equilibrio y que pueden expresarse mediante una función armónica (seno o coseno) de una única variable. La característica común de estos movimientos es que son resultado de fuerzas que siempre están dirigidas al punto central de equilibrio y su valor es directamente proporcional y de sentido contrario a su posición respecto a dicho punto. Para encontrar la ecuación de la posición en un m.a.s. se puede utilizar un tipo de movimiento periódico que ya estudiaste en la física de primero de bachillerato: el movimiento circular uniforme (m.c.u.). Dado que ambos son movimientos periódicos, puede describirse un m.a.s. como la proyección de un m.c.u. del mismo periodo sobre uno de sus diámetros, tal y como puedes observar en el siguiente applet: Animación 4. Curso interactivo de física en Internet Ángel Franco García. Permiso uso educativo Si A es el radio de la circunferencia, ω la velocidad angular del m.c.u. y φ o la posición angular en el instante que se inicia el movimiento, la posición de la partícula que describe el m.a.s. vendrá dada por una de las ecuaciones: Ambas ecuaciones representan las proyecciones del m.c.u. sobre los dos ejes coordenados., recibe el nombre de pulsación, se mide en rad/s y representa la velocidad angular constante de la partícula (ficticia) que recorre la circunferencia. La pulsación, el período y la frecuencia del movimiento armónico simple guardan la misma relación que en el caso del movimiento circular: Física Página 9 de 32

Un cuerpo tiene un movimiento vibratorio armónico simple con un período de 2 s. Cuál es la frecuencia del m.a.s.? Y la pulsación? Biela - manivela Animación 5. UtzOnBike Creative commons En ingeniería mecánica se utiliza el mecanismo de biela - manivela que transforma el movimiento alternativo de traslación de un pistón en un movimiento circular (o viceversa). Si el movimiento circular se realiza con velocidad angular uniforme, el movimiento de vaivén lineal es aproximadamente vibratorio armónico. Ver animación Este mecanismo se utiliza en los motores de combustión interna (automóviles). En ellos el movimiento lineal del pistón, producido por la expansión de los gases de la combustión de la gasolina, se transmite a la biela y se convierte en movimiento circular en la manivela (cigüeñal). Física Página 10 de 32

2.1 Ecuación de la posición Una partícula describe un Movimiento Vibratorio Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve en una dimensión, estando su posición x dada en función del tiempo t por una ecuación de la forma: Imagen 13. Elaboración propia El significado físico de las magnitudes que aparecen en esta ecuación es el siguiente: -x; es la elongación, la posición respecto al centro de equilibrio de la partícula que se mueve Imagen 14. Elaboración propia -A ; es la amplitud, correspondiente a la elongación máxima, la mayor distancia a la que puede encontrarse la partícula respecto al centro de equilibrio. - ω ; es la frecuencia angular, que indica el número de veces que se repite un ciclo completo en 2π segundos. También recibe el nombre de pulsación. - φ o ; es la fase inicial, que indica la posición de la partícula en el instante t=0. -(ω t+φ o ) ; es la fase global, que nos permite calcular la elongación en cualquier instante. Se mide en radianes (rad). La elongación de un cuerpo que describe un movimiento armónico simple está dada por la ecuación: en el S.I. de unidades Cuál es la amplitud, la pulsación, la frecuencia, el período y la fase inicial del movimiento? Física Página 11 de 32

En el siguiente applet se representa la elongación en función del tiempo. Puedes variar la amplitud (A), la frecuencia angular (ω) y la fase inicial (φ 0 ) para comprobar cómo se modifica la elongación con el tiempo: Animación 6. Laboratorio virtual Prisma. Permiso uso educativo Modifica en el applet los siguientes valores: Da el valor 50 a la amplitud manteniendo los valores de la frecuencia y la fase inicial. Da los valores 1 y 10 a la frecuencia manteniendo la amplitud y la fase inicial. Da los valores 0, 90, 180 y 270 a la fase inicial manteniendo la amplitud y la frecuencia. Después de observar cómo se mueve y donde empieza a moverse la bolita roja, qué conclusiones obtienes en relación con la amplitud, la frecuencia y la fase inicial? Imagen 15. Qualc1 GNU Free License Física Página 12 de 32

La ecuación de la posición (elongación) puede expresarse como o bien como. Las dos expresiones son totalmente correctas y de una expresión se puede pasar a la otra añadiendo una fase de. Recuerda que Una partícula describe un m.a.s. de 2 cm de amplitud y 2 s de período. Si en el instante inicial la elongación es máxima y positiva, cuál es la ecuación de la posición? Un cuerpo tiene un movimiento armónico simple de 30 cm de amplitud y frecuencia 5 Hz. Si en el instante en que empezamos a contar el tiempo su elongación es la mitad de la amplitud, cuál es la ecuación de la posición del cuerpo? Física Página 13 de 32

2.2 Velocidad en el m.a.s. Imagen 16. Elaboración propia En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, puedes obtener la velocidad derivando la posición respecto al tiempo. Derivando la ecuación de la posición de un m.a.s. respecto al tiempo, es posible obtener la ecuación general de la velocidad de un m.a.s. en función del tiempo: Puedes expresar la velocidad anterior en función de la elongación. Para ello debes usar la conocida relación trigonométrica sin 2 α + cos 2 α = 1 y las ecuaciones obtenidas para la posición y la velocidad: Observa que, para un mismo valor de x, la velocidad puede ser positiva o negativa: Positiva si el movimiento tiene lugar en el sentido positivo y negativa si el movimiento se produce en el sentido de las elongaciones decrecientes. La velocidad es máxima cuando x = 0 y es nula cuando x = ± A, es decir, en los extremos de la trayectoria. La ecuación de la velocidad en un m.a.s. es una magnitud periódica que puede expresarse de dos formas: En función del tiempo; En función de la posición; Animación 7. Elaboración propia Una partícula describe un m.a.s. de amplitud 5 cm. Cuando se encuentra a 3 cm de la posición de equilibrio su velocidad es de 0,16 m/s. Cuál es el período del movimiento de la partícula? Cuál es su velocidad al pasar por la posición de equilibrio? Física Página 14 de 32

Condiciones iniciales: Si conoces la posición inicial x 0 y la velocidad inicial v 0 en el instante t = 0. puedes determinar la amplitud A y la fase inicial φ o. Un cuerpo que realiza un m.a.s. con una frecuencia de 20 Hz y una amplitud de 5 cm, en el instante inicial se encuentra a 2,5 cm de su posición de equilibrio, desplazándose en sentido positivo. Cuál es la velocidad del cuerpo en cualquier instante? Una partícula que describe un m.a.s. tiene una velocidad de 3 m/s cuando pasa por la posición x= 4 m y una velocidad de 4 m/s cuando pasa por x= 3 m. Cuál es la amplitud de la oscilación? Qué velocidad lleva cuando pasa por la posición de equilibrio? Física Página 15 de 32

2.3 Aceleración en el m.a.s. Imagen 17. Elaboración propia La última magnitud cinemática es la aceleración, que se calcula como la derivada de la velocidad respecto al tiempo. En el apartado anterior se obtuvo la ecuación de la velocidad de un m.a.s. en función del tiempo. Derivando esta ecuación respecto del tiempo, se obtiene la ecuación general de la aceleración de un m.a.s.: La última igualdad te muestra que la aceleración es directamente proporcional a la elongación y de sentido opuesto a ella. La aceleración está siempre dirigida hacia la posición de equilibrio. La aceleración en un m.a.s. es una magnitud periódica que puede expresarse de dos formas: - En función del tiempo; - En función de la posición; En la siguiente animación puedes observar cómo varían los vectores posición, velocidad y aceleración en un móvil con movimiento vibratorio armónico simple. Fíjate que cuando pasa por la posición de equilibrio, el vector posición y la aceleración se anulan, mientras que la velocidad es máxima. Animación 8. Mdiagom Creative Commons Resulta de interés representar gráficamente de forma simultánea las tres ecuaciones cinemáticas de un m.a.s. tal y como se muestran a continuación (Si pulsas sobre la imagen puedes acceder a una simulación en la que es posible variar los parámetros del movimiento): Física Página 16 de 32

Imagen 18. Proyecto Prisma PNTIC. Permiso uso educativo A la vista de esta representación, pueden extraerse unas conclusiones muy interesantes: La velocidad y la aceleración de un m.a.s. son magnitudes periódicas. La gráfica de la posición está desplazada π/2 respecto a la de la velocidad. La velocidad se anula en los extremos de la trayectoria. La velocidad es máxima en el punto de equilibrio, siendo su valor v max = ω A y su signo dependiente del sentido de movimiento. La aceleración tiene siempre sentido (signo) contrario a la posición. La aceleración se anula en el punto central de equilibrio. La aceleración es máxima en los extremos de la trayectoria, siendo su valor a max = ω 2 A y su signo dependiente de la posición. Imagen 19. Mutari. Dominio público Física Página 17 de 32

Un taladro vibra con un m.a.s. a una frecuencia de 20 Hz. Cuál es la aceleración máxima de la cabeza del taladro si la amplitud de la oscilación es de 5 cm? Una partícula está animada de un m.a.s. de amplitud 10 cm. La relación existente entre la aceleración y la posición de la partícula es a = - 16 π 2 x. Si has empezado a contar el tiempo cuando la partícula pasaba por x = - 10 cm, cuál es la ecuación de la posición de la partícula en función del tiempo? Y la de la velocidad? Y la de la aceleración? Una partícula tiene un m.a.s. de amplitud 10 cm. Cuando la partícula se encuentra en x = 5 cm, el módulo de su velocidad y el de su aceleración coinciden, cuál es el período del movimiento? Física Página 18 de 32

3. Dinámica del m.a.s.: El oscilador armónico Acabas de ver cómo todo m.a.s. presenta una aceleración directamente proporcional a la posición pero de signo contrario (a = -ω 2 x). Además, el curso pasado estudiaste las leyes de Newton, fundamento de la mecánica. Puedes recordar que la segunda ley de Newton relacionaba la acción de una fuerza sobre un cuerpo con el cambio de su aceleración: F = m a. Una de las consecuencias de la acción de las fuerzas sobre la materia es que puede llegar a deformarla. Entre los distintos comportamientos destacan aquellos cuerpos que, aún deformándose, recuperan la forma inicial cuando la fuerza deja de actuar; estos cuerpos reciben el nombre de elásticos. La deformación de estos cuerpos obedece a la conocida como Ley de Hooke, donde existe una fuerza restauradora F que es directamente proporcional a su elongación: Animación 9. David-Harrisson. Permiso Uso educativo El oscilador armónico es el ejemplo más simple de sistema físico que describe un movimiento vibratorio armónico simple, y corresponde a un sistema sobre el que actúa únicamente una fuerza restauradora que obedece a la ley de Hooke. La ecuación que describe el movimiento de este sistema puede encontrarse de una forma muy sencilla, teniendo en cuenta que únicamente interesa la dirección en la que se produce el movimiento. Para ella: Como el movimiento de este sistema es del tipo armónico simple, es posible sustituir el valor de la aceleración por el que ya se obtuvo en el punto anterior (a = -ω 2 x), resultando donde sustituye al producto, ya que la masa del oscilador y la pulsación son constantes. Por tanto, y la frecuencia angular es: El movimiento de un oscilador armónico está determinado por su frecuencia angular o pulsación (ω) que viene dada por la expresión: Si recuerdas la expresión del periodo en función de la frecuencia angular (T = 2 π/ω), puede obtenerse el periodo de un oscilador armónico: Y como la frecuencia es la inversa del periodo, es inmediato encontrar que: Observa cómo el periodo de oscilación depende únicamente de la masa del oscilador y de la constante elástica del muelle, siendo independiente de la amplitud de la misma. Física Página 19 de 32

Imagen 20. Elaboración propia Un oscilador armónico está formado por un bloque de 500 g unido a un muelle. Cuando oscila con una amplitud de 35 cm, repite su movimiento cada 0,5 s. Calcula: el período, la frecuencia, la pulsación, la constante elástica del resorte, la velocidad máxima del bloque y la fuerza máxima ejercida sobre el bloque. Un oscilador armónico está formado por un cuerpo de masa m unido al extremo de un resorte ideal de constante elástica k = 20 N/m. El cuerpo oscila horizontalmente sin rozamiento. Su ecuación de movimiento, tomando el origen en su posición de equilibrio, es: Qué afirmaciones son ciertas? x = 0,1 sin (11,5 t + π/2) El cuerpo tiene velocidad cero en el instante inicial. La velocidad máxima del cuerpo es 11,5 m/s La masa del cuerpo es 151 g La aceleración máxima del cuerpo es 115 m/s 2 La fuerza máxima con que tira el muelle del cuerpo es 20 N Mostrar Información En un oscilador armónico vertical (cuyo movimiento se produce en el eje y), actúan dos fuerzas: por una parte, la fuerza recuperadora F r que verifica la ley de Hooke ( ) y por otro lado la fuerza debida al peso ( ) : En la posición de equilibrio ( ) el oscilador permanecerá en reposo, por lo que y se cumplirá que la fuerza recuperadora se igualará con la fuerza peso: Imagen 21. Elaboración propia En el caso general, puede escribirse, sustituyendo el valor de F por su expresión general, teniendo en cuenta que la posición (y) es la diferencia entre las longitudes actual ( ) y de equilibrio ( ) cuyo valor se acaba de calcular: Física Página 20 de 32

De donde se obtiene la expresión para la frecuencia angular del oscilador armónico: Animación 10. Oleg Alexandrov Dominio público Una masa de 0,1 kg se une al extremo inferior de un muelle vertical y se le hace vibrar. Si la velocidad máxima de la masa es de 15 cm/s y el periodo es de 0.5 s, cuál es la constante elástica del muelle? Cuál es la frecuencia del movimiento de la masa? Cuál es la fuerza máxima que ejerce el muelle sobre la masa? Un resorte vertical tiene colgada de su extremo una masa de 0,25 kg. Al añadir una masa extra de 50 g el muelle se alarga 4,9 cm. Estiras de la masa hacia abajo y comienza a vibrar con una amplitud de 10 cm. Cuál es el período de la oscilación? Cuál es la velocidad y aceleración máximas de la masa? Física Página 21 de 32

3.1 El péndulo simple Se denomina péndulo simple al sistema compuesto por una masa puntual que cuelga de un hilo sin masa e inextensible. Animación 11. Tibbets74 Copyleft Un péndulo simple en reposo se encuentra siempre en orientación vertical. Cualquier perturbación sobre el mismo da lugar a una oscilación en torno a esta posición de equilibrio vertical. Imagen 22. Dominio público Como puedes observar, este caso es algo más complicado respecto al de un oscilador armónico, pues la trayectoria del péndulo es una curva en dos dimensiones, por lo que será necesario estudiarlo descomponiendo las fuerzas en las direcciones de los dos ejes coordenados x e y, que en este caso se tomarán por conveniencia en la dirección del hilo, tal y como observas en la figura. El problema que se tratará en esta unidad será una simplificación del modelo de péndulo simple, en el que se considerará que la amplitud del ángulo de oscilación es muy pequeño en relación con la longitud total del hilo, lo que permitirá aproximar las ecuaciones de forma que las ecuaciones del movimiento sean expresiones sencillas. Las fuerzas que actúan sobre el péndulo son: Física Página 22 de 32

La atracción gravitatoria; conocida comúnmente como peso, y de valor p = m g, que siempre está orientada verticalmente en la dirección del eje y. La tensión del hilo; que aquí se indicará como T h para evitar su confusión con el periodo (T), cuyo valor cuando el péndulo se encuentra en posición vertical es exactamente igual al del peso. En una posición desplazada del equilibrio, el hilo formará un ángulo θ respecto a la vertical. En esta situación el peso de la partícula puede descomponerse en dos fuerzas, F y en la dirección del hilo (eje y) y otra F x perpendicular a él (eje x) y con sentido hacia el punto de equilibrio: Teniendo en cuenta que el movimiento se producirá únicamente en la dirección del eje x, puesto que el hilo se ha definido como inextensible, las ecuaciones del movimiento para este sistema resultan ser: La ecuación de interés es la primera de ellas donde, si el ángulo es lo suficientemente pequeño, los valores de su seno y su tangente son prácticamente iguales. Además, es posible calcular el valor de esta tangente en el triángulo definido por el hilo y la vertical, tal y como se muestra en la figura, que resulta ser. Realizando la aproximación y sustituyendo este valor en la ecuación del movimiento: Por otra parte, como para todo m.a.s. la aceleración tiene la forma a = -ω 2 x, al igualar ambas ecuaciones se obtiene: Imagen 23. Elaboración propia El movimiento de un péndulo simple está determinado por su frecuencia angular o pulsación (ω) que viene dada por la expresión: El periodo de un oscilador armónico es: Mientras que su frecuencia resulta ser: De estas ecuaciones resulta interesante observar que, para ángulos suficientemente pequeños, el periodo es independiente de la masa del péndulo o de la amplitud de la oscilación, dependiendo únicamente de la longitud del hilo. Física Página 23 de 32

Un reloj de péndulo (supuesto un péndulo simple) tiene un periodo de 2 s en la superficie de la Tierra ( g = 9,8 m/s 2 ), cuál es el período del reloj sobre la superficie de la Luna, donde g=1.6 m/s 2. Cuál es la frecuencia de oscilación de un péndulo de 1 m de longitud en Marte, si el peso de los cuerpos en Marte es el 40 % de su peso en la Tierra? (g en la Tierra = 9,8 m/s 2 ) Física Página 24 de 32

4. Energía en el m.a.s.: Energía cinética Si recuerdas el tema dedicado a la energía en la física y química de primero de bachillerato, definíamos la energía cinética como aquella energía asociada al movimiento, y obtuviste su expresión general : Por otra parte, en el punto dedicado a la cinemática del m.a.s. se ha encontrado el valor para la velocidad en este tipo de movimientos, tanto en función del tiempo como de la posición: Imagen 24. Elaboración propia Para encontrar el valor de la energía cinética, bastará con sustituir estas expresiones en la ecuación de la energía cinética. Así, la energía cinética de un m.a.s. en función del tiempo es: Y en función de la posición: En el caso particular de un oscilador armónico, la frecuencia angular tomaba un valor expresión queda como:, por lo que esta La energía cinética en un m.a.s. puede expresarse: - En función del tiempo; - En función de la posición; En el caso particular de un oscilador armónico, es posible expresar la energía cinética en función de la constante elástica (k) del oscilador: Imagen 25. Elaboración propia Puedes observar como la energía cinética es máxima en el punto de equilibrio (x = 0) y se anula en los extremos de la trayectoria (x = ±A) Física Página 25 de 32

Un saco de arena de un gimnasio tiene una masa de 600 g, al golpearlo oscila con una frecuencia de 3 Hz y una amplitud de 25 cm. Cuál es la energía cinética máxima del saco? Y su energía cinética cuando se encuentra a 10 cm de su posición de equilibrio? Un cuerpo de 0,4 kg de masa unido a un resorte experimenta un m.a.s. con un período de 0,75 s y una amplitud de 10 cm. Cuál es la constante elástica del resorte? Qué energía cinética posee el cuerpo a 6 cm de la posición de equilibrio? Cuáles son la velocidad y la aceleración máximas? Física Página 26 de 32

4.1 Energía potencial En primero de bachillerato, en el tema correspondiente a energía, pudiste ver la existencia de distintos tipos de energía potencial, asociados cada uno de ellos a una fuerza en particular. Así, la energía potencial gravitatoria estaba asociada a la acción de la atracción gravitatoria, mientras que la energía potencial elástica lo estaba a la fuerza recuperadora de un oscilador armónico, justamente la responsable del movimiento armónico simple. La característica de la fuerza recuperadora es que es directamente proporcional a su deformación ( ). Al ser la fuerza elástica dependiente de, el trabajo puede hallarse gráficamente. En la figura el trabajo que realiza la fuerza cuando la partícula se mueve desde una posición a otra es equivalente al área sombreada: Imagen 26. Elaboración propia Observa que si se produce un desplazamiento positivo ( desplazamiento es negativo ( ) el trabajo es positivo. ) el trabajo realizado es negativo, mientras que si el Como el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a menos la variación de la energía potencial experimentada por el oscilador, puede escribirse: Si se elige el valor 0 de la energía potencial cuando el oscilador se encuentra en la posición de equilibrio ( posible expresar la energía potencial elástica como: ), es Imagen 27. Elaboración propia La energía potencial elástica de un cuerpo sometido a una fuerza recuperadora y que se encuentra a una distancia x de la posición central de equilibrio es: Observa que la energía potencial elástica se anula en la posición de equilibrio (x = 0) y es máxima en los extremos (x = ±A) Física Página 27 de 32

Puede calcularse la energía potencial elástica en cualquier punto de la trayectoria sustituyendo la ecuación de la posición para un m.a.s. donde se ha tenido en cuenta la expresión de la frecuencia angular en función de la constante elástica. Imagen 28. Elaboración propia La expresión de la energía potencial elástica en función del tiempo es: Apoyado en un plano horizontal, sin rozamiento, hay un bloque de masa m = 0,5 kg, sujeto al extremo libre de un resorte horizontal, fijo por el otro extremo. Aplicas al bloque una fuerza de 15 N y el resorte se alarga 10 cm. En esta posición sueltas el cuerpo, que inicia un movimiento armónico simple. Cuál es la ecuación de movimiento del bloque? Cuáles son las energías cinética y potencial cuando la elongación es de 3 cm? Oscilaciones amortiguadas Física Página 28 de 32

Animación 12. Oleg Alexandrov. Dominio público El estudio de las oscilaciones que se ha realizado es una simplificación de lo que ocurre en el mundo real. Aquí el movimiento perpetuo es imposible, pues siempre existen procesos de fricción, ya sea con un eje o incluso con el aire mismo de la atmósfera. Estos procesos son disipativos, es decir, no conservan la energía mecánica del sistema, convirtiendo parte de la energía del mismo en calor al entorno. A este proceso se le denomina amortiguación y al movimiento correspondiente oscilación amortiguada. Para conservar el movimiento oscilatorio armónico simple es por lo tanto necesario suministrar de alguna forma energía al sistema, pues de no hacerlo la amplitud se irá haciendo cada vez menor, tal y como se observa en la animación. Imagen 29. Elaboración propia Física Página 29 de 32

4.2 Conservación de la energía Al ser la fuerza restauradora una fuerza conservativa, en ausencia de otras fuerzas, la energía se conservará. En la siguiente animación interactiva puedes observar la variación de la energía potencial de un oscilador armónico con la posición, y obtener todos los valores del movimiento: Animación 13. Curso interactivo de física en Internet Ángel Franco García. Permiso uso educativo Puedes observar cómo la energía mecánica total es constante, variando sin embargo continuamente su naturaleza, transformando energía cinética en potencial elástica y viceversa. Fíjate también en las gráficas de la energía que se muestran a continuación, donde se observa que la energía cinética es máxima en la posición central de equilibrio y nula en los extremos, mientras que la energía potencial elástica es máxima en los extremos del movimiento y se anula en la posición central de equilibrio. Imagen 30. Jfmelero GNU Free License La distribución de energías en cada momento puede encontrarse fácilmente al escribir la ecuación de la energía mecánica, que como recordarás del curso Imagen 31. Elaboración propia Física Página 30 de 32

anterior, es igual a la suma de la energía cinética más la energía potencial. Sustituyendo los valores calculados en los apartados anteriores para las energías cinética y potencial en un m.a.s. : Teniendo en cuenta la relación trigonométrica sin 2 α + cos 2 α = 1, y que, para un oscilador armónico,, resulta: La energía mecánica en un m.a.s. permanece constante, siendo su valor Verificándose la conservación de la energía mecánica: Un cuerpo de 0.5 kg, sujeto al extremo de un resorte horizontal de constante elástica k = 300 N/m, tiene un m.a.s.. Cuando el cuerpo está a 12 mm de su posición de equilibrio, su velocidad es de 0.3 m/s, cuál es la energía total del cuerpo? Y la amplitud de su movimiento? Y la velocidad máxima que alcanza el cuerpo? Una partícula de 0,2 kg, describe un m.a.s. de 1,2 s de período. En el instante inicial su energía cinética es 0,2 J y su energía potencial es 0,8 J. Cuál es su elongación en el instante en que su energía cinética es igual que su energía potencial? Un oscilador armónico está formado por un cuerpo de masa m = 25 g, unido al extremo de un resorte ideal de 10 cm de longitud y constante elástica k = 20 N/m. Sueltas el cuerpo en la posición x 1 = 12 cm, sin Física Página 31 de 32

velocidad inicial, y oscila horizontalmente hasta la posición x 2 = 8 cm. Si no hay rozamientos, qué afirmaciones son ciertas? La energía potencial elástica de m en x 1 es 4 mj La energía potencial elástica de m en x 2 es 4 mj La energía cinética de m cuando pasa por x o =0,10 m su valor es 4 mj. Imagen 32. Elaboración propia La energía mecánica de m cuando pasa por x 3 =0,11 m es 1 mj Mostrar Información Física Página 32 de 32