CALCULO I: Práctica 5 con la calculadora ClassPad 330 Objetivos: Requisitos: En esta práctica utilizaremos la Aplicación Geometría y la Aplicación Gráficos & Tablas del Menú de Aplicaciones Incorporadas de la calculadora ClassPad 330, para visualizar aquellas propiedades algebraicas de las funciones reales de variable real que tienen a su vez una interpretación geométrica y que forman parte esencial a la hora de realizar un estudio completo de la función cuya finalidad, entre otras que veremos más adelante, es el trazado a mano su gráfica. Antes de realizar esta práctica es imprescindible haber estudiado el Capítulo 1 del texto recomendado y haber realizado en su totalidad la Práctica 4. Observaciones: Es importante señalar al estudiante que debe realizar las actividades propuestas siguiendo cuidadosamente cada instrucción. Para distinguir en esta práctica las instrucciones y actividades de la transmisión de información, estás se destacarán con los iconos,, o una barra gris en el margen izquierdo. El primer icono o la barra gris dispuesta a lo largo de una secuencia de instrucciones numeradas, indicará al estudiante que se abre una sección donde únicamente podrá hacer uso de la calculadora y ejecutar las instrucciones propuestas, el segundo le indicara que se está planteando una situación problemática dirigida o no y el último, que debe reportar por escrito la respuesta a la situación problemática formulada. 5.1 Riesgos al trazar un bosquejo de la gráfica de una función por medio del método de puntos. Encontrar el dominio de una función constituye, en algunos casos, un proceso laborioso desde el punto de vista algebraico. Determinado éste, es aún más laborioso, el proceso de determinar su recorrido y trazar su gráfica. En realidad, como veremos aquí, el simple listado de unos pocos puntos del gráfico no nos permite bosquejar de manera eficiente su gráfica. Será necesario intentar, en la medida que avancemos en el conocimiento de las funciones reales de variable real, hacer un estudio completo de la función antes de trazar a mano su gráfica. En esta quinta práctica y las siguientes, aprenderemos a reconocer aspectos cualitativos sobre las funciones. Estos aspectos se basan en propiedades geométricas, algebraicas y analíticas que verifican las funciones y constituyen una herramienta valiosa en el proceso de bosquejar la gráfica de una función en un determinado dominio. El reconocimiento del recorrido surge como consecuencia de este proceso. Hablando en términos generales, el conjunto de los puntos del gráfico de una función f es infinito y, por tal motivo, no podemos aspirar a calcularlos todos a partir de la regla de correspondencia de f y luego marcarlos todos, sin excepción, para trazar su gráfica. En realidad podemos obviar esto, ya que en la mayoría de los casos bastan unos cuantos puntos para bosquejar la forma general de la gráfica, pero será necesario conocer un poco más ciertas propiedades de la función para que el trazado que realicemos se corresponda con la verdadera gráfica de la función. La construcción simple de la gráfica de f por el método de puntos consiste en marcar ciertos puntos del gráfico en el sistema de coordenadas y unirlos por una curva suave. A título de ejemplo, consideremos una función f definida en todos los números reales. Supongamos que hemos calculado, por medio su regla de correspondencia, los siguientes puntos del gráfico: x 1 0 1 3 y 1 0 1 Tabla 1 1. Marque estos puntos en el sistema coordenado y trace la poligonal definida por estos puntos para representar un bosquejo de la posible gráfica de la función: 1
Para realizar esta actividad utilicemos la Aplicación Geometría del menú de aplicaciones incorporadas de la ClassPad 330. Solución a la situación problemática planteada: Realizaremos previamente tareas de limpieza y configuración en la Aplicación Geometría:. Operación con la ClassPad. (1) Extraiga el lápiz táctil de la ranura de resguardo. () En el teclado plástico presione la tecla para encender la calculadora o simplemente toque con el lápiz táctil la pantalla. (3) En el panel de iconos toque el icono permanente para activar el menú de Aplicaciones Incorporadas. (4) En el menú de Aplicaciones Incorporadas toque el icono para activar directamente la Aplicación Geometría. (5) En barra de menús toque [Arch] [Nuevo] [Acep.] para crear un archivo nuevo en la Ventana de la Aplicación Geometría. (6) En barra de menús toque el icono para acceder al menú del Formato de Aplicación. Al desplegarse el menú aparecen los menús de opciones de configuración. Toque [Formato de geométrico]. Configuraremos las opciones del [Formato Geométrico]: (7) En la parte inferior del cuadro de diálogo toque [Defecto]. (8) En el recuadro [Ejes] toque el botón y seleccione [Número]. (9) Toque el recuadro para activar la [Rejilla entera]. (10) Toque [Def.]. Al terminar su calculadora presentará la pantalla de la Figura 1. Figura 1 Marcaremos ahora los puntos A( 1, ), B (0,1), C (1,0 ), D (,1) y E(3, ) : (11) En la barra de menús toque [Dibuj] [Punto] para activar la opción marcar puntos. Observe que la barra de herramientas el botón ennegrecido indicando que la opción marcar puntos está activad. (1) En la Rejilla entera toque alternativamente los puntos A( 1, ), B (0,1), C (1,0 ), D (,1) y E(3, ). (13) Toque ahora [Dibuj] [Polígono]. Observe en la barra de herramientas el botón indicando que la opción trazar poligonales está activada. (14) Toque cada uno de los puntos marcados A, B, C, D y E, en ese orden, para trazar la poligonal que une estos puntos. Se obtiene el trazado posible de la gráfica de la función en el intervalo [ 1,3 ]. Figura
Como vemos, la construcción de la gráfica de una función por el método de puntos es, en este caso, muy sencilla, y no requiere ciencia alguna. Sin embargo, en general, la aplicación descuidada del método de construcción por puntos puede conducir a errores graves que se derivan de la escasa información que se posee. Observe que al suponer que la gráfica de f es la poligonal trazada en la pantalla de la Figura, estamos asumiendo por un lado, que la función esta compuesta por trozos de segmentos rectilíneos en el intervalo [ 1,3 ]. Esto significa que estamos interpolando linealmente entre cada dos puntos consecutivos, lo cual es una aproximación a los verdaderos puntos que constituyen el gráfico de f en el intervalo dado. Por otro lado, no sabemos como se comporta la gráfica en los puntos fuera del intervalo y no se dispone de un criterio para extrapolar estos puntos. Tracemos en el mismo sistema coordenado las gráficas de las funciones definidas por: πx 4 x 3 4x + 3x + x f (x) = sen + cos(π x) y g(x) = y observemos qué ocurre: (15) Toque [Dibuj] [Función ] [f(x)]. (16) En el cuadro de diálogo [Función] edite la expresión πx sen + cos(π x). Para ello toque el botón en el teclado virtual [mth]. (17) Al terminar la edición toque [Acep.]. Observe que la gráfica de la función pasa por estos cinco puntos 1,3 la gráfica no es la de una poligonal. y en el intervalo [ ] Observe además el comportamiento periódico de la función. Presenta la misma porción de gráfica, tanto en el intervalo [ 1,3 ], como en los demás intervalos de longitud 4 unidades. (18) Toque nuevamente [Dibuj] [Función ] [f(x)]. (19) Toque la lengüeta D. Edite la expresión polinómica 4 x 3 4x + 3x + x y toque [Acep.]. Figura 3 Obtenemos la gráfica de otra función que pasa por los cinco puntos, pero con un comportamiento totalmente distinto. (0) Realicemos un acercamiento: toque [Ventana vis.]. (1) En el cuadro de diálogo configure: mínx : ; máxx : 4 y medy : 0. Toque [Acep.]. 3. De acuerdo a lo observado, qué puede usted concluir sobre la eficiencia del método de puntos como estrategia para el trazado de la gráfica de una función? En datos que provienen de problemas experimentales, la situación es aun más complicada. Aquí no se conoce la regla de correspondencia f entre la variable independiente de una cierta cantidad x y la variable dependiente y de otra, el problema radica en interpolar y extrapolar otros puntos bajo criterios apoyados en el conocimiento matemático, físico, etc. del fenómeno que se está tratando. En estos casos se acude, por ejemplo, a procedimientos de ajuste de curvas para obtener de manera aproximada la regla de correspondencia y trazar la gráfica de f. 3
5. Transformaciones de funciones. En algunos casos podemos trazar a mano la gráfica de una función f cuando ésta se ha obtenido por medio de determinadas transformaciones sencillas, que se han realizado sobre otra función g de la cual se conocen su regla de correspondencia, dominio, recorrido, algunas de sus propiedades y su gráfica. Estas transformaciones sencillas que se realizan sobre una determinada función, consisten en traslaciones verticales, traslaciones horizontales, dilataciones o compresiones verticales, dilataciones o compresiones horizontales, reflexiones verticales, reflexiones horizontales y combinaciones de éstas. Para precisar esto matemáticamente, supongamos que g es una función conocida y sea t la función afín definida por t (x) = k( x c), donde k y c son constantes reales que asumen aquí el papel de parámetros, entonces podemos construir una nueva función f de dos maneras: Una definida por f (x) = (g o t)( x) = g(k(x c)) y otra definida por f(x) = (t o g)(x) = k(g( x) c). Surgen las siguientes preguntas: si se conoce g, cómo se obtiene la gráfica de f a partir de la gráfica de g?, cuáles son el dominio y recorrido de f?, qué propiedades de g hereda f? 5..1 Traslaciones horizontales y verticales. Estudiemos los casos particulares en los que se ha trazado la gráfica de una función g y queremos averiguar la relación de ésta con la grafica de f(x) = g(x c) y con la gráfica de f (x) = g(x ) + c, donde c es una constante real. Para fijar ideas, tomemos la función conocida y definida por g (x) = x para x R. Trazado de la gráfica de f(x) = g(x c) para distintos valores enteros de c. 4. Operación con la ClassPad. () En el panel de iconos toque para acceder directamente a la aplicación Principal. (3) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (4) Toque [Adm. de variable]. (5) Toque [Main] dos veces. Toque [Todo] [Seleccionar todo]. (6) Toque [Edit] [Borrar] [Acep.]. (7) Toque [Cerr.] [Cerr.] para regresar al área de trabajo. La barra de estado que se encuentra en la parte inferior de la pantalla, debe presentar la configuración de formato básico presentada en la Figura 4. Para ello ejecute el siguiente paso: (8) Toque [Formato básico]. En el cuadro de diálogo toque [Defecto] [Def.]. Al finalizar su calculadora debe presentar la pantalla mostrada en la Figura 4. Definiremos ahora la función g. (9) En la línea de entrada toque [Acción] [Comando ] [Define]. (30) Oprima para activar el teclado virtual. Toque la lengüeta [abc]. (31) Ejecute la siguiente secuencia de botones y teclas: Figura 4 De esta manera se ha definido la función de usuario g. Figura 5 4
(3) En la línea recién editada, seleccione únicamente g (x). Toque [Edit] [Copiar]. (33) En la barra de herramientas toque para acceder a la Aplicación Gráficos & Tablas. (34) Toque y luego toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.]. (35) Con el cursor en la línea de edición y1: toque [Edit] [Pegar] y oprima [EXE]. (36) Toque [Formato de gráfico]. En el cuadro de diálogo toque [Defecto]. Luego toque el cuadro de marcación del [Controlador G] y finalmente toque [Def.]. (37) Toque para activar la ventana de visualización. Toque [Memoria] [Inicial] [Acep.]. (38) Toque y luego toque. Aparece la gráfica conocida de g. Ahora trazaremos la gráfica de f(x) = g(x c) para distintos valores enteros de c. (39) Toque [Análisis] [modif.]. En el cuadro de diálogo [Modif.] toque y luego toque [Acep.]. Observe que aparece la gráfica de g ennegrecida e identificada en el cuadro de mensajes (Figura 6). El cuadro de mensajes ubicado en la parte inferior de la ventana de gráficos permite realizar modificaciones. (40) Toque el cuadro de mensajes de manera de cancelar la selección de la expresión g (x). Ubique el cursor entre la variable y el paréntesis de cierre. Oprima. De esta manera tenemos editada la expresión g(x (0)) que corresponde, para c = 0, a la misma expresión g (x). (41) Ubique el cursor en el cuadro de mensajes y seleccione únicamente el valor 0. En pantalla aparecen las flechas (,,, ) del controlador de gráficos. (4) Toque en pantalla la flecha del controlador de gráficos. Observe la gráfica de la nueva función f(x) = g(x 1). (43) Toque varias veces la flecha y observe los valores positivos que toma el parámetro c y la gráfica de f(x) = g(x c). (44) Toque varias veces la flecha hasta obtener para c el valor 0. (45) Toque varias veces la flecha y observe ahora los valores negativos que toma el parámetro c y la gráfica de f(x) = g( x c). A partir de lo observado conteste a las siguientes preguntas: Figura 6 Figura 7 Figura 8 5. Cómo se obtiene la gráfica de f(x) = g(x c) a partir de la gráfica de g cuando c > 0?, Cuál es su dominio y su recorrido? 5
6. Cómo se obtiene la gráfica de f(x) = g(x c) a partir de la gráfica de g cuando c < 0?, cuál es su dominio y su recorrido? Trazado de la gráfica de f (x) = g(x) + c para distintos valores enteros de c. (46) Ubique el cursor en el cuadro de mensajes y cambie la expresión actual a la expresión g (x) + (0) y oprima [EXE]. (47) Ubique el cursor en el cuadro de mensajes y seleccione únicamente el valor 0. (48) Toque en pantalla la flecha del controlador de gráficos. Observe la gráfica de la nueva función f (x) = g(x) + 1. (49) Toque varias veces la flecha y observe los valores positivos que toma el parámetro c y la gráfica de f (x) = g(x) + c. (50) Toque varias veces la flecha hasta obtener para c el valor 0. (51) Toque varias veces la flecha y observe ahora los valores negativos que toma el parámetro c y la gráfica de f (x) = g(x) + c. A partir de lo observado conteste a las siguientes preguntas: Figura 9 7. Cómo se obtiene la gráfica de f (x) = g(x) + c a partir de la gráfica de g cuando c > 0?, cuál es su dominio y recorrido? 8. Cómo se obtiene la gráfica de f (x) = g(x) + c a partir de la gráfica de g cuando c < 0?, cuál es su dominio y recorrido? Observación: DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES Y VERTICALES. Como conclusión de los experimentos realizados, podemos establecer, en particular, el siguiente resumen: Supongamos que c > 0 y que g es una función tal que Dom g = [ a,b] y Ran g = [ α, β], entonces para obtener la gráfica de la función definida por: f (x) = g (x + c), debemos desplazar horizontalmente la gráfica de g una distancia de c unidades hacia la izquierda. En este caso Domf a c, b c Ranf = Rang = α, β. = [ ] y [ ] f (x) = g(x c), debemos desplazar horizontalmente la gráfica de g una distancia de c unidades hacia la derecha. En este caso Dom f a + c, b + c Ranf = Rang = α, β. = [ ] y [ ] f (x) = g (x) + c, debemos desplazar verticalmente la gráfica de g una distancia de c unidades hacia arriba. En este caso Dom f Domg = a,b α + c, β + c. = [ ] y [ ] f (x) = g(x) c, debemos desplazar verticalmente la gráfica de g una distancia de c unidades hacia abajo. En este caso Dom f Domg = a,b Ranf = α c, β c. = [ ] y [ ] 6
9. En cada uno de los siguientes casos, trace la gráfica de la nueva función f que se obtiene a partir de la gráfica de la función g definida por g(x) = x en el intervalo cerrado [ 1, ]. Indique además, para f, su regla de correspondencia, dominio y recorrido: a) f(x) = g(x ) = b) f (x) = g(x + 1) = c) f(x) = g(x) 3 = d) f (x) = g(x) + = 7
e) f(x) = g(x 1) + = f) f (x) = g(x + ) 3 = 5.. Dilataciones, compresiones y reflexiones (horizontales y verticales). Estudiemos los casos particulares en los que se ha trazado la gráfica de una función g y queremos averiguar la relación de ésta con la grafica de f (x) = kg(x) y con la gráfica de f (x) = g(kx), donde k es una constante real. Tomaremos en este estudio la función definida por g (x) = 3 + x x 1. Trazado de la gráfica de f (x) = kg(x) para distintos valores k. 10. Operación con la ClassPad. (5) Toque para acceder a la aplicación Principal (53) Oprima y active el teclado virtual D. (54) Utilice el comando [Define], editado en la línea de entrada, para definir la función g( x) = 3 + x x 1 y toque [Ejec]. (55) Toque y luego toque. (56) En la línea y1: debe encontrarse registrada la expresión g (x), si no es el caso edite esta expresión. (57) Toque y luego toque para maximizar la pantalla. (58) Toque para activar la ventana de visualización. (59) En el cuadro de diálogo toque [Memoria] [Inicial] [Acep.]. (60) Toque [Análisis] [modif.]. Figura 10 8
(61) En el cuadro de diálogo [Modif.] registre el paso con 0. y toque [Acep.]. En pantalla tendremos la gráfica de g resaltada (Figura 11). (6) Ubique el cursor en el cuadro de mensajes y cambie la expresión actual a la expresión 1 g(x) y oprima [EXE]. (63) Ubique el cursor en el cuadro de mensajes y seleccione únicamente el valor 1. La gráfica observada en pantalla corresponde al valor k = 1, es decir, f (x) = kg(x ) = g(x). Figura 11 Estudiaremos primeramente la función f (x) = kg(x) para valores de k > 1 con incrementos (paso) de 0. unidades, esto es, para k = 1.; 1.4; 1.6; 1.8;.0... En este caso, observe lo que ocurre con la gráfica de g, su dominio y su rango: (64) Toque varias veces la flecha del controlador de gráficos y observe los valores que toma el parámetro k. Observe cómo se transforma la gráfica de g, su dominio y recorrido, dando origen a la nueva función f (x) = kg(x) para k = 1.; 1.4; 1.6; 1. 8;.0... A partir de lo observado conteste a las siguientes preguntas: Figura 1 11. Cómo se obtiene la gráfica de f (x) = kg(x) para valores de k > 1?, cuáles son el dominio y recorrido de la nueva función? Estudiaremos ahora la función f (x) = kg(x) para valores de 0 k < 1 con incrementos (paso) de 0. unidades, esto es, para k = 0.0; 0.; 0.4; 0.6; 0.8. En este caso, observe lo que ocurre con la gráfica de g, su dominio y su rango: 9
(65) Toque varias veces la flecha del controlador de gráficos hasta obtener para k el valor 1. (66) Toque varias veces la flecha del controlador de gráficos mostrando únicamente los valores para k: 0.0; 0.0; 0.4; 0. 6; 0.8. Observe cómo se transforma la gráfica de g, su dominio y recorrido, dando origen a la nueva función f (x) = kg(x) para k = 0.0; 0.; 0.4; 0.6; 0.8. A partir de lo observado conteste a las siguientes preguntas: Figura 13 1. Cómo se obtiene la gráfica de f (x) = kg(x) para valores de 0 k < 1?, cuáles son el dominio y recorrido de la nueva función? Estudiaremos ahora la función f (x) = kg(x) para valores de 1 k < 0 con incrementos (paso) de 0. unidades, esto es, para k = 1.0; 0.8; 0.6; 0.4; 0.. En este caso, observe lo que ocurre con la gráfica de g, su dominio y su rango: (67) Toque varias veces la flecha del controlador de gráficos mostrando únicamente los valores para k: 1.0; 0.8; 0.6; 0.4; 0.. Observe cómo se transforma la gráfica de g, su dominio y recorrido, dando origen a la nueva función f (x) = kg(x) para k = 1.0; 0.8; 0.6; 0. 4; 0.. A partir de lo observado conteste a las siguientes preguntas: Figura 14 10
13. Cómo se obtiene la gráfica de f (x) = kg(x) para valores de 1 k < 0?, cuáles son el dominio y recorrido de la nueva función? Estudiaremos ahora la función f (x) = kg(x) para valores de k < 1 con incrementos (paso) de 0. unidades, esto es, para k =.0; 1.8; 1.6; 1.4; 1.. En este caso, observe lo que ocurre con la gráfica de g, su dominio y su rango: (68) Toque varias veces la flecha del controlador de gráficos mostrando únicamente los valores para k:.0; 1.8; 1.6; 1.4; 1.. Observe cómo se transforma la gráfica de g, su dominio y recorrido, dando origen a la nueva función f (x) = kg(x) para k =.0; 1.8; 1.6; 1. 4; 1.. A partir de lo observado conteste a las siguientes preguntas: Figura 15 14. Cómo se obtiene la gráfica de f (x) = kg(x) para valores de k < 1?, cuáles son el dominio y recorrido de la nueva función? 11
Estudiemos ahora la función f (x) = g(kx), donde k es una constante que toma valores en los números reales. Tomaremos como g la función que hemos definido. 15. Operación con la ClassPad. (69) Toque la pantalla y luego toque en el panel de iconos para cancelar la modificación de gráficas actual. (70) Una vez cancelada la modificación anterior, toque [Análisis] [modif.]. (71) En el cuadro de diálogo [Modif.] toque [Acep.]. (7) Ubique el cursor en el cuadro de mensajes y cambie la expresión actual a la expresión g (1x ) y oprima [EXE]. (73) Ubique el cursor en el cuadro de mensajes y seleccione únicamente el valor 1. La gráfica observada en pantalla corresponde al valor k = 1, es decir, f (x) = g(kx) = g(x). Figura 16 Empezaremos el estudio de la función f (x) = g(kx) para valores de k > 1 con incrementos (paso) de 0. unidades, esto es, para k = 1.; 1.4; 1.6; 1.8;.0... En este caso, observe lo que ocurre con la gráfica de g, su dominio y su rango: (74) Toque varias veces la flecha del controlador de gráficos y observe los valores que toma el parámetro k. Observe cómo se transforma la gráfica de g, su dominio y recorrido, dando origen a la nueva función f (x) = g(kx) para k = 1.; 1.4; 1.6; 1.8;.0... A partir de lo observado conteste a las siguientes preguntas: Figura 17 16. Cómo se obtiene la gráfica de f (x) = g(kx) para valores de k > 1?, cuáles son el dominio y recorrido de la nueva función? 1
Estudiaremos ahora la función f (x) = g(kx) para valores de 0 k < 1 con incrementos (paso) de 0. unidades, esto es, para k = 0.0; 0.; 0.4; 0.6; 0.8. En este caso, observe lo que ocurre con la gráfica de g, su dominio y su rango: (75) Toque varias veces la flecha del controlador de gráficos hasta obtener para k el valor 1. (76) Toque varias veces la flecha del controlador de gráficos mostrando únicamente los valores para k: 0.0; 0.; 0.4; 0. 6; 0.8. Observe cómo se transforma la gráfica de g, su dominio y recorrido, dando origen a la nueva función f (x) = g(kx) para k = 0.0; 0.; 0.4; 0.6; 0.8. A partir de lo observado conteste a las siguientes preguntas: Figura 18 17. Cómo se obtiene la gráfica de f (x) = g(kx) para valores de 0 k < 1?, cuáles son el dominio y recorrido de la nueva función? Estudiaremos ahora la función f (x) = g(kx) para valores de 1 k < 0 con incrementos (paso) de 0. unidades, esto es, para k = 1.0; 0.8; 0.6; 0.4; 0.. En este caso, observe lo que ocurre con la gráfica de g, su dominio y su rango: (77) Toque varias veces la flecha del controlador de gráficos mostrando únicamente los valores para k: 1.0; 0.8; 0.6; 0.4; 0.. Observe cómo se transforma la gráfica de g, su dominio y recorrido, dando origen a la nueva función f (x) = g(kx) para k = 1.0; 0.8; 0.6; 0. 4; 0.. A partir de lo observado conteste a las siguientes preguntas: Figura 19 13
18. Cómo se obtiene la gráfica de f (x) = g(kx) para valores de 1 k < 0?, cuáles son el dominio y recorrido de la nueva función? Estudiaremos ahora la función f (x) = g(kx) para valores de k < 1 con incrementos (paso) de 0. unidades, esto es, para k =.0; 1.8; 1.6; 1.4; 1.. En este caso, observe lo que ocurre con la gráfica de g, su dominio y su rango: (78) Toque varias veces la flecha del controlador de gráficos mostrando únicamente los valores para k:.0; 1.8; 1.6; 1.4; 1.. Observe cómo se transforma la gráfica de g, su dominio y recorrido, dando origen a la nueva función f (x) = g(kx) para k =.0; 1.8; 1.6; 1. 4; 1.. A partir de lo observado conteste a las siguientes preguntas: Figura 0 19. Cómo se obtiene la gráfica de f (x) = g(kx) para valores de k < 1?, cuáles son el dominio y recorrido de la nueva función? 14
OBSERVACIÓN: Supongamos que k es un número real y g es una función tal que g [ a,b] Rang = [ α,β] : 1) DILATACIONES, COMPRESIONES Y REFLEXIONES VERTICALES: Valor de k: Para obtener la gráfica de la función definida por f(x) = kg(x) : 15 Dom = y Dominio y Recorrido de f: k > 1 Debemos alargar verticalmente la gráfica de g en un Domf = dom g = factor de k unidades. [ kα, kβ] k = 1 En este caso las gráficas de f y g coinciden. Domf = dom g = Rang =, 0 < k < 1 Debemos comprimir verticalmente la gráfica de g en un Domf = dom g = factor de k unidades. [ kα, kβ] k = 0 En este caso la función f es nula ( f (x) = 0 para cada Domf = Dom g = x Dom f ). {} 0 1 < k < 0 Debemos reflejar la gráfica de g respecto al eje OX y Domf = dom g = luego comprimirla verticalmente en un factor de k [ kβ, kα] unidades. k = 1 Debemos reflejar sólo la gráfica de g respecto al eje OX. Domf = Dom g = [ β, α] k < 1 Debemos reflejar la gráfica de g respecto al eje OX y Domf = Dom g = luego alargarla verticalmente en un factor de k [ kβ, kα] unidades. ) DILATACIONES, COMPRESIONES Y REFLEXIONES HORIZONTALES: [ a, b] [ a, b] [ α β] Valor de Para obtener la gráfica de la función definida por Dominio y recorrido de f: k: f(x) = g(kx) : k > 1 Debemos comprimir horizontalmente la gráfica de g en [ a / k, b /k] k = 1 un factor de k unidades. En este caso las gráficas de f y g coinciden. Ran g = [ α, β] Domf = dom g = [ a, b] Rang = [ α, β] 0 < k < 1 Debemos alargar horizontalmente la gráfica de g en un [ a / k, b /k] factor de k unidades. Ranf = Ran g = [ α, β] k = 0 En este caso, si 0 Dom g ten emos f (x) = g(0) para cada Domf = Dom g = [ a, b] 1 < k < 0 x Dom f (función constante). Debemos reflejar la gráfica de g respecto al eje OY y { g(0) } [ b /k, a /k] luego alargarla horizontalmente en un factor de k unidades. Ran g = [ α, β] k = 1 Debemos sólo reflejar la gráfica de g respecto al eje OY. Domf = Dom g = [ b, a] k < 1 Debemos reflejar la gráfica de g respecto al eje OY y Ran g = [ α, β] [ b /k, a /k] y luego comprimirla horizontalmente en un factor de k unidades. Ran g = [ α, β] [ a, b] [ a, b] [ a, b] [ a, b] [ a, b]
0. En cada uno de los siguientes casos trace la gráfica de la nueva función f que se obtiene a partir de la gráfica de la función g definida por g(x) = x en el intervalo cerrado [ 1, ]. Indique además para f su regla de correspondencia, dominio y recorrido: a) f(x) = 1.5 g(x) = b) f (x) = 0.5 g(x) = c) f(x) = g(x) = d) f (x) = 0.5 g(x) = 16
f) f (x) = 1.g(x) = g) f (x) = g(0.5x) = h) f(x) = g( 0.5x) = i) f (x) = g( 1.5x) = 17
j) f(x) = g( 1.5x) = k) f (x) = g( x) = 5.3 Funciones pares, impares y periódicas. Estamos interesados ahora en reconocer aquellas funciones cuyas gráficas presentan simetrías respecto al eje OY o respecto al origen de coordenadas. También nos interesa reconocer aquellas funciones cuya gráfica no se ve alterada cuando la misma se traslada horizontalmente un determinado número de T unidades. 5.3.1 Funciones pares y funciones impares. Gráficamente se reconoce que una función f es par cuando el eje de las ordenadas es eje de simetría de su gráfica. Una función f es impar cuando el origen de coordenadas es centro de simetría de su gráfica. Algebraicamente se establece que la función f es par si la función g definida por: g(x) = f( x) para x Domf es idéntica a la función f. Esto significa gráficamente que si realizamos una reflexión de la gráfica de f respecto al eje OY, la gráfica obtenida coincide con la gráfica de f. En términos algebraicos, es común definir la paridad de una función f cuando f(x) = f( x) para x Dom f, esto es, f (x) = f( x) es una identidad en el dominio de f. Si al menos un elemento x0 del dominio de f verifica que f ( x 0 ) f( x0 ), entonces f no es una función par. Del mismo modo, f es una función impar si la función g definida por: g(x) = f( x) para x Domf es idéntica a la función f. Esto significa gráficamente que si realizamos una reflexión de la gráfica de f respecto al eje OY y luego una reflexión respecto al eje OX, la gráfica obtenida coincide con la gráfica de f. En términos algebraicos, es común definir la imparidad de una función f cuando f( x) = f(x) para x Dom f, esto es, f ( x) = f(x) es una identidad en el dominio de f. Si al menos un elemento x0 del dominio de f verifica que f( x 0 ) f(x0 ), entonces f no es una función impar. 18
Observación: De las definiciones anteriores se desprende que una condición necesaria, para que una función f sea par o impar es que el dominio de f sea un conjunto simétrico con respecto al origen, esto es, si x Dom f, entonces x Dom f. De manera que si el dominio de una función f no es simétrico respecto al origen, la función f no puede ser par, ni tampoco impar. Por ejemplo, la función definida por f(x) = 1 no es par, ni tampoco impar, ya que f = no es simétrico respecto al origen. Esto se evidencia por que x Dom ],1] 3 Dom f, pero ( 3) = 3 ], 1]. Tampoco se habla aquí de simetría de la gráfica de una función respecto al eje OX, ya que esto sería incompatible con el concepto de función. 1. En cada caso establezca geométricamente si la función dada es par o impar o si sencillamente no presenta simetrías. Una vez establecida su conclusión demuéstrela algebraicamente: a) f(x) = x x + 1 b) f (x) = x + sen(x) c) f(x) = x cos(x) Solución a la situación problemática planteada: (79) Toque para acceder a la Aplicación Principal. (80) Oprima para activar el teclado virtual. (81) Utilice el comando [Define], para definir la función f (x) = x x + 1 y toque [Ejec]. (8) Toque y luego toque. (83) En la línea y1: registre la expresión f (x) y Oprima [EXE]. (84) En la línea y: registre la expresión f( x). Seleccione el estilo de línea [Grues] y toque [Acep.]. Al finalizar oprima [EXE]. (85) En la línea y3: registre la expresión f( x). Seleccione el estilo de línea [Cuadrados] y toque [Acep.]. Oprima [EXE]. No olvide, al registrar las funciones, usar la tecla para cambiar el signo a una expresión o variable. Figura 1 (86) Toque y luego toque para maximizar la pantalla. Toque [Memoria] [Inicial] [Acep.]. Observe que las gráficas de f( x) y f( x) no coinciden con la gráfica de f. En consecuencia f no es par, ni tampoco impar. La gráfica de f no presenta simetrías en su dominio. Para demostrar este hecho analíticamente basta tomar en el dominio un elemento como R y calcular f() = + 1 = 3, f( ) = ( ) ( ) + 1= 7 y f( ) = 7, entonces tenemos, por un lado que f ( ) f(), lo que indica que f no es par. Por otro lado, f () f( ) que corrobora que f no es impar. Estos cálculos pueden realizarse también en la Aplicación Principal: 19
(87) Toque para acceder a la Aplicación Principal. (88) Active el teclado virtual [abc]. (89) En la línea de entrada registre f () y toque [Ejec]. (90) En la siguiente línea de entrada registre f( ) y toque [Ejec]. (91) Registre ahora f( ) y toque [Ejec]. Observe que f( ) f() y que f() f( ). De manera análoga establezca si las gráficas de las demás funciones dadas presentan simetrías. Figura. En este problema establezca gráficamente si la función presentada en la siguiente tabla es par o impar en su dominio e indíquelo en la misma: Función: Tipo: y = sen(x) 1 y = y = x 3 / 6 y = 1+ sen (x) y = 16 x x 4 3. En cada una de las siguientes tablas se presenta una operación (multiplicación, adición y composición). En cada casilla en blanco indique si la función que se obtiene al operar la función de la fila con la de la columna es par o impar o ninguna de ellas. Par Impar + Par Impar o Par Impar Par Par Par Impar Impar Impar 4. Considere una función f definida en un dominio simétrico respecto al origen. Demuestre que: 1 1 a) Las funciones f p y f i definidas por fp (x) = (f(x) + f( x)) y f i (x) = (f(x) f( x)) son respectivamente par e impar. b) f es la suma de una función par con una función impar. c) Si f es tanto par como impar, entonces f es la función nula. 5.3. Funciones periódicas. Gráficamente se reconoce que f es una función periódica de período T > 0, cuando al trasladar horizontalmente su gráfica T unidades a la izquierda, la nueva gráfica coincide con la gráfica de f. Algebraicamente se establece que f es periódica de período T > 0, si la función g definida por g (x) = f(x + T) para x Domf coincide con f. En términos algebraicos, es común definir la periodicidad de una función f cuando f (x) = f( x + T) para x Domf, esto es, f (x) = f(x + T) es una identidad en el dominio de f. Si al menos un elemento x0 del dominio de f verifica que f(x0 ) f(x0 + T) para cualquier T > 0, entonces f no es una función periódica. Observación: El menor valor de T > 0, que verifica la identidad f (x) = f(x + T) para x Domf se llama período fundamental de f o simplemente período de f. De la definición anterior, tenemos que si f es periódica de período T > 0, entonces también es periódica de período nt, donde n es un entero positivo. De manera que f verifica f (x) = f(x + nt) para x Domf. 0