Homotopía y Recubrimientos

Lord Livin Barrera Bocanegra Homotopía y Recubrimientos UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICA Lima - Perú 2007

A los Amantes de la Matemática

Índice Prefacio Introducción v vii 1 Homotopía 1 1.1 Aplicaciones Homotópicas.................. 1 1.2 Equivalencia Homotópica................... 4 1.3 Propiedades de Extensión.................. 10 1.4 El Cilindro Topológico.................... 15 1.5 Propiedades de Elevación................... 15 1.6 Ejercicios........................... 21 2 El Grupo Fundamental 37 2.1 Construcción del grupo Fundamental............ 37 2.2 El Homomorfismo inducido y sus consecuencias...... 42 2.3 El Grupo Fundamental del Círculo............. 45 2.4 Algunas Aplicaciones..................... 48 2.5 Grupo Fundamental de una Variedad Topológica...... 48 2.6 Ejercicios........................... 48 3 El Teorema de Van Kampen 49 3.1 Grupos Libres, Generadores y Relaciones.......... 49 3.2 Productos libres........................ 55 3.3 Presentaciones......................... 60 3.4 El Teorema de Van Kampen................. 60 3.5 Aplicaciones del Teorema de Van Kampen......... 68 3.6 Ejercicios........................... 68 iii

iv Índice 4 Espacios Recubridores 69 4.1 Grupo Fundamental y Aplicaciones Recubridoras..... 69 4.2 Homomorfismos Recubridores................ 75 4.3 Recubrimientos Regulares y Espacios Cocientes...... 80 4.4 Existencia de Recubrimientos................ 80 4.5 El Teorema de Borsuk - Ulam en dimensión 2....... 85 4.6 Ejercicios........................... 85 5 Tópicos Adicionales 87 5.1 Grupos de Homotopía de Orden Superior.......... 87 5.2 Nudos y Enlaces....................... 87 5.3 Presentaciones de Wirtinger................. 87 5.4 Ejercicios........................... 87 Bibliografía 89

Prefacio Lord Barrera Bocanegra Facultad de Ciencias Matemáticas Universidad Nacional Mayor de San Marcos Lima, Perú 2007 v

vi Prefacio

Introducción Tudo bem. J. Milnor vii

viii Introducción

Capítulo 1 Homotopía 1.1 Aplicaciones Homotópicas La definición de equivalencia homotópica entre espacios topológicos fue introducida por Witold Hurewicz en una serie de artículos entre 1935 y 1936. En lo que sigue denotaremos por I al intervalo [ 0, 1]. Definición 1.1.1. Sean X, Y espacios topológicos y f, g : X Y aplicaciones continuas. Una homotopía de f a g es una aplicación continua H : X I Y tal que H(x, 0) = f(x) y H(x, 1) = g(x) para todo x X. Si existe una homotopía de f a g, entonces diremos que f y g son homotópicas y escribimos f g, o también H : f g si queremos enfatizar la homotopía H. Observación 1.1.1. Decir que las aplicaciones continuas f, g : X Y son homotópicas, equivale a afirmar que existe una aplicación continua H : X I Y tal que los siguientes diagramas conmutan X 0 f Y X I H X 1 f Y X I H donde 0 (x) = (x, 0) y 1 (x) = (x, 1) para todo x X. Ejemplo 1.1.1. Sean X e Y espacios topológicos. Consideremos para cada y Y la aplicación constante c y : X Y, definida por c y (x) = y para 1

2 1 Lord Barrera todo x X. Entonces c y c y si y sólo si y e y pertenecen a la misma componente conexa por caminos de Y. En efecto, si c y c y, existe una aplicación continua H : X I Y tal que H(x, 0) = y y H(x, 1) = y para todo x X. Fijemos un punto x 0 X y consideremos la aplicación continua α : I Y definida por α(t) = H(x 0, t), entonces α es un camino de y a y. Recíprocamente, si y, y pertenecen a la misma componente conexa por caminos de Y, existe un camino α en Y que va de y a y. Ahora definimos H : X I Y por H(x, t) = α(t), es decir, H = α π I, donde π I es la proyección de X I sobre I. Por tanto, H es continua; además H(x, 0) = α(0) = y = c y (x) y H(x, 1) = α(1) = y = c y (x). Ejemplo 1.1.2. Sea X un espacio topológico y sea Y R n un subespacio convexo. Entonces cualquier par de aplicaciones continuas f, g : X Y son homotópicas. En efecto, desde que Y es convexo, la aplicación H : X I Y definida por H(x, t) = (1 t)f(x) + tg(x) es una homotopía de f a g. La aplicación H es llamada homotopía lineal. Ejemplo 1.1.3. Sean f, g : R R las aplicaciones definidas por f(s) = s y g(s) = 2s. Entonces la homotopía lineal entre f y g es definida por H(s, t) = (1 t)s + 2ts. Ejemplo 1.1.4. Sean los caminos α, β : I R 3 definidos por α(s) = (senπs, 0, cosπs) y β(s) = (0, senπs, cosπs), respectivamente. Entonces H : I I R 3 definida por H(s, t) = (cos tπ 2 senπs, sentπ 2 senπs, cosπs) es una homotopía de α a β. Ejemplo 1.1.5. Cuando n es impar, la aplicación antípoda f : S n S n es homotópica a la aplicación identidad id S n. En efecto, tomemos n = 2k 1, entonces S n R 2k = C k y cada punto z S n tiene la forma k z = (z 1,..., z k ) donde z i 2 = 1. Ahora bien, definimos i=1 H : S n I S n (z, t) e (1 t)πi z Entonces H es una homotopía de f a id S n.

1.2 Equivalencia Homotópica 3 Definición 1.1.2. Sean f, g : X Y aplicaciones continuas y A X. Decimos que f es homotópica a g relativa al conjunto A y se denota por f g (rel A), si existe una homotopía H : f g tal que H(x, t) = f(x) = g(x) para todo x A. Observación 1.1.2. De la definición se sigue que, si f es homotópica a g relativa al conjunto A, entonces f es homotópica a g. Observación 1.1.3. Si A =, la relación de homotopía relativa al conjunto A coincide con la relación de homotopía definida en 1.1.1. Ejemplo 1.1.6. En el ejemplo 1.1.3, f es homotópica a g relativa al conjunto {0}. Ejemplo 1.1.7. En el ejemplo 1.1.4, f es homotópica a g relativa al conjunto {0, 1}. Proposición 1.1.8. Sean X, Y espacios topológicos y C(X, Y ) el espacio de funciones continuas de X en Y. La relación (rel A) de homotopía relativa al conjunto A es una relación de equivalencia en C(X, Y ). Demostración. Sea f : X Y una aplicación continua. La aplicación H = f π X es una homotopía de f a f relativa al conjunto A. Sea ahora H una homotopía de f a g relativa al conjunto A. Definimos la homotopía H : X I Y por H(x, t) = H(x, 1 t), entonces H es una homotopía de g a f relativa al conjunto A. Supongamos ahora que F es una homotopía de f a g relativa al conjunto A y G es una homotopía de g a h relativa al conjunto A. Definimos la homotopía H por la fórmula { F (x, 2t), si 0 t 1 H(x, t) = 2 1 G(x, 2t 1), si 2 t 1 Nótese que H es continua ya que está bien definida y sus restricciones a los cerrados X [0, 1 2 ] y X [1 2, 1] son continuas. Además, H es una homotopía de f a h relativa al conjunto A. Proposición 1.1.9. Sean X, Y, Z espacios topológicos. Si f 0, f 1 : X Y y g 0, g 1 : Y Z son aplicaciones continuas tal que f 0 f 1 (rel A) y g 0 g 1 (rel A), entonces g 0 f 0 g 1 f 1 (rel A). Demostración. Sean las homotopías F : f 0 f 1 (rel A) y G : g 0 g 1 (rel A). Definimos H : X I Z por H(x, t) = G(F (x, t), t), entonces H es una homotopía de g 0 f 0 a g 1 f 1 relativa al conjunto A.

4 1 Lord Barrera 1.2 Equivalencia Homotópica La definición de equivalencia homotópica entre espacios topológicos fue introducida por Witold Hurewicz en una serie de artículos entre 1935 y 1936. Definición 1.2.1. Una aplicación continua f : X Y es llamada equivalencia homotópica si existe una aplicación continua g : Y X tal que f g id Y y g f id X. Si existe una equivalencia homotópica entre X e Y, entonces diremos que X e Y son equivalentes homotópicamente o simplemente homotópicos y denotamos por X Y. Observación 1.2.1. Si X e Y son homeomorfos, entonces son equivalentes homotópicamente. La recíproca no siempre se cumple, como se verá mas adelante. Ejemplo 1.2.1. S n R n+1 \ {0}. En efecto, consideremos la inclusión ı : S n R n+1 \ {0} definida por x x y sea r : R n+1 \ {0} S n la aplicación definida por x x/ x ; es fácil ver que ı y r son continuas. Además, (r ı)(x) = r(x) = x/ x = x; por tanto, r ı id S n. Por otro lado, veamos que ı r id R n+1 \{0}. La correspondencia H : (R n+1 \ {0}) I R n+1 \ {0} (x, t) (1 t) x x + tx. está bien definida. Para ver esto supongamos que (1 t) x x + tx = 0 para algún 0 < t < 1, entonces 0 = (1 t)x + tx x = x(1 t + t x ), lo que implica 1 t+t x = 0, de donde, x = 1 1/t < 0, lo cual no es posible. Por lo tanto, H está bien definida y es una homotopía de ı r a id R n+1 \{0}. Ejemplo 1.2.2. Sea p < n y definimos R n \ R p = {(x 1,..., x n ) x i 0 para algún p + 1 i n}. Consideremos las aplicaciones continuas y f : R n \ R p S n p 1 (x 1,..., x n ) (x p+1,...,x n ) (x p+1,...,x n ) g : S n p 1 R n \ R p (u 1,..., u n p ) (0, 0,..., 0, u 1,..., u n p ).

1.2 Equivalencia Homotópica 5 Se tiene claramente que f g = id S n p 1. Veamos a continuación que g f id Rn \Rp. Para esto definimos H : (R n \ R p ) I R n \ R p ( (x1,..., x n ), t ) (1 t) (x p+1,...,x n ) (0,..., 0, x p+1,..., x n ) + t(x 1,..., x n ). Entonces H es una homotopía de g f a id Rn \R p. Ejemplo 1.2.3. Si E = {(0, 0, z) z R}, entonces R 3 \ E R 2 \ {0}. En efecto, consideremos las aplicaciones continuas f : R 2 \ {0} R 3 \ E (x, y) (x, y, 0) y g : R 3 \ E R 2 \ {0} (u, v, w) (u, v) Entonces g f = id R2 \{0}. Por otra parte, la aplicación continua H : (R 3 \ E) I R 3 \ E ((u, v, w), t) (u, v, tw). es una homotopía de f g a id R2 \E. Por lo tanto, R 3 \ E R 2 \ {0}. Proposición 1.2.4. La relación de equivalencia homotópica es una relación de equivalencia en la categoría de espacios topológicos. Demostración. Las propiedades reflexiva y simétrica son directas. Veamos la transitividad. Sean X, Y, Z espacios topológicos tal que X Y e Y Z. Entonces existen aplicaciones continuas f : X Y y g : Y X tal que f g = id Y y g f = id X, también existen aplicaciones continuas h : Y Z y l : Z Y tal que h l = id Z y l h = id Y. Consideremos las aplicaciones continuas X f Y h Z y Z l Y g X. De acuerdo a la proposición 1.1.9 se tiene que (h f) (g l) = h (f g) l h l id Z. y (g l) (h f) = g (l h) f g f id X.

6 1 Lord Barrera Ejemplo 1.2.5. Por el ejemplo 1.2.3 se tiene que R 3 \ E R 2 \ {0}; además, como caso particular del ejemplo 1.2.1 se tiene R 2 \ {0} S 1. Por lo tanto, R 3 \ E S 1. Definición 1.2.2. Sea Y un subespacio de X e ı : Y X la inclusión. Una retracción de X en Y es una aplicación continua r : X Y tal que r ı = id Y. En este caso se dice que Y es un retracto de X. Un retracto por deformación es una retracción r : X Y tal que ı r id X. Un retracto por deformación fuerte es un retracto r : X Y tal que ı r id X rel Y. Observación 1.2.2. Si Y es un retracto por deformación de X, entonces X e Y son equivalentes homotópicamente. Observación 1.2.3. Un retracto por deformación fuerte es un retracto por deformación; sin embargo la recíproca no siempre se cumple. Por ejemplo, A = {(0, 1)} es un retracto por deformación del espacio X = ( ({1/n n N} {0}) [0, 1] ) ( [0, 1] {0} ) Pero que no es un retracto por deformación fuerte. Ejemplo 1.2.6. Consideremos la circunferencia centrada en el punto a, C = {x R 2 x a = 1} y sea X = R 2 \ {a}. Veamos que C es un retracto por deformación fuerte de X. En efecto, tomemos la inclusión ı : C R 2 \{a} y la aplicación f : R 2 \{a} C definida por x (x a) (x a) +a. Fácilmente se ve que C es un retracto de X. Veamos a continuación que C es un retracto por deformación fuerte de X. Para esto definimos H : (R 2 \ {a}) I R 2 \ {a} (x, t) (1 t)x + t ( x a x a + a). Si (1 t)x + t ( x a x a + a) = a, entonces 0 = (1 t)(x a) + t(x a) ( x a = (x a) (1 t) + t ) x a lo que implica 1 t + t x a = 0, o sea, 1 x a = 1 1 t < 0 y esto es imposile. Por tanto, H está bien definida y es continua. Además, H(x, 0) = id X (x) y H(x, 1) = (ı f)(x). Finalmente, dado x C se tiene H(x, t) = id X (x) = (ı f)(x).

1.2 Equivalencia Homotópica 7 Ejemplo 1.2.7. Consideremos un punto a en el interior del disco D 2. Entonces S 1 es un retracto por deformación fuerte de D 2 \ {a}. En efecto, primeramente definimos una retracción r : D 2 \ {a} S 1 de la siguiente manera: tomemos un punto x D 2 \ {a} y sea r(x) = b el punto de S 1 que resulta de intersecar la recta que pasa por a y x, con la circunferencia S 1. Se tiene que x = (1 t)a+tb, donde 0 < t 1, entonces (x a)+ta = tb y tomando norma tenemos de donde conseguimos t 2 ( a 2 1) + 2t x a, a + x a 2 = 0 t = x a, a ± x a, a 2 ( a 2 1) x a 2 a 2 1 y como a < 1, entonces se sigue que t = x a, a x a, a 2 ( a 2 1) x a 2. a 2 1 Desde que b = 1 (x a) + a t se tiene entonces que [ x a, a + x a, a 2 ( a r(x) = a + 2 1) x a 2 ] (x a). x a 2 Es fácil verificar que r es una retracción. Ahora bien, para ver que r es un retracto por deformación es suficiente definir H : (D 2 \ {a}) I D 2 \ {a} (x, t) (1 t)x + tr(x). y se tiene Además, H(x, 0) = id D2 \{a}(x) y H(x, 1) = r(x). H(x, t) = id D2 \{a}(x) = r(x) para todo x S 1.

8 1 Lord Barrera Ejemplo 1.2.8. Consideremos el toro T = [ 1, 1] [ 1, 1]/R, donde R : (x, 1) (x, 1) y ( 1, y) (1, y). Sea X = T \ {[0]} y sea m la norma del máximo. Vamos a mostrar que el toro menos un punto se retrae a la unión de dos círculos con un punto en común. Sea Y = {[x] X x m = 1} y consideremos la inclusión ı : Y X. [ Definimos r : X Y por [x] X en Y. Ahora bien, definiendo x x m ]. Entonces r es una retracción de H : X I [ X ] ( [x], t ) (1 t)x + tx x m se tiene que [ H( [x], 0 ) = [x] = id X [x] y H( [x], 1 ) = Además, para todo [x] Y se tiene que H( [x], t ) = id Y [x] = (ı r)[x]. x ] = (ı r)[x]. x m Ejemplo 1.2.9. Consideremos X = S n \ {N, S}, donde N y S son el polo norte y sur, respectivamente. Veamos que el ecuador E = {x S n x n+1 = 0} es un retracto por deformación de X. Para esto definimos la aplicación r : X E (x 1,..., x n+1 ) (x 1,...,x n,0) (x 1,...,x n,0). Luego la homotopía es H(x, t) = tr(x) + (1 t)x tr(x) + (1 t)x. Un caso especial acontece cuando un espacio se retrae a un punto. Definición 1.2.3. Un espacio X es llamado contractil si es equivalente homotópicamente a un punto.

1.2 Equivalencia Homotópica 9 Ejemplo 1.2.10. R n es contráctil, al igual que cualquier subespacio convexo de R n. Proposición 1.2.11. X es contractil si y sólo si la identidad id X es homotópica a una aplicación constante. Demostración. Supongamos que X {p}. Sean f : X {p} y g : {p} X tal que g f id X ; pero g f = c g(p) es constante. Recíprocamente, sea id X c p, donde c p : X X es la aplicación constante x p. Si ı : {p} X es la inclusión, se tiene entonces que ı c p = id X c p = c p id X. Corolario 1.2.12. Todo espacio contráctil es conexo por caminos. Demostración. Sea X {p} y H : X I X la aplicación continua tal que H(x, 0) = id X (x) = x y H(x, 1) = f p (x) = p. Fijamos x 0 X y definimos α : I X por t H(x 0, t). Es fácil ver que α(0) = x 0 y α(1) = p. Ejemplo 1.2.13. S n \ {p} es contráctil. Concretamente, la aplicación identidad id Sn \{p} es homotópica a la aplicación constante c p. Para ver esto, es suficiente considerar la homotopía definida por H(x, t) = t( p) + (1 t)x t( p) + (1 t)x. Proposición 1.2.14. Si X o Y es contráctil, toda aplicación continua f : X Y es homotópica a una constante. Demostración. Supongamos que X es contráctil. Sea H : X I X una homotopía entre id X y c p. Dada la aplicación continua f : X Y, definimos F = f H. Entonces F (x, 0) = f(h(x, 0)) = f(x) y F (x, 1) = f(h(x, 1)) = c f(p) (x). Supongamos que Y es contráctil. Sea K : Y I Y una homotopía entre id Y y c q. Dada la aplicación continua f : X Y, definimos H = K (f id I ). Se tiene entonces que H(x, 0) = K(f(x), 0) = f(x) y H(x, 1) = K(f(x), 1) = c q (x).

10 1 Lord Barrera Corolario 1.2.15. Si X es contráctil e Y conexo por caminos, entonces dos aplicaciones continuas f, g : X Y son homotópicas. Si Y es contráctil, entonces para cualquier X, dos aplicaciones continuas f, g : X Y son siempre homotópicas. Demostración. Supongamos que X es contráctil e Y conexo por caminos. De acuerdo al corolario anterior, f f p y g f q ; desde que Y es conexo por caminos, f p f q, de donde se sigue que f g. Por otro lado, si Y es contráctil, sea q Y tal que Y {q}. Sean f, g : X Y aplicaciones continuas. De acuerdo al corolario anterior se tiene que f f q y g f q. Por lo tanto, f g. Definición 1.2.4. Un espacio X es simplemente conexo si es conexo por caminos y toda aplicación continua f : S 1 X es homotópica a una constante. Observación 1.2.4. De acuerdo a la proposición 2.1.23 se tiene que todo espacio contractil es simplemente conexo. Ejemplo 1.2.16. Para n 2, S n es simplemente conexo. En efecto, sea f : S 1 S n una aplicación continua. Desde que f(s 1 ) S n, existe p S n \f(s 1 ). Por el ejemplo 2.1.22 tenemos que S = S n \{p} es contráctil; por tanto, existe p 0 S y una homotopía H : id S c p0. Consideremos F : S 1 I S n definida por F = H (f id I ), entonces F es claramente continua; además F (z, 0) = H(f(z), 0) = f(z) y F (z, 1) = H(f(z), 1) = c p0 (z). 1.3 Propiedades de Extensión Teorema 1.3.1. Una aplicación continua f : S n X se extiende continuamente a a bola cerrada D n+1 si y sólo si f es homotópica a una aplicación constante. Demostración. Consideremos la aplicación φ : S n I D n+1 definida por (x, t) (1 t)x, entonces φ es continua. Si f : D n+1 X es una extensión continua de f : S n X, entonces H = f φ es una homotopía entre f y la aplicación constante c f(0).

1.3 Propiedades de Extensión 11 Recíprocamente, supongamos que H : S n I X es una homotopía entre f y la aplicación constante c x0. Definimos f : D n+1 X por { x 0, si 0 x 1/2 f(x) = F ( x x, 2 2 x ), si 1/2 x 1 Entonces f es una extensión continua de f. Definición 1.3.1. Un subconjunto Y R n es un retracto de entorno si existe un entorno U de Y en R n y una retracción r : U Y. Ejemplo 1.3.2. Si Y es un retracto de R n, entonces Y es un retracto de cualquiera de sus entornos en R n. S n es un retracto de entorno, pues, existe una retracción de R n+1 \ {0} sobre S n. Teorema 1.3.3. (Teorema del entorno tubular). Toda subvariedad encajada de R n tiene un entorno tubular. (Dada una subvariedad M de R n, un entorno tubular de M es un entorno U de M en R n que es difeomorfa a un subconjunto abierto del fibrado normal de M). Demostración. Ver Lee Teorema 6.17. Corolario 1.3.4. Sea M R n una subvariedad encajada y sea U un entorno tubular de M. Entonces existe una retracción diferenciable de U sobre M. Demostración. Por definición existe un subconjunto abierto V N M, donde NM es el fibrado normal de M. Si E : NM R n es definida por (x, v) x + v, se tiene que E : V U es un difeomorfismo. Ahora definimos r : U M por r = π E 1, donde π : NM M es la proyección natural, se tiene claramente r es diferenciable. Para x M notemos que E(x, 0) = x. Por lo tanto, r(x) = (π E 1 )(x) = π(x, 0) = x, lo que muestra que r es una retracción. Proposición 1.3.5. Sea Y R n un espacio compacto que es retracto de entorno. Entonces existe ϵ > 0 tal que para todo par de aplicaciones continuas f, g : X Y satisfaciendo f(x) g(x) < ϵ para todo x X, se tiene que f g. Demostración. Sea V R n un entorno de Y y r : V Y una retracción. Desde que Y es compacto, entonces ϵ = d(y, R n \ V ) > 0.

12 1 Lord Barrera Sean f, g : X Y aplicaciones continuas tal que f(x) g(x) < ϵ para todo x X. Tomemos x X y veamos que [f(x), g(x)] V. Dado z = (1 t)f(x) + tg(x), entonces z f(x) = t(g(x) f(x)) y tomando norma se tiene z f(x) = t g(x) f(x) < ϵ; por lo tanto, z B(f(x), ϵ). Pero B(f(x), ϵ) V, pues, de lo contrario, existe z 0 tal que z 0 f(x) < ϵ y z 0 V, entonces ϵ z 0 f(x), lo que es imposible. Por lo tanto, z V, y así [f(x), g(x)] V. Esto nos permite definir una homotopía H : X I Y entre f y g, mediante la fórmula H(x, t) = r[(1 t)f(x) + tg(x)]. Teorema 1.3.6. Sea X R m y sean f : X R n, ϵ : X R aplicaciones continuas con ϵ(x) > 0 para todo x X. Entonces existe un abierto A de R m con X A y una aplicación diferenciable g : A R n de clase C tal que f(x) g(x) < ϵ(x) para todo x X. Demostración. Teorema 10. pag 445 [E-L]. Corolario 1.3.7. Sean M, N subvariedades compactas encajadas en R n. Toda aplicación continua f : M N es homotópica a una aplicación diferenciable. Demostración. Desde que N es compacto, la proposición 2.3.5 implica que existe ϵ > 0, y por el teorema 2.3.6, existe una aplicación diferenciable g : M N con f(x) g(x) < ϵ para todo x M. Ahora bien, la proposición 2.3.5 implica que f y g son homotópicas. Proposición 1.3.8. Sea Y R n un retracto de vecindad y A un subconjunto cerrado del espacio normal X. Entonces toda aplicación continua f : A Y puede ser extendida continuamente a una vecindad de A en X. Demostración. Sea r : V Y una retracción de una vecindad V de Y. Por el teorema de extensión de Tietze, la aplicación f considerarada como aplicación de A en R n, admite una extensión continua φ : X R n. Entonces U = φ 1 (V ) es una vecindad de A en X y la aplicación continua f = r φ U : U Y es una extensión de f a la vecindad U. Proposición 1.3.9. (Borsuk). Sea Y R n un retracto de entorno y A un subconjunto cerrado del espacio métrico X. Entonces y f, g : A Y aplicaciones continuas homotópicas. Si f admite una extensión continua f : X Y, entonces g también admite. En consecuencia, toda homotopía entre f y g se extiende a una fomotopía entre f y g.

1.3 Propiedades de Extensión 13 Demostración. Consideremos la homotopía H : A I Y entre f y g. La aplicación f 1 : (X {0}) (A I) Y definida por f 1 (x, 0) = f(x) y f A I 1 = H es continua, pues, f = H en A {0} =. De acuerdo a la proposición 2.2.8, f 1 se extiende continuamente a un entorno W de su dominio en X I. Desde que I es compacto, existe un entorno U de A en X y podemos suponer que (X {0}) (U I) W ; así que f 1 posee una extensión continua f 2 : (X {0}) (U I) Y. Sea λ : X [0, 1] la función de Urysohn tal que λ A = 1 y λ X\U = 0. Definimos g : X Y por g(x) = f 2 (x, λ(x)), entonces H : X I Y definida por H(x, t) = f 2 (x, λ(x)t) es una homotopía entre f y g. Corolario 1.3.10. Sea Y R n un retracto de vecindad contráctil. Si A es un subconjunto cerrado de un espacio métrico X, entonces toda aplicación continua f : A Y admite una extensión continua f : X Y. Demostración. Corolario 1.3.11. Sea Y R n un retracto de vecindad. Si A es un subconjunto cerrado contráctil de un espacio métrico X, entonces toda aplicación continua f : A Y admite una extensión continua f : X Y. Demostración. Corolario 1.3.12. Sea X un espacio métrico contráctil, A X un subconjunto cerrado e Y R m un retracto de vecindad. Una aplicación continua f : A Y admite una extensión continua f : X Y si y sólo si es homotópica a una aplicación constante. Demostración. Definición 1.3.2. Sea X un espacio topológico y A un subespacio de X. Decimos que el par (X, A) tiene la propiedad de extensión respecto a un subespacio Y si toda aplicación continua H : (A I) (X {0}) Y se extiende continuamente a X I. Proposición 1.3.13. Sean X, Y espacios topológicos y A un subespacio de X. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) (X, A) tiene la propiedad de extensión respecto de Y.

14 1 Lord Barrera (b) Para Toda aplicación continua g : X Y y toda aplicación continua G : A I Y tal que G(x, 0) = g(x) para todo x A, existe una aplicación continua F : X I Y con F (x, 0) = g(x) para todo x X y F A I = G. Demostración. (a) (b). Sea la aplicación continua g : X Y y la aplicación continua G : A I Y tal que G(x, 0) = g(x) para todo x A. Consideremos la aplicación H : A I) (X {0}) Y definida por H(x, t) = G(x, t) para todo (x, y) A I y H(x, 0) = g(x) para todo x X. Entonces H esta bien definida y es continua. De acuerdo a la hipótesis, existe una aplicación continua F : X I Y tal que F (A I) (X {0}) = H; además se cumple que F A I = G y F (x, 0) = g(x) para todo x X. (b) (a). Sea g : X Y definida por g(x) = H(x, 0) y G : A I Y definida por G(x, t) = H(x, t). Como G(x, 0) = g(x) para todo x A; por hipótesis existe una aplicación continua F : X I Y tal que F A I = G y F (x, 0) = g(x) para todo x X. Por tanto, F (A I) (X {0}) = H. Proposición 1.3.14. Sean X, Y espacios topológicos y A un subespacio de X tal que (A, X) tiene la propiedad de extensión. Si f 0, f 1 : A Y son aplicaciones homotópicas y f 0 admite una extensión continua f 0 a X, entonces f 1 admite una extensión continua f 1 a X, y f 0 f 1. Demostración. Sea G : A I Y una homotopía de f 0 a f 1. Por hipótesis, existe una aplicación continua F : X I Y tal que F A I = G y F (x, 0) = f 0 (x) para todo x X. Ahora es suficiente considerar f 1 (x) = F (x, 1). Proposición 1.3.15. Sea A un subespacio de X tal que (X, A) tiene la propiedad de extensión respecto de A. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. (a) A es un retracto de X. 2. (b) A es un retracto débil de X. Demostración.

2.2 El Grupo Fundamental del Círculo 15 Proposición 1.3.16. Sea A un subespacio de X tal que (X, A) tiene la propiedad de extensión respecto de A. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. (a) La inclusión ı : A X. es una equivalencia homotópica. 2. (b) A es un retracto por deformación de X. Demostración. 1.4 El Cilindro Topológico Definición 1.4.1. Sean X e Y espacios topológicos y consideremos la suma topológica X + Y = X {0} Y {1} con la topología final determinada por las inclusiones ı X : X X + Y y ı Y : Y X + Y definidas por ı X (x) = (x, 0) y ı Y (y) = (y, 1), respectivamente. Entonces un subconjunto A de X + Y es abierto si ı 1 X (A) es abierto en X y ı 1 Y (A) es abierto en Y, esta topología es llamada topología suma de los espacios topológicos X e Y. Sea ahora M un subconjunto de X y f : M Y una aplicación continua, en X + Y se considera la siguiente relación (x, 0) (x, 0) x = x o f(x) = f(x ) (y, 1) (y, 1) y = y (x, 0) (y, 1) y = f(x) (y, 1) (x, 0) y = f(x) Entonces esta relación es de equivalencia en X + Y y el conjunto cociente se denota por X f Y el cual es llamado adjunción de X con Y mediante la aplicación f. Ejemplo 1.4.1. Consideremos dos espacios topológicos X e Y, y sea f : X {1} Y definida por f(x, 1) = f(x). El espacio (X I) f Y es llamado cilindro de la aplicación f y es denotado por Z f. 1.5 Propiedades de Elevación A continuación daremos uno de los conceptos topológicos más importantes, su relación con los grupos fundamentales será de gran utilidad al momento de realizar algunos cálculos.

16 1 Lord Barrera Definición 1.5.1. Sea p : X X una aplicación entre espacios topológicos. Un subconjunto abierto U X es llamado cubierto uniformemente por p si p 1 (U) es unión disjunta de abiertos V en X tal que p es un homeomorfismo de V sobre U. Una aplicación recubridora es una aplicación p : X X, donde cada punto x X tiene un entorno abierto que es cubierto uniformemente por p. Si p : X X es una aplicación recubridora, el espacio X es llamado espacio recubridor y X es llamado espacio base; además, para cada x X, el espacio p 1 (x) es llamado fibra sobre x. Observación 1.5.1. Toda aplicación recubridora es sobreyectiva; también un homeomorfismo local, por tanto es continua y abierta. Ejemplo 1.5.1. La aplicación p : N R R definida por p(n, t) = t es una aplicación recubridora, ya que, p 1 (R) es unión disjunta de los abiertos {n} R y las restricciones p : {n} R R son homeomorfismos. Ejemplo 1.5.2. La aplicación exponencial p n : S 1 S 1 definida por z z n es una aplicación recubridora. Para cada z 0 S 1, el conjunto U = S 1 \ { z 0 } tiene como imagen inversa al conjunto {z S 1 z n z 0 } el cual tiene n componentes. Observación 1.5.2. Si p : X X es una aplicación continua y U es un subconjunto abierto de X que es uniformemente cubierto, entonces todas las fibras p 1 (x) con x U, tienen el mismo cardinal. El cardinal de p 1 (x) es exactamente el número de componentes de p 1 (U). Proposición 1.5.3. Sea X un espacio conexo y p : X X una aplicación recubridora. Si x, y X, entonces p 1 (x) y p 1 (y) tienen el mismo cardinal, este número común se llama número de hojas del recubrimiento. Demostración. Fijamos un punto x X y sea A el conjunto de puntos en X cuyas fibras tienen el mismo cardinal que p 1 (x). Las observación anterior muestra que A es abierto no vacío en X. Si para cada y X, U y es el entorno abierto de y que es uniformemente cubierto, entonces X \ A = y A U y; así que A es cerrado. Desde que X es conexo se sigue que A = X. Definición 1.5.2. La aplicación ε : R S 1 definida por t e 2πti es llamada función exponencial. De la definición se sigue que ε es un homomorfismo del grupo aditivo R sobre el grupo multiplicativo S 1, y el núcleo de ε es Z.

1.4 Propiedades de Levantamiento 17 Lema 1.5.4. La función exponencial ε : R S 1 es abierta. Demostración. Sea U un subconjunto abierto de R. Veamos que F = S 1 \ ε(u) es cerrado. Tenemos que ε 1 (ε(u)) = n Z (U + 2πn) es abierto en R; luego su complemento ε 1 (F ) es cerrado en R. Observemos también que para cada s R, existe t [0, 2π] tal que ε(s) = ε(t). Por tanto, F = ε(ε 1 (F )) = ε(ε 1 (F ) [0, 2π]). Por tra parte, el conjunto ε 1 (F ) [0, 2π] es compacto; así que su imagen por ε es compacta, o sea, F es compacto y por tanto cerrado en S 1. Proposición 1.5.5. La restricción de ε a todo intervalo abierto (t, t + 1) de longitud 1 es un homeomorfismo sobre S 1 \ {ε(t)}. Demostración. La restricción ε de ε a (t, t + 1) es claramente una biyección continua sobre S 1 \ {ε(t)}; por el lema anterior, esta aplicación es abierta. Por tanto ε es abierta y continua. Corolario 1.5.6. Todo punto u = ε(t) posee un entorno abierto U = S 1 \ {ε(t)} tal que ε 1 (U) es una unión disjunta de intervalos abiertos (t + n, t + n + 1), donde n varía en Z; donde cada uno de estos intervalos es homeomorfo a U. Por tanto, ε es una aplicación recubridora. Demostración. Ejercicio. Definición 1.5.3. Sea p : X X una aplicación recubridora. Una sección local de p es una aplicación continua σ : U X, donde U es subconjunto abierto de X, tal que p σ = id U. Lema 1.5.7. (Propiedad de sección). Sea p : X X una aplicación recubridora. Dado q X y q en la fibra de q, existe una sección local σ : U X tal que σ(q) = q. Demostración. Por definición de conjunto abierto uniforememente cubierto, t está contenido en algún conjunto abierto Ũn R tal que ε : Ũn U es un homeomorfismo. Así, (ε ) Ũn 1 es la sección local pedida. Definición 1.5.4. La aplicación σ que resultra del lema anterior es llamada sección local de p sobre U. Proposición 1.5.8. Si p : X X y q : Ỹ Y son aplicaciones recubridoras, entonces p q : X Ỹ X Y es una aplicación recubridora.