AMPLIACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

AMPLIACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA FERNANDO GARCÍA CASTAÑO Curso 2011/2012

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Índice general 1. Métodos elementales de integración 1 1.1. Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias............ 1 1.2. Métodos elementales de integración de ecuaciones diferenciales....... 3 1.3. Ecuaciones de primer orden no lineales en y................. 8 1.4. Problemas de trayectorias........................... 12 1.5. Ecuaciones diferenciales de orden superior.................. 13 1.6. Aplicaciones y problemas geométricos de ecuaciones diferenciales...... 16 1.7. Ejercicios del tema............................... 17 1.8. Soluciones a los ejercicios del tema...................... 20 2. Teoremas fundamentales 25 2.1. Teoremas de existencia y unicidad para e.d.o................. 25 2.2. Teoremas de existencia y unicidad para sistemas............... 31 2.3. Dependencia respecto a condiciones iniciales................. 32 2.4. Ejercicios del tema............................... 34 2.5. Soluciones a los ejercicios del tema...................... 35 3. Ecuaciones diferenciales lineales 37 3.1. Prolongación de las soluciones en las ecuaciones diferenciales........ 37 3.2. Sistemas de ecuaciones lineales......................... 39 3.3. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes................ 44 3.4. Ejercicios del tema............................... 52 3.5. Soluciones a los ejercicios del tema...................... 53 4. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 67 4.1. Sistemas homogéneos con coeficientes constantes. Método de valores propios 67 4.2. Sistemas lineales no homogéneos........................ 70 4.3. Sistemas de segundo orden y aplicaciones mecánicas............. 70 4.4. Ejercicios del tema............................... 72 4.5. Soluciones a los ejercicios del tema...................... 74 5. Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias 77 5.1. Series de potencias............................... 77 5.2. Ecuaciones con coeficientes analíticos..................... 81 iii

iv ÍNDICE GENERAL 5.3. Ecuaciones con puntos singulares regulares.................. 83 5.4. Series de matrices. Sistemas lineales no homogéneos (II)........... 86 5.5. Ejercicios del tema............................... 89 5.6. Soluciones a los ejercicios del tema...................... 92 6. Introducción a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales 97 6.1. Tipos de convergencia de funciones. Series de funciones........... 97 6.2. Desarrollos de Fourier. Propiedades y convergencia............. 100 6.3. Problemas de valores propios.......................... 110 6.4. Método de separación de variables....................... 110 7. Teoría de Sturm-Liouville y función de Green 123 7.1. Problemas regulares de valor propio y desarrollos en serie de autofunciones 123 7.2. Problemas singulares de valor propio y desarrollos en serie de autofunciones 130 7.2.1. Problema singular con la ecuación de Bessel............. 132 7.2.2. Problema singular con la ecuación de Legendre............ 136 7.2.3. Polinomios de Legendre y los armónicos esféricos.......... 137 7.3. Función de Green................................ 139 8. Introducción al cálculo variacional 153 8.1. Elementos de cálculo variacional........................ 153 8.2. Condición necesaria para un extremo..................... 158 8.3. Condición suficiente para un extremo..................... 164 Apéndices 174 A. Vectores propios y valores propios en una aplicación lineal 177

Tema 1 Métodos elementales de integración En diversas aplicaciones, desarrolladas en los cursos de Cálculo integral, se obtienen relaciones entre cantidades finitas integrando relaciones de igualdad entre sus diferenciales. Por ejemplo, la ecuación del péndulo, el tiempo en que tarda en vaciarse un depósito, la teoría del planímetro, etc. Todos estos ejemplos son resueltos, de modo inmediato, a través del cálculo de ciertas funciones primitivas. Esta fácil reducción se debía a la sencillez de las relaciones que ligaban las diferenciales de las cantidades estudiadas, relación llamada en cada caso ecuación diferencial del problema. Pero otras cuestiones geométricas y físicas vienen modeladas mediante ecuaciones de naturaleza más complicada, cuya traducción a relaciones finitas exige métodos especiales con frecuencia llenos de dificultades. Tales métodos constituyen el objeto de la teoría de ecuaciones diferenciales, que sólo podremos tratar aquí en sus líneas fundamentales y en sus más importantes y frecuentes aplicaciones. Sumario. Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos elementales de integración de ecuaciones diferenciales. Ecuaciones de primer orden no lineales en y. Problemas de trayectorias. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Aplicaciones y problemas geométricos de ecuaciones diferenciales. Ejercicios del tema. Soluciones a los ejercicios del tema. 1.1. Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias Definición 1.1.1. Fijados un conjunto B IR n+2 abierto y conexo, una función F : B IR n+2 IR, 1

2 Métodos elementales de integración y un intervalo abierto I IR. Se llama ecuación diferencial ordinaria (e.d.o.) de orden n a una relación de la forma F (x, y(x), y (x),, y (n) (x)) = 0, x I, en la que x es una variable independiente, y es una variable dependiente de x e y,..., y (n) son las derivadas de y hasta de orden n, verificándose necesariamente que (x, y(x), y (x),, y (n) (x)) B, x I. Se llama solución de la ecuación diferencial a cualquier función ϕ : I R R, derivable n veces en I y verificando a) (x, ϕ(x), ϕ (x),..., ϕ (n) (x)) B, x I, b) F (x, ϕ(x), ϕ (x),..., ϕ (n) (x)) = 0, x I. Resolver o integrar una e.d.o. es obtener todas las soluciones de dicha ecuación. Ejemplo 1.1.2. a) Compruebe que y = 1 2 xe2x es solución de la e.d.o. y 4y = 2e 2x ; b) Calcule el valor de n y de C para que f(x) = Cx n satisfaga la ecuación diferencial x(1 x)y + (2x 2 1)y + 2(1 2x)y = 0. y' = x/ y Proposición 1.1.3 (Interpretación geométrica). Sea f : B R 2 R una función y B un conjunto abierto. Si φ es una solución de la e.d.o. y = f(x, y), entonces la recta tangente a la gráfica φ en el punto (x, y) tiene por pendiente f(x, y). y = x/y

1.2 Métodos elementales de integración de ecuaciones diferenciales 3 Definición 1.1.4 (Curvas integrales). Se dice que una curva f(x, y) = 0 es curva integral o solución de P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, (x, y) D, si la gráfica de f(x, y) = 0 está contenida en D y la recta tangente a f(x, y) = 0 en el punto (x, y) tiene de parámetros directores (Q(x, y), P (x, y)). Ejemplo 1.1.5. x 2 + y 2 = R 2 es curva integral de xdx + ydy = 0, para cualquier R IR. Definición 1.1.6. Sea F (x, y, C) = 0 una familia de curvas dependiente del parámetro C IR. Se llama ecuación diferencial de la familia, a la ecuación diferencial G(x, y, y ) = 0 resultante de eliminar el parámetro C al sistema { F x + F y y = 0; F = 0. G(x, y, y ) = 0 representa una propiedad geométrica satisfecha por todas las curvas referente a las tangentes en los distintos puntos de ellas. Ejemplo 1.1.7. a) Hallar la e.d.o. de y = λx 2, λ IR, en D = {(x, y) IR 2 : x > 0}. b) Hallar la e.d.o. de las parábolas cuyos focos están en el origen y cuyos ejes están sobre el eje OY. Definición 1.1.8. Se llama problema de Cauchy (o de condición inicial) al problema { F (x, y(x), y (x),, y (n) (x)) = 0, x I; y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1 y (n 1) (x 0 ) = y n 1 ; donde x 0 I e {y i } n 1 i=0 IR. Una solución a este problema será una solución de la ecuación diferencial que satisfaga la condición fijada en el punto x 0. 1.2. Métodos elementales de integración de ecuaciones diferenciales Definición 1.2.1. Dadas dos soluciones u y v de una ecuación diferencial (o de un problema de Cauchy), se dice que v es una extensión de u si el grafo de u está contenido en el grafo de v y v es solución de la ecuación diferencial en su dominio (intervalo abierto). Una solución de una ecuación diferencial (o de un problema de Cauchy) se dice que es maximal si no tiene extensión. Proposición 1.2.2. Fijada una ecuación diferencial (o de un problema de Cauchy), para cualquier solución no maximal de ésta existe una solución maximal que la extiende.

4 Métodos elementales de integración Teorema 1.2.3 (Ecuaciones de variables separadas). Sea f(x) una función continua en I = (a, b), y g(y) una función continua en J = (c, d). Entonces dado un punto (x 0, y 0 ) I J, la ecuación y = f(x)g(y), tiene una única solución (maximal) ϕ(x) que cumple ϕ(x 0 ) = y 0. Ejemplo 1.2.4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales a) sen(x)y = y log y con y(π/2) = e, b) (x 2 + 1)(y 2 1)dx + xydy = 0, Teorema 1.2.5 (Ecuaciones homogéneas). Sea f(z) continua en( I = (a, b), tal que f(z) y z z I. Entonces existe una única solución de la e.d.o. y = f que pasa por el punto x) (x 0, y 0 ) A, siendo A = {(x, y) IR 2 : ax < y < bx}. Ejemplo 1.2.6. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales a) (x 4 + y 4 ) dx xy 3 dy = 0, b) ( 1 + 2e x/y) dx + 2e x/y (1 x/y) dy = 0. Proposición 1.2.7 (Ecuaciones reducibles a homogéneas). Fijadas dos rectas r y s del plano de ecuaciones ax + by + c = 0 y mx + ny + p = 0 respectivamente cumpliéndose la condición c 2 + p 2 0. Entonces si: (i) r y s son secantes en (α, β), el cambio { x = v + α y = u + β transforma la e.d.o. en una e.d.o. homogénea y = f ( ) ax + by + c, (1.1) mx + ny + p (ii) r y s son paralelas y n 0, el cambio u = mx + ny transforma la e.d.o. (1.1) en una e.d.o. de variables separadas. Ejemplo 1.2.8. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales a) dy dx = y x 1 x + y 1, b)dy dx = y + x + 1 x + y 1. Teorema 1.2.9 (Ecuaciones Lineales de orden uno). Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en I = (a, b) y (x 0, y 0 ) I IR. Entonces existe una única solución ϕ de la e.d.o. y = f(x)y + g(x), x I, (1.2) verificando ϕ(x 0 ) = y 0. La ecuación (1.2) se dice que es lineal y homogénea si g(x) 0, y se dice que es lineal y completa (o no homogénea) en caso contrario. Observación 1.2.10. De la prueba del teorema anterior se deduce

1.2 Métodos elementales de integración de ecuaciones diferenciales 5 a) La solución de la ecuación completa se puede expresar de la forma y = Kφ(x) + ψ(x), donde K es una constante real, φ es una solución no nula de la ecuación homogénea asociada y ψ es una solución particular de la ecuación completa; b) Si y 1 e y 2 son dos soluciones distintas de la ecuación completa, y = K(y 1 y 2 ) + y 1 con K IR es la solución de la ecuación completa. Ejemplo 1.2.11. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales a) y + y cot x = 5e cos x, b)y + 2xy = 4x, y(0) = 27. Proposición 1.2.12 (Ecuación de Bernoulli). Sea la ecuación diferencial de primer orden y = f(x)y + y k g(x), (1.3) siendo f y g dos funciones continuas en un intervalo I de la recta real y k un número real distinto de 0 ó 1. Entonces, el cambio de variable y 1 k (x) = v(x) (1.4) transforma la e.d.o. anterior en una ecuación diferencial lineal de orden uno. Ejemplo 1.2.13. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales a) y + 2xy + xy 4 = 0, b)xy [y + xy 3 (1 + log x)] = 0. Proposición 1.2.14 (Ecuación de Ricati). Sean f(x), g(x) y h(x) funciones continuas en I = (a, b) e y 1 una solución de la e.d.o. y = f(x) + g(x)y + h(x)y 2, x I. (1.5) Entonces el cambio y = 1 u + y 1, transforma la ecuación (1.5) en otra e.d.o. lineal. Proposición 1.2.15. Si se conocen tres soluciones distintas de (1.5), entonces puede obtenerse la solución general de ésta sin necesidad de realizar ninguna cuadratura. Ejemplo 1.2.16. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales comprobando previamente las solución particulares dadas. a) y = cos x y y 2 tan x sec x, sol. part. y = cos x b)(1 + x 3 )y + 2xy 2 + x 2 y + 1 = 0, sol. part. y = x. Definición 1.2.17 (Ecuación exacta). Sea la ecuación diferencial de primer orden P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, (x, y) B, (1.6) donde P y Q son dos funciones continuas en el abierto B R 2. Se dice que la ecuación (1.6) es una e.d.o. exacta si existe una función (potencial) F (x, y) definida en B tal que F F (x, y) = P (x, y), (x, y) = Q(x, y), (x, y) B. (1.7) x y

6 Métodos elementales de integración Proposición 1.2.18. Sea P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 una e.d.o. exacta, (x, y) B IR 2 abierto y F (x, y) una función potencial de ésta. Entonces toda solución y = φ(x) de la ecuación cuya grafo esté en B satisface la ecuación F (x, φ(x)) = C, para un cierto valor de C IR. Recíprocamente, si la ecuación F (x, y) = C define a y como función implícita diferenciable de x, entonces esta función es una solución de la ecuación. Teorema 1.2.19 (Condición necesaria de exactitud). Si la e.d.o. (1.6) es exacta y son continuas en B, entonces P y P y Q (x, y), (x, y) x Q (x, y) = (x, y), (x, y) B. x Teorema 1.2.20 (Condición suficiente de exactitud). Sean P (x, y) y Q(x, y) dos funciones reales continuas en el conjunto B IR 2 abierto, conexo y simplemente conexo 1. Si P y son continuas e iguales en B, entonces es una e.d.o. exacta. Q (x, y) y (x, y) x P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, (x, y) B, Ejemplo 1.2.21. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales a) (3e 3x y 2x)dx + e 3x dy = 0, b) y = (3x 2 + 6xy 2 )/(6x 2 y + 4y 3 ). Definición 1.2.22 (Factor integrante). Sea la ecuación diferencial de primer orden P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, (1.8) donde P y Q son dos funciones continuas en un abierto B de R 2. Supongamos la ecuación (1.8) no es una ecuación diferencial exacta. Se dice que una función no nula µ continua en B es un factor integrante de la ecuación (1.8) si la ecuación diferencial es exacta. µ(x, y)p (x, y) + µ(x, y)q(x, y) y = 0 (1.9) 1 Consideraremos este concepto de manera intuitiva, y entenderemos por él que el conjunto considerado no contiene agujeros.

1.2 Métodos elementales de integración de ecuaciones diferenciales 7 Proposición 1.2.23. Sea la ecuación diferencial de primer orden P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, (1.10) donde P y Q son dos funciones derivables con continuidad en un abierto conexo y simplemente conexo B de R 2. Entonces, es condición necesaria y suficiente para que una función no nula µ de clase C 1 en B sea un factor integrante de (1.10) que para todo punto de B se verifique (µp ) = (µq) y x, o equivalentemente, P µ ( Q y Q µ x = µ x P ). (1.11) y Proposición 1.2.24 (Algunos factores integrantes). Sea P (x, y) y Q(x, y) dos funciones continuas en un abierto conexo y simplemente conexo B IR 2, de manera que existen y son continuas en B las funciones P y y Q. Entonces si: x P y Q x f(x)dx (i) f(x) =, un factor integrante será µ = e ; (ii) g(y) = (iii) h(x + y) = Q P y Q x P P y Q x Q P, un factor integrante será µ = e, un factor integrante será µ = e P y Q x (iv) i(x y) =, un factor integrante será µ = e P + Q Q x P y (v) j(xy) =, un factor integrante será µ = e xp yq g(y)dy ; h(v)dv siendo v = x + y; i(v)dv siendo v = x y; j(v)dv siendo v = xy; (vi) P y Q son homogéneas del mismo grado, un factor integrante será µ = siempre que P x + Qy 0. Ejemplo 1.2.25. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales a) (x 4 + y 4 ) dx xy 3 dy = 0, b) cos x dx + (y + sen y + sen x) dy = 0, c) (4x 2y) dx + (2x 4y) dy = 0, d) (2y 2 3xy) dx + (3xy 2x 2 ) dy = 0, e) (3x y 3xy + 3y 2 ) dx + (5xy x 2 4y 2 2x) dy = 0, f) ( 1 + 2e x/y) dx + 2e x/y (1 x/y) dy = 0. 1 P x + Qy,

8 Métodos elementales de integración Corolario 1.2.26. Tanto las ecuaciones diferenciales lineales como las homogéneas se pueden resolver mediante factor integrante. En el primer caso utilizando (i) y en el segundo caso (vi) de la proposición (1.2.24). 1.3. Ecuaciones de primer orden no lineales en y Proposición 1.3.1 (Ecuación de Lagrange). Fijadas dos funciones derivables f y g, el cambio de variable y = p transforma la e.d.o. y = xf(y ) + g(y ) (1.12) en otra lineal en la variable x(p) con solución general x = F (p, C). Además: (i) el conjunto { x = F (p, C); y = F (p, C)f(p) + g(p); (1.13) determina las curvas integrales de (1.12) en forma paramétrica. (ii) si p 0 es raíz de f(p) = p, tal que existe g(p 0 ), entonces y = p 0 x + g(p 0 ) (1.14) satisface (1.12). Si (1.14) no se obtiene de (1.13), se dice que ésta es una solución singular. Ejemplo 1.3.2. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales a) y = x + 1 y 1 + y, b) y = x 1 + y 1 y, ( ) 1 + y 2 c) y = x +, 1 y Definición 1.3.3. Dada una familia de curvas F (x, y, C) = 0, se denomina envolvente de ésta al lugar geométrico de puntos que cumpla { F (x, y, C) = 0 F C (x, y, C) = 0 (1.15) Si no se puede conseguir la eliminación del parámetro C pero sí despejar x e y en (1.15), tendremos las ecuaciones paramétricas de la envolvente. Proposición 1.3.4. La curva envolvente de una familia de curvas tiene la propiedad de ser tangente a cada curva en el punto en común definido por el sistema (1.15).

1.3 Ecuaciones de primer orden no lineales en y 9 Envolvente de una familia de rectas Ejemplo 1.3.5. El movimiento de un proyectil lanzado en el vacío desde el origen de coordenadas, a una velocidad v que forme un ángulo α con la horizontal tiene de ecuación La curva envolvente es llamada parábola de seguridad. x 2 y = x tan α g 2 v 2 cos 2 α. y = v2 2g gx2 2v 2 Proposición 1.3.6 (Ecuación de Clairaut). Fijada una función derivable f, el cambio de variable y = p, en la e.d.o. y = xy + f(y ) (1.16) permite obtener: (i) La integral general y = Cx + f(c), C IR; (ii) La envolvente de la familia de curvas del apartado anterior como solución singular de (1.16). La ecuación de ésta se obtiene eliminando C en la expresión { y = Cx + f(c); 0 = x + f (C); Ejemplo 1.3.7. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales a) y = y x 2(y ) 2, b) y = y x + y 1 + (y ) 2, Proposición 1.3.8 (Ecuaciones resolubles en y). Fijada la función diferenciable f(u, v), el cambio de variable y = p en la e.d.o. y = f(x, y ), (1.17) proporciona una e.d.o. en p(x). La solución general de ésta última F (x, p, C) = 0, junto con y = f(x, p) proporciona una familia de curvas integrales, en forma paramétrica, de la e.d.o. (1.17).

10 Métodos elementales de integración Ejemplo 1.3.9. Resuelva la siguiente ecuación diferencial 4y = x 2 + (y ) 2. Proposición 1.3.10 (Ecuaciones resolubles en x). Fijada la función diferenciable g(u, v), el cambio de variable y = p en la e.d.o. x = g(y, y ), (1.18) proporciona una e.d.o. en p(y). La solución general de ésta última G(y, p, C) = 0, junto con x = g(y, p) proporciona una familia de curvas integrales, en forma paramétrica, de la e.d.o. (1.18). Ejemplo 1.3.11. Resuelva la siguiente ecuación diferencial x = y(y ) 2. Proposición 1.3.12 (Ecuaciones en la que falta y). Dada la e.d.o. se cumple que: F (x, y ) = 0, (i) Si se puede despejar y en función de x, entonces y = f(x)dx; (ii) Si se puede despejar x en función de y, x = g(y ) = g(p), las ecuaciones paramétricas de la solución general son { x = g(p) y = pg (p)dp, (iii) Si la función F (x, p) = 0 puede expresarse en forma paramétrica, { x = ϕ(t), p = ψ(t), entonces las ecuaciones paramétricas de la solución general son { x = ϕ(t) y = ψ(t)ϕ (t)dt, Proposición 1.3.13 (Ecuaciones en la que falta x). Dada la e.d.o. G(y, y ) = 0, se cumple que: (i) Si se puede despejar y en función de y, y = h(y), entonces x = dy h(y) ;

1.3 Ecuaciones de primer orden no lineales en y 11 (ii) Si se puede despejar y en función de y, y = k(y ) = k(p), las ecuaciones paramétricas de la solución general son k (p) x = p dp y = k(p), (iii) Si la función G(y, p) = 0 puede expresarse en forma paramétrica, { y = α(t), p = β(t), entonces las ecuaciones paramétricas de la solución general son { x = α (t) β(t) dt y = α(t), Ejemplo 1.3.14. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales a) x 2 + x 3 (y ) 2 = 0, b) x = y + (y ) 3, c) x(y ) 2 + (y ) 2 + x 2 = 0, d) y 2 y + yy 1 = 0, e) y = (y ) 3 + y + 1, f) y 2 y + 2(y ) 2 + y 2 = 0, Definición 1.3.15. Una ecuación diferencial F (x, y, y ) = 0, (1.19) se dice que es homogénea si existe λ IR tal que F (x, y, y ) = x λ F (1, y x, y ), equivalentemente si (1.19) puede expresarse en la forma ( y ) G x, y = 0. (1.20) Proposición 1.3.16 (Ecuaciones homogéneas). Dada la e.d.o. homogénea F (x, y, y ) = 0, se cumple: ( y (i) Si podemos despejar y = H, se obtiene la solución general integrando; x) (ii) Si de (1.20) podemos obtener y x = f(y ), haciendo los cambios y = p, y = ux, se llega a las ecuaciones paramétricas de la integral general { x = g(p), (integrando en la e.d.o. después del cambio) y = g(p)f(p). Ejemplo 1.3.17. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales a) y = y(y ) 2 + 2y x, b) y = x(y ) 2 2x.

12 Métodos elementales de integración 1.4. Problemas de trayectorias Definición 1.4.1. Se dice que la curva g(x, y) = 0 es una trayectoria ortogonal a la una familia de curvas f(x, y, C) = 0, si g(x, y) = 0 es ortogonal a cada una de las curvas de la familia f(x, y, C) = 0. Proposición 1.4.2 (Trayectorias ortogonales). Fijada la familia de curvas f(x, y, C) = 0, (1.21) ( consideramos la e.d.o. F x, y, dy ) = 0, resultante de eliminar C en el sistema dx f(x, y, C) = 0, dy f x + f y dx = 0. ( Entonces la integral general g(x, y, K) = 0 de F x, y, dx ) = 0 proporciona la familia dy de trayectorias ortogonales a (1.21). Ejemplo 1.4.3. Encontrar las familias de trayectorias ortogonales a a) x 2 + y 2 = C 2, b) y = Cx 2, c) 2x 2 + y 2 Cx = 0, d) xy = C. ( Proposición 1.4.4. Sea F x, y, dy ) = 0 la ecuación diferencial de la familia f(x, y, C) = dx 0. Entonces ( ) y tan α F x, y, = 0 1 + y tan α es la ecuación diferencial de las trayectorias oblicuas bajo el ángulo α π/2 con cada curva de la familia f(x, y, C) = 0. Ejemplo 1.4.5. Encontrar las trayectorias oblicuas bajo π/4 a x 2 + y 2 = C 2. Definición 1.4.6. Llamaremos curvas de nivel de la superficie de ecuación f(x, y, z) = 0 a aquellas que tengan como ecuaciones { f(x, y, z) = 0, siendo C un parámetro real. z = C, Definición 1.4.7. Llamaremos curvas de máxima pendiente sobre la superficie f(x, y, z) = 0 a aquellas curvas sobre la superficie cuya tangente en cada punto tiene pendiente máxima y, por lo tanto, es ortogonal a las curvas de nivel.

1.5 Ecuaciones diferenciales de orden superior 13 Proposición 1.4.8. Las curvas de máxima pendiente sobre la superficie f(x, y, z) = 0 vienen dadas por las ecuaciones { f(x, y, z) = 0, g(x, y, C) = 0, siendo g(x, y, C) = 0 la familia de trayectorias ortogonales a f(x, y, C) = 0. Ejemplo 1.4.9. Hallar las curvas de máxima pendiente de las superficies a) x 2 + y 2 + 2z 2 = 1, b) x 2 + 2y 2 = 4z, c) x + y + 2z 2 2 = 0. 1.5. Ecuaciones diferenciales de orden superior Proposición 1.5.1 (Ecuaciones que no contienen y). Dada la e.d.o. g(x, y (k), y (k+1),..., y (n) ) = 0, mediante el cambio y (k) = u e integrando obtenemos Ahora bien: G(x, y (k) ) = 0. (1.22) (i) Si podemos obtener y (k) de (1.22), entonces se obtiene y mediante k cuadraturas; (ii) Si podemos obtener x = K(y (k) ) de (1.22), entonces se obtiene la solución general de forma paramétrica: x = K(u), y = u[k (u)du] k ; } {{ } (k) (iii) Si podemos expresar (1.22) en forma paramétrica x = ϕ(t), y (k) solución general en forma paramétrica: x = ϕ(t), y = ψ(t)[ϕ (t)dt] k ; } {{ } (k) Ejemplo 1.5.2. Resuelva las ecuaciones diferenciales a) y = x + y, b) y = x 2 + 2y, c) y = x 3 + y. = u = ψ(t), la

14 Métodos elementales de integración Proposición 1.5.3 (Ecuaciones que no contienen x). Dada la e.d.o. se cumple: f(y, y, y,, y (n) ) = 0, (i) Tomando x como variable dependiente y sustituir se obtiene la ecuación estudiada en la proposición 1.5.1; g(y, x, x,..., x (n) ) = 0, (ii) Haciendo el cambio y = p resulta h(y, p, dp dy,, d(n 1) p ) = 0, cuya solución proporciona la ecuación H(y, y ) = 0, estudiada en la proposición dy (n 1) 1.3.13. Ejemplo 1.5.4. Resuelva la ecuación diferencial y = y 5. Proposición 1.5.5. Dada la e.d.o. y (n) = f(y (n 2) ), si hacemos el cambio y (n 2) = u obtenemos du x = [ ] 1/2, 2 f(u)du además iterando la expresión y (n 3) = y (n 2) dx = ug 1(u)du = G 2 (u), se llega a y = G n 1 (u). Ejemplo 1.5.6. Resuelva la ecuación diferencial y = 4y. Definición 1.5.7. Se dice que la e.d.o. f(x, y, y,, y (n) ) = 0, (1.23) es exacta, si existe una expresión F (x, y, y,, y (n 1) ), cuya derivada respecto a x sea f(x, y, y,, y (n) ). Entonces a se le llama la integral primera de (1.23). F (x, y, y,, y (n 1) ) = C,

1.5 Ecuaciones diferenciales de orden superior 15 Proposición 1.5.8. Sea f(x, y, y,, y (n) ) = 0, una e.d.o. exacta. Para cada i {1,..., n 1}, consideramos la función z i cuya derivada respecto a y (n i) del coeficiente de y (n+1 i) en f(x, y, y,, y (n) ). Consideremos además la función g = f n 1 i=1 dz i dx, entonces la función que proporciona la integral primera correspondiente viene dada por n 1 F = z i + i=1 Ejemplo 1.5.9. Obtenga la integral primera de g(x)dx. a) y + 3xy + 2y(y ) 3 + (x 2 + 2y 2 y )y = 0, b) y + y (x + 2y ) = 0. Definición 1.5.10. Se dice que la e.d.o. f(x, y, y,, y (n) ) = 0, es homogénea de grado m respecto a y, si se verifica f(x, λy, λy,, λy (n) ) = λ m f(x, y, y,, y (n) ). Proposición 1.5.11. Si en la e.d.o. homogénea f(x, y, y,, y (n) ) = 0, hacemos el cambio de variable y = e u, ésta se transforma en que se resuelve usando la proposición 1.5.1. f(x, 1, u, u 2 + u, ) = 0 Ejemplo 1.5.12. Resuelva yy + (y ) 2 yy = 0. Definición 1.5.13. Se dice que la e.d.o. g(x, y, y,, y (n) ) = 0, es homogénea de grado m con respecto a x y a dx, cuando se verifica g(λx, y, λ 1 y,, λ n y (n) ) = λ m g(x, y, y,, y (n) ).

16 Métodos elementales de integración Proposición 1.5.14. Sea g(x, y, y,, y (n) ) = 0, una e.d.o. homogénea de grado m con respecto a x y a dx, entonces ésta puede expresarse en la forma h(y, xy, x 2 y,, x n y (n) ) = 0, que mediante el cambio x = e t resulta h(y, y,, y (n) ) = 0, que se resuelve siguiendo la proposición 1.5.3. Ejemplo 1.5.15. Resuelva xy + yy = 0. Definición 1.5.16. Se dice que la e.d.o. F (x, y, y,, y (n) ) = 0, es homogénea de grado m con respecto a x y a y, cuando se verifica Proposición 1.5.17. Sea F (λx, λy, y, λ 1 y,, λ 1 n y (n) ) = λ m F (x, y, y,, y (n) ). F (x, y, y,, y (n) ) = 0, una e.d.o. homogénea de grado m con respecto a x y a y, entonces el cambio y = ux la transforma en una homogénea en x y dx. Ejemplo 1.5.18. Resuelva x 3 y + (xy y) 2 = 0. 1.6. Aplicaciones y problemas geométricos de ecuaciones diferenciales Ejemplo 1.6.1. Dada la parábola y = x 2 a) Calcular la e.d.o. de la familia obtenida al trasladar dicha parábola en dirección paralela a la recta 3x 4y = 0; b) Integrar la e.d.o. obtenida; c) Solución singular correspondiente; Ejemplo 1.6.2. Obtener la e.d.o. de las parábolas que pasan por el origen y tienen su eje paralelo al eje OX. Ejemplo 1.6.3. Hallar la e.d.o. de las elipses de semiejes 4 y 5, tales que el eje menor es paralelo al eje OX. Ejemplo 1.6.4. La normal a una curva en un punto P corta al eje OY en un punto N. Hallar esta curva sabiendo que pasa por el punto (3, 4) y se verifica ON = OP.

1.7 Ejercicios del tema 17 1.7. Ejercicios del tema 1. Relaciona cada ecuación con la gráfica correspondiente y = 3y 2/3, y = y 2, y = xy e y = x/y. y' = xy y' = 3y 2/3 y(0) = 0 a) y' = x/ y b) y' = y 2 c) d) 2. Determinar la ecuación diferencial de haz xy C(x 1) = 0. 3. Hallar la e.d.o. de la familia de circunferencias de radio 2, cuyos centros están en la recta y = x. 4. Resuelva las ecuaciones diferenciales a) (x 1)y 3 dx + (y 1)x 3 dy = 0, que pasa por el punto (2, 1) b) (x 2 + 1)dx + (y 4 + 1)dy = 0, c) y = x(y 2 + 1), que pasa por el punto (1, 1).

18 Métodos elementales de integración 5. Resuelva las ecuaciones diferenciales a) (x 3 + y 3 )dx + 3xy 2 dy = 0, b) xdy = (x + y)dx, c) (2x + y)dx + (x + 2y)dy = 0. 6. Resuelva las ecuaciones diferenciales a) dy dx = y x y + x 2, dy b) dx = x + y 1 x y 1, dy c) dx = 2x 2y 1 x y + 1. 7. Resuelva las ecuaciones diferenciales a) y = y + 1, que para x = 0 toma el valor 2, b) y = 2y + x, que para x = 0 toma el valor 3, c) y = xy + 1, que para x = 0 toma el valor 1, d) y = 3y + 2, que para x = 0 toma el valor 0. 8. Dada la e.d.o. y = y +2, se consideran las tangentes a las distintas curvas integrales en los puntos de abscisa x = 0. Hállese el punto por el cual pasan todas estas tangentes. 9. Resuelva las ecuaciones diferenciales a) y = y + y 2, b) y = y + y, c) y = xy + y, d) y + 2y = y 3, e) y = y + 3 y. 10. Resolver la ecuación xy = x 2 + y y 2, sabiendo que tiene la solución particular y = x. 11. Reducir la ecuación y = 1 + xy y 2 a una e.d.o. lineal. 12. Resuelva las ecuaciones diferenciales a) (2xy + y 2 )dx + (x 2 + 2xy 6)dy = 0, ( ) 1 b) 1 + x + y dx + xdy = 0, 2 c) (2x cos y cos x)dx x 2 sen ydy = 0, d) (y 3 cos x y)dx + (3y 2 sen x x)dy = 0. 13. Resuelva las ecuaciones diferenciales a) (2y 3 2y 2 + 3x)dx + (3xy 2 2xy)dy = 0, b) (y 3 + x 2 y + 2xy x 1)dx + (3y 2 + x 2 )dy = 0, c) dx + (2xy + 2y 2 + 1)dy = 0, d) 2xydx + (3x 2 4y)dy = 0, e) 2ydx + (x + 3y)dy = 0, f) (x 2 + y 2 + x)dx + (x 2 + y 2 + y)dy = 0, g) 3dx + (x y 3)dy = 0, h) 2y 4 dx + 5xy 3 dy = 0. 14. Resuelva las ecuaciones diferenciales a) y = x + y 3(y ) 2, b) y = x + (y ) 3, c) y = 3x (y ) 2, d) y = 2x + y 5(y ) 2, e) y = x(y + 1) 2(y ) 2.

1.7 Ejercicios del tema 19 15. Resuelva las ecuaciones diferenciales a) y = y x 2(y ) 2, b) y = y x + 4(y ) 2, c) y = y x + 2(y ) 3, d) y = y x + y + 5(y ) 2. 16. Resuelva la ecuación diferencial 17. Resuelva la ecuación diferencial y = 1/2x 2 (y ) 2. a) x = 2y + 4(y ) 3, b) x = 5(y ) 4 + 3(y ) 2, c) x = y 6(y ) 5, d) x(y ) 2 2(y ) 2 + x 2 = 0, e) x(y ) 4 (y ) 4 + x 4 = 0, f) y = (y ) 2 3y + 2, g) y = (y ) 4 y, h) y = (y ) 3 2(y ) 2, i) y(y ) 2 3(y ) 2 + y 2 = 0, j) y 2/3 + (y ) 2/3 = 9, k) y = y(y ) 2 + 4xy. 18. Halle las trayectorias ortogonales de las familias de curvas a) x 2 y = C, b) y 2 (C x) = x 3. 19. Halle la trayectoria ortogonal de la familia de hipérbolas xy = a 2 /2, que pasa por el punto (1, 2). 20. Halle las trayectorias de 45 o de la familia de curvas x 2 + y 2 + 2Cy = 0. 21. Halle las curvas de máxima pendiente de la superficie z = 1 xy. 22. Hallar las ecuaciones de las curvas de máxima pendiente de la superficie x 2 + 2y 2 + 4z 2 = 1. 23. Integrar las ecuaciones diferenciales, en el apartado j encontrar aquella que cumple y( 1/2e) = 1 y y ( 1/2e) = e. a) y 2xy y (y ) 2 xy y = 0, b) y y 3(y ) 2 = 0, c) y (y ) 2 1 = 0, d) (1 + x)y + y = 0, e) y + cos 2 x = 0, f) y 2y(y ) = 0, g) yy (y ) 2 y 4 = 0, h) 3yy 2(y ) 2 36y 2 = 0, i) y = y (x + y ), j) y 2 y 2y 3 (y ) 2 + e y2 y = 0. 24. Integrar las ecuaciones a) y = (y ) 2, b) (y ) 4 + 4x(y ) 3 y 2yy = 0. 25. Transforme la ecuación yy + 2(y ) 2 + yy = 0, en otra en la que le falte la variable dependiente. 26. Transforme las ecuaciones siguientes en otras en la que le falte la variable independiente a) 2xy + yy = 0, b) 2x 3 y + 3(xy y) 2 = 0.