FUNCIONES UNIVALENTES Y LA CONJETURA DE BIEBERBACH

FUNCIONES UNIVALENTES Y LA CONJETURA DE BIEBERBACH RODRIGO HERNÁNDEZ 1. INTRODUCCIÓN La teoría de funciones univalentes es un tópico clásico dentro de la teoría geométrica de funciones, la cual da cuenta de la relación entre aspectos geométricos y analíticos de ellas. Desde los inicios del siglo pasado y siendo en la década de los sesenta un campo muy prolífico para muchos matemáticos. El tema principal de este cursillo es introducir la clase de funciones univalentes S la cual consta de todas las funciones analíticas inyectivas definidas en el disco unitario D cuya serie de potencia esta dado por f(z) = z + a 2 z 2 +. Uno de los problemas centrales en este tema fue la famosa Conjetura de Bieberbach [3]. Guiado por el ejemplo de una función extremal (la función de Koebe), Bieberbach se preguntó en 1916 si (1.1) a n n, n N, f S. La función de Koebe, que veremos con alguna frecuencia viene dada por z (1.2) k(z) = (1 z) = z + 2 2z2 + + nz n, y es extremal en varios aspectos. La conjetura de Bierberbach motivó gran interés, y permitió el desarrollo de importantes técnicas en la Teoría Geométrica de Funciones. Este problema fue finalmente resuelto afirmativamente en 1985 por L. des Branges [5], en una celebrada demostración. Algunas de las técnicas desarrolladas fueron: el método paramétrico de Loewner [11], el método de Milin y FitzGerald de exponenciación de las desigualdades de Grunsky, el método de Baernstein de funciones maximales, y los importantes métodos variacionales. Con varios de éstos es posible establecer a n < en, a n < 1, 243n, a n < (7/6)n, a n < e 2 n. Históricamente, a 2 2 fue la primera en demostrarse. En 1923 Loewner probó que a 3 3 usando su método paramétrico y treinta años más tarde (1955), a 4 4 fue demostrada por Garabedian y Schiffer. Dos libros 1

2 RODRIGO HERNÁNDEZ excelentes en el tema de funciones univalentes son los de P. Duren y C. Pommerenke. [6], [13] 2. La Clase de Funciones Univalentes Sea D = {z : z < 1}, decimos que f es univalente (Schilcht mapping) en un dominio de C si nunca toma un valor dos veces, es decir si f(z) = f(w) entonces z = w. La función f se dirá localmente univalente en un punto z si existe una vecindad del punto en la que f es univalente. Esto último es equivalente con que f. Así definimos la clase S como todas las funciones analíticas univalentes definidas en D con las normalizaciones f() =, f () = 1, así, cada f S tiene una representación en serie de la forma (2.1) f(z) = z + a 2 z 2 + + a n z 2 +. Observación: En vista del Teorema del Mapeo de Riemann, la mayor parte de los teoremas geométricos concernientes a la clase S pueden ser trasladados a cualquier dominio del plano complejo simplemente conexo con más de un punto de frontera. Un ejemplo importante de una función en S es la función de Koebe z k(z) = (1 z) = z + 2 2z2 + 3z 3 +. Esta función mapea el disco unitario D sobre el plano complejo menos la parte del eje real comprendido entre 1/4 a. Una manera de ver esto es escribir la función de Koebe como k(z) = 1 ( ) 1 + z 1 4 1 z 4, observando que la función g(z) = (1 + z)/(1 z) mapea D conformemente (g es analítica y univalente) sobre el semiplano derecho Re{z} >. La clase S es invariante ante las siguientes operaciones: (i) conjugación: si f S entonces f( z) = z + ā 2 z 2 + S; (ii) rotación: si f S entonces g(z) = e iθ f(e iθ z) S; (iii) dilatación: si f S entonces g(z) = r 1 f(rz) S para todo < r 1;

FUNCIONES UNIVALENTES Y LA CONJETURA DE BIEBERBACH 3 (iv) automorfismos del disco: si f S entonces para todo a < 1 ( ) z + a f f(a) 1 + āz g(z) = S; (1 a 2 )f (a) (v) transformación del rango: si f S y ψ es univalente en f(d) con ψ() =, ψ () = 1, entonces ψ f S; (vi) valor omitido: si f S y w f(d) entonces g = wf/(w f) S; (vii) raíz cuadrada: si f S entonces g(z) = f(z 2 ) S. Intimamente ligada a la clase S está la clase Σ, que consiste en todas las funciones g univalentes en el complemento = { z > 1}, normalizadas de modo que (2.2) g(z) = z + b + b 1 z 1 +. Así, g( ) = es un polo simple con residuo 1. Cada f S produce una g Σ vía inversión: g(z) = 1 f( 1 z ). Sin embargo, la función g así definida no asume el valor, lo cual resulta una condición necesaria para poder definir f S en términos de una g Σ. La univalencia de g impone una severa restricción sobre los coeficientes b n en su desarrollo de Laurent. Teorema del Area: Si g Σ entonces (2.3) n b n 2 1. n=1 Este teorema es original de Gronwall (1914). [8]. Proof. Sea E el conjunto omitido por g. Para r > 1 sea C r la imagen bajo g del círculo { z = r}. Dado que g es univalente, C r es una curva cerrada simple que encierra un conjunto E r que contiene a E. El teorema de Green establece que el área de E r es A r = 1 wdw = 1 g(z)g (z)dz. 2i 2i C r { z =r}

4 RODRIGO HERNÁNDEZ Un cálculo directo con la serie muestra que A r = π(r 2 n b n 2 r 2n ). Dado que A r, haciendo tender r 1 se obtiene el resultado. n=1 Una consecuencia inmediata es que b n < 1 n. Corolario 2.1. Si g Σ entonces b 1 1, con igualdad si y sólo si g es de la forma (2.4) g(z) = z + b + b 1 z, b 1 = 1. Las funciones con b 1 = 1 mapean al complemento de un segmento de línea de largo 1/4. Cuando b 1 = 1 y b = 2, la función g no toma el valor, y vía inversión produce f(z) = 1 g( 1) = z (1 z) = k(z), z 2 la función de Koebe. Del Teorema del Area es posible también deducir la primera desigualdad en la Conjetura de Bieberbach. Teorema: (Bieberbach). Si f S entonces a 2 2, con igualdad si y sólo si f es una rotación de la función de Koebe. Proof. Consideramos la función g(z) = {f( 1 z 2 )} 1/2 = z ( a 2 2 )z 1 + que pertenece a la clase Σ. Entonces a 2 2 por el corolario. Si a 2 = 2 tenemos g(z) = z eiθ z de donde z f(z) = (1 e iθz ) = 2 e iθ k(e iθ z). Un importante corolario de esta desigualdad es el Teorema 1 de Koebe, 4 que establece que toda f S cubre al menos un disco de radio 1 centrado 4 en el origen. El resultado original de Koebe demostraba el teorema para un cierto ρ > fijo pero que no determinó (197) [9]. Más tarde fue Bieberbach quién probó el teorema para el valor óptimo de ρ = 1. [3] 4 Teorema- 1 4 1 }. 4 de Koebe. La imagen de toda f S contiene el disco { w <

FUNCIONES UNIVALENTES Y LA CONJETURA DE BIEBERBACH 5 Proof. Supongamos que w (D). Entonces g(z) = wf(z) w f(z) = z + (a 2 + 1 w )z2 + pertenece a S, por lo tanto a 2 + 1 2. Esto, combinado con a w 2 2 implica que 1 4, de donde se deduce la tesis. w La demostración muestra además que si w = 1/4 entonces f debe ser una rotación de la función de Koebe. En otras palabras, toda otra f cubrirá un disco de radio mayor que 1 4. Teorema de Littlewood. Sea f S, entonces a n < en para todo n = 2, 3,.... Littlewood probó este teorema en 1925 [1] y desde esa fecha hasta la demostración de la conjetura de Bieberbach, la constante e fue sucesivamente mejorada, sin embargo sus demostraciones fueron menos elegantes que la simple demostración de este teorema, que se basa en el siguiente lema. Lema 2.2. Sea f S, entonces M 1 (r, f) = ( 1 2π 2π f(re iθ ) p dθ Proof. (Teorema de Littlewood) ) 1 p r 1 r, r < 1, < p <. La representación integral de Cauchy implica que a n M 1(r, f) r n 1 r n 1 (1 r), cuyo mínimo se alcanza en r = 1 1/n, de donde se obtiene que ( a n n 1 + 1 ) n 1 < en. n 1 Un argumento similar utilizó Baernstein [2] para probar que a n < (e/2)n, el cual se basa en que M p (r, f) M p (r, k) para toda f S y k la función de Koebe. 2.1. Crecimiento y Distorsión en S. Veremos en esta sección otras dos consecuencias de la desigualdad a 2 2 para la clase S. Teorema 2.3. Si f S entonces (2.5) z f f (z) 2 z 2 1 z 2 4 z 1 z 2.

6 RODRIGO HERNÁNDEZ Proof. Sea f S y sea ζ D fijo. automorfismo del disco F (z) = Consideramos la transformación de f( z+ζ 1+ ζz ) f(ζ) (1 ζ 2 )f (ζ) = z + A 2(ζ)z 2 + que también pertenece a la clase S. Se calcula que A 2 (ζ) = 1 2 {(1 ζ 2 ) f de donde se deduce (2.5) ya que A 2 (ζ) 2. Teorema de Distorsión: Si f S entonces (2.6) (ζ) 2 ζ}, f 1 z (1 + z ) f (z) 1 + z 3 (1 z ). 3 Se tiene igualdad para algún z en una de las desigualdades si y sólo si f es una rotación de la función de Koebe. Omitiremos la demostración, indicando solamente que el teorema se establece usando (2.5) para estimar Re{f /f } apropiadamente, de donde integrando se obtienen desigualdades para log f. Exponenciando estas últimas se deduce (2.6). Los casos de igualdad a los que se refiere el teorema pueden ocurrir únicamente en el caso de igualdad A 2 (ζ) = 2 en el Teorema 2. Teorema de Crecimiento: Si f S entonces (2.7) z (1 + z ) 2 f(z) z (1 z ) 2. Se tiene igualdad para algún z en una de las desigualdades si y sólo si f es una rotación de la función de Koebe. La demostración se basa en una apropiada integración de las desigualdades en (2.6). Una importante consecuencia de los teoremas de crecimiento y distorsión es que la clase S es normal en la topología de convergencia localmente uniforme. Esto es, dada una sucesión {f n } en S existe una subsucesión {f nk } y una f S tal que f nk f, localmente uniforme en D. En efecto, los teoremas muestran que las funciones de S y sus derivadas están localmente, uniformemente acotadas en el disco, por ende S es una familia equicontinua y localmente acotada. El teorema de Arzela Ascoli garantiza que existen límites continuos. Pero estos límites deben ser de hecho analíticos y debido a la normalización f n() = 1, el teorema de Hurwitz garantiza ahora que el límite también será univalente. Para ver una demostración de este teorema pueden ver [6], [7] y [13].

FUNCIONES UNIVALENTES Y LA CONJETURA DE BIEBERBACH 7 2.2. Subclases de S. Dos importantes subclases de S son las llamadas Estrelladas y Convexas. Ambas clases son definidas por consideraciones geométricas, pero ambas tienen una caracterización analítica. Decimos que Ω C es estrellado con respecto a z Ω si el segmento lineal que une z con cualquier punto de Ω está totalmente contenido en Ω, es decir, cada punto del dominio debe estar visible para z. Decimos que Ω es convexo si es estrellado con respecto a cada punto de Ω, es decir, la definción usual de convexidad. Así una función convexa es aquella que mapea conformente el disco D en un dominio convexo. De igual modo se dice que f es estrellada si mapea el disco unitario conformemente en un dominio estrellado con respecto al origen. Denotamos estas subclases como C y S respectivamente. De la definición se desprende que C S S y que k S pero no es convexa. Estrechamente ligada a estas clases de funciones está la clase P la cual consiste de todas las funciones ϕ analíticas en D, con parte real positiva y ϕ() = 1. Usando teoremas del análisi complejo, se puede probar que cada ϕ P puede ser representada como (2.8) ϕ(z) = 2π e it + z e it z dµ(t), donde dµ(t) y dµ(t) = 1. Así Carathéodory estableció el siguiente lema. [4]. Lema de Carathéodory: Si ϕ P y ϕ(z) = 1 + c n z n, entonces c n 2. n=1 Esta desigualdad no se puede mejorar. Proof. Sabemos que e it + z e it z = 1 + 2 e int z n, n=1 pero por la representación de ϕ antes descrita, se tiene que c n = 2 2π Tomando módulo se suigue que 2π 2π c n = 2 e int dµ(t) 2 e int dµ(t), n = 1, 2,... 2π e int dµ(t) = 2 dµ(t) = 2.

8 RODRIGO HERNÁNDEZ Observación 2.4. Una observación importante es que si f es estrellada (por lo tanto univalente), entonces mapea todo subdisco de radio r < 1 sobre un dominio estrellado. En efecto, esto es equivalente con probar que la función g(z) = f(rz) es estrellada en D, lo cual siginifica que para cada t (, 1) y para cada z D, tg(z) está en el recorrido de g. Pero f es estrellada y por el lema de Schwarz tenemos que tf(z) = f(ω(z)) para alguna función ω analítica en D y tal que ω(z) z. Con esto, donde ζ = ω(rz)/r con ζ z. tg(z) = tf(rz) = f(ω(rz)) = g(ζ), Teorema 2.5. Sea f analítica en D con las normailizaciones f() = y f () = 1. Entonces f S si y sólo si zf (z)/f(z) P. Proof. Sea f S y r < 1, luego f({z : z < r}) es la forntera de un dominio estrellado, entonces el argumento de f(z) es creciente cuando z se mueve en z = r, en el sentido positivo. Es decir Pero θ arg{f(reiθ )} >. θ arg{f(reiθ )} = Im{ θ log(f(reiθ ))} { } { } izf (z) zf. (z) = Im = Re f(z) f(z) Pero esto es para todo r < 1, luego por el principio del máximo para funciones armónicas, tenemos que zf (z)/f(z) P. Recíprocamente, supongamos f normalizada, analítica y tal que zf(z)/f(z) P. Entonces f tiene un cero simple en el origen y en ninguna otra parte. Por lo anterior, para cada r < 1 tenemos que θ arg{f(reiθ )} >, < θ < 2π. Como f se anula solo una vez en el interior del disco z = r, por el principio del argumento, la curva C r, imagen bajo f de este disco, da una sola vuelta alrededor del origen. Pero el argumento es creciente, por lo que la curva C r no tiene autointersecciones, es decir, es una curva simple la cual es la frontera de un dominio Ω r estrellado y f asume cada valor de este dominio solo una vez en el disco z < 4. Como esto es verdad para cada r < 1, se sigue que f es univalente y estrellada en D. De manera similar se puede caracterizar la clase de funciones convexas. Teorema 2.6. Sea f analítica en D con las normalizaciones f() = y f () = 1. Entonces f C si y sólo si 1 + zf (z)/f(z) P.

FUNCIONES UNIVALENTES Y LA CONJETURA DE BIEBERBACH 9 Proof. La demostración quedará como ejercicios al lector. Una conección importante entre estas dos clases está dada por el Teorema de Alexander ([1]) que establece que bajo las mismas hipótesis de los teoremas anteriores f C si y sólo si zf (z) S. Teoremas de crecimiento y distorsión, además de establecer la conjetura de Bieberbach para estas subclases de S. En efecto, se tiene el siguiente teorema establecido por R. Nevanlinna en 192, [12]. Teorema 2.7. S satisface la conjetura de Bieberbach. Es decir, si f S entonces a n n. La igualdad sólo se alcanza cuando f es la función de Koebe. Proof. Sea f S, definimos ϕ(z) = zf (z) f(z) = 1 + c n, ya que ϕ P. Usando el lema de Carathéodory, tenemos que c n 2. Así zf (z) = ϕ(z)f(z) y comparando los ceficientes en las series de potencias tenemos que n 1 na n = a n + c n k a k, n = 2, 3,..., k=1 donde a 1 = 1. Por inducción si a k k para k = 2,..., n 1, entonces n=1 n 1 n 1 (n 1) a n c n k a k 2 k = (n 1)n, k=1 concluyéndose que a n n. Usando el teorema de Bieberbach ( a 2 2), tenemos que si f S no es una rotación de la función de Koebe, entonces a n < n para todo n 2. Una consecuencia inmediata de este teorema es que si f C entonces (usando el teorema de Alexander) a n 1 para todo n = 1, 2,.... La desigualdad es estricta a menos que f sea una rotación de l(z) = z(1 z) 1 la cual satisface que zl (z) = k(z). Además se puede probar que la imagen k=1 de toda función f C contiene un disco de radio 1 2. 3. Cadenas de Loewner Una de las herramientas más poderosas en el estudio de funciones univalentes son las cadenas de Loewner. Charles Loewnner en 1923 [11], desarrollo esta teoría siendo uno de los primeros métodos no elementales en el estudio

1 RODRIGO HERNÁNDEZ de problemas extremales para las funciones univalentes tal como la conjetura de Bieberbach. Luego no es sorprendente que de Branges ([5]) haya utlizado (en parte) este método en la demostración de la conjetura. El método de Loewner se basa en las funciones llamadas single-slit mappings las cuales son funciones que mapean el disco sobre el complemento de una arco de Jordan. Estas funciones son un conjunto denso en S, así las estimaciones sobre cualquier funcional definido sobre S se reduce a estimaciones del funcional sobre esta subclase. Sea f S una función que mapea el disco unitario sobre un dominio Ω el cual es el complemento de un arco de Jordan Γ que se extiende desde w (punto finito) hasta el infinito. Sea w = φ(t), t < T una representación paramétrica continua de Γ con φ() = w y φ(s) = φ(t) con t s. Sea Γ t la porción de Γ desde φ(t) hasta y Ω t el complemento de Γ t. Entonces Ω = Ω y Ω s Ω t si s < t. Sea g(z, t) = β(t)(z + b 2 (t)z 2 + b 3 (t)z 3 + ) el mapeo conforme de D sobre Ω t para el cual g(, t) = y g (, t) = β(t) >. Teniendo en cuenta resultados clásicos del análisis complejo (necesitaríamos otro cursillo para verlos) podemos asumir que β(t) = e t y T =. Así, hemos escogido la parametrización w = φ(t) tal que ) g(z, t) = e (z t + b n (t)z n, t <. n=2 Esta será llamada la parametrización estandar de Γ. Cada coeficiente b n (t) es una función continua de t. Consideremos la función f(z, t) = g 1 (f(z), t) = e t (z + ) a n (t)z n, t <, la cual mapea D conformemente sobre D menos un arco que se extiende hacia adentro desde la frontera. Es claro que f(z, ) = z ya que g(z, ) = f(z) y que cada coeficiente a n (t) es una función continua en t. Presentaremos el siguiente resultado sin su demsotración. Teorema 3.1. Sea f S una single-slit mapping que omite el arco Γ. Sea w = φ(t), t <, la parametrización estandar de Γ y sea f(z, t) definida como antes. Entonces f(z, t) satisface la equación diferencial f t n=2 = f 1 + κf 1 κf,

FUNCIONES UNIVALENTES Y LA CONJETURA DE BIEBERBACH 11 donde κ = κ(t) es una función continua compleja con κ = 1 para todo t. Además lim t et f(z, t) = f(z), z < 1, siendo la convergencia uniforme sobre cada subconjunto compacto de D. Esto significa que, en algún sentido, e t f(z, t) es el fluido desde z hasta f(z) cuya dinámica está gobernada por la ecuación diferencial antes descrita. Esta ecuación es conocida como la ecuación diferencial de Loewner. El siguiente teorema es la herramienta fundamental en esta teoría. Teorema 3.2. Sea p(w, t) definida para w D y t < siendo integrable para cada intervalo t T < para cada w D y para cada t, p(w, t) P, entonces la ecuación w (3.1) = wp(w, t) t tiene solución única w = f(z, t) para t < con la condición inicial f(z, ) = z. Para cada t, f(z, t) es analítica y univalente en D, y e t f(z, t) S. Cuando t, e t f(z, t) converge uniformemente en compactos de D a una función f S. Observación: Recordemos que la clase P es el conjunto de todas las funciones analíticas ϕ definidas en D con Re{ϕ} > y ϕ() = 1. Observemos que para cada t la función pertenece a P si κ(t) = 1. p(w, t) = 1 + κ(t)w 1 κ(t)w, La demostración ha sido omitada por razones de espacio y tiempo, sin embargo ésta se encuentra en [6], [7] y [13]. Una aplicación directa del método de Loewner es la comprobación de la conjetura de Bieberbach para a 3. En años posteriores, Z. Nehari [] usando estas ideas probó que a 4 4. Como S es invariante bajo rotaciones, es suficiente probar que Re{a 3 } 3. La teoría de Loewner reduce este problema a estudiar las funciones de la forma f(z) = lim t e t f(z, t), donde f(z, t) es la solución de alguna ecuación diferencial de Loewner f t 1 + κf = f, f(z, ) = z, 1 κf

12 RODRIGO HERNÁNDEZ correspondiente a una función continua κ de módulo 1. Como antes Así es claro que a n () = y que f(z, t) = e t (z + a 2 (t)z 2 + a 3 (t)z 3 + ). lim a n(t) = a n, t donde f(z) = z + a 2 z 2 + a 3 z 3 +. Derivando y usando la ecuación diferencial obtenemos que a 2(t) = 2e t κ(t), a 3(t) = 2e 2t (κ(t)) 2 4e t κ(t)a 2 (t). Integrando nos podemos dar cuenta de que a 2 = a 2(t)dt = 2 e t κ(t)dt, y como κ(t) = 1 se tiene que a 2 2. Con igualdad sólo si κ λ en cuyo caso la ecuación de Loewner nos lleva a f(z) = z(1 + λz) 2, la cual es una rotación de la función de Koebe. Integrando la segunda ecuación obtenemos que [ 2 a 3 = 2 e 2t κ 2 (t)dt + 4 e κ(t)dt] t. Sea κ(t) = e iθ(t), de donde se tiene que [ 2 Re{a 3 } 2 e 2t [1 2 cos 2 (θ(t))]dt + 4 e cos(θ(t))dt] t. Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz (inteligentemente) se llega a Re{a 3 } 1 4 = 1 + 4 1 + 4 e 2t cos 2 (θ(t))dt + 4 (e t e 2t ) cos 2 (θ(t))dt (e t e 2t )dt = 3. References e t dt e t cos 2 (θ(t))dt [1] J. W. Alexander. Functions which map the interior of the unit circle upon simple region. Ann. of Math., 17:12 22, 1915-1916. [2] A. Bernstein. Integral means, univalent functions and circular symmetrization. Acta Math., 133:139 169, 1974. [3] L. Bieberbach. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des einheitskreiss vermitteln. S.-B.Preuss.Akad.Wiss, pages 94 955, 1916.

FUNCIONES UNIVALENTES Y LA CONJETURA DE BIEBERBACH 13 [4] C. Carathéodory. Uber den variabilitatsbereich der fourier schen konstanten von positiven harmonischen funktionen. Rend. Circ. Mat. Palermo, 32:193 217, 1911. [5] L. de Branges. A proof of the bieberbach conjecture. Acta Math., 154:137 152, 1985. [6] Peter. Duren. Univalent Functions. Springer-Verlag, 1983. [7] I. Graham and G. Kohr. Geometric function theory in one and higher dimensions, volume Pure and Applied Math.255. Marcel Dekker, 23. [8] T.H. Gronwall. Some remarks on conformal representation. Ann. of Math., 16:72 76, 1914-1915. [9] P. Koebe. Uber die uniformisierung beliebiger analytischer kurven. Nach. Akad. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Kl., pages 191 21, 197. [1] J. E. Littlewood. On inequality in the theory of functions. Proc. London Math. Soc., 23:481 519, 1925. [11] C. Loewner. Untersuchungen uber schlichte konforme abbildungen des einheitskreises, i. Math. Ann., 89:13 121, 1923. [12] R. Nevanlina. Uber die konforme abbildung von sterngebieten. Oversikt av Finska Vatenskaps-Soc. Forh., 63(A). no 6.:1 21, 192-1921. [13] Ch. Pommerenke. Univalent Functions. Vandenhoeck and Ruprecht, Gottingen, 1975. Facultad de Ingeniería y Ciencias, Universidad Adolfo Ibáñez, Av. Balmaceda 1625, Viña del Mar, CHILE. E-mail address: rodrigo.hernandez@uai.cl