CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo
TEMA IV INTEGRALES MÚLTIPLES INTEGRALES ITERADAS Y ÁREA EN EL PLANO Desde el curso de Cálculo II se estudió la forma de derivar parcialmente a una función de varias variables, derivando con respecto de una variable mientras las demás permanecían constantes. En este tema se procederá de manera similar para integrar funciones de varias variables. Por ejemplo, para realizar una integral doble de la función sobre una región se utiliza la notación, posteriormente la región Utilizar integración doble para obtener el área de la región se convierte en límites de integración, por lo que el orden en el que se escriben las diferenciales es importante debido a que indica el orden de integración. Las integrales iteradas se realizan de adentro hacia afuera, y para realizar la integral con respecto de,, se considera a como constante. Geométricamente una integral del tipo o bien representa el área de la región encerrada por las curvas, ; o bien,. Evaluar la integral doble INTEGRALES DOBLES Y VOLÚMENES Así como la integral definida el área bajo la curva de tiene como interpretación geométrica, al realizar una integral doble agregando una función escalar, se puede tener como interpretación, el volumen bajo la superficie ; sin embargo, su aplicación no se restringe a volúmenes, mediante
INTEGRALES MÚLTIPLES 2 integración múltiple se pueden calcular probabilidades, centroides, centros de masa, centros de gravedad, etc. Definición Dada una función definida sobre una región acotada en el plano, entonces la integral doble de sobre se define como siempre y cuando el límite exista. Como se dijo, la interpretación geométrica de la integral doble es el volumen bajo la superficie definida por, siempre que. La siguiente figura muestra un paralelepípedo representativo de las sumas de Riemann. La región de integración es: Por lo que: Utilizar integración doble para obtener el volumen del siguiente sólido. Obtener el volumen del siguiente sólido mediante integración doble.
CÁLCULO VECTORIAL 3 La región de integración es: CAMBIO DE VARIABLES: COORDENADAS POLARES En algunas ocasiones, debido a la geometría del problema, es mucho más sencillo resolver la integral se recurre a un cambio de variables; en particular si la geometría involucra circunferencias, entonces las coordenadas polares pueden resultar muy útiles. Por lo que: Teorema Sea una función continua definida sobre una región plana cerrada, entonces la integral doble de sobre la región es igual a Evaluar la integral en coordenadas cartesianas, e invirtiendo el orden de integración. Debe de recordarse que la diferencial de área en coordenadas cartesianas es, y en coordenadas polares es, donde además de las diferenciales de las variables, aparece el jacobiano de la transformación. Utilizar integración doble para obtener el área de la región encerrada por la curva, definida en coordenadas polares.
INTEGRALES MÚLTIPLES 4 por la simetría de la figura, se tiene: Evidentemente, la geometría de la región posee circunferencias, por lo que es más fácil resolver la integral utilizando coordenadas polares. El siguiente ejemplo muestra la forma en la que se pueden utilizar las coordenadas polares para la obtención de un volumen, utilizando integración doble. O bien, Obtener el área de la región limitada por integración doble. La región de integración es:, empleando Obtener el volumen del sólido limitado por las gráficas de,,, La región de integración es una corona circular, formada por la región comprendida entre las circunferencias con radios 1 y 3. Por la simetría de la región y de la superficie, se tiene: Evaluar la integral iterada cambiando a coordenadas polares La región de integración es:
CÁLCULO VECTORIAL 5 De la factorización, y utilizando el cambio de variables S)))))))))))))))))))))))))))))))))))) CAMBIO DE VARIABLES: JACOBIANOS Cuando la geometría del problema no corresponde a la cartesiana ni a la polar, se pueden utilizar otros sistemas coordenadas, para ello se deben conocer las ecuaciones de transformación y el jacobiano de la transformación. Teorema Sea una región en el plano y su transformación en el plano, que se obtiene mediante las ecuaciones de transformación y. Entonces bajo ciertas condiciones de continuidad y derivabilidad se tiene que: de donde, Transformando se tiene:, Y se tiene la región de integración De donde Pero Por lo que Calcular la integral doble Esta integral, todavía es complicada, por lo que para simplificarla se realiza otro cambio de variables. Se cambia a coordenadas polares. Si Sugerencia: Observar que, y proponer una transformación adecuada. La región de integración en coordenadas polares es:
INTEGRALES MÚLTIPLES 6 De donde la integral queda: La geometría de este problema es rectangular, por lo que se resuelve en coordenadas cartesianas. La región de integración es: El problema anterior muestra una integral en la que se requirieron dos cambios de variable para su solución. Cada cambio de variable que se realice deberá ir acompañado de su respectivo jacobiano de la transformación. Por lo que ÁREA DE UNA SUPERFICIE Así como en el curso de Cálculo Integral y en el tema II de Cálculo Vectorial se obtuvo mediante integración la longitud de arco, utilizando integración doble es posible obtener el área de una superficie alabeada. Definición Si y sus derivadas parciales primeras son continuas en una región cerrada del plano, entonces el área de la superficie sobre la región está dada por: Así como la longitud de arco se denota con la letra área de una superficie alabeada se denota con la letra (ese minúscula), el (mayúscula). unidades de área. Si el problema lo requiere, es posible transformar a otro sistema coordenado para resolver la integral. Determinar el área de la superficie de. Del cilindro, que está dentro Obtener el área de la superficie definida por el triángulo con vértices, y. sobre
CÁLCULO VECTORIAL 7 superficie con igual área, por lo que al analizar el primer octante se tiene:, y la región de integración es La superficie es una esfera, por lo que tiene dos porciones con la misma área. por lo que: El área de una superficie alabeada está dada por:, Por la geometría del problema y sustituyendo las parciales cambiando a coordenadas polares y usando simetría nuevamente La gráfica de las superficies para es: Calcular el área de las porciones del cilindro dentro del cilindro. que están Por la geometría del problema, en cada octante existe una porción de la En el primer octante:
INTEGRALES MÚLTIPLES 8 S)))))))))))))))))))))))))))))))))))) Obtener el área superficial de un cilindro definido por las ecuaciones,, para, La superficie escrita en forma vectorial es: La figura completa es: de donde: Por lo que S)))))))))))))))))))))))))))))))))))) Si la superficie está dada en forma paramétrica entonces se utiliza el producto cruz entre las derivadas parciales para obtener el área de la superficie alabeada, esto es: Si con, ; entonces S)))))))))))))))))))))))))))))))))))) APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES: CENTRO DE MASA Y MOMENTOS Considérese una lámina de densidad constante, por ejemplo la lámina correspondiente a la región en el plano que se muestra a continuación.
CÁLCULO VECTORIAL 9 Obtener la masa de la lámina limitada por las gráficas de, considerando a), es una constante b), es una constante La densidad para una lámina está dada por la expresión a) Puesto que la densidad es constante, la masa está dada por... (a) y la región es donde es la masa de la lámina cuya área es. Si se conoce la densidad de la lámina, entonces es fácil de obtener su masa utilizando el siguiente desarrollo y puesto que es constante Puesto que la región es un semicírculo, su área es y la expresión (a) se reduce a El resultado anterior se puede generalizar para el caso en el que la densidad no sea constante, es decir, cuando la densidad sea una función del punto estudiado. Definición La masa de una región representada por la función continua en el plano, cuya densidad está es b) Puesto que la densidad es variable, la masa está dada por de donde... (b) integrando
INTEGRALES MÚLTIPLES 10... (c) Utilizando sustitución trigonométrica para resolver la integral Definición Las coordenadas del centro de masa de una lámina se obtiene mediante, con donde,, y para los límites, cuando, : y cuando son los momentos de la lámina con respecto a los ejes respectivamente. y entonces. Se tiene Intuitivamente el centro de masas es un punto en el cual se puede concentrar toda la masa de un cuerpo para su estudio, y los momentos y son medidas de la tendencia que presenta un cuerpo a girar alrededor de los ejes y. Es conveniente observar, que en el caso de cuerpos con densidad constante, las expresiones para obtener el centro de masa se simplifican de la siguiente forma Finalmente al resolver la integral (c) y simplificar se obtiene y análogamente Las coordenadas anteriores proporcionan el centroide de la lámina. De lo anterior se puede concluir que, cuando la densidad es constante, entonces su centro de masa y su centroide coinciden en el mismo punto.
CÁLCULO VECTORIAL 11 Obtener el centro de masa de la lámina contenida en la región densidad. : rectángulo con vértices,,,, es una constante. y El centro de masa está localizado en el punto. Para obtener el centro de masa, es necesario obtener primero la masa de la lámina y los momentos. Definición Los momentos de segundo orden, o momentos de inercia de una lámina con respecto a los ejes y están dados por y El momento de inercia de un cuerpo, es una medida de la oposición que presenta la materia a un cambio de movimiento rotatorio. Para la masa Para los momentos Definición El momento polar de inercia suma de los momentos e de una lámina se define como la Si la lámina está en el plano, entonces representa el momento de inercia de la lámina respecto al eje. Finalmente Obtener, e para la lámina limitada por las gráficas de las ecuaciones y, considerando, donde es una constante.
INTEGRALES MÚLTIPLES 12 de donde INTEGRALES TRIPLES El caso más simple de una integral triple puede presentarse como una generalización de una integral doble. Supóngase que se desea obtener el volumen de un cuerpo cualquiera, puesto que en coordenadas cartesianas la diferencial de volumen, es igual a, entonces para obtener el volumen del sólido se deben sumar todas las diferenciales de volumen, de donde se obtiene la expresión unidades de volumen donde representa una región en y el orden en el que aparecen las diferenciales puede conmutarse. Obtener el volumen del sólido limitado por las gráficas de,,,, y utilizando integración triple. Obsérvese como la integral doble integrar con respecto de que se obtiene al la integral triple original proporciona el volumen bajo la superficie y contenida en la región,, y, de ahí que la integral triple sea una generalización de la doble. Evaluar la siguiente integral El sólido cuyo volumen se desea obtener es
CÁLCULO VECTORIAL 13 Plantear el volumen del sólido mostrado en la figura empleando los órdenes de integración indicados a) b) c) INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CURVILÍNEAS a) Cuando la geometría del problema no corresponde a la cartesiana, el problema puede ser resuelto con facilidad en otro sistema coordenado, recordando que si se transforma un sistema a otro, las diferenciales se ven afectadas por el jacobiano de la transformación. Si se transforma a las coordenadas entonces b) c) Representar la región cuyo volumen está dado por la integral Obtener el volumen del sólido limitado inferiormente por el interior de la hoja superior del cono de ecuación por la esfera. Se desea obtener el volumen de y superiormente
INTEGRALES MÚLTIPLES 14 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES Al igual que las integrales dobles, las integrales triples pueden utilizarse para obtener el centro de masa y los momentos, pero para cuerpos sólidos. Entre otras aplicaciones. Centro de masa y momentos Puesto que el problema involucra una esfera, se utilizan coordenadas esféricas. La ecuación de la esfera en coordenadas esféricas es La esfera y el cono se intersectan en, Si una región tiene una función de densidad para cada punto de la región, entonces: La masa de una región está dada por y Los primeros momentos de la región con respecto a los planos, están dados por y de las ecuaciones de transformación se tiene que de donde El centro de masa de la región sólida es, donde y se tiene,, Los segundos momentos o momentos de inercia con respecto a los ejes, y están dados por unidades de volumen.
CÁLCULO VECTORIAL 15 Obtener las coordenadas del centro de masa de un sólido semiesférico de densidad uniforme de radio. Las coordenadas del centro de masa son: Se plantea: Puesto que y, donde es constante y el volumen de la Una esfera de radio igual a 5 unidades tiene una densidad (masa/volumen) que es directamente proporcional al cuadrado de la distancia a su centro. Si la densidad en la superficie de la esfera es de 25, determinar la masa de la esfera. semiesfera es, entonces la masa de la semiesfera es. además por la simetría de la figura y su densidad constante se tiene que Y para obtener se tiene que plantear donde Por la geometría del problema se utiliza un cambio a coordenadas esféricas, por lo que y la densidad ; cuando Si se coloca la esfera con centro en el origen, su ecuación será: y la densidad En coordenadas esféricas: (esfera) ; (densidad). Usando coordenadas esféricas, y planteando la integral para obtener la masa: Finalmente
INTEGRALES MÚLTIPLES 16 TEOREMAS INTEGRALES TEOREMA DE GREEN El teorema de Green, que proporciona una relación entre la integral doble sobre una región y una integral de línea, recibe su nombre en honor del matemático inglés George Green (1793-1841). La curva es y utilizando el teorema de Green Teorema de Green Sea una región simplemente conexa y la curva orientada en sentido positivo, la frontera de, si,, y son continuas en Utilizar el teorema de Green para evaluar Utilizar el teorema de Green para evaluar la integral donde es la circunferencia con centro en y radio. Del teorema de Green se tiene donde e. es la frontera de la región contenida entre las gráficas de pero, por lo que Utilizar el teorema de Green en el plano para obtener a lo largo del triángulo de vértices, y, como se
CÁLCULO VECTORIAL 17 indica en la figura. Teorema El área de una región plana, limitada por una curva cerrada simple suave por partes se puede obtener mediante la expresión Puesto que no es conservativo, debe evaluarse la integral. Debido a que la trayectoria se recorre en sentido negativo, se tiene: Utilizar una integral de línea para obtener el área de la región limitada por la gráfica de. La región es El área se obtiene mediante Si Un resultado interesante del teorema de Green se tiene cuando es igual a 1, con lo que es igual al área de la región. De las múltiples combinaciones posibles de y que satisfacen la condición anterior, se acostumbra elegir y, con lo que se tiene el siguiente teorema para obtener el área de una región. INTEGRALES DE SUPERFICIE Anteriormente se integró sobre una superficie plana, es decir, se integró una función sobre una región plana limitada por curvas. Ahora se integrará una función sobre una superficie en el espacio.
INTEGRALES MÚLTIPLES 18 Teorema Sea una superficie de ecuación y su proyección en el plano. Si, y son continuas en y es continua en, entonces la integral de superficie de sobre es Calcular, donde :, Si la superficie es una función de y o de y, es decir, si reescribir el teorema anterior. o se pueden hacer los ajustes en la región y Empleando coordenadas polares se tiene Evaluar donde es la superficie, Puesto que se tiene a despejada y está en el plano se tiene Para el ejemplo Obsérvese, como caso particular de la integral de superficie, el hecho de que cuando se tiene que Área de la superficie y la integral de superficie proporciona, como caso particular, el área de la superficie.
CÁLCULO VECTORIAL 19 densidad variable Por otra parte, si una lámina descrita por la superficie tiene una, entonces la masa de la lámina está dada por Obtener la masa de la lámina superficial cuya ecuación es Puesto que y tiene una densidad descrita por, donde es una constante., entonces siendo un campo vectorial definido en una región que contiene a y un vector normal unitario a la superficie. Una forma práctica para obtener un vector normal unitario a una superficie, es mediante el concepto de gradiente. Para una superficie descrita por, haciendo, se pueden obtener entonces los vectores unitarios normales a según Normal unitario hacia arriba. Normal unitario hacia abajo. donde es el área de la región. Finalmente Al igual que la integral de línea se expresó como donde el vector tangente unitario curva proporcionaba la orientación positiva de la, la integral de superficie puede escribirse en forma vectorial como La integral de superficie escrita en forma vectorial tiene como principal aplicación el cálculo del flujo a través de una superficie. Definición Sea el campo vectorial, donde, y tienen primeras derivadas parciales continuas en la superficie orientado mediante un vector normal unitario. Entonces la integral del flujo de a través de está dada por
INTEGRALES MÚLTIPLES 20 En forma práctica la expresión anterior se simplifica, puesto que de donde, para valuar una integral de flujo se utilizan las siguientes expresiones hacia arriba orientada orientada hacia abajo donde la superficie está dada por y es su proyección en el plano. Obtener el flujo de a través de, utilizando la integral donde. De la superficie : orientado hacia arriba (primer octante) la región es Obtener el flujo al exterior de sobre el cubo unitario limitado por las gráficas de,,,. y. El cubo está limitado por 6 planos. : plano : plano : plano : plano : plano
CÁLCULO VECTORIAL 21 : plano Finalmente, el flujo neto al exterior está dado por y obtener el flujo al exterior de a través de la superficie del sólido limitado por las gráficas de,,,, y, siendo Puesto que, se tiene flujo. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Una generalización del teorema de Green se llama teorema de la divergencia. El teorema de la divergencia proporciona la relación entre una integral triple en una región sólida y una integral de superficie sobre la superficie de. Utilizar el teorema de la divergencia para evaluar Teorema Sea una región sólida limitada por una superficie cerrada orientada por un vector normal unitario dirigido al exterior de. Si es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en, entonces y obtener el flujo al exterior de través de la superficie del cuerpo limitado por las gráficas de El flujo está dado por: a y El teorema de la divergencia puede aplicarse para obtener el flujo a través de una superficie, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo. de donde Utilizar el teorema de la divergencia para evaluar utilizando coordenadas cilíndricas
INTEGRALES MÚLTIPLES 22 Utilizar el teorema de la divergencia para evaluar si es la superficie limitada por,, y en el primer octante. Del teorema de la divergencia La región de integración es: y TEOREMA DE STOKES Otra generalización del teorema de Green a más dimensiones es el teorema de Stokes, que recibe su nombre en honor del físico y matemático inglés George Gabriel Stokes (1819-1903). El teorema de Stokes proporciona la relación entre una integral de superficie sobre una superficie orientada y una integral de línea a lo largo de una curva cerrada que forma la frontera de. Teorema Sea una superficie orientada, limitada por una curva cerrada simple, suave por partes. Si es un campo con funciones componentes con derivadas parciales continuas en, entonces Utilizar el teorema de Stokes para evaluar por lo que
CÁLCULO VECTORIAL 23 donde y es el triángulo con vértices, y. Sean, y entonces El vector normal unitario al plano orientado hacia arriba, está dado por por lo que puesto que el plano es, y además, La superficie tiene como vector normal a, ecuación y puesto que de donde Por lo que, del teorema de Stokes El rotacional de es Puesto que es el área de la región de integración, y la región es de donde el triángulo con vértices, y, se tiene que Utilizar el teorema de Stokes para evaluar Finalmente donde es el triángulo con vértices, y. Puesto que
INTEGRALES MÚLTIPLES 24 BIBLIOGRAFÍA Cálculo, Conceptos y Contextos.- Stewart, James.- Editorial Thomson.- Tercera Edición.- México, 2006. Cálculo Vectorial.- Marsden, Jerrold E. y Tromba, Anthony J.- Pearson Addison- Wesley, S.A.- Quinta edición.- Madrid, 2004. Análisis Vectorial.- Davis, Harry F. y Snider, Arthur David.- McGraw-Hill.- Primera edición.- México, 1992. Cálculo y Geometría Analítica.- Larson, Roland P., Hostetler, Robert P. y Edwards, Bruce H. -McGraw-Hill.-Octava edición.- China, 2006. Cálculo Vectorial.- Pita Ruiz, Claudio.- Prentice Hall Hispanoamérica S.A.- Primera edición.- México, 1995. Cálculo con Geometría Analítica.- Zill, Dennis G.- Grupo Editorial Iberoamérica.- Primera edición.- México, 1987. Cálculo con Geometría Analítica.- Swokowski, Earl W.- Grupo Editorial Iberoamérica.- Segunda edición.- México, 1988. El Cálculo con Geometría Analítica.- Leithold, Louis.- HARLA.- Sexta edición.- México, 1992. Cálculo, Tomo 2.- Smith, Robert T. y Minton, Roland B.- Segunda edición.- McGraw-Hill.- Madrid, 2002.