TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

C TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN C. CONCEPTOS PRELIMINARES C.. Función primitiva Sea f : I R, donde I es un intervalo real. Diremos que la función F : I R es una función primitiva de la función f en I si se cumple que Observaciones: F ( = f(, I. Si F : I R es una primitiva de la función f, entonces también es una primitiva de f la función G = F + C para cualquier C R. Si F y G son dos funciones primitivas cualesquiera de la función f en el intervalo I, entonces se cumplirá que F ( = G ( = f(, I. En particular, F ( G ( = 0, I, de donde se concluye que las funciones F y G se diferencian en una constante, es decir, para alguna constante C R. G( = F ( + C I, Las observaciones anteriores justifican la siguiente definición. Dada una función f : I R, se llama integral indefinida de f, y se denota por f(, al conjunto de todas las funciones primitivas de f en el intervalo I. escribirse, f( = F ( + C, C R, donde F es una primitiva cualquiera de la función f en el intervalo I. Suele 555

556 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. C.. Linealidad de la integral De las propiedades de la derivada se deduce fácilmente que Si F : I R es una primitiva la función f en el intervalo I y G : I R es una primitiva de la función g en el intervalo I, entonces F + G es una primitiva de la función f + g en el intervalo I, por lo que (f( + g( = f( + g(. De igual forma, si F : I R es una primitiva de la función f en el intervalo I y λ es un número real cualquiera, entonces la función λ F es una primitiva de la función λ f en el intervalo I. En términos de integral indefinida, esta propiedad significa que, λ f( = λ f(. C. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. C.. Integrales inmediatas Consideraremos como integrales inmediatas las comprendidas en la siguiente tabla a [f(] n f ( = [f(]n+ + C, si n. n + b c d f ( = ln f( + C. f( a f( f ( = af( ln a e f( f ( = e f( + C. + C. (a > 0, a. e f f ( sen[f(] = cos[f(] + C. f ( cos[f(] = sen[f(] + C. g f (( + tg [f(] = f ( cos = tg[f(] + C. [f(]

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 557 h i j k l m n o p f ( ( + cotg [f(] = f ( = arsen [f(] + C. [f(] f ( = artg (f( + C. + [f(] f ( sh [f(] = ch [f(] + C. f ( ch [f(] = sh [f(] + C. f ( ch = th [f(] + C. [f(] f ( sen = cotg(f( + C. [f(] f ( f( = argsh [f(] + C = ln + [f(] + + C. + [f(] f ( f( [f(] = argch [f(] + C = ln + [f(] + C. f ( [f(] = argth (f( + C = ln + f( f( + C. Ejemplo C. Calcular las siguientes integrales: 3 a b cotg b tg. Solución: 3 a = b c cotg = tg = /3 = 3 + 3 + + C = 3 5 3 5 + C. cos = ln sen + C. sen (tg + = (tg + = tg + C.

558 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. C.. Integrales casi inmediatas Se denominan integrales casi inmediatas a aquellas que se pueden reducir fácilmente a una integral inmediata mediante operaciones elementales en la función integrando. Generalmente habrá que multiplicar y dividir por una constante apropiada. k + ( ± a = k [ + ( ] ±a = k /k k + ( ±a k = k artg ( ± a k + C. Mediante un desarrollo análogo al anterior se deducen fácilmente las siguientes fórmulas de integración k ( ± a = ( ± a k argth + C. k ( ± a k ( ± a = arsen + C. k ( ± a k + ( ± a = argsh + C. k ( ± a ( ± a k = argch + C. k Ejemplo C. Calcular las siguientes integrales: a + + b +. Solución: a + + = b = ( + artg + C. 3 3 = + ( + 4 + = ( ( 3 + + ( ( = arsen + C. 3 ( 3

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 559 C..3 Integración por sustitución (cambio de variable Todas las fórmulas que figuran en la tabla de integración inmediata obedecen al mismo esquema y se basan en la regla de la cadena para calcular la derivada de una función compuesta. Más concretamente, si F ( es una primitiva de la función f(, entonces se tiene que f(g(g ( = F (g( + C. En efecto, aplicando la regla de la derivada de una función compuesta se tiene que d[f (g(] = F (g(g ( = f(g(g (. En la práctica se procede de la siguiente forma. Supongamos que nos encontramos una integral que podemos escribirla en la forma f(g(g (. (C.. a Hacemos el cambio de variable t = g( t = g( dt = g (. b Sustituimos en la integral inicial. f(g(g t = g( ( = dt = g ( = f(t dt. c Calculamos una primitiva de la función f(t, f(t dt = F (t + C. d Finalmente, deshacemos el cambio de variable. F (t + C = F (g( + C. Todo el proceso anterior se puede sintetizar en la forma f(g(g ( = t = g( dt = g ( = f(tdt = F (t + C = F (g( + C. Si no es posible epresar nuestra integral en la forma (C.. podemos intentar resolverla efectuando un cambio de variable directo del tipo = ϕ(t donde ϕ(t es una función con derivada continua y tal que ϕ (t 0 t.

560 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. En este caso, f( = = ϕ(t = ϕ (tdt = f(ϕ(t ϕ (t dt. Habremos logrado nuestro objetivo si la integral resultante es más fácil que la integral inicial. Una vez resuelta esta integral se procede a deshacer el cambio de variable despejando la variable t en la igualdad = ϕ(t, es decir, t = ϕ (. Si suponemos que F (t es una primitiva de la función f(ϕ(tϕ (t, todo el proceso anterior se puede escribir como f( = = ϕ(t = ϕ (tdt = f(ϕ(tϕ (tdt = F (t+c = F ( ϕ ( +C. 3 Si nuestra integral inicial se puede epresar en la forma (C.. puede ensayarse también un cambio de variable del tipo g( = ϕ(t donde ϕ(t está en las condiciones dadas en el apartado anterior. En este caso, f(g(g g( = ϕ(t ( = g ( = ϕ (tdt = f(ϕ(tϕ (t dt = F (t + C = F ( ϕ (g( + C. Ejemplo C.3 Calcular las siguientes integrales mediante un cambio de variable: a + b sen ln(tg. Solución: a + = = t = t dt = ln + + C. = tdt t + t = dt = ln t + + C t + b sen ln(tg = t = ln(tg dt = tg cos = sen cos = sen = dt t = ln t + C = ln ln(tg + C.

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 56 C..4 Integración por partes La fórmula de integración por partes se basa en la regla de derivación de un producto de funciones. Si u, v denotan dos funciones derivables, entonces se tiene que d(u v = u dv + v du. Integrando en los dos términos de la epresión anterior y despejando, se obtiene la fórmula u dv = u v v du, que se conoce como fórmula de integración por partes. La fórmula de integración por partes se aplica, en general, cuando la función integrando sea del tipo: polinómica por eponencial, trigonométrica por eponencial,..., haciendo una elección adecuada de u y dv en la integral dada. Obviamente, el método tendrá interés si la integral del segundo miembro resulta más sencilla o del mismo tipo que la integral dada. Ejemplo C.4 Calcular las siguientes integrales mediante integración por partes a 5 ln b e cos c sen. Solución: a 5 ln = u = ln du = / dv = 5 v = 6 /6 = 6 6 ln 6 5 b = 6 6 ln 36 6 + C. e cos = u = e du = e dv = cos v = sen = e sen sen e. Aplicando nuevamente integración por partes en la integral resultante, e sen = u = e du = e dv = sen v = cos = e cos + e cos. Sustituyendo en la integral inicial, se obtiene ( e cos = e sen e cos + e cos = e sen + e cos e cos.

56 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. Finalmente, reagrupando las integrales y despejando, se llega a e cos = e (sen + cos + C. c = sen cos + sen u = sen du = cos = dv = sen v = cos = sen cos + ( sen = sen cos + cos sen Reagrupando las integrales en el primer término y despejando, se obtiene sen = ( sen cos + C. La integral anterior puede también resolverse de manera inmediata a partir de las igualdades trigonométricas sen a = cos a, cos a = + cos a. En nuestro caso, cos sen = = cos = 4 sen + C. C..5 Integración por reducción Consideremos la integral indefinida I n = f n ( que depende de un número natural n. El método de reducción consiste en resolver la integral I n de forma recurrente a partir de las integrales I k, con k < n. En la mayoría de los casos se utilizará para ello integración por partes. Ejemplo C.5 Encontrar una fórmula de recurrencia para la siguiente integral I n = (a + n donde n N y particularizar para n = 3.

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 563 Solución: I n = ( (a + n = a a (a + n = a = a + a (a + n a (a + n = ( a (a + n (a + n = (I a n (a + n ( = ( ] [I a n ( n (a + n ( n I n = ( ] [ a ( n(a + n + + I n. ( n (a + n = = = u = du = a + (a + n dv = (a + n v = ( n (a + n ( n (a + n ( n (a + n ( n (a + n ( n I n. Aplicando la fórmula anterior para n = 3, se tiene I 3 = (a + 3 = [ a 4(a + + 3 ] 4 I I = [ a (a + + ] I I = a + = ( a artg + C. a Ahora basta ir sustituyendo de abajo a arriba y obtenemos I 3. C..6 Integración de funciones racionales En este apartado abordamos el estudio de las integrales del tipo p( q(, donde p( y q( son polinomios en la variable.

564 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. Una operación que aparece con bastante frecuencia en la resolución de este tipo de integrales es la de completar cuadrados. Más concretamente, escribir un polinomio de segundo grado como un cuadrado perfecto más una constante. a + b + c = a = a [ + b a + c a [ ( + b a ] [ ( = a + b a ] b 4ac 4a (a 0. b 4a + c a C..6. Un caso particular de integrales racionales. Dos tipos de integrales racionales que aparecen con mucha frecuencia en la práctica son a + b + c, m + n a + b + c. En la resolución de ambos tipos de integrales se utiliza la técnica de completar cuadrados en el polinomio del denominador. I = a + b + c = [ ( a + b ]. b 4ac a 4a Según que b 4ac sea positivo o negativo dará como resultado un argth o un artg. m + n I = a + b + c. El primer paso en la resolución de esta integral es tratar de obtener en el numerador la derivada del denominador. De esta forma podemos descomponer nuestra integral como suma de una integral inmediata y otra del tipo anterior. ] Ejemplo C.6 Calcular las siguientes integrales racionales: a b 5 + 7 4 c 3 + 5 + 7. Solución: a I = 5 + 7 = [ ( ] 5 = 4 + 3 6 ( 5 = 4 + 3 6

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 565 b ( 4 4 5 artg + C = ( 4 5 artg + C. 3 3 3 3 4 = ( 5 = ( argth + C. 5 5 3 + c I = 5 + 7 = 3 4 + 4 3 4 5 + 7 = 3 4 = 3 ( 4 5 4 5 + 7 + 9/3 5 + 7 = 3 4 5 9 4 + 5 + 7 4 5 + 7 = 3 4 ( 4 5 artg + C. 3 3 = 3 4 ln 5 + 7 + 9 4 4 5 + 5 + 4 3 5 + 7 4 5 5 + 7 + 9 4 I C..6. El caso general. Consideremos la integral p( I = q(, donde p( y q( son polinomios en. Si grd(p( grd(q(, entonces podemos descomponer p( r( = c( + q( q(, donde c( y r( son los polinomios cociente y resto, respectivamente, de la división de p( entre q(. De esta forma se tendrá que [ p( I = q( = c( + r( ] r( = c( + q( q(. La integral c( es inmediata porque c( es un polinomio en. r( Por otro lado, la integral es una integral racional en la que q( grd(r( < grd(q(. Esta integral se resuelve descomponiendo la fracción r(/q( en suma de fracciones algebraicas simples.

566 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. C..6.3 Descomposición de una fracción algebraica en fracciones simples. El primer paso para descomponer la fracción p(/q( en suma de fracciones simples será obtener la descomposición factorial del polinomio q( para lo cual será necesario hallar las raíces de la ecuación q( = 0. Si,,, r son las raíces de q( con multiplicidades n, n,, n r, respectivamente, entonces q( se descompone en la forma q( = A( n ( n ( r n r, siendo A el coeficiente líder del polinomio q(. Además, si un polinomio de coeficientes reales admite la raíz compleja z = α + β i, entonces también tiene como raíz el número complejo conjugado z = α β i. Esto nos va a permitir agrupar los factores correspondientes a raíces complejas y sus conjugadas para obtener factores cuadráticos. Más concretamente, si α + β i es una raíz compleja de q( = 0, de multiplicidad m, entonces α β i también será una raíz compleja de q( de multiplicad m. Entonces en la descomposición factorial de q( aparecerán los factores [ (α + β i] m [ (α β i] m = ( α β i m ( α + β i m, que pueden agruparse en la forma, [( α β i( α + β i] m = [( α + β ] m. De acuerdo con lo anterior, en la descomposición factorial de p( pueden aparecer factores del tipo a ( a, correspondiente a una raíz real simple. b ( a m, correspondiente a una raíz real múltiple (de multiplicidad m. c ( α + β, factor cuadrático correspondiente a una raíz real simple α + β i y su conjugada α β i. d [( α + β ] m, factor cuadrático múltiple correspondiente a una raíz compleja múltiple, α + β i y su conjugada α β i (de multiplicidad m La descomposición en fracciones elementales de p(/q( se hará de la siguiente manera: a Por cada factor del tipo ( a, correspondiente a una raíz real simple, escribiremos una fracción del tipo A a. b Por cada factor del tipo ( a m, correspondiente a una raíz real de multiplicad m, escribiremos m fracciones del tipo A k, k =,,, m. ( a k

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 567 c Por cada factor cuadrático del tipo ( α + β, correspondiente a una raíz compleja simple y su conjugada, escribimos una fracción del tipo M + N ( α + β. d Por cada factor del tipo [( α + β ] m, correspondiente a una raíz compleja y su conjugada de multiplicidad m, escribimos m fracciones del tipo M k + N k, k =,,, m. (( α + β k Por ejemplo, supongamos que la ecuación q( = 0 tiene la raíz real simple = a, la raíz real = b con grado de multiplicidad m y la raíz compleja = α ± β i con orden de multiplicidad n. Entonces q( se descompone en la forma q( = A( a( b m [( α + β ] n, siendo A el coeficiente del término de mayor grado de q(. En este caso, el desarrollo en fracciones simples de r(/q( vendrá dado por r( q( = A a + B b + B ( b + + B m ( b m + M + N ( α + β + M + N [( α + β ] + + M n + N n [( α + β ] n siendo A k, B k, M k, N k coeficientes reales a determinar. Para calcular estos coeficientes se multiplican ambos miembros de la igualdad anterior por q(. A continuación pueden seguirse dos estrategias distintas: Desarrollar la epresión, agrupar e identificar los coeficientes de los términos del mismo grado. Evaluar la igualdad resultante para valores adecuados de la variable. (Por lo general esta técnica resulta más ventajosa que la anterior. Una vez determinados los coeficientes que figuran en la descomposición de p(/q( en suma de fracciones simples, la integral p( q(, se descompone en suma de integrales de los siguientes tipos: a A a = A ln a + C.

568 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. b c d B k ( b k = B k + C, (k >. (k ( b k M + N ( α, resuelta anteriormente. + β M k + N k [( α + β, con k >. ] k Este tipo de integrales puede resolverse por reducción, haciendo previamente el cambio de variable t = ( α/β. Sin embargo, debido a la dificultad que esta técnica conlleva si k >, es aconsejable resolverlas aplicando el método de Hermite, que veremos más adelante. Ejemplo C.7 Resolver las siguientes integrales racionales: + a b 4 + 3 3 + c 6 + 3 + 6 Solución: a 4 + 3. ( Descomposición factorial de q( = 4 + 3, { = 3 4 + 3 = 0 = 4 + 3 = ( 3(. ( Descomposición en fracciones elementales, ( 3( = A 3 + = A( + B( 3 B ( 3( = / 3 /. { = = B = 3 = A { A = / B = / (3 Cálculo de la integral 4 + 3 = ( / 3 / = = ln 3 ln + C. 3

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 569 La integral anterior puede también resolverse mediante la técnica de completar cuadrados en el denominador = 4 + 3 ( = Integración casi inmediata = argth ( + C = ln 3 + C. b c + 3 + 6 ( Descomposición factorial del polinomio q( = 3 + 6, { = 0 3 6 = 0 = = 3 3 6 = ( ( + 3 ( Descomposición en fracciones elementales + 3 6 = + ( ( + 3 = A + B + C + 3 + = A( ( + 3 + B( + 3 + C( + 3 6 = /6 + 3/0 + /5 + 3 (3 Cálculo de la integral ( + /6 3 + 6 = 3 3 + 3 3. = /6 + + 3/0 + /5 + 3 3/0 + { A = /6 B = 3/0 C = /5 /5 + 3 = 6 ln + 3 0 ln ln + 3 + C. 5 ( Como el grado del numerador es igual que el grado del denominador, efectuamos la división y escribimos 3 3 + 3 3 = + 3 + + 3 3 + 3 3. ( Descomponemos el polinomio q( = 3 + 3 3 3 en factores,

570 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. d 3 + 3 3 = 0 { = = = 3/ 3 + 3 3 = ( ( + ( + 3 = ( ( + ( + 3 { 3 + + 3 ( ( + ( + 3 = A + B + + C A = /0 + 3 B = / C = 7/0 (3 Cálculo de la integral 3 3 + 3 3 = + + + 0 + + 4 + 4. ( + 3 + + 3 3 + 3 3 3 + + 3 3 + 3 3 = + ( /0 + / + 7/0 = + 3 + + = 3 + + 3 ( ( + ( + 3 = 7 0 + 3 = + 0 ln + 7 ln + ln + 3 + C. 0 ( Descomposición en factores del polinomio q( = + 4 + 4 + 4 + 4 = 0 = (doble + 4 + 4 = ( +. ( Descomposición en fracciones elementales + ( + = A + + B + = A( + + B = A + (A + B ( + { { = A A = Identificando coeficientes: = A + B B = + ( + = + ( + (3 Cálculo de la integral ( + ( + = + ( + = + = ln + + ( + + + C.

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 57 e 3 + 4 + 3 a Como el grado del numerador es igual que el grado del denominador, efectuamos la división y escribimos, 3 + 5 = 4 + + 4 + 3 + 4 + 3. b Completamos cuadrados en el denominador: + 4 + 3 = ( + + 9. f c Resolvemos la integral 3 ( + 4 + 3 = 4 + = ( 4 + + 4. + 5 + 4 + 3 + 5 + 4 + 3 = 4 + ln + 4 + 3 + 48 3 artg ( + 3 + C. g a Descomposición factorial del polinomio q( = 4 4 = ( = ( + (. b Descomposición en fracciones elementales + 4 = + ( ( + = A + B + c Cálculo de la integral ( + 4 = + + = + + ( + ( + 4. D + = + + E + A = 0 B = D = E = = + ln ln + + C = + ln + + C. a Descomposición en fracciones elementales + ( + ( + 4 = A + B + + D + E + 4

57 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. + = (A + B( + 4 + (D + E( + = (A + D 3 + (B + E + (4A + D + 4B + E 0 = A + D A = /3 0 = B + E B = /3 Identificando coeficientes: = 4A + D D = /3 = 4B + E E = /3 + ( + ( + 4 = 3 + 3 + + 3 3 + 4 b Cálculo de la integral + ( + ( + 4 = ( + 3 + + + 4 + 3 + + 3 + 4 = = 6 ln( + + 3 artg 6 ln( + 4 6 artg ( + C. C..6.4 Método de Hermite. Supongamos que q( tiene las raíces reales = a, = b de grados de multiplicidad r y s respectivamente y las raíces complejas conjugadas = α ± β i y = γ ± δ i de grados de multiplicidad n y m. Entonces q( se puede poner de la forma q( = A( a r ( b s [( α + β ] n [( γ + δ ] m siendo A el coeficiente del término de mayor grado de q(. El método de Hermite consiste en descomponer la fracción r(/q( en la forma r( q( = A a + B b + M + N ( α + β + M + N ( γ + δ + [ d c 0 + c + + c k k ] ( a r ( b s [( α + β ] n [( γ + δ ] m siendo k una unidad menos que el grado del denominador que figura dentro del corchete. Para calcular los coeficientes A, B, M, N, M, N y c j, j =,,, k, basta derivar la epresión que está dentro del corchete, multiplicar ambos miembros de la igualdad por q(, desarrollar e identificar coeficientes de términos del mismo grado.

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 573 Ejemplo C.8 Calcular las siguientes integrales: ( + a, b ( 6 ( + + 5. Solución: ( + a ( 6 En el denominador aparece el factor ( 6 correspondiente a una raíz real de multiplicidad 6. En este caso, la descomposición de Hermite será, 4 + + ( 6 = A + d [ D 4 + E 3 + F ] + G + H ( 5 Derivando se obtiene 4 + + ( 6 = A + (4D3 + 3E + F + G( 5( 4 + E 3 + F + G+H ( 6 Multiplicando ambos miembros de la igualdad por ( 6, 4 + + = A( 5 + (4D 3 + 3E + F + G( 5(D 4 + E 3 + F + G + H Desarrollando, igualando coeficientes y resolviendo el sistema, se obtiene A = 0, D =, E =, F = 8/3, G = 4/3, H = 7/5. b Luego, 4 + + ( 6 = ( + + 5. d [ 4 + 3 + 8 3 + 4 3 7 ] 5 ( 5 = 4 + 3 + 8 3 + 4 3 7 5 ( 5 + C. En el denominador aparece un factor cuadrático doble ( + + 5 = [ ( + + ], correspondiente a la raíz compleja, z = + i, y su conjugada, z = i, de multiplicidad. La descomposición de Hermite nos proporciona [( + + ] = A + B ( + + + d [ ] D + E ( + +

574 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. Derivando e identificando coeficientes se obtiene: A = 0, B = 8, D = 8, E = 8. Luego, ( + + 5 = [( + + ] = 8 ( + + + 8 = 8 artg( + + + 8( + + 5 + C d [ + ] ( + + C..7 Integración de funciones trigonométricas C..7. Caso general. Las integrales del tipo R(sen, cos, donde R es una función racional, siempre se reducen a una integral racional con el cambio de variable t = tg (/. En efecto, dt = artg t = artg t = + t ( ( sen = sen cos = sen ( ( cos cos ( ( + sen = tg ( + tg ( = t + t ( cos = cos ( sen ( = cos sen ( cos ( ( + sen = ( tg + tg ( = t + t Ejemplo C.9 + sen = tg ( = t = + t dt = t + + t dt t + 4t + = = resolviendo como integral racional = 3 ln t+ 3 3 ln t++ 3 +C = ( ln tg + 3 ( ln tg + + 3 + C. 3 3

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 575 C..7. Casos particulares. En determinado casos la integral, R(sen, cos, puede resolverse mediante otros cambios de variable que también reducen la integral a una de tipo racional y, generalmente, más sencilla que la que se obtiene con el cambio anterior.. Si R es una función impar en sen (R( sen, cos = R(sen, cos, hacemos el cambio cos = t.. Si R es una función impar en cos (R(sen, cos = R(sen, cos, hacemos el cambio sen = t. 3. Si R es una función par en sen y cos, R( sen, cos = R(sen, cos, hacemos el cambio tg = t. En este caso, se tiene = artg t, = dt + t, tg sen = + tg = t + t, cos = + tg =. + t C..7.3 Integrales del tipo. sen a cos b, sen a sen b, cos a cos b. Se transforman en integrales inmediatas mediante las fórmulas sen A sen B = [cos(a B cos(a + B] cos A cos B = [cos(a B + cos(a + B] sen A cos B = [sen(a B + sen(a + B] Ejemplo C.0 sen + cos + cos. Dado que la función subintegral es impar en sen, hacemos el cambio de varia-

576 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. ble cos = t. sen + cos + cos = cos = t sen = dt Resolviendo como integral racional = 3 artg 3 artg cos + sen. ( cos + 3 + C. = dt + t + t = ( t + + C = 3 Dado que la función subintegral es par en sen y cos, hacemos el cambio de variable tg = t. cos + sen = tg = t = + t dt + t + t = dt ( + t ( + t = + t Integral racional = artg ( t artg t + C = artg ( tg + C. En los dos ejemplos anteriores también podíamos haber efectuado el cambio canónico para integrales trigonométricas t = tg (. Sin embargo, puede comprobarse que mediante este cambio la integral racional resultante es bastante más complicada. sen 5 cos 6 = (sen sen = sen sen = cos + cos 4 sen. cos + C. Esta integral puede abordarse por diferentes métodos:. Mediante el cambio canónico, t = tg (.. Dado que la función subintegral es par en sen y cos, podemos efectuar el cambio t = tg. 3. Método alternativo (Idea feliz cos 4 sen = sen ( sen sen + sen 4 sen = sen = + sen = cotg + 4 sen + C = cotg 3 sen + C. 4

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 577 C..8 Integración de funciones hiperbólicas C..8. El caso general. Las integrales del tipo R( sh, ch con R una función racional, se resuelven de manera análoga a las de la sección anterior. Mediante el cambio de variable, t = th (, se reducen a una integral de tipo racional. Desarrollando este cambio se tiene = argth t = dt t + t, sh =, ch = t t t C..8. Casos particulares. En algunos casos particulares hay otros cambios de variable que también reducen la integral una de tipo racional, más sencilla que la que se obtiene con el cambio estándar.. Si R es una función impar en sh, R( sh, ch = R( sh, ch, hacemos el cambio ch = t.. Si R es una función impar en ch, R( sh, ch = R( sh, ch, hacemos el cambio sh = t. 3. Si R es una función par en sh y ch, R( sh, ch = R( sh, ch, hacemos el cambio th = t. En este caso, se tiene = argth t = dt t, sh = t t, ch = t. C..9 Integración de funciones irracionales C..9. Primer caso particular. I = a + b + c. Completando cuadrados en el radicando, se obtiene I = a + b + c = [ ( a + b ]. a b 4ac 4a Ahora, según el signo de a y de b 4ac, la integral anterior dará lugar a un arsen, argsh ó argch. Ejemplo C. 5 + 7 = 3 6 + ( = ( 4 5 argsh + C. 5 3 4

578 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. = + = ( = arsen + C. 3 ( 3 ( ( 3 = argch + C. 3 C..9. Segundo caso particular. I = m + n a + b + c El primer paso en la resolución de esta integral será tratar de obtener en el numerador la derivada de la función subradical. m + n a + b + c = m a m a a + b a + b + c + m ( an a m a a + b + c + donde la integral I es del tipo anterior. Ejemplo C. 3 + 5 + 7 = 3 4 3 4 5 5 + 7 + 4 9 3 5 + 7 + 9 4 argsh a + an m + b b = a + b + c m b ( n mb I, a 4 + 4 3 5 + 7 = 3 4 5 + 7 = ( 4 5 3 + C. a + b + c = 4 5 + 5 + 4 3 5 + 7 = C..9.3 Integrales irracionales simples. Se trata de integrales del tipo R( h/k, s/t,, u/v siendo R una función racional de h/k, s/t,, u/v. Se transforman en una integral racional haciendo = t m, donde m = MCM(k, t,, v.

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 579 Ejemplo C.3 6( 3 + = / 6( /3 + = t6 = = 6 t 5 dt = t 3 6(t + 6t5 dt = t 8 t 5 t + dt = (t 6 t 4 t 3 + t + t t + t + + t dt = t7 7 t5 5 t4 4 + t3 3 + t t ln( + t + artg t + C = 7 7/6 5 5/6 4 /3 + 3 / + /3 /6 ln(+/3 + artg ( /6 +C. C..9.4 Integrales irracionales lineales. Son aquellas del tipo [ ( a + b h/k ( a + b s/t ( ] a + b u/v R,,,,, c + d c + d c + d donde R una función racional. Se transforman en integrales racionales mediante el cambio de variable (a + b/(c + d = t m, donde m = MCM(k, t,, v. Ejemplo C.4 + = t4 t 3 = + 4 + = 4t 3 = dt t t dt = ( t + + ( dt = t t + t + ln t + C = + + 4 + + ln ( 4 + + C. C..9.5 Integrales irracionales binomias. Son integrales del tipo r (a + b s p, siendo los eponentes r, s, p números racionales y los coeficientes a, b números reales. Mediante el cambio de variable, t = s, la integral anterior se convierte en la integral (a + b t p t q dt, con p, q números racionales. Dicha integral puede reducirse a una integral racional en los siguientes casos:

580 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. Si p es entero, q = m/n, mediante el cambio u = t /n. Si q es entero y p = m/n, mediante el cambio u = (a + bt /n. 3 Si p + q es entero, haciendo el cambio z = /t, se reduce al caso anterior. Ejemplo C.5 3 La integral ( 3, puede escribirse en la forma 7/ ( + 3. Se trata de una integral binomia. Realizamos el cambio de variable t = 3, es decir, = t /3, con el que se obtiene 7/ ( + 3 = = t /3 = 3 t /3 = 3 t / ( + t dt Puesto que p = es entero y q = /, hacemos el cambio u = t /, 3 t / ( + t dt = u = t / du = t / = 3 u (u du = ( 6 u + (u + u + + (u + du = ( L u 6 u + u + C = u + 6 ln 3 3 + 3 3( 3 + C. C..9.6 Integrales irracionales del tipo R (, ±a ±. Estas integrales se pueden reducir a una integral del tipo R (sen t, cos tdt o R ( sh t, ch tdt, ya estudiadas con anterioridad mediante los cambios Para R (, a, cambio de variable = a cos t ó = a sen t. Para 3 Para R (, a +, cambio de variable = a tg t ó = a sh t. R (, a, cambio de variable = a/ cos t ó = a ch t.

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 58 Ejemplo C.6 3 9 = 9 cos t cos 3 = = 3 sen t = t 9 3 sen t cos t dt 7 cos t dt = cos 3 t sen t dt = 3 6 (t sen t cos t + C = ( 6 arsen 9 3 + C. 9 = = 3cos t sen t u = sen t = 3 dt = = 3 sen t dt cos t du = cos t dt = u ( 3 u du = 3 + / u + / du = u + 3u + 3 ln u 3 ln u + + C = ( 9 3 + 9 3 ln + C. C..9.7 Integrales irracionales del tipo ( R, a + b + c. Pueden abordarse diferentes métodos de resolución para este tipo de integrales. El cambio t = + b la reduce a uno de los tipos de integral estudiados a anteriormente.. Los cambios de variable de Euler la transforman en una integral racional (b. Si a > 0, con el cambio a + b + c = a + t (b. Si c > 0, con el cambio a + b + c = t + c (b.3 Si α R es raíz de la ecuación a + b + c = 0, con el cambio a + b + c = t( α. Ejemplo C.7 + + + +. Hacemos el cambio de variable + + = + t. Despejando la variable,

58 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. se tiene que = t t, = t + t ( t dt Sustituyendo en la integral + (t + + + = t( t( t + t ( t(t ( t dt = t 3 + t ( t ( t dt = t + 3/4 t + 3/4 ( t dt = t 4 3 8 ln t 3/8 t + C. Deshaciendo el cambio de variable, resulta finalmente, + + + + = + + + + 4 3 8 ln 3 + + + 8( + + + + C. C..9.8 Casos particulares. A partir de la integral I = a + b + c ya estudiada, se resuelven más fácilmente los siguientes casos particulares p(, donde p( es un polinomio de grado n. a + b + c Se resuelven haciendo la siguiente descomposición (método alemán p( a + b + c = q( a + b + c + D a + b + c, donde q( un polinomio de coeficientes indeterminados de grado n y D otra constante a determinar. Para calcular los coeficientes que figuran en la descomposición anterior derivamos ambos miembros de la igualdad, multiplicamos por a + b + c, agrupamos los términos e identificamos los coeficientes de los términos del mismo grado. Ejemplo C.8 3 + 4 + 7 + 9 + +

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 583 Aplicando el método alemán, la integral se descompone en la forma 3 +4 +7+9 =(E +F +G ++ + D + + ++. Derivando ambos miembros se tiene 3 + 4 + 7 + 9 = (E + F + + + + + (E + + F + G + + + D + + Multiplicando ambos miembros de la igualdad por + +, 3 +4 +7+9 = (E+F ( +++ (E +F +G( ++D. Desarrollando e identificando coeficientes, se obtiene E =, F =, G = 3, D = 5. De esta forma, 3 + 4 + 7 + 9 = + + ( + 3 + + + 5 ( + 3 + + 5 arsen + + = ( (r + s n, donde n N y r, s R. a + b + c 3 + C. Haciendo el cambio r + s = t resulta una integral del tipo anterior. 3 a + b + c Multiplicando y dividiendo por a + b + c se transforma en una del primer tipo.

PROBLEMAS PROPUESTOS Resolver las siguientes integrales (0 (03 (05 (07 (09 ( (3 (5 (7 (9 ( 3 e arsen (0 + 8 (04 ln e artg (06 e sen 3 sen e sen 7 (08 I p =, p R+ ep n e (0 sen n 8 00 tg n ( 6 + 5 3 78 + 3 (4 6 + 9 + + 5 9 + 9 3 4 3 3 (6 + + 4 3 3 (8 + 9 9 6 + 3 5 + 3 3 (0 + ( 3 3 + 6 ( + 4 ( + sen 585

586 PROBLEMAS PROPUESTOS (3 (5 (7 (9 (3 4 sen cos 3 (4 sen + cos (6 tg 3 (8 3 (30 4 9 cos sen 5 sen 3 3 + 4