MOMENTO ANGULAR Y TORCAS COMO VECTORES OBJETIVOS: Identificar la torca y el momento angular como magnitudes vectoriales. Examinar las propiedades matemáticas del producto cruz y algunas aplicaciones. Describir la relación entre torca y momento angular. GENERALIDADES: A continuación discutiremos la naturaleza vectorial de cantidades rotacionales y definiremos un nuevo vector denominado momento angular que es el análogo rotacional de la cantidad de movimiento lineal (también llamado ímpetu o momentum lineal). El momento angular y la torca son vectores especiales porque son el producto de otros dos vectores (un vector de posición y un vector fuerza o un vector cantidad de movimiento). Para describirlos necesitamos manejar un nuevo producto entre vectores que es el producto vectorial o producto cruz. Estudiaremos la relación entre la torca y el momento angular así como las bases teóricas de la ley de la conservación del momento angular. ACTIVIDAD 1: Torcas cuando la fuerza y el vector de posición no son perpendiculares. Material: una regla con agujeros un soporte universal una varilla una pinza para sostener la varilla al soporte universal una regla o flexómetro una barra o regla agujereada dos dinamómetros idénticos 1
fig. 1 Dispositivo para la actividad 1. El soporte universal, la varilla y la nuez se omitieron por claridad del dibujo. Procedimiento: 1. Monte el dispositivo como lo indica la figura 1. 2. Supón que jalas del dinamómetro cuando su extremo opuesto está fijo en uno de los agujeros de la barra, de tal manera que la fuerza y el brazo de giro sean perpendiculares. Ahora supón que lo haces a un ángulo distinto a 90º. La magnitud de la fuerza (tu jalón) será menor, mayor o igual que la fuerza necesaria a 90º? Haz una predicción y explica el por qué de tu respuesta 3. Debes determinar la relación que existe entre las fuerzas a 90º y las fuerzas a otros ángulos. Llena la tabla que se presenta a continuación. Sugerencia: Encuentra una función del ángulo φ tal que multiplicando los valores medidos para F y r, se obtenga una torca igual en magnitud a la torca que logra el equilibrio. Tabla 1. Relación entre r, F y φ. φ r(m) F(N) cosφ senφ rf (función) (Nm) 4. Cuál es la relación matemática entre F, r y φ? La actividad que acabas de realizar te dio una idea de qué le pasa a la magnitud de la torca cuando la fuerza con la que jalaste (F) no es perpendicular al vector r, tomado a partir del eje de rotación. Ahora analizarás cuál es la manera de definir la dirección del giro resultante al aplicar una torca que no está balanceada. 2
ACTIVIDAD 2: Material: un disco o una rueda de bicicleta cinta adhesiva Toma el disco o la rueda de bicicleta y pégale un pedazo de cinta adhesiva, colócate tú y un compañero de cada lado del disco o rueda según se indica en la figura 2, la cinta adhesiva no es más que una partícula que se está moviendo en una circunferencia con una velocidad angular que tiene una magnitud asociada ω. Suponiendo que tú fueras el observador 1, cómo dirías que se está moviendo la partícula, en sentido horario o antihorario? fig.2. Diagrama para la actvidad 2. Dos compañeros de clase observan la rotación de la cinta adhesiva en el disco. Ahora contesta la misma pregunta pero colocándote en el lugar del observador 2. Opinas que la designación de sentido horario o antihorario es una buena manera de determinar la dirección asociada con ω de una manera no ambigua? Por qué sí o por qué no? Podrías idear una manera mejor de asignar un signo menos o más para la velocidad angular? Consideraciones similares deben tomarse en cuenta para asignarle a la torca una dirección, podrías idear una regla para asignarle un signo menos o más a la torca?. Describe tu regla. Discusión del producto vectorial o producto cruz: Una manera de describir cambios positivos y negativos en un ángulo es asociarle un vector positivo o negativo que sea paralelo al eje de rotación y usando una regla arbitraria pero aceptada como la regla de la mano derecha. Usando vectores podemos describir unívocamente rotaciones de diferentes sistemas de cuerpos que rotan en diferentes planos alrededor de diferentes ejes. Usando esta reglita de asignación de dirección para los vectores, se puede describir matemáticamente la relación entre la velocidad angular y la torca a través del denominado producto vectorial 3
o producto cruz. Este producto es un tipo especial de multiplicación de vectores que inventaron hace años unos matemáticos que nunca en su vida habían oído hablar de velocidad angular o torca. En tu libro de texto encontrarás las propiedades peculiares del producto vectorial y su relación con la velocidad angular y la torca. El resultado de un producto cruz o producto vectorial es otro vector, las propiedades claves del producto cruz de los vectores r y F son: 1) La magnitud del producto cruz está dada por rfsen θ donde θ es el ángulo entre los dos vectores. Nota que el término Fsen θ representa la componente de F a lo largo de la línea perpendicular al vector r. 2) El producto cruz es un vector que se encuentra en la dirección perpendicular a los dos vectores r y F, va dirigido hacia arriba si F provoca una rotación antihoraria y va dirigido hacia abajo si F provoca una rotación horaria. Las relaciones espaciales entre r, F y τ son difíciles de visualizar. En la próxima actividad podrás conectar entre sí varillas delgados de varios tamaños, en el ángulo que tu escojas y así simularás algunos productos vectoriales. ACTIVIDAD 3: Material: Varillas y conectores (sirven palillos de dientes y bolitas de plastilina) Un transportador 1) Toma dos varillas de longitudes diferentes y conéctalas a un ángulo arbitrario, el que tu quieras. Considera que una de las varillas es el vector r y la otra, el vector F. Mide el ángulo θ y la longitud de r y F. Calcula la magnitud del producto cruz como rfsenθ (en unidades del SI). NOTA: Asume que la magnitud de la fuerza está representada por la longitud de la varilla. τ = magnitud de r x F = rfsenθ = 2) Conecta la varilla que representará el vector producto cruz de manera que sea perpendicular al plano determinado por r y F, cuidando que su longitud sea rfsenθ. En el espacio que sigue bosqueja la localización de F relativa a r, muestra la dirección y magnitud de la torca resultante τ. Finalmente, muestra tu sistema a tu instructor para que verifique su validez. 3) Calcula las torcas para los casos de las figuras (3a) y (3b). En cada caso mide la longitud del vector r en metros y asume que la longitud del vector F en cm representa la fuerza en Newtons. Calcula la magnitud de las torcas. Traza el símbolo apropiado para indicar la dirección de la torca siguiendo la siguiente convención: (x) = flecha se dirige hacia la página, perpendicularmente a ella. (.) = flecha se dirige fuera de la página, perpendicularmente a ella. fig. 3a. Calcula la torca para este arreglo r = m F = N fig. 3b. Calcula la torca para este arreglo r = m F = N 4
τ = Nm τ = Nm Cantidad de movimiento y su análogo rotacional Una vez definidas las propiedades del producto cruz, se puede obtener otro vector rotacional fácilmente, el de momento angular relativo a un eje de rotación. Actividad 4: (a) Escribe el análogo rotacional de las cantidades lineales mostradas. NOTA: Escribe la definición formal en los espacios marcados con *. Por ejemplo, el análogo rotacional para l a velocidad es la velocidad angular ω y la definición de su magnitud es w = dφ/dt en lugar de v/r. Tabla 2. Análogos rotaciones de magnitudes lineales. Magnitud lineal Análogo rotacional Definición x(posición) v(velocidad) * a(aceleración) * F(Fuerza) * m(masa) * F=ma (b) Cuál crees que será la definición de la cantidad rotacional cantidad de movimiento angular (o simplemente momento angular) en términos de los vectores r y p? Sugerencia: Cuál es la definición matemática de torca) Nota que torca es a momento angular como fuerza es a cantidad de movimiento lineal. (c) Cuáles son las cantidades lineales análogas a I y ω. Esperas que el momento angular sea un vector?. Explica. (d) Resume tus conclusiones en la tabla que sigue: Tabla 3. Análogo rotacional de ecuaciones lineales. Ecuación lineal Ecuación rotacional p = mv (definición en términos de r y p) L= p = mv (análogo I,ω) L= Calculando el momento angular de una partícula: Usando la definición de momento angular puedes calcular el momento angular de una partícula en situaciones particulares. 5
Actividad 5: (a) Cuál es la magnitud, L, del vector momento angular, L, de una partícula de masa m que se mueve en un círculo de radio r con rapidez v como se muestra en la figura 4?. Usa la regla de la mano derecha para determinar si el momento angular apunta hacia adentro de la página o hacia fuera de ella. fig. 4. Partícula de masa m que gira en una circunferencia de radio r con rapidez v. (b) Cuál es la magnitud, L, del vector momento angular, L, de una partícula de masa m que se mueve paralela al eje x, a una distancia d de éste con una velocidad v cuando está en el punto 1 de la figura 5. Exprese el resultado en términos de m,v y d?. NOTA: La respuesta no es cero, nota que el vector de posición cambia con el tiempo. Tiene magnitud d en el punto 1 y su magnitud incrementó en la posición 2 y eventualmente se va a infinito. Al mismo tiempo, el ángulo entre r y el eje x se hace cada vez más pequeño. fig. 5. Partícula de masa m que se mueve a lo largo del eje x. (c) El momento angular de esta partícula, con respecto al eje x, es constante? Usa la definición del momento angular como el producto cruz para demostrar que L de la partícula en la posición 2 es la misma que en la posición 1. Usa la regla de la mano derecha para indicar si la dirección de L es hacia dentro o hacia fuera del papel. Calculando el momento angular de cuerpos rígidos También puedes calcular el momento angular de un cuerpo rígido que gira con respecto a un eje fijo en términos del momento de inercia y de la velocidad angular. Actividad 6: Momento angular de un cuerpo rígido Para realizar los dos cálculos que se te piden a continuación tendrás que estimar dos cantidades. Qué necesitas saber en cada caso?; si necesitas ayuda pregúntale a tu instructor. 6
(a) Muestra que la magnitud aproximada del momento angular de la tierra alrededor del sol es 2.7x10 40 Kg m 2 /s. Indica su dirección basado en el diagrama de la figura 6. fig. 6. La tierra girando con rapidez v alrededor del sol. El dibujo no está a escala. (b) Muestra que la magnitud aproximada del momento angular del sol respecto a su propio eje es 1.1x10 42 Kg m 2 /s. Asume que una partícula que se encuentra en el ecuador del sol tiene un periodo de rotación de 25 días. Indica en la figura 7 la dirección del vector momento angular. 7
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