APLICACIÓN DEL ENFOQUE MIDAS A LA PREDICCIÓN DE LA VOLATILIDAD DEL IBEX-35 Albert Fita Tesina CEMFI No. 0601 Mayo 2006 CEMFI Casado del Alisal 5; 28014 Madrid Tel. (34) 914 290 551. Fax (34) 914 291 056 Internet: www.cemfi.es Este trabajo constituye una versión revisada de la tesina presentada al completar el Programa de Estudios de Postgrado 2003-2005 del Centro de Estudios Monetarios y Financieros (CEMFI). Agradecer en primer lugar a Roberto Blanco su apoyo y dedicación como Director de tesina. También quiero agradecer a Sociedad de Bolsas S.A. su colaboración al proporcionarme la base de datos del IBEX-35. Asimismo, agradecer a Enrique Sentana, F. Javier Mencía y Javier Suárez sus interesantes comentarios. Por último, quiero aprovechar estas líneas para manifestar mi gratitud a mi familia, y en especial a mis padres, por estar siempre ahí.
Tesina CEMFI No. 0601 Mayo 2006 APLICACIÓN DEL ENFOQUE MIDAS A LA PREDICCIÓN DE LA VOLATILIDAD DEL IBEX-35 Resumen En este trabajo se evalúa la capacidad relativa del enfoque Mixed Data Sampling (MIDAS) en la predicción de la volatilidad de la rentabilidad del IBEX-35. MIDAS permite conjugar la explotación de información a una frecuencia elevada con la predicción directa en el horizonte de interés. Las distintas especificaciones empleadas se diferencian en la variable explicativa que las caracteriza (rentabilidades al cuadrado rendimientos absolutos, volatilidad realizada, realized power o rango diario) y en el uso de información diaria o intradía (15 minutos). Para el caso de la rentabilidad del índice bursátil español hay evidencia a favor de la superioridad del enfoque MIDAS, pero este resultado no es robusto a la existencia de cambios estructurales. Realized power diario se erige como el mejor predictor de la volatilidad futura. Sorprendentemente, la utilización directa de información intradía no mejor las predicciones de la volatilidad. Finalmente, retardos diarios hasta dos meses son suficientes para capturar la persistencia del proceso de volatilidad. Albert Fitá Lladó Grupo Santander albert.fita@gmail.com
1 Introducción Una característica especial de la volatilidad condicional de cualquier activo es que no es directamente observable. Sin embargo, se trata de una variable clave en distintos ámbitos como la valoración de derivados, la medición del riesgo y la definición de estrategias de cobertura. Esto hace que sea tan importante y se dediquen tantos esfuerzos en tratar de modelizar correctamente esta variable. Desde principios de la década de los ochenta, los tradicionales modelos de volatilidad condicional, de entre los que destacan los diversos integrantes de la familia GARCH, han sido capaces de capturar con éxito la dinámica de la varianza de la rentabilidad utilizando simples modelos paramétricos (estos modelos estiman la varianza futura basándose en un polinomio de retardos de rentabilidades al cuadrado y explotando para ello información diaria). Ésta ha sido, desde entonces, una área de investigación muy dinámica y en constante evolución. Primero, Ding et al. (1993), entre otros, plantean la utilización de variables distintas a las rentabilidades al cuadrado como, por ejemplo, los rendimientos absolutos o el rango diario (diferencia entre la cotización máxima y mínima) en un contexto autoregresivo. A continuación, surge una nueva y amplia línea de investigación que plantea el desarrollo de modelos empíricos basados en el concepto de volatilidad realizada, una medida de volatilidad construida a partir de rentabilidades intradía con una frecuencia muestral elevada. Todas estas metodologías sugieren distintas maneras de predecir la volatilidad. En este contexto, parece natural preguntarse si alguno de estos modelos domina al resto o si existen beneficios reales de explotar directamente información intradía. Recientemente, esta incesante evolución ha experimentado un nuevo episodio. Se trata de un nuevo enfoque conocido en la literatura como Mixed Data Sampling (MI- DAS de ahora en adelante). Las atractivas propiedades de este modelo de regresión permiten dar respuesta a las preguntas que se planteaban, al hacer posible el estudio 1
de la capacidad predictiva de varios modelos de volatilidad en un mismo contexto. MIDAS presenta, básicamente, tres características distintivas: (i) la utilización simultánea de variables a distintas frecuencias muestrales; (ii) la definición de una estructura de pesos restringida que permite introducir mucho pasado sin incrementar el número de parámetros a estimar; y (iii) la oportunidad de utilizar distintos regresores para explicar la volatilidad futura. La especificación de estas regresiones combina desarrollos recientes relacionados con la estimación de la volatilidad y no tan recientes como los modelos de retardos distribuidos. El principal objetivo de este trabajo es contrastar la hipotética superioridad del enfoque MIDAS en la predicción de la volatilidad de la rentabilidad del IBEX-35. Para ello se dispone de la cotización cada quince minutos del índice bursátil desde septiembre de 1996 hasta diciembre de 2004. En el artículo de referencia de Ghysels, Santa Clara y Valkanov (GSV; 2004a) se aporta, precisamente, evidencia en favor de la superioridad de este enfoque para la predicción de la volatilidad del índice americano Dow Jones. Las distintas especificaciones MIDAS que se plantean difieren en el regresor utilizado y todas ellas predicen la varianza condicional futura, medida como los incrementos en la variación cuadrática (o su transformación logarítmica), para los horizontes de una semana a un mes. Las predicciones de estas especificaciones se comparan con las de un modelo de referencia previamente seleccionado, con el fin de evaluar la calidad relativa de MIDAS. Los resultados obtenidos, en general, coinciden con los del artículo GSV. El comportamiento del enfoque MIDAS dentro de muestra es claramente superior. El regresor diario realized power variation (sumatorio de rentalidades intradía absolutas) se revela como el mejor predictor de la volatilidad futura a cualquier horizonte. La calidad predictiva relativa de MIDAS mejora con el horizonte de predicción. Sin embargo, estos resultados no se extienden inicialmente al contexto fuera de muestra. A pesar de esto, se aportan argumentos que demuestran que no se trata de un resultado general sino más bien fruto de las particularidades de los datos. El modelo 2
MIDAS parece no adaptarse de forma adecuada a la existencia de cambios estructurales en la variable a predecir. Por último, la explotación directa de información intradía sorprendentemente no mejora las predicciones de los regresores diarios. La estructura del trabajo es la siguiente. En la Sección 2 se presenta detalladamente la metodología utilizada, haciendo énfasis en la descripción de los modelos de volatilidad MIDAS. En la Sección 3 se describen los datos disponibles y sus características. En la Sección 4 se resumen y discuten los principales resultados empíricos. Y en la Sección 5 se presentan las conclusiones. 2 Metodología En un contexto en el que se va a explotar de forma recurrente información a distintas frecuencias muestrales es muy importante definir de una forma precisa y comprensible la notación que se va a utilizar. A lo largo de todo el trabajo el índice temporal t estará asociado a la frecuencia diaria. En este sentido, se define la rentabilidad diaria como r t+1,t = P t+1 P t,dondep hace referencia al logaritmo del precio o la cotización de cierre del índice de interés. Cuando la información esté recogida a una frecuencia mayor, m observaciones en un día, se denotará la rentabilidad en ese intervalo como r t+1/m,t = P t+1/m P t. Por ejemplo, en este estudio se dispone de 36 cotizaciones al día y se escribe r t+1/36,t = P t+1/36 P t para hacer referencia a la rentabilidad cierre-apertura. El objetivo es predecir una medida de volatilidad a un determinado horizonte futuro H, V t+h,t. 1 Los horizontes de interés van desde una semana (H =5)aunmes (H =20). Estos suelen ser los horizontes relevantes para la valoración de opciones, la gestión de carteras y la definición de estrategias de cobertura. Como una primera medida de volatilidad para el periodo de t a t+h, se consideran los incrementos en la 1 En muchas ocasiones se utiliza por defecto la palabra volatilidad como concepto, aunque a nivel empírico puede que la variable de interés sea otra relacionada pero no precisamente la volatilidad. 3
variación cuadrática del proceso de rentabilidad Q t+h,t. De esta manera, el análisis va a ser directamente comparable con la mayor parte de la literatura existente. La variación cuadrática no se observa directamente pero se puede medir con error de discretización. Una posible aproximación es la suma de rentabilidades (futuras) al cuadrado, P h i Hm 2, j=1 Pt+(j+1)/m P t+j/m conocida como volatilidad realizada, Q e t+h,t. (Hm) Dicha expresión general está sujeta, en este caso, a dos consideraciones importantes que van a alterar su composición final. La primera se refiere a la última rentabilidad de cada día, formada a partir de la cotización de cierre del día t y la cotización de apertura del día t +1. Este rendimiento, a diferencia del resto, no corresponde a un intervalo de quince minutos. Un análisis detallado de estas rentabilidades intradía demuestra que incorporan mucho ruido y aconseja prescindir de ellas, tal y como es habitual en la literatura relacionada. Esta decisión provoca la evolución de la expresión inicial en otra, todavía no definitiva,yquevaaestarformadapor Hm H rentabilidades. La segunda consideración es consecuencia directa de la primera. La eliminación para cada día de la última rentabilidad intradía implica que la aproximación a la variación cuadrática quede restringida al período en que el mercado permanece abierto. Para corregir este efecto y conseguir una medida de volatilidad para el día completo se ha aplicado a esa suma de rentabilidades al cuadrado un factor de corrección δ b = P n t=1 (r t+1,t r) 2 / P n t=1 RVt,dondeRVt es esa medida intermedia compuesta por Hm H rentabilidades y r = n 1 P n t=1 r t+1,t.a parte de los incrementos en la variación cuadrática, también se considera log( Q e(hm) t+h,t) como variable de interés a predecir. Anteriores trabajos, como Andersen et al. (2003), han observado que predecir la transformación logarítmica produce mejores estimaciones de la varianza dentro y fuera de muestra, al poner ésta menos peso en lasrealizacionesextremasdelavariacióncuadrática. 4
2.1 La especificación MIDAS Un modelo de volatilidad diario MIDAS es un modelo de regresión: V (Hm) X t+h,t = µ H + φ H kmax k=0 b H (k, θ) f X (m) t k,t k 1 + ε Ht (1.1) donde V (Hm) t+h,t representa una medida de volatilidad (futura) como Q e(hm) t+h,t o log( Q e t+h,t). (Hm) Esta especificación (1.1) tiene tres características distintivas en relación a otros modelos de volatilidad condicional. Primera, la medida de volatilidad de la izquierda, V (Hm) t+h,t, y las variables del lado derecho de la especificación, X f t k,t k 1, (m) pueden presentar frecuencias muestrales distintas. Segunda, los parámetros de los retardos b H se restringen para que sean todos ellos función de θ (vector de pequeñas dimensiones), permitiendo así que la incorporación de retardos adicionales (historia) no se traduzca en una proliferación de los coeficientes a estimar. Y tercera, las regresiones MIDAS no están restringidas a explotar esquemas autoregresivos, con lo que fx (m) t k,t k 1 no está necesariamente relacionado con retardos de la variable dependiente. En este sentido, los modelos MIDAS ofrecen un grado de libertad adicional en la búsqueda del mejor predictor de la varianza cuadrática dentro del conjunto de posibles medidas de las fluctuaciones pasadas de los rendimientos. 2.1.1 Variables a distintas frecuencias La variable volatilidad es un buen ejemplo de un fenómeno bastante habitual en la práctica, en el que la información relevante está disponible a una frecuencia muestral altamientrasquelafrecuenciadelavariabledeinterésesbaja.adiferenciadelos clásicos modelos autoregresivos, la naturaleza del modelo MIDAS permite conjugar la explotación de la información disponible con la predicción directa en el horizonte de interés, sin necesidad de llevar a cabo procesos de agregación. En la ecuación 5
(1.1), la volatilidad se mide a una frecuencia de una, dos, tres semanas y a una frecuencia mensual, mientras que las variables explicativas X f(m) t k,t k 1 están disponibles a frecuencias más altas. Por ejemplo, se va a utilizar información diaria para predecir directamente la volatilidad a un horizonte de un mes (H =20). Concretamente, la volatilidad de la rentabilidad para el próximo mes de julio por ejemplo (desde el cierre de mercado el último día de junio hasta el cierre de mercado el último día de julio) se va a predecir con la información diaria disponible hasta el último día de junio. También se puede utilizar información horaria o cada quince minutos para realizar esa misma predicción. Por lo tanto, este enfoque permite no sólo predecir la volatilidad con información a distintas frecuencias, sino también comparar esas predicciones y comprobar así si los conocidos argumentos asintóticos de continuidad de Merton (1980) se sostienen en la práctica. 2.1.2 Restricción sobre los coeficientes de los retardos El proceso que define la volatilidad es un proceso persistente, con mucha memoria yenelquex f(m) t k,t k 1 distantes en el tiempo es probable que tengan un impacto significativo en la volatilidad actual. En este sentido, otra característica muy importante de la especificación (1.1) es que los coeficientes de los retardos de la variable explicativa b H están restringidos. Esto hace factible explotar toda la información pasada disponible al no implicar una proliferación desmesurada de los parámetros a estimar. Los pesos b H (k, θ) se normalizan para que sumen uno. Esto permite, por un lado, interpretar cada coeficiente como la capacidad explicativa del retardo en términos porcentuales, y por otro lado, estimar un parámetro adicional de escala φ H. En general, hay muchas maneras de restringir b H (k, θ). Aquí se plantea una especificación particular basada en la función Beta, la cual depende únicamente de dos parámetros θ =[θ 1, θ 2 ]: 6
b H (k; θ) = f ³ k, θ k max 1 ; θ 2 P k max j=1 f ³ j k max, θ 1 ; θ 2 (1.2) donde f(z,a,b) =z a 1 (1 z) b 1 /β(a, b). La especificación (1.2) fue introducida por Ghysels et al. (2002, 2004b) y tiene algunas propiedades destacables. La primera de ellas es que genera coeficientes positivos, lo que garantiza que el proceso de volatilidad sea no negativo. Otra característica a destacar es que con θ 1 =1y θ 2 > 1 se obtiene un patrón de caída lenta, lo que significa que sólo uno de los parámetros determina la forma. Por último, con θ 1 = θ 2 = 1 se obtienen pesos idénticos. Aunque los modelos de regresión MIDAS no están limitados a esquemas de retardos basados en la función Beta, los objetivos de este trabajo centran la atención en esta especificación. Además, restringir los parámetros de esta manera permite también comparar modelos MIDAS a distintas frecuencias dado que el número de parámetros aestimarseráelmismo. Para ilustrar de una forma más clara la importancia de la no proliferación en los parámetros se presenta la Figura 1. En ella se muestran las estimaciones de los coeficientes no restringidos para la ecuación (1.1) con diez retardos diarios. Dicha figura contiene resultados para varios regresores X f t k,t k 1, (m) comoq e t k,t k 1, (m) así como también para las rentabilidades diarias absolutas, rango diario y realized power. Se puede observar claramente como las estimaciones de los parámetros parecen ser más erráticas cuanto mayor es el retardo. En este sentido, modelos de volatilidad en los que no se restrinjan los pesos sólo se comportarán bien con un número de retardos pequeño y casi con toda seguridad producirán malas predicciones fuera de muestra. 7
2.1.3 Varios Regresores En el modelo de volatilidad MIDAS (1.1), X f(m) t k,t k 1 puede ser cualquier variable que tenga la habilidad de predecir V (Hm) t+h,t. Dicho de otra manera, las regresiones MIDAS pueden implicar variables explicativas distintas a rentabilidades al cuadrado o volatilidad realizada diaria, que son los regresores habituales en la literatura de volatilidad condicional autoregresiva. MIDAS permite comparar la calidad predictiva de distintos X f(m) t k,t k 1 y escoger el modelo con una mayor capacidad para predecir. En este contexto, se consideran las siguientes variables explicativas: eq (Hm) t+h,t = µ Q H + φ Q kx max H b Q H(k, θ) Q e(m) t k,t k 1 + ε Q Ht (1.3) k=0 eq (Hm) t+h,t = µ G H + φ G kx max H b G H(k, θ)(r t k,t k 1 ) 2 + ε G Ht (1.4) k=0 eq (Hm) t+h,t = µ a H + φ a kx max H b a H(k, θ) r t k,t k 1 + ε a Ht (1.5) k=0 k=0 eq (Hm) t+h,t = µ r H + φ r kx max H b r H(k, θ)[hi lo] t k,t k 1 + ε r Ht (1.6) eq (Hm) t+h,t = µ p H + φ p kx max H b p H(k, θ) P e(m) t k,t k 1 + ε p Ht (1.7) k=0 En la ecuación (1.3), Q e(m) t,t 1 pasados se utilizan para predecir Q e t+h,t. (Hm) La especificación (1.4) es una proyección de Q e(hm) t+h,t sobre retardos de rentabilidades al cuadrado diarias y se parece a la clase de modelos ARCH/GARCH (bajo algunas restricciones a los parámetros). 2 2 Técnicamente, proyección supone una regresión sin término constante. Aquí y en el resto del estudio las proyecciones incluirán una constante. 8
Las especificaciones (1.5) y (1.6) implican proyectar Q e(hm) t+h,t sobre rendimientos absolutos diarios pasados y sobre el rango diario respectivamente, las cuales son dos medidas de volatilidad alternativas, y por lo tanto, candidatos naturales a covariables en el modelo MIDAS. Se suele argumentar que en presencia de desviaciones de la normalidad, los valores absolutos pueden ser más robustos que los rendimientos al cuadrado en la estimación de la varianza condicional (Davidian y Carroll (1987)). Las virtudes del rango diario han sido exploradas más recientemente por Alizadeh et al. (2002). La última regresión (1.7) supone argumentos similares utilizando técnicas y desarrollos más recientes. La preferencia por las rentabilidades absolutas es un asunto que ha recibido mucha atención recientemente. Barndorff-Nielsen y Shephard (2003, 2004) y Woerner (2002) sugieren considerar la suma de rendimientos absolutos intradía, conocido en la literatura como realized power variation P e t+1,t, (m) que se define como P i m 1 j=1 h Pt+(j+1)/m P t+j/m. La especificación (1.7) proyecta la volatilidad realizada futura sobre la realized power pasada diaria. Finalmente, para predecir el logaritmo de la variación cuadrática, se consideran las transformaciones logarítmicas de las variables explicativas de las ecuaciones (1.3-1.7). En resumen, el enfoque MIDAS permite mezclar información a distintas frecuencias muestrales, con un polinomio de coeficientes de los retardos restringido que permite introducir mucha memoria, y todo ello combinado simultáneamente con la búsqueda del mejor predictor de la volatilidad realizada. 2.2 Modelo de referencia El principal objetivo de este trabajo es contrastar la superioridad relativa del enfoque MIDAS en la predicción de la volatilidad del IBEX-35. Para la consecución de este objetivo es indispensable la definición de un modelo de referencia contra el que 9
evaluar los resultados del modelo MIDAS. En este sentido, Ghysels et al. (2004a) abogan por un modelo de larga memoria en el que se restringe el valor que toman los coeficientes de los retardos. En particular consideran la siguiente especificación: (1 5X k=1 b A (k)l k )(1 L) d log e Q (m) t+1,t = µ + ε t (1.8) Se trata de una ecuación con una diferencia fraccional (d) que permite capturar con un único parámetro un patrón de respuesta que describe una caída lenta, característico de modelos con mucha memoria. Adicionalmente, se plantea una extensión autoregresiva de orden cinco, AR(5). En definitiva, un total de seis parámetros, sin incluir la constante, para capturar la dinámica autoregresiva de la volatilidad realizada. Esta ecuación (modelo ABDL de ahora en adelante) es planteada y evaluada originalmente por Andersen, Bollerslev, Diebold y Labys (2003) los cuales demuestran en el contexto de tipos de cambio que dicha especificación tiene un comportamiento superior en la predicción de la volatilidad frente a una larga lista de modelos tradicionales. (1.8) se expresa en términos del logaritmo de la volatilidad dado que estos mismos autores argumentan que la transformación logarítmica induce normalidad y esto justifica el uso de modelos autoregresivos lineales. Con la intención de determinar cuál va a ser el modelo de referencia en este contexto, se ha contrastado el comportamiento del modelo ABDL a la hora de predecir la volatilidad del índice bursátil español comparándolo con el mejor de los modelos de la familia GARCH que ha resultado ser el GARCH(1,2). Ambas especificaciones ajustan bien dentro de muestra, pero tanto en este contexto como sobretodo en el marco fuera de muestra el modelo ABDL ofrece mejores predicciones en todos los horizontes (Tabla 1). Estos resultados permiten establecer con determinación la especificación ABDL como modelo de referencia contra el cual se evaluará la calidad relativa del enfoque MIDAS. 10
2.3 Evaluación de las predicciones dentro y fuera de muestra La hipotética superioridad del enfoque MIDAS se va a valorar analizando su ajuste dentro de muestra y sus predicciones fuera de muestra de la volatilidad realizada. En este apartado se detallan las medidas de evaluación utilizadas para comparar los resultados de las distintas especificaciones. La medida base elegida para evaluar la calidad de las predicciones de cada modelo es el error cuadrático medio (ECM). Es bien conocido que esta medida tiene el inconveniente que no corrige por grados de libertad. Sin embargo, las regresiones MIDAS siempre implican un número de parámetros menor que el modelo de referencia. En este sentido, penalizar por el número de parámetros a estimar estaría de hecho castigando al modelo de referencia. Por lo tanto, utilizar el ECM simplemente dificulta un poco más el éxito del enfoque MIDAS. Para cada caso, se calcula el ECM del correspondiente modelo MIDAS, ECM MIDAS, y se compara con el respectivo ECM del modelo ABDL, ECM ABDL. Estas medidas se computan tanto dentro como fuera de muestra. Las tablas que se presentan finalmente en la sección de resultados empíricos corresponden precisamente al cociente entre estas dos medidas, ECM MIDAS /ECM ABDL,elcualproporcionauna idea inequívoca del comportamiento relativo del enfoque MIDAS frente al modelo de referencia. Siguiendo en parte el artículo GSV, la manera de proceder a la hora de comparar los modelos es algo distinta dentro y fuera de muestra, en relación a la variable que se predice. En el contexto dentro de muestra la variable de interés a predecir viene determinada por la especificación MIDAS. Para las especificaciones en logaritmos la variable de interés es log Q e(hm) t+h,t y sus predicciones se comparan directamente con las del modelo de referencia. En el caso de las especificaciones en niveles, las predicciones de Q e(hm) t+h,t se comparan con la exponencial de las predicciones del modelo ABDL. La comparación fuera de muestra es algo distinta. La variable de interés a predecir es 11
siempre la varianza realizada, Q e t+h,t. (Hm) De esta manera, para las especificaciones en logaritmos se exponencian las predicciones (dinámicas). Por último, es muy importante enfatizar otra diferencia entre el modelo ABDL y las regresiones MIDAS. ABDL es un modelo de naturaleza diaria. Cuando la variable de interés es, por ejemplo, la volatilidad a una semana, este modelo predice la volatilidad diaria para cada día de dicha semana y luego agrega las predicciones. En cambio, en la regresión MIDAS la volatilidad futura a una semana es directamente elobjetivodeinterésdelapredicción. 3 Datos El contenido empírico de este trabajo se sustenta en una base de datos que recoge la cotización del IBEX-35 cada quince minutos desde el 19 de septiembre de 1996 hasta el 30 de diciembre de 2004. Entre 29 y 36 observaciones diarias, según el período, a lo largo de 2.068 días negociables que suponen un total de 74.448 registros. Este período muestral de referencia presenta una peculiaridad que es la evolución de la franja horaria de negociación del mercado. Inicialmente, en septiembre de 1996, el mercado bursátil operaba de 10.00h a 17.00h. Con el paso del tiempo este horario se ha ido ampliando y desde el 1 de junio de 2000 se dispone de información de mercado desde las 9.00h hasta las 17.35h. Este rasgo ha tenido impacto en el desarrollo del estudio con consecuencias a distintos niveles. Por ejemplo, para el subperíodo de observaciones a partir de junio de 2000 el espacio temporal no es divisible a intervalos de quince minutos. Se dispone de la última cotización de mercado (17.30h) y de la cotización de cierre (17.35h). En este sentido, se prescinde para cada día de la cotización de las 17.30h generando así una última rentabilidad de veinte minutos. De esta manera, se pretende capturar la situación del índice al cierre de mercado de la misma forma que se hace con la apertura. Sin embargo, la consecuencia más trascendente está relacionada con la expresión de la volatilidad 12
realizada. Al no mantenerse una franja horaria común a lo largo de todo el período muestral, el número de rentabilidades de quince minutos en un día no es constante para toda la muestra. Esto desvirtua la medida de volatilidad que inicialmente se ha definido como una suma no ponderada de rentabilidades al cuadrado. En este sentido, ha sido necesario corregir una vez más dicha medida y finalmente la variable a predecir es la suma de rentabiliades intradía al cuadrado ponderada por el número de observaciones que la integran. Hasta llegar a definir una serie final de rentabilidades intradía ha sido necesario aplicar distintos procesos de depuración. El más importante se ha comentado en la sección anterior y hace referencia a la eliminación de la última rentabilidad de cada día, pero hay otros. Durante los más de ocho años de cotización de los que se dispone, son varias las veces en las que el sistema electrónico ha sufrido problemas técnicos. Esta situación se refleja en la base de datos con ceros. Cuando el intervalo de tiempo en el que el índice ha dejado de cotizar es pequeño se han interpolado las cotizaciones ausentes. Sin embargo, si el índice no ha cotizado durante la mayor parte del día se ha prescindido del día entero en cuestión. Finalmente, con el vector de rentabilidades intradía depurado se construyen todas las variables interés: la varianza realizada para los distintos horizontes de predicción (variable dependiente) y las cinco variables explicativas (varianza realizada diaria, rentabilidades diarias al cuadrado, rendimientos diarios absolutos, rango diario y realized power variation). 4 Resultados empíricos En esta sección se aportan los resultados empíricos más importantes derivados del análisis de la hipotética superioridad de MIDAS en la predicción de la volatilidad de la rentatibilidad del IBEX-35. La comparación de los resultados de este trabajo con los que obtienen Ghysels et al. (2004a) en su artículo es frecuente a lo largo de 13
esta sección. Las especificaciones MIDAS se estiman por cuasimáxima verosimilitud y los errores estándar se obtienen utilizando la aproximación de Bollerslev y Wooldridge (1992) para tener en cuenta la posible existencia de heterocedasticidad. Una discusión detallada sobre la estimación de los modelos de regresión MIDAS se encuentra en Ghysels et al. (2002). En general, los errores de las regresiones MIDAS pueden presentar autocorrelación y heterocedasticidad. En este sentido, las observaciones de lavariabledependienteparacadaunodeloshorizontesseconstruyendetalmanera que las rentabilidades intradía que las integran no se solapen. De esta manera, se evita la posible existencia de autocorrelación en los residuos debida a la coincidencia enloshorizontesdelaspredicciones. Las diversas especificaciones MIDAS contemplan los distintos horizontes de interés, desde una a cuatro semanas. Todas ellas se basan en la estructura de retardos caracterizada por la función Beta (1.2). En todas las estimaciones se incluye hasta un total de 50 retardos, k max =50, dado que tener en cuenta un mayor número de retardos tiene una impacto despreciable en los resultados. 4.1 Análisis dentro de muestra Los resultados obtenidos en el marco del análisis dentro de muestra son, en general, coincidentes con los descritos por Ghysels et al. (2004a) en su estudio de la aplicación MIDAS a la predicción de la volatilidad del índice bursátil americano. En la Tabla 2 se resumen las ratios ECM MIDAS /ECM ABDL derivadas del análisis dentro de muestra para el período desde septiembre de 1996 hasta diciembre de 2004. Los resultados asociados a la predicción de las dos medidas de volatilidad eq (Hm) t+h,t y log Q e(hm) t+h,t se describen en los paneles A y B, respectivamente. En el panel A de esta tabla se evalúa la calidad del enfoque MIDAS a la hora de predecir Q e(hm) t+h,t para los distintos regresores que se consideran. Por ejemplo, cuando se utiliza la 14
varianza realizada como regresor el ECM relativo oscila entre 0,722 y 0,887 para los distintos horizontes de interés. En el contexto logarítmico (panel B), el comportamiento de los distintos regresores evoluciona de forma distinta en relación al panel A. Aquellas variables explicativas que para las especificaciones en niveles reflejan un comportamiento superior frente al modelo de referencia (ratio menor a 1), confirman esa tendencia y de forma más acentuada en el contexto logarítmico. Por contra, aquellas covariables que no ofrecen unos resultados satisfactorios en el panel A empeoran en el panel B. Es importante destacar que, en general, la superioridad de MIDAS es más notoria cuanto más lejano es el horizonte de predicción. Uno de los aspectos clave que diferencian las regresiones MIDAS del modelo ABDL es el esquema de pesos de los retardos. De hecho, cuando se utiliza el logaritmo de la varianza realizada como variable explicativa, especificación (1.3), ésta es la única diferencia que los separa. En el modelo ABDL la estructura de pesos de los retardos viene definida por la diferencia fraccional y la extensión autoregresiva, mientras que en el modelo MIDAS viene determinada por la caracterización basada en la función Beta. Las Figuras 2 y 3 muestran perfiles de coeficientes estimados para distintas especificaciones y modelos. En cada una de las funciones, los pesos han sido normalizados para que sumen uno con lo que tienen una escala comúnydescribenlaimportanciarelativa de cada retardo en relación al conjunto. En la Figura 2, concretamente, se representa el perfil depesosestimadodealgunas especificaciones logarítmicas MIDAS así como también del modelo de referencia, a un horizonte de una semana. En el contexto logarítmico, las funciones de pesos de ambos modelos son directamente comparables. Si se analiza en detalle la evolución de la función de pesos del modelo de referencia y de la transformación logarítmica de la especificación (1.3), las diferencias son considerables. El esquema de pesos del modelo ABDL es algo errático inicialmente, debido al componente autoregresivo AR(5), y luego describe una caída lenta y prolongada típica de modelos con mucha memoria. De hecho, los pesos persisten, aunque tímidamente, más allá del 15
retardo cincuenta. Por contra, la especificación MIDAS genera un esquema de pesos que decae suavemente y se desvanece entre los retardos 25 y 30. En este sentido, las estimaciones MIDAS dan una mayor importancia al pasado más reciente. Esto explica que no haya ganancias derivadas de incluir retardos más allá del orden 50. La Figura 3 muestra resultados muy parecidos para las especificaciones MIDAS en niveles. Toda esta descripción de los esquemas de retardos estimados está en línea con la que se presenta en el artículo GSV. Otro aspecto que se pone de relieve en la Figura 2 y que merece la pena destacar, es la similitud entre el patrón de pesos de la especificación con el logaritmo de las rentabilidades al cuadrado y el modelo de referencia. Como queda patente en la Tabla 2, los rendimientos al cuadrado ofrecen peores resultados que el modelo AB- DL, y esto es consecuencia de que los rendimientos al cuadrado son una medida con mucho ruido de la volatilidad realizada pasada. Esto explica también la demostrada superioridad del modelo ABDL frentre los tradicionales modelos de volatilidad condicional. La Tabla 5 complementa las Figuras 2 y 3. En esta tabla se presenta una descripción detallada y numérica de algunas de las funciones de pesos anteriormente descritas. Los resultados en este ámbito difieren, en parte, a los que obtienen Ghysels et al. Las estimaciones del vector de parámetros θ no aparecen en esta tabla en la medida en que dichos parámetros no tienen una interpretación económica. Tiene especial interés el análisis de la participación de la serie de los retardos a la hora de explicar la variable dependiente. El peso que se acumula en el día 1 es mayor para las especificaciones en niveles que en logaritmos a diferencia de lo que se obtiene en el artículo GSV. También se observa como alrededor de un 90% del poder explicativo se acumula a lo largo de los veinte primeros retardos. No obstante, aproximadamente un 30 por ciento se concentra en los días 6-20, con lo que un modelo diario que sólo tenga en cuenta, por ejemplo, los primeros cinco retardos estará dejando de captar probablemente mucha de la dependencia existente en los datos. Junto a 16
todo este análisis detallado de los pesos de los retardos, se incorpora también para cada modelo el valor p del estadístico Ljung-Box para evaluar la existencia de autocorrelación en los residuos para un nivel de significatividad del 5%. En general, no hay evidencia en favor de la existencia de correlación en los residuos de los distintos modelos. De entre los cinco regresores diarios considerados destacan especialmente dos: la varianza realizada y la realized power variation. Este último se erige como el mejor predictor de la volatilidad realizada en el contexto dentro de muetra para todos los horizontes. Sus predicciones producen un ECM relativo en el rango 0,697-0,845 para las especificaciones en niveles y 0,668-0,819 para las especificaciones en logaritmos. A diferencia de lo que obtienen Ghysels et al. ensuartículo,elrango diario ofrece unos resultados sorprendentemente malos para todos los horizontes, peores incluso que los asociados por ejemplo a las rentabilidades al cuadrado. 4.2 Análisis fuera de muestra Las medidas de evaluación obtenidas en el contexto dentro de muestra reflejan que los modelos MIDAS son lo suficientemente flexibles como para capturar las caraterísticas de los datos. No obstante, la última prueba para cualquier modelo de predicción es su comportamiento fuera de muestra. Y en este contexto los resultados difieren y muchodelosquesepresentanenelartículogsv. EnlaTabla3seresumenlasratiosECM MIDAS /ECM ABDL para el contexto fuera de muestra. La estimación de los parámetros en este contexto se basa en el período muestral septiembre 1996 - diciembre 2002. Los resultados asociados a las predicciones fuera de muestra para los dos últimos años, son francamente malos. Los cocientes que aparecen en la Tabla 2 son superiores a uno y considerablemente grandes a cualquier horizonte, señal inequívoca de que el modelo ABDL predice mejor la medida de volatilidad. Estos resultados ponen inmediatamente en duda la 17
hipotética superiodad del enfoque MIDAS. Ante esta situación, es necesario investigar si se trata de un resultado general o por el contrario es un resultado particular explicado por algún otro factor. Desde el segundo semestre del año 2003 se observa una caída en el nivel y en la variabilidad de la volatilidad en todos los mercados financieros del mundo. Este fenómeno coincide exactamente con el período muestral que se selecciona para el cálculo de las predicciones fuera de muestra. Esta circunstancia, hace pensar que quizás los resultados que se plantean en la Tabla 3 no sean generales ni concluyentes. Con la intención de analizar con más profundidad esta situación, se realiza un análisis dentro de muestra por períodos, dividiendo la muestra completa en tres partes iguales. En todas y cada una de ellas, y especialmente en la última que se extiende desde mayo de 2002 hasta diciembre de 2004, se refrenda la superioridad que MIDAS ya mostraba en el análisis dentro de muestra para el período completo. Se replica también el estudio dentro y fuera de muestra prescindiendo del último año de observaciones. De esta manera el período de referencia termina ahora en octubre de 2003, y el período muestral utilizado para la estimación de los parámetros en el contexto fuera de muestra acaba en diciembre de 2001. En la Tabla 4 se presentan las medidas de evaluación para este experimento en el contexto fuera de muestra. Los resultados son muy distintos a los que se muestran en la Tabla 3, aunque no tan contundentes como los del artículo GSV. Los ECM relativos denotan un mejor comportamiento de las especificaciones en niveles. En este contexto, la realized power variation aparece una vez más como el mejor predictor. Sin embargo, en el panel B es el logaritmo de la varianza realizada el regresor que lidera la lista. Destaca también el comportamiento de la especificación que tiene como variable explicativa las rentabilidades al cuadrado, sobretodo para los horizontes más lejanos. De este análisis fuera de muestra se derivan una serie de consideraciones muy importantes. Existe evidencia suficiente para afirmar que la aplicación del enfoque MIDAS a la predicción de la volatilidad del IBEX-35 aporta unos resultados su- 18
periores frente al modelo ABDL, y por ende, frente a los modelos tradicionales de volatilidad condicional. Sin embargo, hay resultados que ponen de relieve las dificultades aparentes del enfoque MIDAS para captar y adaptarse a posibles cambios estructurales de la variable a explicar. Esta situación recuerda a la vieja discusión abierta en muchos ámbitos de la economía sobre la idoneidad de trabajar con modelos estructurales o modelos univariantes. A pesar de estos claros indicios, la situación requiere de un análisis más específico que permita obtener resultados más contundentes. 4.3 Explotación directa de información intradía En la sección 2 de este trabajo (Metodología) se ha destacado como una de las características distintivas del enfoque MIDAS, su capacidad para acomodar una extensa historia de retardos sin que ello suponga una proliferación en los parámetros a estimar. En esta sección se explota esta propiedad para comprobar si la utilización directa de la información intradía resulta en unas mejores predicciones de la volatilidad futura. La existencia de patrones estacionales en las rentabilidades intradía de los mercados financieros está ampliamente documentada en la literatura desde el trabajo de Wood et al. (1985). Existen maneras alternativas de eliminar estos patrones periódicos. En este contexto, se ha elegido una metodología relativamente sencilla que consiste en substraer a cada rentabilidad intradía el rendimiento medio muestral de la hora a la que pertenece. Expresado en términos matemáticos, la rentabilidad intradía ajustada por estacionalidad, [ex (m) t j/m ]2,será[x (m) t j/m ]2 M h(j),donde[x (m) t j/m ]2 es la rentabilidad intradía original, M h es la media de [x (m) t j/m ]2 para la hora h y h(j) se refiere a la hora a la que la j th observación pertenece. En la Tabla 6 se presentan los ECM relativos, ECM MIDAS /ECM ABDL,para el contexto dentro de muestra. Estos resultados, que se refieren a la predicción de 19
la medida de volatilidad Q e(hm) t+h,t para la muestra entera desde septiembre de 1996 hasta diciembre de 2004, se dividen en dos partes en función de si la especificación MIDAS está o no ajustada por estacionalidad. Dadas las características del análisis, sólo se plantean las especificaciones MIDAS con las rentabilidades al cuadrado y los rendimientos absolutos. Las medidas de evaluación no permiten ser conclusivo. No se puede afirmar que la explotación directa de la información intradía mejore las predicciones de la volatilidad futura de una forma sistemática. Como tampoco parece que el ajuste por estacionalidad de las rentabilidades a quince minutos conlleve cambios significativos en los resultados. Por último, en la Figura 4 se representan los polinomios estimados para la especificación MIDAS ajustada por estacionalidad y sin ajustar. Estas funciones de pesos corresponden a la predicción de Q e(hm) t+h,t a un horizonte de una semana, a partir de las rentabilidades a quince minutos al cuadrado. Ambas funciones tienen un perfil distinto. La función que corresponde al modelo ajustado presenta un patrón más constante, mientras que la del modelo sin ajustar describe un perfil con una caída suave y más pronunciada. Hay que destacar que a diferencia del perfil que se presenta en el artículo GSV, en el contexto del mercado español se otorga un peso mucho más importante a los primeros retardos sobretodo y, además, el poder explicativo de dichos retardos se extiende más allá del orden 50, con una capacidad explicativa residual relativamente importante. 5 Conclusiones En este trabajo se utilizan las regresiones MIDAS en el contexto de la predicción de la volatilidad. Evidentemente, la naturaleza del enfoque MIDAS es mucho más general y es aplicable a cualquier investigación empírica que implique la explotación de información a diferentes frecuencias muestrales. 20
Los resultados que se desprenden de la aplicación del enfoque MIDAS a la predicción de la volatilidad del IBEX-35 son varios y muy interesantes. En el contexto dentro de muestra, la calidad de ajuste del modelo MIDAS es superior a la de cualquier otro modelo de volatilidad condicional. El análisis fuera de muestra, sin embargo, está condicionado por la caída en el nivel y en la oscilación de la volatilidad que ha tenido lugar en todos los mercados financieros en los últimos años. En este sentido, existe evidencia en favor de la superioridad de este enfoque pero los resultados no son robustos a la existencia de cambios estructurales. A pesar del predominante uso de las rentabilidades al cuadrado en la literatura relacionada, la volatilidad realizada diaria y la realized power variation tienen un comportamiento superior, en especial este último, que se erige como el mejor predictor de la volatilidad condicional futura. Además esta superioridad se hace más marcada cuanto mayor es el horizonte de interés. Los primeros cincuenta retardos son suficientes para capturar la persistencia del proceso de volatilidad. Finalmente, se aporta evidencia que demuestra que la utilización directa de la información intradía no necesariamente mejora la calidad de las predicciones. Después del desarrollo de este trabajo y de los resultados encontrados hay algunas extensiones que surgen inmediatamente y que tienen gran interés. La primera consiste en la búsqueda intensa de elementos que justifiquen la dificultad del modelo MIDAS para capturar la posible existencia de cambios estructurales. Otra extensión muy importante sería comparar las predicciones que se desprenden del análisis MIDAS con las que se derivan de la volatilidad implícita en las opciones. Por último, también puede ser interesante en el marco MIDAS evaluar los resultados que se obtienen al combinar distintos regresores en una misma especificación. Esta es una ideaqueyahasidoexplotadaconanterioridadperonoenelámbitodelapredicción del IBEX-35. 21
Referencias [1] Alizadeh, S., M. Brandt y F.X. Diebold (2002), "Range-based Estimation of Stochastic Volatility Models", Journal of Finance, 57, 1047-1091. [2] Andersen, T., T. Bollerslev, F.X. Diebold y P. Labys (2003), "Modeling and Forecasting Realized Volatility", Econometrica, 71, 529-626. [3] Barndorf-Nielsen, O. y N. Shephard (2003), "Realized Power Variation and Stochastic Volatility", Bernoulli 9,243-265. [4] Barndorf-Nielsen, O. y N. Shephard (2004), "Power and Bipower Variation with Stochastic Volatility and Jumps", Journal of Financial Econometrics, 2, 1-48. [5] Bollerslev, T. y J.M. Wooldridge (1992), "Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in Dynamic Models with Time-Varying Covariances", Econometric Reviews, 11, 143-172. [6] Davidian, M. y R.J. Carroll (1987), "Variance Function Estimation", Journal of the American Statistical Association, 82, 1079-1091. [7] Ding, Z., C.W.J. Granger y R.F. Engle (1993), "A long memory property of stock market returns and a new models", Journal of Empirical Finance, 1, 83-106. [8] Ghysels, E., P. Santa-Clara y R. Valkanov (2002), "The MIDAS Touch: Mixed Data Sampling Regression", Discussion Paper UCLA y UNC disponible en http://www.unc.edu/eghysels [9] Ghysels, E., P. Santa-Clara y R. Valkanov (2004a), "Predicting Volatility: Getting the Most Out of Return Data Sampled at Different Frequencies", Journal of Econometrics (forthcoming) 22
[10] Ghysels,E.,P.Santa-Clara,A.SinkoyR.Valkanov(2004b),"MIDASRegressions: Results and New Directions", Work in progress. [11] Merton, R.C. (1980), "On Estimating the Expected Return on the Market: an Explanatory Investigation", Journal of Financial Economics, 8, 323-361. [12] Woerner J. (2002), "Variational Sums and Power Variation: a Unifying Approach to Model Selection and Estimation in Semimartingale Models", Discussions Paper, Oxford University. [13] Wood, R.A., T.H. McInish y J.K. Ord (1985), "An Investigation of Transactions Data for NYSE Stocks", Journal of Finance, 40, 723-739. 23
Tabla 1. Modelo ABDL frente GARCH (1,2) Las cifras que aparecen en esta tabla corresponden al cociente entre el error cuadrático medio del modelo ABDL y el error cuadrático medio del modelo GARCH (1,2) para cada uno de los horizontes de interés. Análisis dentro de muestra 1 sem 0,531 2 sems 0,537 3 sems 0,738 4 sems 0,637 Análisis fuera de muestra 1 sem 0,258 2 sems 0,158 3 sems 0,127 4 sems 0,185 24
Tabla 2. Análisis dentro de muestra Muestra sept. 1996 - dic. 2004 Panel A: e Q (Hm) t+h,t MIDAS con regresores diarios eq (m) t,t 1 r 2 t,t 1 r t,t 1 [hi lo] t,t 1 e P (m) t,t 1 1 sem 0,887 1,044 1,138 1,245 0,845 2 sems 0,808 1,045 1,103 1,166 0,781 3 sems 0,836 1,009 0,988 1,015 0,794 4 sems 0,722 0,903 0,940 0,968 0,697 Panel B: log e Q (Hm) t+h,t MIDAS con regresores diarios log e Q (m) t,t 1 log r 2 t,t 1 log r t,t 1 log [hi lo] t,t 1 log e P (m) t,t 1 1 sem 0,852 1,382-1,421 0,819 2 sems 0,780 1,242-1,223 0,735 3 sems 0,720 0,914-1,150 0,712 4 sems 0,743 0,954-1,023 0,668 25
Tabla 3. Análisis fuera de muestra Muestra sept. 1996 - dic. 2004 Panel A: e Q (Hm) t+h,t MIDAS con regresores diarios eq (m) t,t 1 r 2 t,t 1 r t,t 1 [hi lo] t,t 1 e P (m) t,t 1 1 sem 3,247 4,209 2,764 1,565 1,879 2 sems 6,167 9,159 4,558 1,808 1,883 3 sems 10,144 14,419 9,119 4,035 2,991 4 sems 7,283 12,350 4,946 3,243 2,820 Panel B: log e Q (Hm) t+h,t MIDAS con regresores diarios log e Q (m) t,t 1 log r 2 t,t 1 log r t,t 1 log [hi lo] t,t 1 log e P (m) t,t 1 1 sem 1,066 2,639-2,317 1,058 2 sems 1,313 4,239-3,138 1,670 3 sems 1,949 6,185-4,726 2,153 4 sems 2,149 4,237-4,470 2,219 26
Tabla 4. Análisis fuera de muestra Muestra sept. 1996 - oct. 2003 Panel A: e Q (Hm) t+h,t MIDAS con regresores diarios eq (m) t,t 1 r 2 t,t 1 r t,t 1 [hi lo] t,t 1 e P (m) t,t 1 1 sem 1,131 1,001 1,265 1,916 0,832 2 sems 1,022 0,943 1,066 1,530 0,792 3 sems 1,017 0,915 1,045 1,318 0,820 4 sems 0,940 0,739 0,753 1,231 0,853 Panel B: log e Q (Hm) t+h,t MIDAS con regresores diarios log e Q (m) t,t 1 log r 2 t,t 1 log r t,t 1 log [hi lo] t,t 1 log e P (m) t,t 1 1 sem 0,852 1,559-2,566 1,171 2 sems 0,987 1,198-1,908 0,883 3 sems 0,860 0,869-1,676 1,215 4 sems 1,879 0,789-1,442 1,841 27
Tabla 5. Análisis de la función de pesos para distintos modelos MIDAS Muestra sept.1996 - dic.2004 µ H φ H Día 1 Día 2-5 Día 6-20 >20 días Q(10) eq (Hm) t+h,t MIDAS con retardos diarios de la variable e Q (m) t,t 1 1 sem 0,000 3,473 0,301 0,368 0,279 0,053 0,001** 2 sems 0,000 6,598 0,292 0,361 0,286 0,062 0,160 3 sems 0,000 9,298 0,283 0,353 0,292 0,073 0,057 4 sems 0,000 11,820 0,268 0,340 0,299 0,093 0,820 log e Q (Hm) t+h,t MIDAS con retardos diarios de la variable log e Q (m) t,t 1 1 sem 0,801 0,923 0,296 0,431 0,261 0,012 0,739 2 sems 1,225 0,901 0,279 0,428 0,279 0,014 0,768 3 sems 1,412 0,884 0,258 0,408 0,310 0,025 0,475 4 sems -0,000* 0,007 0,381 0,619 0,000 0,000 0,720 eq (Hm) t+h,t MIDAS con retardos diarios de la variable e P (m) t,t 1 1 sem -0,000 0,043 0,340 0,395 0,242 0,024 0,000** 2 sems -0,000 0,079 0,329 0,389 0,253 0,029 0,071 3 sems -0,000 0,112 0,305 0,371 0,276 0,049 0,020** 4 sems -0,000* 0,142 0,299 0,367 0,280 0,054 0,810 log e Q (Hm) t+h,t MIDAS con retardos diarios de la variable log e P (m) t,t 1 1 sem 1,631 1,828 0,331 0,428 0,231 0,010 0,569 2 sems 2,049 1,780 0,343 0,414 0,229 0,013 0,779 3 sems 2,159 1,737 0,278 0,411 0,289 0,021 0,440 4 sems 1,563 1,601 0,283 0,583 0,134 0,000 0,825 * Parámetro no significativo a un nivel de significatividad del 5%. ** Correlación en los residuos al 95% de confianza. 28
Tabla 6. Explotación directa información intradía Muestra sept.1996 - dic.2004 sin ajustes ajuste estacional rt,t 1/m 2 r t,t 1/m r 2 t,t 1/m rt,t 1/m 1 sem 0,979 0,952 1,502 0,939 2 sems 0,852 0,819 1,261 0,807 3 sems 1,004 0,926 1,185 0,915 4 sems 0,766 0,711 0,924 0,701 29
Figura 1. Pesos no restringidos de los retardos diarios En esta figura se representan los coeficientes (normalizados para que sumen uno) obtenidos al regresar, por mínimos cuadrados ordinarios, la transformación logarítmica de la volatilidad a un horizonte de cuatro semanas sobre diez retardos de las siguientes variables explicativas diarias: [1] el logaritmo de la volatilidad realizada; [2] el logaritmo de la realized power variation; [3] la transformación logarítmica de los rendimientos absolutos; y [4] el logaritmo del rango. Estos coeficientes no restrigidos se han estimado utilizando la muestra completa. 1 log volatilidad realizada log realized power log rentabilidad absoluta log rango diario 0.5 0-0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 retardo 30