Sincronización de robots móviles en redes complejas deterministas de mundo pequeño R. Martínez-Clark, D. Reyes-De la Cruz, C. Cruz-Hernández, R.M. López-Gutiérrez, L.F. Pinedo-Lomeli Departamento de Electrónica y Telecomunicaciones, Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada (CICESE), México. Facultad de Ingeniería, Arquitectura y Diseño, Universidad Autónoma de Baja California (UABC), México. Resumen: En este trabajo se presenta la sincronizaron de redes de robots móviles representados por masas puntuales, se consideran redes complejas deterministas en mundo pequeño generadas por un algoritmo de crecimiento, recientemente reportado en la literatura. La sincronización en todos los casos de crecimiento de la red, se plantea alcanzar invocando resultados de sincronización de sistemas complejos. Es decir, que el aumento de robots móviles en la red no afecte la condición de sincronización, ya que en los tres casos considerados de crecimiento de la red, se utilizó la misma fuerza de acoplamiento entre los nodos. Palabras claves: Sincronización, redes complejas, robots móviles Introducción Muchos sistemas en la naturaleza y tecnológicos están constituidos por unidades dinámicas interconectadas. En diversas ocasiones, estos sistemas requieren adoptar un comportamiento para realizar una actividad en común, dicha actividad puede ser el trabajo colectivo, lo que a su vez puede involucrar coordinación, cooperación, sincronización, etc. Este tipo de sistemas, se conoce por sistemas complejos. Algunos ejemplos que se encuentran en la naturaleza pueden ser sistemas biológicos, sistemas neuronales, sistemas químicos, los cuales, dentro de su estructura interna albergan muchos organismos que llamamos nodos que interactúan entre sí, también se puede observar que estos sistemas en la mayoría de los casos muestran alta conexión entre vecinos (coeficiente de agrupamiento), otra característica importante, es que, la manera en que fluye la información de un lugar a otro tiene una distancia de camino medio relativamente baja, tomando estas características en consideración, muchas redes naturales y tecnológicas se pueden representar con modelos de mundo pequeño, ver por ejemplo [3], [4], []. Las redes de mundo pequeño pueden identificarse por tres propiedades principales [3]: i) la distancia de camino promedio no se incrementa logarítmicamente con el tamaño de la red, pero crece o disminuye conforme el número de nodos varía; ii) el grado de nodo promedio de la red es pequeño; iii) la red tiene un coeficiente grande de agrupamiento. La diferencia del modelo de redes aleatorias propuesto por Erdös-Réyni [] comparado con el modelo propuesto por Watts y Strogatz [], es que el primero presenta un grado de nodo promedio de igual tamaño para todos los nodos de la red. Por otra parte, algunos trabajos donde se reporta sincronización de redes aleatorias en mundo pequeño (incluso con nodos caóticos), puede consultarse en [9], []. Es conocido, que lo estocástico es una característica
común de los modelos de redes complejas con topologías de mundo pequeño y redes libres de escala. Lo que significa que, nuevos nodos son conectados utilizando una regla de probabilidad a los nodos ya presentes en la red. Además, las técnicas probabilísticas para el análisis y colocación aleatoria o adición de conexiones utilizadas en trabajos anteriores, no son apropiadas para redes de comunicaciones que tienen conexiones fijas, por ejemplo, redes neuronales, redes de computadoras, circuitos electrónicos, etc. Por tanto, sería no sólo de gran interés teórico, sino también de gran importancia práctica para la construcción de modelos que conducen a las redes libres de escala [4] y redes de mundo pequeño [3], [4] de forma determinista. Una ventaja de las redes construidas deterministamente, es que es posible calcular analíticamente sus propiedades principales, por ejemplo, la distribución de grado, coeficiente de agrupamiento, distancia de camino promedio y diámetro. Recientemente Comellas y colaboradores en [3] reportaron una red de comunicación utilizando un modelo de mundo pequeño determinista. En otro artículo, Comellas y Samples presentaron otras técnicas deterministas para crear redes de mundo pequeño con una distribución de grado constante y variable [4]. Motivados por las ventajas que presentan las redes deterministas de mundo pequeño comparadas con las aleatorias, principalmente en aplicaciones tecnológicas, en este trabajo, el objetivo es sincronizar redes de mundo pequeño construidas de manera determinista, propuestas por Zhang y colaboradores en [], invocando resultados recientes en teoría de sistemas complejos [9], aplicados exitosamente en [], [], [3], [4]. En particular, emplearemos como nodos en las redes, a robots móviles modelados por masas puntuales con el propósito de sincronizar las posiciones y velocidades de todos los robots. Algoritmo para generar redes deterministas de mundo pequeño Zhang y colaboradores en [] propusieron un algoritmo de construcción para generar redes de mundo pequeño deterministas, que consiste en agregar conexiones y nodos conforme se incrementa el número de iteraciones. Denotando las redes generadas después de t pasos como N(t). El algoritmo de construcción es el siguiente: Para t =, se genera la primera red N() con tres nodos conectados en topología de vecino cercano. Para t, se genera la red N(t) a partir de N(t ) agregando por cada conexión creada en el paso anterior t, un nuevo nodo y conectándolo a los nodos vecinos. A continuación se explica a detalle el algoritmo, el cual inicia con una topología de vecino cercano con n = 3 nodos en t = iteraciones: para t = debido a que en la iteración anterior t =, la red estaba construida con tres conexiones, arrojaría una nueva red de n = 6 nodos, n = 3 nodos pertenecen a la red en la iteración anterior t = y los otros n = 3 nodos a t = (iteración actual), los nodos creados se conectarán con sus vecinos más cercanos. Para t =, la red en esta iteración estará formada por n = nodos; nodos que pertenecen a la iteración anterior t = y otros nodos correspondientes a la iteración actual (t =,) debido a que en la iteración anterior existían seis aristas (razón porque se crearon los nuevos n = 6 nodos), los nodos creados se conectaran con sus vecinos más cercanos. El algoritmo puede seguir avanzando hasta t =. La figura ilustra las primeras tres redes N(), N() y N() generadas por el algoritmo.
(a) (b) (c) Figura. Primeras tres iteraciones de la expansión de redes en mundo pequeño: (a) corresponde a N(), (b) a N() y (c) a N(). El objetivo de este trabajo es sincronizar las redes deterministas en mundo pequeño N(), N() y N() generadas por el algoritmo propuesto en [] (ver fig. ), empleando resultados recientes de sincronización de sistemas complejos. En particular, usaremos como nodos para construir las redes y su posterior sincronización, modelos de masas puntuales a manera de robots móviles. 3 Sincronización de sistemas complejos 3. Redes complejas dinámicas En el presente documento, se consideran redes complejas compuestas de N nodos idénticos con acoplamiento lineal y difusivo a través del primer estado de cada nodo, lo cual corresponden a un sistema dinámico n-dimensional descrito como sigue x i = f (x i ) + u i, i =,, N, ( ) donde x i = (x i, x i,,x in ) T R n es el vector de estado del nodo i; u i R N es la señal de entrada del nodo i, la cual se define por 3
N u c a x, i,,, N, i ij j j ( ) La constante c > representa la fuerza de acoplamiento y Γ R es una matriz constante de conexiones que indica cuales variables de estado de los nodos están acoplados. Suponga que Γ = diag(r, r,, r N ) es una matriz diagonal con r i = para una i en particular y r j = para j i. esto significa que dos nodos se encuentran acoplados a través de su i-ésimo estado. Mientras que, A = (a ij ) R NxN es la matriz de acoplamiento, que representa la configuración de acoplamiento de () y (). Si existe una conexión entre el nodo i y el nodo j, entonces a ij = ; de otra manera, a ij = para i j. Los elementos de la diagonal principal de la matriz de acoplamiento A se definen por N a a a, i,,, N. ( 3 ) ii ij ji j, j i j, j i Ahora, supóngase que la red descrita en ()-() se conectada de tal forma que no existen nodos aislados. Por tanto, la matriz de acoplamiento A es una matriz simétrica irreducible. Para este caso, cero es un valor propio de A con multiplicidad uno y los demás valores propios son estrictamente negativos [9]. La red descrita en () y () puede caracterizarse por los valores propios distintos de cero de la matriz de acoplamiento A. Se dice que la red compleja () () sincronizará (asintóticamente), sí [9]: N x (t) = x (t) = = x N (t), cuando t ( 4 ) La condición de difusión en (3) garantiza que la sincronización de los estados de los nodos en la red corresponden a la solución s(t) R n, de un nodo aislado, es decir, éstos satisfacen s ( t) f ( s( t )), ( ) donde la solución s(t) es un punto de equilibrio. Esto implica que, la estabilidad de la sincronización de los estados de los nodos, es decir x t = x t = = x t s( t ) ( 6 ) N De la red dinámica () (), es determinada por la dinámica de un nodo aislado, i.e., la función no lineal f (así como su solución s(t)), la fuerza de acoplamiento c, la matriz de conexiones Γ y la matriz de acoplamiento A. En este trabajo se selecciona Γ = [,,,] como la matriz de conexiones, con la cual se puede garantizar que por lo menos sincronizarán los primeros estados de todos los nodos en la red. Este tipo de sincronización es suficiente para alcanzar el objetivo de sincronización de trayectorias de los robots móviles. 3. Condiciones de sincronización Teorema [9] Considere la red dinámica descrita en () y (). Y sean = λ λ λ, ( 7 ) 4
los valores propios de la matriz de acoplamiento A. Suponiendo que existe una matriz D >, diagonal y de dimensión NxN; además dos constantes d < y τ >, tal que, [Df(s(t))+d ]T D+ D[Df(s(t))+d ]= ( 8 ) Para toda d d, donde I N R N N es la matriz identidad. Si, además se cumple que l N c d, ( 9 ) Entonces, la sincronización de los estados tal como se ve en (6) es exponencialmente estable. Ya que < y d <, la desigualdad (9) es equivalente a d c. ( ) Por tanto, la sincronización de redes de la forma () () con respecto a una topología específica de acoplamiento, puede caracterizarse por el segundo valor propio más grande (i.e., λ ) de la matriz de acoplamiento A. 4 Sincronización de robots móviles en redes deterministas de mundo pequeño En esta sección, se presenta la sincronización de las redes deterministas en mundo pequeño, generadas por el algoritmo de Zhang y colaboradores en [] para t =, t = y t =, considerando masas puntuales como nodos. Esta sincronización de redes se realiza con base en los resultados sobre sistemas complejos de la sección anterior. 4. Modelo de una masa puntual como nodo El modelo matemático que describe el comportamiento dinámico de una masa puntual (nodo aislado), se expresa por las siguientes ecuaciones de estado []: x x x x x ( ) donde x y x son la posición y la velocidad de la masa puntual, respectivamente. 4. Sincronización de una red de 3 nodos De acuerdo al algoritmo de generación, la primer red a sincronizar correspondiente a N(), ver figura (a), formada con tres masas puntuales descritas en (). La matriz de acoplamiento es A = ( )
Con valores propios: λ =, λ = 3, λ = 3. De () se tiene que la fuerza mínima de acoplamiento entre los nodos es c 3 3 ( 3) Para sincronizar la red N() con 3 nodos, se propone una ley de acoplamiento lineal proporcional a través del primer estado de cada nodo, de la forma u = c x x si (i, j) E ( 4 ) (i, j) E significa que existe acoplamiento entre el nodo i y el nodo j y c es la fuerza de acoplamiento calculada en (). Observando las conexiones existentes entre los nodos de la figura (a), se tiene el siguiente sistema de ecuaciones que define a N(): x = x + c ( x + x + x ) x = x x x = x + c ( x + x + x ) x = x x x = x + c ( x + x + x ) x = x x donde el primer par de ecuaciones corresponden al nodo, y así sucesivamente. Para la siguiente simulación se seleccionaron arbitrariamente las condiciones iniciales, que, para este caso son: x = (, ), x = (, ), x = (, ). Además se agregaron las leyes de control para lograr la sincronización tal y como se muestra en (). Se consideró la fuerza de acoplamiento c =. En la Figura se muestra la evolución de la posición y velocidad de los tres nodos: ( ) Posici4on M M Velocidad M M x, x, x3 x, x, x3-3 4 Tiempo - 3 4 Tiempo (a) (b) Figura. Posición (a) y velocidad (b) de tres masas puntuales sincronizadas. 6
Se observa que después de unidades de tiempo, los tres nodos en la red tienen la misma posición (i.e., x (t) = x (t) = x (t)) y adquieren la misma velocidad (i.e., x (t) = x (t) = x (t)), en este momento los nodos están sincronizados. En la Figura 3 se muestra el plano de fase de dichos nodos sincronizados. 3 Plano de fase M M x, x, x3 - - -3-4 - 3 4 x, x, x 3 Figura 3. Plano de fase de tres masas puntuales sincronizadas en la red N(). En la Figura 3 se observa el punto en el que las tres trayectorias convergen y evolucionan de la misma manera con dirección al origen. 4.3 Sincronización de una red de 6 nodos Como siguiente paso, se procede a aumentar el número de nodos en la red, utilizando el algoritmo de crecimiento de mundo pequeño, por tanto para t =, se tiene la red N(), la cual se sincronizará, ver Figura (b). La matriz de acoplamiento correspondiente a la red N() es A = 4 4 4 Con valores propios: λ =, λ = λ 3 =. 7, λ 4 = 4, λ = λ 6 =. 3. ( 6 ) Por tanto, según (), la fuerza de acoplamiento mínima para conectar a los 6 nodos es c.9 ( 7 ).7 En la Figura 4 se presenta la evolución tanto de posición como de velocidad de cada uno de los nodos, para esta simulación se mantuvo la fuerza de acoplamiento del ejemplo anterior, c =. 7
x, x, x 3, x 4, x, x 6 Posici4on - - - 3 4 Tiempo (a) M M M4 M M6-3 4 Figura 4. Posición (a) y velocidad (b) de 6 nodos sincronizados en la red N(). De las figuras 4(a) y 4(b) se observa que los seis nodos siguen la misma trayectoria alrededor de la segunda unidad de tiempo, a partir de este tiempo, los nodos se han sincronizado completamente. En la figura se muestra una ampliación del plano de fase de estos seis nodos para diferentes condiciones iniciales. x, x, x 3, x 4, x, x 6 velocidad - - - T iempo (b) M M M4 M M6 x, x, x 3, x 4, x, x 6 3 - - -3-4 Plano de fase M M M4 M M6 Figura. Acercamiento del plano de fase para la simulación de seis nodos sincronizados en N(). 4.4 Sincronización de una red de nodos - 3 4 6 x, x, x3, x4, x, x6 Para t =, la red se expande a N(), la cual cuenta ahora con nodos, acoplados como se muestra en la Figura (b). La matriz de acoplamiento correspondiente a la red N() es 8
A = 6 6 6 4 4 4 Con valores propios: λ =, λ = λ =, λ = λ =.8, λ =, λ = 4, λ = λ = 4.63, λ = 6, λ = λ = 7.7. Por tanto, la fuerza de acoplamiento mínima para conectar a los nodos es ( 8 ) c ( 9 ) Utilizando el método descrito anteriormente se generaron las leyes de control con las cuales se logrará la sincronización de los nodos. Se realizaron las simulaciones correspondientes con el fin de comprobar que se logre el objetivo, en la Figura 6 se muestran las evoluciones tanto de posición como de velocidad de los doce nodos: x, x,..., x Posici4on - - - x, x,..., x Velocidad - - - - 3 4 T iempo (a) - 3 4 T iempo Figura 6. Posición (a) y velocidad (b) de doce nodos sincronizados. En la Figura 7 se muestra una ampliación del plano de fase correspondiente, con el fin de ilustrar como es que los diferentes nodos siguen la misma trayectoria a partir de cierto punto, lo que se conoce como sincronización completa. (b) 9
plano de fase Figura 7. Acercamiento del plano de fase para doce nodos sincronizados en la red N(). En las Figura 6 y 7 se observa como las diferentes trayectorias convergen a una misma, por lo tanto se logró sincronizar los nodos utilizando la misma fuerza de acoplamiento aun cuando se aumentó la cantidad de los mismos en la red. Conclusiones x, x,..., x - - -3-3 x, x,..., x En este trabajo se sincronizaron redes de robots móviles representados por masas puntuales, estas redes complejas deterministas en mundo pequeño, fueron generadas por el algoritmo de crecimiento [], la sincronización en todos los casos fue lograda invocando resultados recientes de sistemas complejos [9]. Se comprobó que el aumento de nodos en la red no afectó la condición de sincronización, ya que en los tres casos considerados de crecimiento de la red, se utilizó la misma fuerza de acoplamiento entre los nodos. Es importante resaltar, que en este trabajo no se presentaron restricciones con respecto a si los nodos se cruzan o colisionan en cualquier momento de su trayectoria, este problema será abordado en trabajo futuro, como también se pretende analizar la sincronización ante fallos, en la cual se analizarán los efectos que tienen en la red las fallas de comunicación entre nodos. Referencias [] Erdös P. y Rényi A. On random graphs I. Publicationes Mathematicae 6, (99), 9-97. [] Watts D.J. y Strogatz S.H. Collective dynamics of small-world networks. Nature 393 (6684), (998), 44-44. [3] Comellas F., Ozón J., Peters J.G. Deterministic small-world communication networks. Information Processing Letters 76, (), 83-9. [4] Comellas F., Sampels M. Deterministic small-world networks. Physica A 39, (), 3 3. [] Zhang Z., Rong L., Guo C. A deterministic small-world network created by edge iterations. Physica A, 363(), (6), 67-7. [6] Jung S., Kim S. y Kahng B. Geometric fractal growth model for scale-free networks. Physical Review E vol.6, (), 6. [7] Ravasz E. y Barabási A.L. Hierarchical organization in complex networks. Physical Review E 67, (3), 6. [8] Jae Dong Noh. Exact scaling properties of a hierarchical network model. Physical Review E 67, (3), 43(R).
[9] Wang X.F., Guanrong Chen. Synchronization in small-world dynamical networks. Int. J. Bifurcation Chaos,, (), 87-9. [] Qu Z., Wang J. y Hull R.A. Leaderless Cooperative Formation Control of Autonomous Mobile Robots Under Limited Communication Range Constraints, en Cooperative Systems Control and Optimization, Springer, 7, pp 79-4. [] Acosta-Del Campo O.R., Cruz-Hernández C., López-Gutiérrez R.M., Arellano-Delgado A., Cardoza-Avendaño L. y Chávez-Pérez R. Complex network synchronization of coupled time-delay Chua oscillators in different topologies, Nonlinear Dynamics and Systems Theory, (4), (), 34-37. [] A. Arellano-Delgado, R.M. López-Gutiérrez, C. Cruz-Hernández, C. Posadas-Castillo, L. Cardoza-Avendaño, H. Serrano-Guerrero. Experimental network synchronization via plastic optical fiber. Optical Fiber Technology 9 (3) 93-8. [3] C. Posadas-Castillo, R.M. López-Gutiérrez, C. Cruz-Hernández, Synchronization of chaotic solid-state Nd:YAG lasers: application to secure communication, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 3(8) (8) 6-667. [4] C. Posadas-Castillo, C. Cruz-Hernández, R.M. López-Gutiérrez. Experimental realization of synchronization in complex networks with Chua s circuits like nodes. Chaos, Solitons and Fractals 4 (9) 963-97.