Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Funciones I



Documentos relacionados
Un Apunte de Funciones "Introducción al Cálculo Dif. e Int."

Dominio, Recorrido y Álgebra de Funciones Semana del Lunes 05 al Jueves 08 de Mayo

Tutorial MT-b15. Matemática Tutorial Nivel Básico. Relaciones y Funciones

JOSE VICENTE CONTRERAS JULIO CALCULO INTEGRAL LA ANTIDERIVADA

3.1. Concepto de función. Dominio, recorrido y gráfica Concepto de función

5 Ecuaciones lineales y conceptos elementales de funciones

3. OPERACIONES CON FUNCIONES.

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 13 y #14

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

Ejercicio 3: -Realiza las siguientes operaciones, y después, calcula el dominio resultante. Grupo F7

Funciones y sus gráficas

Introducción a las Funciones

Unidad 5 Estudio gráfico de funciones

Funciones definidas a trozos

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

1.4.- D E S I G U A L D A D E S

1. Definición 2. Operaciones con funciones

, o más abreviadamente: f ( x)

ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES

Descomposición factorial de polinomios

EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1

FUNCIONES EN R. Agosto 2007

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos

Concepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

Tipos de funciones. Clasificación de funciones

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

Halla dominio e imagen de las funciones

1. Funciones de varias variables

El número de arriba de la fracción, el numerador, nos dice cuántas de las partes iguales están coloreadas.

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Polinomios

13.TRANSFORMACIONES LINEALES DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones

PRUEBA ESPECÍFICA PRUEBA 2014

Capitulo 4. Polinomios

3FUNCIONES LOGARÍTMICAS

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES

CAPÍTULO III. FUNCIONES

FUNCIONES. Funciones. Qué es una función? Indicadores. Contenido

CAPÍTULO 10 Aplicaciones de la Derivada a Funciones Económicas

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES Y DE SUCESIONES

M a t e m á t i c a s I I 1

Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

Características de funciones que son inversas de otras

1. Encontrar el dominio de la función racional. 2. Encontrar los interceptos con x y y de la función racional.

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Tema 2 Límites de Funciones

Límite de una función

8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3

Unidad 9 Propiedades globales de las funciones

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

Selectividad Septiembre 2013 OPCIÓN B

CAPITULO VI CONCLUSIONES. Al haber analizado los conceptos presentados en este trabajo, pudimos llegar a la

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

Cualquier número de cualquier base se puede representar mediante la siguiente ecuación polinómica:

Límites y Continuidad de funciones

Cálculo Simbólico también es posible con GeoGebra

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales

MATERIAL 2 EXCEL 2007

MATEMÁTICAS I FUNCIONES (LINEALES Y CUADRÁTICAS)

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

4.2 CÓMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES

Divido la barra de helado en ocho partes iguales. De esas ocho partes tomo seis. Parte de la barra que reparto a mis amigos :

PARTE COMÚN TEXTO. Cómo desea pagar?

1 Espacios y subespacios vectoriales.

Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite. f(x) f(a) Si f y g son derivables en a, entonces fg es derivable en a y

Lección 4: Suma y resta de números racionales

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

Enunciado unidades fraccionarias fracción fracciones equivalentes comparar operaciones aritméticas fracciones propias Qué hacer deslizador vertical

LÍMITES Y CONTINUIDAD

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

MANUAL DE USUARIO OPERADOR LOGÍSTICO

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES )

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo:

Funciones uno-uno, sobre y biunívocas

Funciones, x, y, gráficos

FUNCIÓN CUADRÁTICA. Los gráficos de as funciones cuadráticas tienen siempre un eje de simetría vertical. En este caso coincide con el eje y.

UNIDAD Nº IV ANALISIS FINANCIERO. Administración de Empresas. Prof. Robert Leal

Geometría Tridimensional

UNIVERSIDADES DE ANDALUCIA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD. Miguel A. Jorquera

REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Para cada cada valor de la función original lo multiplicas por 3 lo recorres 45 a la derecha y lo subes 5 unidades.

Fracción másica y fracción molar. Definiciones y conversión

x

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Es una persona que ayudará a que los derechos de las personas con discapacidad se hagan realidad

1. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009

GUÍA DE EJERCICIOS UNIDAD II

Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1

Transcripción:

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Funciones I Una función es una relación que se propone modelar matemáticamente una serie de fenómenos en los que una cantidad depende de otra, como estas cantidades no son fijas, reciben el nombre de variables. Es por esto que los nombres que reciben las componentes de una función son variable independiente y variable dependiente y se anotan como x e y, respectivamente. En términos simples, una función, a través del álgebra y operatoria, caracteriza la relación de dos conjuntos numéricos. De manera más formal, podemos definir función como lo siguiente: Definición : Una función f es un conjunto de pares ordenados que satisface la propiedad : (x,y),(x,y ) f = y = y Esta definición nos garantiza que para cada elemento de la primera componente del par ordenado, existe un único elemento en la segunda componente que le corresponde. Dominio y Recorrido Dominio de una función Se llama dominio de la función f al conjunto: Dom(f) := {x : y,(x,y) f} En palabras más simples, el dominio de una función es el conjunto de los valores para los cuales la función está definida. Ejemplo: Sea f(x) = 5x, determine el dominio de la función f. x 1 Analizando la definición, se tiene que para el único valor en que la función se indefine(donde el denominador se hace cero), es en x = 1, por lo tanto, este valor se descarta del conjunto del dominio. Luego, el dominio de la función f es el siguiente: Dom(f) = R {1} Material creado por word el área de Matemática PAIEP-revisado 10/07 1

Recorrido de una función Se llama recorrido de la función f al conjunto: Rec(f) := {y : x,(x,y) f} Podemos decir que el recorrido es el conjunto que contiene a los valores que efectivamente toma la variable dependiente. Ejemplo: Sea f(x) = (x 1) 2, determine el recorrido de la función f. Si se reemplaza x por cualquier número real, se podría llegar a concluir que no existe ninguna restricción en el dominio para f y por tanto, de todos los valores para los que f podría llegar en R, la función sólo toma el cero y todos los reales positivos, por lo que se tiene: Rec(f) = R + {0} Cuando no es evidente la obtención del recorrido de una función, una forma de obtener el recorrido es despejando la variable independiente y observar cuales son las restricciones para la variable dependiente (igualando f(x) = y y despejando x), una vez que se encuentran estas restricciones, se comprueba si existen puntos en el dominio que tengan esa imagen, ya que si no forman parte de las imágenes, se hace innecesario el descarte de este valor. Suma de funciones Operatoria de funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f +g, a la función definida por: Ejemplo: Sea f(x) = (f +g)(x) = f(x)+g(x) ( x+ 3 2 ( ) 1 y g(x) = 2) 2 x 5, realice la operación (f +g)(x) (f +g)(x) = f(x)+g(x) ( = x+ 2) 3 2 ( ( )) 1 + 2 x 5 ( = x 2 +3x+ 9 ) + ( 12 ) 4 x+5 = x 2 +3x+ 9 4 1 2 x+5 = x 2 + 5 29 x+ 2 4 Resta de funciones Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, y definidas en los mismos intervalos, como la función: (f g)(x) = f(x) g(x) Material creado por word el área de Matemática PAIEP-revisado 10/07 2

Ejemplo: Sea f(x) = 5(8x 3 +1) y g(x) = 6x 2 5, realice la operación (f g)(x) (f g)(x) = f(x) g(x) = (5(8x 3 +1)) (6x 2 5) = (40x 3 +5) (6x 2 5) = 40x 3 +5 6x 2 +5 = 40x 3 6x 2 +10; factorizando = 2(20x 3 3x 2 +5) Producto de funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama producto de ambas funciones, y se representa por f g, a la función definida por: (f g)(g) := f(x) g(x) Ejemplo: Sea f(x) = x 5 y g(x) = 7x 2, realice la operación (f g)(x) 4 (f g)(x) = f(x) g(x) ( x ) = 4 5 (7x 2) = x 4 7x x 4 2 5 7x+5 2 = 7x2 4 x 2 35x+10 = 7 4 x2 71 2 x+10 Cociente de funciones Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por: (x) = f(x) g g(x) Es importante destacar que la función f g (x) está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula, por lo tanto, hay que restringir del dominio estos puntos. Material creado por word el área de Matemática PAIEP-revisado 10/07 3

Ejemplo: Sea f(x) = ( 3x 3 +9x 2) y g(x) = x 2 +6x+9, realice la operación (x) = f(x) g g(x) = ( 3x 3 +9x 2) x 2 +6x+9 = 3x2 (x+3) (x+3) 2 = 3x2 (x+3) (x) g Tal como se dijo anteriormente, la función resultante de este cociente está definida para aquellos valores de x en que g no se anula, en este caso, g se anula cuando x = 3, luego, este punto es una restricción en el dominio de la función cociente. Material creado por word el área de Matemática PAIEP-revisado 10/07 4

Ejercicios Propuestos Realice las siguientes operaciones con funciones, expresando el resultado de la forma más simple posible. 1. Encuentre el dominio y recorrido de la función f(x) = 2x 3 (6x 5) 2 2. Encuentre el dominio y recorrido de la función f(x) = 3x 9x 2 1 3. Sea f(x) = x2 +14x+48 x 2 +4x 21 y g(x) = x2 +4x 32 x 2 +3x 28, calcule de la función resultante (x) y determine el dominio y recorrido g 4. Dadas las funciones f(x) = x 3 +2x 2 1, g(x) = 2x y h(x) = 3x 2 2 Calcule (f g)(x) h(x) 5. Sean f(x) = 7x 4 3x 3 +5 y g(x) = x 4 3x 3 +2, Calcule (f+g)(x) y determine el dominio y recorrido de la función resultante 6. Dadas f(x) = 4x2 5 3 y g(x) = 5 21x2, Calcule (f g)(x) y determine su dominio y recorrido 5 Material creado por word el área de Matemática PAIEP-revisado 10/07 5

7. Sea f(x) = 5x4 +3 + 21x 49 7 3 y g(x) = 42x2,Calcule (f g(x)) 3 Material creado por word el área de Matemática PAIEP-revisado 10/07 6