M555: Plantillas para Dados A) PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA A continuación se muestra el dibujo de dos dados. Los dados son cubos con puntos en sus caras para los cuales se cumple la siguiente regla: el total de puntos para dos caras opuestas es siete. Se puede hacer un dado cortando doblando y pegando una plantilla, existen diferentes opciones para hacer un dado. La siguiente figura muestra cuatro plantillas que pueden ser usadas para hacer cubos. B) PREGUNTAS DEL PROBLEMA Cuáles de las plantillas pueden ser dobladas y pegadas para construir cubos que obedezcan la regla de que la suma de las caras opuestas es siete? Para cada plantilla circula Sí o No plantilla I II III IV Cumple con la regla C) SOLUCIÓN DIRECTA DEL PROBLEMA Para que el dado cumpla con la regla es necesario que: Opuesta a la cara con el 1 debe estar la cara con el 6. Opuesto a la cara con el 2 debe estar la cara con el 5. Opuesto a la cara con el 3 debe estar la cara con el 4.
Plantilla Cumple con la regla I Si / No Observe que la cara con 6 puntos y la cara con dos puntos serán opuestas y su suma es 8. II Si / No III Si / No IV Si / No Observe que la cara con 6 puntos y la cara con cuatro puntos serán opuestas y su suma es 10. D) CRITERIOS DE EVALUACIÓN DEL PROBLEMA SEGÚN LOS ESTÁNDARES DE PISA INTENCIÓN DE LA PREGUNTA Evaluar la capacidad del alumno para identificar que el cambio de cierto objeto matemático, este caso el nivel del agua en el tanque depende de las propiedades o cambios en otro objeto matemático, en este caso el volumen del tanque. Evaluar la habilidad del alumno para anticipar las diferentes vistas de un cuerpo geométrico a partir del desarrollo plano del cubo. Criterio de evaluación para la pregunta Código 1: Respuesta correcta: No, Si, Si, No, en ese orden. Código 0: Respuesta incorrecta: cualquier otra respuesta Código 9: No hay respuesta E) SOLUCIÓN COMENTADA DEL PROBLEMA SEGÚN EL PROCESO DE MATEMATIZACIÓN EN EL MARCO PISA. Identificación de un problema matemático. Identificación de los elementos matemáticos asociados al problema, reorganización del problema en términos de las matemáticas identificadas. El objetivo es relacionar la plantilla plana del dado con el cuerpo geométrico ubicando las caras. El alumno debe reconocer que la cantidad de puntos en las caras pueden ser: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 y que para cumplir con la regla es necesario que: Opuesta a la cara con el 1 debe estar la cara con el 6. Opuesta a la cara con el 2 debe estar la cara con el 5. Opuesta a la cara con el 3 debe estar la cara
con el 4. Abstracción matemática progresiva de la realidad El alumno aplica las reglas que ha identificado en cada una de las plantillas reconociendo cuáles son las caras opuestas al construir el dado para verificar si la regla de la suma igual a se cumple. En la plantilla plana del dado, las caras opuestas quedan separadas por una cara, La figura muestra caras opuestas del mismo color. Y al construir el cubo tendría algo similar a : Resolución del modelo matemático El alumno visualiza en cada plantilla propuesta las caras opuestas y verifica que la regla su cumpla: 6 No SI
Si 4 No El alumno también puede visualizar cada una de los cubos. I. Opuesto al 6 está el 2, 6 + 2 = 8 NO II. Opuesto al 6 está el 1, 6 + 1 = Opuesto al 3 está el 4, 3 + 4 = Opuesto al 5 está el 2, 5 + 2 = SI III. Opuesto al 2 está el 5, 2 + 5 = Opuesto al 1 está el 6, 1 + 6 = Opuesto al 3 está el 4, 3 + 4 = SI IV. Opuesto al 5 está el 2, 5 + 2 = Opuesto al 4 está el 6, 4 + 6 = 10 No Uso de la solución del modelo matemático como herramienta para interpretar el mundo real. Los desarrollos planos para construir un Cuerpo geométrico y verificar las diferentes vistas que puede tener un cuerpo, las cuales no se perciben directamente son actividades que ayudan a los alumnos a desarrollar la imaginación espacial.
PROCESOS F) COMENTARIOS AL CONTEXTO Y DOMINIO DEL PROBLEMA SEGÚN EL MARCO PISA. Contexto Educacional/Profesional: El contexto en que se sitúa al problema es la relación entre la plantilla plana del cubo y e identificar la ubicación de las caras en el cubo. Dominio Espacio y Forma: El estudiante debe relacionar la plantilla plana del cubo con el cuerpo geométrico reconociendo la ubicación de cada una de las caras. G) COMENTARIOS A LOS PROCESOS MATEMÁTICOS DOMINANTES DEL PROBLEMA SEGÚN EL MARCO PISA. Se marcan en amarillo las áreas dominantes: MACRO-PROCESOS Pensamiento y razonamiento Argumentación Comunicación, utilización de operaciones y lenguaje técnico (formal y simbólico). Construcción de modelos Planteamiento y solución de problemas Representación Uso de herramientas de apoyo. Reproducción Conexión Reflexión El alumno ha razonado tal vez a un nivel reproductivo la construcción de un dado, pero posiblemente nunca se había confrontado con la idea de que hay varias posibilidades de diseño del mismo. En este caso tiene que usar su conocimiento previo (reproductivo) para resolver una situación ligeramente diferente que debe cumplir con cierta regla. El modelo del problema ya ha sido creado en el problema mismo por lo tanto el alumno sólo tiene que reproducirlo mentalmente para lograr la solución. Compárese con un problema que pidiera al alumno elaborar las plantillas de un dado que cumpla con la regla dada. Entonces el problema tendría tintes conectivos. La solución del problema es simple una vez que se ha razonado correctamente. De hecho requiere sólo sumar dos números. El alumno debe representar el problema mentalmente (imaginar qué sucede cuando se doblan las diferentes secciones del cubo). Esto es reproductivo para aquel que tenga ya experiencia en este tipo de cosas o será conectivo para aquellos que conocen un dado en la realidad pero que no han pensado cómo luce en el plano con todas sus caras desdobladas.
H) CONEXIONES CURRICULARES DEL REACTIVO PISA CON EL PROGRAMA DE LA SEP. En el documento CurrMateSEPMaster obsérvense las siguientes conexiones curriculares. Para tener mayor detalle sobre los contenidos de cada conexión curricular véase Programa Mate SEP Este problema está relacionado directamente con conocimientos y habilidades: 2.2.3 Forma, espacio y medida Formas geométricas Cuerpos geométricos Describir las características de diferentes figuras. Construir desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico. 2.5.2 Forma, espacio y medida Transformaciones Movimientos en el plano Determinar las propiedades de rotación y de la traslación de figura. Construir y reconocer diseños que combinan la simetría, rotación y traslación de figuras. 3.5.2 Forma, espacio y medida Formas geométricas Cuerpos geométricos Anticipar las características de las figuras que se generan al girar o trasladar figuras. Construir desarrollos planos de conos y cilindros rectos. Anticipar y reconocer las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Determinar la variación que se da en el radio de los diversos círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos a una esfera o un cono recto.