Capítulo 5. Medición

Transcripción

1 Actividad Club Cabri cabri.com 1 Capítulo 5 1. Aumento (archivo enlargement.cg3) Cree un triángulo ABC in el plano base. Cree un punto S en el espacio. Cree la pirámide de base ABC y vértice S. Hágala demarcada (estilo Vacío). Cree un punto A sobre el borde AS. Construya un plano paralelo al plano base que pase por A. Cree la sección A B C de la pirámide a través de este plano. Muestre de nueva la parte escondida usy o Mostrar Objetos Escondidos en el menú Mostrar. a) Calcule de dos formas la proporción del aumento cuy o se transforma la SABC en SA B C. b) Calcule de dos formas la proporción de las áreas de los triángulos ABC y A B C. Verifique que ambos resultados sean los mismo cuando se cambia A. c) Calcule de dos formas la proporción de los volúmenes de las pirámides SABC y SA B C. Verifique que ambos resultados sean los mismo cuando se cambia A. 2. Volúmenes : un cilindro y un prisma (archivo 2vases.cg3) Se colocan dos recipientes sobre un plano. Uno de ellos es un cilindro y el otro un prisma rectángulo de base triangular y de la misma altura. El prisma está lleno de agua. El agua se vierte en el cilindro. Puede calcular a qué nivel llega el agua? Marque un punto en el eje del cilindro a la altura donde calcula llega el nivel. Usando las herramientas Area, Volumen y Calculadora, construya el punto en el eje del cilindro que indica el nivel del agua. Verifique con la herramienta Volúmen. Comentario: Las figuras se pueden haber diseñado con anterioridad y dejar que los estudiantes simplemente respondan las preguntas. A continuación damos algunas explicaciones para la construcción de los dos recipientes. Pasos en la construcción de los recipientes Abra un nuevo archivo. Borre el origen y los vectores. Cree un circulo en el plano horizontal y una línea perpendicular al plano que pasa por el centro del circulo. Cree un punto esta línea. Cree el vector de origen en el centro del circulo y el punto como extremo de la línea. Cree el cilindro con el círculo como base Capítulo 5 1 Cabrilog

2 2 Actividad Club Cabri cabri.com y la altura determinada por el vector (herramienta Cilindro). Cree un triangulo cualquiera sobre el plano y una línea perpendicular a él, que pase por el vértice del triangulo. Construya un plano paralelo al plano horizontal, que pase por la parte superior del cilindro en su intersección con el punto extremo del eje y que corte también la perpendicular al triangulo. Esconda ese plano. Cree el vector con origen en el vértice y extremo en el punto de intersección recién creado. Construya el prisma definido por el triángulo y este vector. Elija los colores que desee para los sólidos y esconda la construcción de la línea s. Construcción del punto que indica el nivel de agua en el cilindro. Muestre el volumen del prisma y el área de la base del cilindro. Use la calculadora para calcular la proporción del volumen dividido por el área. El resultado es la altura esperada del nivel del agua. Use la herramienta Transferencia de Medida para crear un punto sobre el vector del cilindro para esa altura. El mismo problema se puede proponer para una pirámide, o un cono en vez del prisma y el cilindro. Dependiendo del sólido, se debe introducir un factor a la división. Capítulo 5 2 Cabrilog

3 Actividad Club Cabri cabri.com 3 Aporte de Cabri 3D Con Cabri3D es posible modificar el problema cambiando el tamaño de la base del prisma o la altura del cilindro. Esto demuestra el poder de la fórmula del volumen. Cabri 3D también permite que los estudiantes confirmen la exactitud de su construcción, mostrando el volumen de la parte del cilindro llena de agua. Debe ser igual al volumen del prisma. 2. Volumen de un cubo y de la esfera inscrita en él (archivo inscribedesferaincubo.cg3) Cree a cubo. Construya la esfera con un radio la mitad del lado del cubo. Calcule la proporción del volumen de la esfera y el cubo. Cambie el tamaño del cubo. Por qué no cambia la proporción? Solución: La proporción siempre será igual a 0.53 (redondeando). No varía porque la proporción de sus volúmenes siempre es igual (4/3) π 1/8. 4. Construya un sólido con un volumen dado sin recurrir a la calculadora de Cabri (archivo pyramidandcube1.cg3) Cree un cubo. Cree un cuadrado en el plano base con su lado igual al doble del lado del cubo. Construya una pirámide a partir de este cuadrado cuyo volumen sea el mismo del cubo. Un archivo ya preparado puede contener tanto el cubo como el cuadrado. La construcción puede verificarse mostrando el volumen del cubo y el de la pirámide. Caso general usando la calculadora de Cabri3D (archivo pyrámidandcubo2.cg3 Cree un cubo. Cree un cuadrado en el plano base. Construya una pirámide sobre este cuadrado, con el mismo volumen del cubo. 5. Areas (archivo areaspherecylinder.cg3) Cree una esfera con centre en el origen de los vectores. Construya el círculo resultante de la intersección de la esfera con el plano base (herramienta Curva de Intersección). Cree un cilindro a partir de este círculo y con la misma área lateral de la esfera. Varíe el radio de la esfera. Para qué valores es el radio de la esfera menor que la altura del cilindro? Para cuales mayor? Capítulo 5 3 Cabrilog

4 4 Actividad Club Cabri cabri.com 6. Volúmenes: una esfera y un cilindro (archivo ballinavase.cg3) Un recipiente cilíndrico contiene agua con una bola adentro. Construya la simulación, mostrando el nivel del agua que cambia en función del radio de la bola en el agua. Construya el recipiente como un cilindro. Con la base un circulo de centro O en el plano base y otro cilindro representando el agua, en color azul. Cree un punto C sobre el eje del cilindro y construya la esfera de centro C y radio CO. Calcule el aumento en el nivel del agua cuando se pone la bola en el recipiente. Construya el nuevo cilindro de agua. Al arrastrar el punto C (e.g. cambiar el tamaño de la bola) podrá ver como el nivel del agua cambia. Hay un punto en el cual el radio de la bola se hace mayor que el del cilindro! La herramienta Redefinición le permite redefinir el punto C como perteneciente al segmento y restringir la variación de C de forma que el radio de la bola siempre sea menor que el radio del cilindro. Capítulo 5 4 Cabrilog

5 Actividad Club Cabri cabri.com 5 Aporte de la herramienta Redefinición en modelos La herramienta Redefinición es muy útil en simulaciones. Permite que el usuario tenga en cuenta limitantes que se descubren solo después de un primer intento, sin necesidad de destruir del todo la simulación; simplemente añade la nueva limitante. Grafica del nivel del agua en el recipiente como función del radio de la bola. Cree el punto de coordenadas (0, OC, h) donde h es el nivel del agua de los vectores dados al iniciar Cabri 3D. Obtenga su trazado (Herramienta Trayectoria) arrastrando C. La curva así obtenida es una función cubica. (muy plana en su mínimo. 7. Radio del corte de una esfera como función de la altura de la sección (archivo crosssectionsphere.cg3) Construya una esfera de centro O y radio OA. Cree un punto H en la línea perpendicular al plano horizontal que pasa por O. Construya la sección de la esfera con el plano paralelo al plano horizontal que pasa por H. Sea h = OH y r = HP. En un plano paralelo al horizontal, construya el punto M cuyas coordenadas son h y r. Arrastre H y observe la trayectoria de M. Aventure una explicación, verifíquela con Cabri y pruébela. 8. Geodésica sobre un cubo (archivo shortestpathoncube.cg3) Capítulo 5 5 Cabrilog

6 6 Actividad Club Cabri cabri.com Cree un cubo. Cree dos puntos A y B en dos caras adyacentes. Construya el sendero más corto entre A y B. El principio consiste en reemplazar ese sendero con uno planar y aplicar la propiedad de que en un plano la distancia más corta es la línea recta. La grafica de la variación de la suma AM+MB en función de RM se muestra en un plano vertical. En un cilindro (archivo geodesiccylinder.cg3) El principio es el mismo, pero el plano se obtiene desenrollando el cilindro o el cono en un plano. Presupone que uno sabe cuál es el resultado del desenvolvimiento del cilindro o del cono.. En un cilindro Dos puntos A y B se crean en una misma mitad del cilindro. (ángulo acb < 180 ). Un punto A en el cilindro se determina con una proyección a sobre la base círculo y su altura aa. La proyección de la superficie lateral es un rectángulo escogido sobre el plano vertical OO C. El punto correspondiente de la proyección se construye por medio de estos dos números: la longitud del arco Oa se transfiere por el rayo oc y produce el punto a. El punto A es el punto de la proyección llevado a a y con la misma altura de A. El punto B corresponde a B y es construido desde B de la misma forma. La distancia más corta entre A y B es el segmento A B. La distancia más corta entre A y B es la trayectoria del punto M cuyo punto correspondiente en la proyección es M que describe el segmento A B. Cree un punto variable M sobre A B. Construya el punto correspondiente M sobre el cilindro y obtenga la trayectoria de M cuando se arrastra M. A partir de la construcción se puede determinar que z M es proporcional a la longitud del arco Om. La geodésica entre A y B pertenece a una hélice. La propiedad de la tangente de la hélice en ángulo constante con el eje del cilindro Capítulo 5 6 Cabrilog

7 Actividad Club Cabri cabri.com 7 también puede derivarse de esta construcción. Se obtienen ciertos casos particulares cuando A y B tienen la misma altura o cuando A y B se encuentran en la misma línea vertical. La construcción puede verificarse en cada caso. Capítulo 5 7 Cabrilog