Capos agnéticos y corrientes eléctricas EJERCICIOS PROPUESOS. Explica el fundaento científico de la utilización de la brújula para la orientación. La brújula es un ián natural que se orienta en el capo agnético terrestre señalando la dirección de los polos agnéticos de la ierra.. Señala la diferencia entre ianes naturales e ianes artificiales, y entre ianes peranentes y teporales. Los ianes naturales son aquellos que se encuentran en la naturaleza sin intervención huana. El ián natural ás conocido es la agnetita. Algunas sustancias se agnetizan cuando se frotan con agnetita o se soeten a corrientes eléctricas; en este caso, se tratará de ianes artificiales. De entre las sustancias que se agnetizan, es posible encontrarse ateriales que presentan agnetización al estar en contacto con un ián peranente, pero que dejan de tenerla cuando desaparece el contacto; se trata de ianes teporales. Los ianes peranentes son aquellos que antienen la agnetización aunque se encuentren lejos de la fuente que lo agnetizó..3 Cuánto vale la fuerza agnética sobre una carga en reposo situada en un capo agnético? Por qué? La fuerza agnética es nula, porque la fuerza agnética sobre una carga es: q (v ) Si la carga está en reposo (v 0), el producto será nulo..4 Cuánto vale la fuerza agnética sobre una carga que penetra en un capo agnético unifore con una velocidad paralela a la dirección del capo? Por qué? La fuerza es cero, porque, si una carga penetra en un capo agnético unifore con una velocidad paralela a la dirección del capo, el producto vectorial v es cero..5 Una partícula de asa y carga q penetra con una velocidad v en dirección perpendicular a un capo agnético. Deuestra que la frecuencia con que gira en el capo, denoinada frecuencia ciclotrónica, no depende del valor de la velocidad. Si se cobina la ecuación de la fuerza agnética con la de un oviiento circular, se tiene: v qv R qr πr π v q Por tanto, la frecuencia con que la partícula gira en el capo no depende de la asa y es: ν q π. Un protón (q, 0 9 C,,7 0 7 5 kg) penetra con velocidad v,0 0 ( j + k) s en un capo agnético unifore 7,5 j. Calcula la fuerza agnética sobre el protón y el radio de la circunferencia que describe. 5 5 3 q (v ) q,0 ( j k) 7,5 j,,0 7,5 k j, i N La fuerza agnética es: [ ] ( ) El radio de la trayectoria será: R v q,7,0, 7,5 5, 7
.7 Un electrón (q, 0 9 C, 9, 0 3 kg) penetra con una velocidad de 3 0 s en dirección perpendicular a un capo unifore de de un acelerador de partículas. Calcula el radio de la circunferencia que describe el electrón y el núero de vueltas que da cada ilisegundo. El radio de la trayectoria será: La frecuencia es: v R q 9, 0 3 0, 0,8 0 ν q,,7 vueltas s π π 9, Por tanto, el núero de vueltas en un ilisegundo será:,7 0 0 3,7 0 8.8 Un electrón se ueve en un órbita circular de de radio dentro de un capo agnético de 0,3. Calcula: a) Su velocidad. b) La energía cinética del electrón. c) El período de su oviiento. v Rq, a) R v q 9, 8 c π π 9, 0 c), s q, 0,3 0,3, 5 b) E v 9, (, ) 5,5 J.9 Halla el ódulo de la fuerza agnética que actúa sobre un conductor recto de 0 c de longitud situado en un capo agnético de con el que fora un ángulo de 45º cuando circula por él una corriente de 0,3 A. 8 s oando la ecuación de la fuerza sobre un conductor, se tiene: IL sen α 0,3 0,0 sen 45º 0,5 N.0 Un conductor recto, de longitud L, por el que circula una corriente I, está situado en un capo agnético unifore 0 en dirección perpendicular a las líneas de fuerza del capo. Calcula la fuerza agnética sobre el conductor. oando la ecuación de la fuerza sobre un conductor, se tiene: IL sen α IL0 sen 90º IL 0. Indica cuáles son las unidades de las siguientes agnitudes en el SI. uerza agnética, área de una espira, oento del par de fuerzas sobre una espira, oento agnético de una espira. uerza agnética, N; área de una espira, ; oento del par de fuerzas sobre una espira, N; oento agnético de una espira, A.. Calcula el oento del par de fuerzas sobre una espira cuadrada de 0 c de lado situada en un capo agnético unifore de 0,5 cuando circula por ella una corriente de 500 A, sabiendo que el plano de la espira fora un ángulo de 30º con la dirección del capo. Si el plano de la espira fora un ángulo de 30º con la dirección del capo, el vector superficie y el capo foran un ángulo de 0º. El oento del par de fuerzas sobre la espira es: M ISsenα 0,500 0,0 0,5 sen 0º, N 73
onario.3 Calcula el capo agnético generado por un conductor recto, recorrido por una corriente de A, en un punto situado a c de distancia. Aplicando la ecuación del capo generado por un conductor recto y sustituyendo, se tiene: 0 5 μ I 4π 0 πr π 0,.4 Deterina la intensidad de la corriente eléctrica que debe circular por una espira de 30 c de diáetro para que el capo agnético en su centro sea 5 0 5. Aplicando la ecuación del capo generado por una espira, despejando y sustituyendo, se tiene: R 0,5 5 I R μ 4π 0 5 A.5 Arguenta si las siguientes afiraciones son correctas o no. El capo agnético en el centro de una espira: a) Se duplica si se duplica la corriente que circula por ella. b) Depende del edio en el que se encuentre la espira. c) Peranece constante si se interrupe la circulación de corriente eléctrica por la espira. ' μ0 I a) Es correcta. Sustituyendo se tiene: ' R R b) Es correcta. El valor de μ en la expresión del capo depende del edio. c) No es correcta. Si se interrupe la circulación de corriente eléctrica, el valor del capo agnético tenderá a desaparecer.. Calcula el valor de la intensidad de la corriente que debe circular por un solenoide de 0 centíetros de longitud que está forado por 450 espiras para generar en su interior un capo agnético de 0,0. Considerando el solenoide, se tiene un núero de espiras por unidad de longitud que es: n N L 450 0,0 50 espiras oando la ecuación del capo en un solenoide, despejando y sustituyendo, se tiene: 0,0 μ ni I μ n 4π 50 0 7 0 7, A.7 En el solenoide del ejercicio anterior se introduce un núcleo de hierro. Calcula el valor de la intensidad de la corriente que debe circular por él para obtener en su interior el iso capo de 0,0. Considerando que en el texto se indica que μ hierro 000 μ 0, si se introduce un núcleo de hierro en el solenoide, se tendrá: I μ 0,0 n 000 4π hierro 7 7, 50 A 7, A.8 Calcula la fuerza por unidad de longitud con la que se repelen dos conductores rectilíneos paralelos por los que circulan corrientes eléctricas de A y 3 A en sentidos contrarios si están separados por una distancia de 3 c. De la ecuación de la fuerza por unidad de longitud, se tiene que el ódulo de la fuerza de repulsión será: L 0 II 4π 3 5 4 N μ πr π 0,03 74
.9 Dos conductores rectos y paralelos, separados por una distancia r, están recorridos por intensidades de corriente I en el iso sentido. La fuerza de atracción entre ellos, es ayor en el vacío o en otro edio? Por qué? En un edio cualquiera, la ecuación de fuerza por unidad de longitud tiene la siguiente fora: μ I I L π r Este valor es ayor que en el vacío, porque para cualquier edio μ > μ 0..0 Señala dos analogías y dos diferencias entre los capos gravitatorio y agnético. Analogías:.ª Abos son capos de fuerza. La fuerza ejercida por el capo gravitatorio es proporcional a la asa sobre la que actúa. La fuerza ejercida por el capo agnético es proporcional a la carga eléctrica sobre la que actúa..ª Abos quedan caracterizados por un vector en cada punto del capo. El capo gravitatorio queda definido en cada punto por el vector intensidad del capo g. El capo agnético queda definido en cada punto por el vector inducción agnética. Diferencias:.ª La fuerza gravitatoria es siepre de atracción y paralela al capo gravitatorio. La fuerza agnética puede ser atractiva o repulsiva, pero siepre fora un ángulo de 90º con el capo agnético..ª La constante de gravitación universal G es igual en todos los edios. La pereabilidad agnética μ tiene un valor diferente para cada edio.. Señala dos analogías y dos diferencias entre los capos eléctrico y agnético. Analogías:.ª Abos son capos de fuerza. La fuerza ejercida por el capo eléctrico es proporcional a la carga sobre la que actúa. La fuerza ejercida por el capo agnético tabién es proporcional a la carga eléctrica sobre la que actúa..ª La constante electrostática K tiene un valor diferente para cada edio. La pereabilidad agnética μ tabién tiene un valor diferente para cada edio. Diferencias:.ª El capo eléctrico es un capo de fuerzas conservativo. El capo agnético es un capo de fuerzas no conservativo..ª Se puede definir un potencial eléctrico V en cada punto del capo. No se puede definir un potencial agnético en cada punto del capo.. Cóo se puede coprobar experientalente si una sustancia es diaagnética o paraagnética? asta con introducirlas por uno de los extreos de un electroián y edir la fuerza que ejerce el capo agnético sobre ellas. Una sustancia diaagnética se aleja del electroián oviéndose hacia la zona de enor intensidad del capo agnético. Una sustancia paraagnética se ueve hacia el interior del electroián, o lo que es lo iso, hacia la zona donde el capo agnético se intensifica..3 Por qué el cobre es repelido ligeraente por un electroián que genere un intenso capo agnético? El cobre es una sustancia diaagnética. Si se sitúa en un capo externo, se induce un capo agnético oentáneo uy débil de sentido opuesto al externo, que tiende a alejar el cobre del ián. Es una sustancia que es repelida ligeraente por los ianes. 75
onario.4 Cuál es la principal diferencia entre sustancias paraagnéticas y ferroagnéticas? Las sustancias ferroagnéticas se ueven hacia el interior de un electroián, al igual que las sustancias paraagnéticas, pero lo hacen de fora uy acentuada, experientando una fuerza agnética que puede ser hasta 00 000 veces ayor que las que experienta una sustancia paraagnética..5 Cóo influye la teperatura en el carácter ferroagnético de una sustancia? Los efectos ferroagnéticos desaparecen por encia de una teperatura, denoinada punto de Curie, que es característica de cada sustancia. EJERCICIOS Y PROLEMAS UERZA DE LORENZ. MOVIMIENO DE CARGAS EN CAMPOS MAGNÉICOS. Una carga q 3,4 0 9 C se ueve con una velocidad de,75 0 i s. Qué fuerza actúa sobre ella si el capo agnético es 0,38 j? Aplicando la ecuación de la fuerza agnética, se tiene: 9 q (v ),4 (,75 i 0,38 j),80 k ( N).7 Calcula la fuerza que actúa sobre una partícula con carga eléctrica q 3 nc, que tiene una velocidad v 0 k s, cuando penetra en el siguiente capo agnético. a) 0,03 j + 0,04k () b) 0,0i + 0,0 j () c) 0,0i + 0,04 j + 0,05k () Aplicando la ecuación de la fuerza agnética, se tiene: a) 9 5 q (v ) ( ) k (0,03 j + 0,04k) 9 i (N) b) 9 5 5 q (v ) ( ) k (0,0i + 0,0 j) i + 3 j (N) c) 9 4 5 q (v ) ( ) k (0,0i + 0,04 j + 0,05k), i + 3 j (N).8 Un electrón penetra con una velocidad v 0i ( s ) en una región en la que coexisten un capo eléctrico E i + 4 j (V ) y un capo agnético 0,4k (). Calcula la aceleración que experienta el electrón cuando penetra en el capo. La fuerza de Lorentz sobre el electrón es: e E + v, i + 4 j + 0 i 0,4k La aceleración será: ( ) ( ), (i + 4 j 8 j), (i 4 j) N, (i 4 j) a (,5 i + 7,0 j) 9, (s ) 7
.9 Un protón describe una trayectoria circular de de diáetro en un plano perpendicular a un capo agnético unifore de 0,8. Calcula: a) La frecuencia del oviiento. b) La velocidad del protón. c) Su energía cinética. Aplicando las ecuaciones correspondientes, se tiene: q, 0 0,8 7 a) ν, 0 Hz π π,7 0 b) R v q v Rq 0,5,,7 0,8 3,8 7 s 7 c) E v,7 0 ( 3,8 0 ), 0 J c.30 Calcula la energía cinética (en ev) de una partícula α que describe una órbita circular de 40 c de radio en el interior de un capo agnético de 0,5. Partícula α: asa,5 0 7 kg; carga 3, 0 9 C. Velocidad de la partícula: Energía cinética: v Rq 0,40 3,,5 0,5 9, s En electronvoltios: E c v,5 3 ( 9, ) 3, J E c 3 3, J, J(eV),9 ev.3 Una partícula de asa, con carga q y velocidad v, penetra oblicuaente con un ángulo α en un capo agnético unifore. Halla el paso de la hélice que describe la partícula en el capo. El tiepo que tarda la partícula en describir una vuelta copleta es el período: π q senα Durante este tiepo, la partícula recorre una distancia d en la dirección del capo con una velocidad igual a la coponente de la velocidad inicial paralela al capo: d v cos α Por tanto, el paso de la hélice (d) es: π πv d v cos α cot gα q sen α q 77
onario.3 Un electrón se ueve en un capo eléctrico y agnético unifore con una velocidad de, 0 4 s en la dirección positiva del eje x y con una aceleración constante de 0 s en la dirección positiva del eje z. Si el capo eléctrico tiene una intensidad de 0 N C en la dirección positiva del eje z, cuál es el valor del capo agnético en la región? Datos. e 9, 0 3 kg, e, 0 9 C 4 Del enunciado, se tiene que la velocidad del electrón es: v, i ( s ) ; la aceleración del electrón es: a k ( s ) y la intensidad del capo eléctrico: E 0k (NC ) La fuerza sobre el electrón será: a 9,,8 8 k (N) La fuerza debida al capo eléctrico es: qe, e E, 8 k (N) Dado que la fuerza sobre el electrón es la sua de la fuerza eléctrica y la fuerza agnética, se tiene: 8 8 8 e +,8 0 k, k + 5,0 k (N) La fuerza agnética sufrida por el electrón proviene de la ecuación: 8 q(v ) 5,0 k, 9 4 (, i ) Para que el producto vectorial ( i ) tenga la dirección positiva del eje z, debe ser j. Por tanto: 5,0 0 8 4, El capo agnético será:, j (),,.33 Arguenta si las siguientes afiraciones son verdaderas o falsas. a) La fuerza agnética es perpendicular a la velocidad de una partícula cargada situada en el capo agnético. b) El capo agnético increenta la velocidad de una partícula cargada que penetra en él. c) Si en una región el capo eléctrico es nulo, la fuerza de Lorentz se expresa ediante q(v ). a) Verdadera. La fuerza agnética tiene la dirección del producto vectorial de la velocidad por el capo agnético y, en consecuencia, es perpendicular a la velocidad. b) alsa. La fuerza agnética es perpendicular a la velocidad y, por tanto, cabia la dirección de la velocidad pero no su ódulo. c) Verdadera. ee + q (v ). Si E 0, se tiene: q (v ).34 Un ciclotrón para acelerar protones tiene un radio de 0 c y un capo agnético de,. Calcula: a) La frecuencia del ciclotrón. b) La velocidad áxia que adquieren los protones en el ciclotrón. a) La frecuencia áxia se calcula aplicando la inversa del período: q, 0, 7 ν,8 0 Hz π π,7 0 b) La velocidad áxia de los electrones en el ciclotrón corresponde al radio de 0 c: v Rq 0,0,,7,,8 0 7 s 78
.35 Un electrón entra en una región del espacio en la que existe un capo eléctrico unifore, paralelo al eje x y de intensidad E E i. La velocidad del electrón es paralela al eje y: v vj. Donde E 0 3 V y v 0 3 s. a) Calcula la fuerza eléctrica sobre el electrón. Cóo será la trayectoria descrita? b) La fuerza eléctrica sobre el electrón puede anularse ediante una fuerza producida por un capo agnético opuesto al anterior en esa región del espacio. Deterina el ódulo, dirección y sentido de la intensidad () de este capo. c) Cuál será la fuerza neta (ódulo, dirección y sentido) sobre un protón que llega al doble de velocidad que el electrón a esa isa superposición de capos? Datos. Carga del electrón:, 0 9 C; asa del electrón: 9, 0 3 kg; asa del protón: 800 e 3 3 a) De los datos del enunciado, se tiene: E 0 i (V ) v 0 j (s ) uerza eléctrica sobre el electrón: q E, e e 3 ( 0 )i, i (N) La trayectoria es una línea parábola en el plano XY. b) Para anular esta fuerza eléctrica, la fuerza agnética debe ser:, i (N) eniendo en cuenta los factores de los que depende, la fuerza agnética es qv, se tiene: 3, 0 qv q v, 0 0 El vector capo agnético será, teniendo en cuenta que la carga del electrón es negativa: k () c) La fuerza eléctrica será la isa, pero de sentido opuesto: ee, i ( N) e La fuerza agnética será: q (v ), La fuerza neta sobre el protón será: +, e 3 ( j k) 3, i + 3, i, i i (N) (N).3 Un selector de velocidades está forado por dos capos perpendiculares, uno agnético de 0, y otro eléctrico de 4 0 5 N C. Calcula la velocidad y la energía cinética (en ev) de los electrones que pasan a través del selector sin ser desviados. Los electrones no se desvían cuando su velocidad hace que la fuerza eléctrica sea opuesta a la fuerza agnética: 5 E 4 v 0, s Por tanto, su energía cinética será: La energía en electronvoltios será: E c v 9, 8,8 Ec, 8 ( ),8 J,4 ev 79
onario.37 Una partícula de carga q y de asa se acelera desde el reposo ediante una diferencia de potencial V. Después se introduce en una región con un capo agnético unifore de dirección perpendicular a la velocidad de la partícula, de odo que esta describa una trayectoria circular de radio R. Deuestra que la relación carga/asa de la partícula es: q V R La energía cinética adquirida por la partícula es igual a la disinución de su energía potencial al ser acelerada ediante el potencial V: E c qv Elevando al cuadrado el radio de la trayectoria circular descrita por una carga en un capo agnético unifore, se tiene: v v R R q q Despejando las agnitudes correspondientes a la energía cinética, se tiene: v R v q q q Igualando la energía cinética a la energía potencial electrostática, se tiene: V R E C qv q q q Reorganizando esta últia expresión, se encuentra la relación del enunciado: V q V R q R E c UERZAS MAGNÉICAS SORE CORRIENES ELÉCRICAS.38 Un conductor recto de de longitud, por el que circula una corriente de 4 A, fora un ángulo de 45º con un capo agnético unifore de 0,4. Calcula la fuerza agnética sobre el conductor. Utilizando la ecuación de la fuerza sobre un conductor rectilíneo y sustituyendo, se tiene: IL sen α 4 0,4 sen 45º, N.39 Un conductor largo horizontal, por el que circula una corriente de 5 A, se encuentra en el interior de un capo agnético vertical unifore de 3. Calcula la fuerza agnética por unidad de longitud del conductor. El ángulo que foran el conductor y el capo es 90º. Sustituyendo en la ecuación, se tiene: IL senα L I sen α 5 3 sen 90º 5 N.40 Dos barras rectilíneas, horizontales y paralelas, de 50 c de longitud y separadas,5 situadas en un plano vertical, transportan corrientes de 5 A de intensidad de sentidos opuestos. Qué asa debe situarse en la barra superior para equilibrar la fuerza agnética de repulsión? La fuerza agnética sobre 50 c de la barra superior es: I L 4π 5 5 0,50,50 πr π,5 El peso (hacia abajo) debe equilibrar la fuerza agnética (hacia arriba). Despejando, se tiene: g,5 9,8,53 kg N 80
.4 Una espira rectangular conductora de c de largo y 5 c de ancho, recorrida por una corriente de 0 A, se encuentra, coo se indica en la figura, en el interior de un capo agnético unifore de 0,0. Calcula el oento del par de fuerzas que actúa sobre la espira. c 0,0 5 c La superficie de la espira del enunciado es: I 0 A S ( 0 ) (5 0 Aplicando la ecuación del oento agnético se tiene: M IS sen α 0 ) 0 0,0 sen 90º,4 N.4 Calcula el valor del par de fuerzas áxio que se ejerce sobre una espira circular de 4 c de radio recorrida por una corriente de A y que se encuentra en el interior de un capo agnético unifore de 0,3. El par de fuerzas áxio corresponde a un ángulo α 90º. Sustituyendo en la ecuación, se tiene: M IS sen α IS π (4 ) 0,3 3,0 N.43 Una bobina circular está copuesta por 400 espiras de c de diáetro por las que circula una corriente de A. Halla el oento del par áxio que actúa sobre la bobina cuando se encuentra en el interior de un capo agnético unifore de. El par de fuerzas áxio corresponde a un ángulo α 90º. El oento debido a la bobina es N veces el debido a cada espira: M NISsen α NIS 400 π ( ) 8, N.44 Se dispone de un conductor de longitud L que se enrolla para forar una espira circular. Deuestra L I que el oento agnético de la espira cuando circula por ella la corriente I es. Será igual el 4π oento agnético para espiras de otra fora obtenidas con el iso conductor? La longitud de la circunferencia forada es L πr. Por tanto: L L I IS IπR Iπ π 4π Con un iso conductor se pueden hacer espiras que tengan diferente superficies; por tanto, se obtendrán espiras con oentos agnéticos diferentes..45 Halla la fuerza por centíetro entre dos conductores uy largos, rectos y paralelos, situados en el vacío a una distancia de 5 c, recorridos abos por corrientes de A que tienen: a) El iso sentido. b) Sentidos opuestos. a) Sustituyendo en la ecuación de fuerza entre conductores para c de longitud de conductor, se tiene: I L 4π 0,0, πr π 5 La fuerza por centíetro será:, 0 7 N c, atractiva. b) La fuerza por centíetro será:, 0 7 N c, repulsiva. N 8
onario.4 Arguenta cóo varía la fuerza por unidad de longitud entre dos conductores uy largos, rectilíneos y paralelos, en los siguientes casos: a) Se duplica la intensidad que circula por cada uno al tiepo que se reduce la distancia entre ellos a la itad. b) Se duplica la intensidad que circula por abos al tiepo que se duplica tabién la distancia entre ellos. c) Se reduce a la itad la intensidad que circula por cada uno al tiepo que tabién se reduce la distancia entre ellos a la itad. a) Si r 0,5 r, I I, I I ' μ I' I' L πr' La fuerza por unidad de longitud se ultiplica por 8. b) Si r r, I I, I I 0 ' μ I' I' L πr' μ0 I I π 0,5 r μ I I π r μ0 I I 8 πr μ0 I I πr 0 0 La fuerza por unidad de longitud se ultiplica por. c) Si r 0,5 r, I 0,5I, I 0,5I ' μ I' I' L πr' La fuerza por unidad de longitud se reduce a la itad. μ 0,5 I 0,5 I π 0,5r 8 L L μ0 I I 0,5 πr 0 0 0,5 L CAMPOS MAGNÉICOS CREADOS POR CORRIENES ELÉCRICAS.47 Una corriente de 0 A circula por un alabre largo y recto. Calcula el valor del capo agnético en un punto situado a 0 c del alabre. De acuerdo con la ley de iot y Savart: μ I 4π 0 πr π 0,0 0 5.48 Qué capo agnético es ayor en ódulo: el que existe en un punto situado a una distancia R de una corriente rectilínea de intensidad I, o el que hay en un punto a una distancia R de otra corriente de intensidad I? Justifica tu respuesta. μ0 El capo a una distancia R es: I πr A una distancia R con una intensidad I el capo es: Abos capos son iguales. μ0 ( I) μ I ' π ( R) π R 0.49 Calcula qué intensidad de corriente debe recorrer un alabre recto uy largo para que genere un capo agnético de μ a una distancia de: a) ; b) 0 c; c). En todos los casos, se puede aplicar la siguiente ecuación: μ0 I π π I r r 5 r πr μ 4π a) Si r : I 5 r 5 5 A b) Si r 0 c: I 5 r 5 0,0 0,5 A c) Si r : I 5 r 5 0,00 0,005 A 5 A 0 8
.50 Dos cables paralelos situados en el plano del papel transportan corrientes iguales en sentidos opuestos. Cóo es el capo agnético en el punto edio entre abos cables? Los capos agnéticos debidos a cada conductor tienen la isa dirección y sentido. El ódulo del capo resultante es la sua de abos. Si d es la distancia entre los dos conductores: μ oi μ 0I + π 0,5d π 0,5d πd.5 En el plano XY hay dos cables rectilíneos y uy largos, separados una distancia d y paralelos al eje x. Por abos conductores circula una corriente I en el sentido positivo del eje x. Calcula el capo agnético en los puntos del espacio contenidos en el plano XY y que: a) Sean equidistantes de abos conductores. b) Estén situados a una distancia d/ por encia del cable superior. c) Estén situados a una distancia d/ por debajo del cable inferior. a) En un punto equidistante de abos conductores, los capos agnéticos debidos a cada conductor tienen la isa dirección y el iso ódulo, pero sentidos opuestos. El ódulo del capo resultante, sua de los capos de cada conductor, es nulo: 0. b) Si el punto está situado 0,5d por encia del cable superior, está,5d del inferior. Por tanto: sup πr π 0,5d πd inf πr π,5d 3πd En ese punto los capos agnéticos debidos a cada conductor tienen la isa dirección y el iso sentido. El ódulo del capo resultante, sua de los capos de cada conductor, es: 4μ 0I sup + inf + πd 3πd 3πd eniendo en cuenta la dirección y el sentido, el capo resultante es: 4 I μ π0 k 3 d c) Si el punto está situado 0,5 d por debajo del cable inferior, está,5 d por debajo del superior. Por tanto: μ I πr π,5d 3πd 0 sup inf πr π 0,5d πd En ese punto los capos agnéticos debidos a cada conductor tienen la isa dirección y el iso sentido. El ódulo del capo resultante, sua de los capos de cada conductor, es: 4 sup + inf + 3πd πd 3πd eniendo en cuenta la dirección y el sentido, el capo resultante es: 4 I μ π0 k 3 d.5 Sea un hilo conductor rectilíneo indefinido, de sección despreciable y por el que circula una corriente de A. Se lanza una partícula cargada con 0 9 C paralelaente a la corriente, con velocidad inicial de 0 s y a una distancia de c del hilo conductor. Calcula la fuerza que actúa sobre la carga. Datos. μ 0 4π 0 7 A El capo agnético debido al conductor, a la distancia a la que se encuentra la carga, es: μ I 4π πr π 0,0 0 5 Este capo es perpendicular al conductor y fora con la velocidad un ángulo de 90º. La fuerza de Lorentz sobre la carga es: qv 0 9 5 8 0 0 4 0 N 83
onario.53 Arguenta si las siguientes afiraciones son correctas o no. a) El capo agnético en el centro de una espira circular es tanto ayor cuanto enor es el radio de la espira. b) La circulación del vector a lo largo de una línea cerrada es cero. c) El capo agnético generado por un solenoide es tanto ayor cuanto ayor es el núero de espiras del solenoide. a) Sí es correcta. La ecuación es: μ 0I y cuanto enor es el radio R de la espira ayor es el capo. R b) No es correcta. La circulación de a lo largo de una línea cerrada es igual a μ 0 veces la intensidad de la corriente o corrientes encerradas por ella, por lo que puede ser distinta de cero. c) No es correcta. El capo agnético en el interior del solenoide no depende del núero de espiras, sino de la concentración de espiras a lo largo del iso (de lo apretadas que estén), es decir, del núero de espiras por unidad de longitud..54 Un solenoide de 0 c de longitud tiene 000 espiras. Calcula el valor de la corriente que debe circular por él para generar un capo agnético en su interior de. La densidad de espiras del solenoide es: n N L 000 0,0 5000 esp El capo agnético en el interior del solenoide es: μ 0 ni I μ n 7 0 4π 5000 0,3 A.55 Un solenoide que tiene 0 000 espiras por etro y una resistencia eléctrica de ohios se conecta a una batería de 50 voltios de fuerza electrootriz y ohio de resistencia interna. Ω I 50 V Ω Calcula el capo agnético inducido en el interior del solenoide. Aplicando la ley de Oh generalizada: I ε 50,5 A R + r + El capo agnético que genera esta corriente será: μ0 ni 4π 0 0000,5 0,4.5 Un electrón se dirige con velocidad v 8 0 7 s - hacia un conductor rectilíneo por el que circula una corriente ascendente I A. Deterina la fuerza agnética que el conductor ejerce sobre el electrón cuando este se encuentra a del conductor. Datos. e,0 0 9 C, μ 0 4π 0 7 A Capo agnético debido al conductor en un punto a de distancia: 4π πr π Este capo es perpendicular al conductor y fora con la velocidad un ángulo de 90º. A v e _ La fuerza de Lorentz sobre el electrón es: ev, 7 8 8,5 N 84
.57 Halla el valor de la inducción agnética en el centro de una espira circular de c de diáetro por la que circula una corriente de 3 A. El valor del capo agnético en el interior de una espira es: μ I 4π 3 3, R 0,0 0 5.58 Dos espiras circulares, coplanarias y concéntricas, tienen radios 0 y 5 c. La de ayor radio está recorrida por una corriente eléctrica de A. l R O R l Halla la intensidad de la corriente eléctrica que debe circular por la espira de enor radio para que la inducción agnética en el centro de las espiras sea nula. Los capos debido a cada espira tienen la isa dirección y para que tengan sentidos opuestos deberán circulara en contracorriente (en sentido contrario al de la figura). Para que se contrarresten estos capos sus ódulos deben ser iguales: R 0,0 I I,33 A R R R 0,5.59 Un alabre conductor, por el que circula una corriente I, se dobla forando una circunferencia coo se indica en la figura, sin que haya contacto eléctrico en el punto P. R O I P I Halla el capo agnético en el centro O de la circunferencia. Capo en O debido al conductor rectilíneo, que está a una distancia R: Capo debido a la circunferencia (espira circular): πr πr R Estos capos tienen en P la isa dirección y el iso sentido. El capo resultante en O es: + + (+ πr R πr π ) 85
onario.0 Un conductor cilíndrico de 8 diáetro está recorrido por una intensidad de corriente de 0 A distribuida uniforeente por su sección recta. Calcula el valor del capo agnético a una distancia del eje del conductor de: a). b) 4. c) 8. a) Es un punto interior del conductor. El capo en él está expresado por: Sustituyendo el valor de r, se tiene: μ I πr πr 4π r π (4 ) r 0 3 4,5 b) Es un punto de la superficie del conductor. El capo en él está expresado por: Sustituyendo el valor de r, se tiene: πr r μ I πr 0 3 4 5,0 4π r 4 π (4 ) c) Es un punto exterior al conductor. El capo en él está expresado por la ley de iot y Savart: Sustituyendo el valor de r, se tiene: μ 0I πr 0 4 μ I 4π,5 πr π 8 8
PROLEMA DE SÍNESIS. Una agencia científica estatal desea construir un acelerador de partículas tipo ciclotrón de fora que acelere electrones hasta que adquieran 30 MeV. Los electrones penetran en las D con una energía inicial de 0 ev y el capo agnético perpendicular existente en el interior de estas piezas es 0 4. Asiiso, entre las D se establece una ddp de 000 V. a) Deterina la velocidad de entrada del electrón al acelerador. b) Calcula el radio de la priera seicircunferencia que describe el electrón. c) Cuánta energía recibe el electrón cada edia vuelta? d) Qué hay que hacer con la ddp para que se produzcan dos aceleraciones por vuelta? e) Por otivos de fabricación, el áxio radio que se puede dar a las piezas D es. Deterina la velocidad de salida de los electrones acelerados. f) Calcula las vueltas que darían los electrones en este ciclotrón. g) Indica cóo se podría actuar sobre los paráetros del dispositivo para conseguir la isa energía de salida con unas D ás pequeñas. Datos. e 9, 0 3 kg; q e, 0 9 C a) Los electrones tienen una energía cinética de entrada de 0 ev:, J 8 Ec 0 ev 0 ev, J v, ev 8 v, 9, 8,88 s b) Con esta velocidad, el radio de la priera seicircunferencia que describe el electrón es: v 9,,88 q, R 4 0, c) ΔE eδv, 00, J d) Cabiar el sentido de la ddp de 000 V aplicada entre las D. e) A este radio le corresponde una velocidad de salida de: R v q v Rq, 9, 4 7 3,5 s f) La energía que reciben los electrones en cada vuelta es igual al doble de la que reciben en cada paso entre las D : Δ E e ΔV 00 000 ev Para que adquieran una energía final de 30 MeV 30 000 000 ev, el núero de vueltas que se necesita es: 30 000 000 n 5 000 vueltas 000 g) Se podría conseguir auentado el valor del capo agnético aplicado para disinuir el valor del radio de cada órbita y conseguir que los electrones de ayor velocidad peranezcan acelerándose en el ciclotrón. 87