Forma normal Todavía nos falta una última forma de la ecuación de la recta que nos ayudará a estudiar el último tema de esta unidad. Ecuación de la recta en su forma normal La ecuación de la recta en su forma normal es: A x + B y + C A 2 + B 2 = A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C A 2 + B 2 = 0 Definición donde A, B, C R y los coeficientes A, B no pueden ser cero simultáneamente. Para obtener esta ecuación basta dividir ambos lados de la ecuación de la recta en su forma general entre A 2 + B 2. Encuentra la ecuación en forma normal de la recta: 2 x 5y + = 0. Ejemplo En este ejemplo necesitamos convertir la ecuación de la recta en forma general a la forma normal. Para eso basta calcular el valor del denominador: A 2 + B 2 y dividir ambos lados de la ecuación (en su forma general) por ese valor. A 2 + B 2 = (2) 2 + ( 5) 2 = 44 + 25 = 69 = 3 Entonces, la ecuación simétrica la obtenemos dividiendo entre 3: 2 3 x 5 3 y + 3 = 0 En este primer ejemplo obtuvimos un valor entero para A 2 + B 2, pero eso no siempre ocurrirá. La mayoría de las veces encontraremos raíces de números que no se podrán simplificar. En esos casos es mejor dejar indicada la raíz y no escribir decimales. Es más fácil de entender la ecuación mientras menos decimales contenga y es más fácil de escribir la ecuación cada vez. El siguiente ejemplo muestra uno de esos casos. Encuentra la ecuación (forma normal) de la recta que tiene pendiente m = 4 y que pasa por el punto P(, 3). Ejemplo 2 Empezamos calculando la ecuación en forma punto-pendiente, así obtenemos su forma general y finalmente calculamos la ecuación en la forma normal. Fase A: Ecuación en forma punto-pendiente: y 3 = 4 (x ) y 3 = 4 x + 4 4 x + y + = 0 www.aprendematematicas.org.mx /5
Fase B: Convertimos a la forma normal. Calculamos el valor de A 2 + B 2 : A 2 + B 2 = 4 2 + 2 = 6 + = 7 Dividimos ambos lados de la ecuación en forma general entre 7 y así obtenemos la ecuación en la forma normal: 4 x + y + = 0 7 7 7 Esta es la ecuación que deseabamos calcular. Ejemplo 3 Calcula la ecuación (forma normal) de la recta que pasa por los puntos P(5, ) y Q(, 5). Primero debemos calcular la pendiente de la recta, después vamos a utilizar la forma puntopendiente y finalmente debemos convertir a la forma normal. Fase A: Encontramos la pendiente de la recta: m = y 2 y x 2 x = 5 5 = 4 4 = Fase B: Sustituimos en la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente: Fase C: Convertimos a la forma normal. y = ( ) (x 5) y = x + 5 x + y 6 = 0 Primero calculamos el valor del denominador: A 2 + B 2 = 2 + 2 = 2 Finalmente dividimos la ecuación de la recta en su forma general entre 2 para convertirla a la forma normal: x + y 6 = 0 2 2 2 Y terminamos. Ejemplo 4 Calcula la ecuación de la recta que es paralela a la recta 3 x y + 2 = 0 y que pasa por el punto P(, ). Dado que las rectas son paralelas, sus pendientes son iguales. www.aprendematematicas.org.mx 2/5
Para conocer la pendiente de la recta cuya ecuación conocemos, despejamos y: Entonces, m = 3 y b = 2. y = 3 x + 2 Ahora vamos a sustituir m = 3 y P(, ) en la ecuación de la recta en su forma puntopendiente: y = 3 (x ( )) y = 3 x + 3 x + y 2 = 0 3 x y + 2 = 0 Ahora vamos a convertirla a la forma normal. Calculamos el valor del denominador: A 2 + B 2 = (3) 2 + ( ) 2 = 0 Ahora dividimos la ecuación en la forma general entre 0 para obtener la forma normal: 3 x y + 2 = 0 0 0 0 Esta es la ecuación de la recta en su forma normal. Calcula la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta x + 2 y 2 = 0 y que pasa por el punto P(2, ). Ejemplo 5 Sabemos que las rectas son perpendiculares, por eso podemos usar la condición de perpendicularidad para encontrar la pendiente de la recta cuya ecuación queremos encontrar. Primero calculamos la pendiente de la recta que conocemos, para eso despejamos y: x + 2 y 2 = 0 x 2 = 2 y 2 x + = y Entonces, m = /2 y b =. Ahora encontramos la pendiente de la recta perpendicular a ésta con la condición de perpendicularidad: m 2 = = ( m ) = 2 2 www.aprendematematicas.org.mx 3/5
Ahora sustituimos los datos conocidos en la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente: y 2 = 2 (x ( )) y 2 = 2 x + 2 2 x + y 4 = 0 2 x y + 4 = 0 Y finalmente, la vamos a convertir a la forma normal. Calculamos el valor del denominador: A 2 + B 2 = 2 2 + ( ) 2 = 5 Ahora dividimos ambos lados de la ecuación en forma general entre 5 y terminamos: 2 x y + 4 = 0 5 5 5 Esta forma de la recta nos ayuda a calcular la distancia de un punto P(x, y ) hasta una recta cuando concemos su ecuación: A x + B y + C = 0, que es lo que estudiaremos en el siguiente y último tema de esta unidad. Albert Einstein Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 200 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 3 de julio de 200. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 200. www.aprendematematicas.org.mx 4/5
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: efrain@aprendematematicas.org.mx www.aprendematematicas.org.mx 5/5