Polígonos regulares 1. Características Polígono regular es el que tiene sus lados iguales y sus ángulos iguales. Un polígono regular puede ser inscrito y circunscrito a una circunferencia cuyo centro es el centro del polígono. El centro equidista de los vértices y de los lados del polígono. Hay dos tipos de polígonos regulares, el convexo y el estrellado. En un polígono regular se distinguen los siguientes elementos: - Lado: cada uno de los segmentos que forma el polígono. - Ángulo interior: ángulo que forman dos lados consecutivos en el interior del polígono. - Ángulo central: ángulo cuyo vértice es el centro del polígono y sus lados pasan por dos vértices consecutivos. - Apotema: En un polígono regular convexo es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado siendo perpendicular a éste. - Radio: segmento que une el centro del polígono con un vértice. Polígono regular convexo. Elementos. Polígono regular estrellado. Partiendo de una circunferencia dividida en un número de partes iguales, al unir los puntos de la división de forma consecutiva se obtiene un polígono regular convexo. Si se unen los puntos de forma no consecutiva, saltando el mismo número de tramos en cada paso, al cerrar la forma, después de haber pasado por todos los puntos obtendremos un polígono regular estrellado. 2. Construcción de polígonos regulares conociendo el radio No existen métodos de construcción exactos para todos los polígonos regulares. El heptágono, el eneágono (nueve), el endecágono (once) tienen métodos específicos de construcción, pero son aproximados. Para dibujar estos polígonos, es preferible aprender y utilizar un método general, también impreciso, pero de solución muy aproximada, que sirva para todos ellos. Es mejor memorizar un método que cinco. 1º de Bachillerato Página 1 de 5
Método general conocido el radio Este método de construcción sirve para construir cualquier polígono regular de n lados con bastante precisión. Se debe utilizar para los polígonos que no tienen un método de construcción exacta. En el ejemplo se ha construido un heptágono regular. 1. Trazar el diámetro AB y dividirlo en tantas partes iguales como lados tenga el polígono que se quiere construir. 2. Con radio AB se trazan dos arcos con centros en A y B respectivamente, los arcos se cortarán en C. 3. Se traza la recta desde C que pase por la división 2 del diámetro hasta cortar a la circunferencia en D (sea cual sea el número de lados, la recta siempre debe pasar por la división 2). 4. La distancia AD es la medida del lado del polígono; se pasa la medida sucesivamente por la circunferencia y se puede trazar el polígono. Consejos: Si se utiliza el teorema de Thales para la división del diámetro es aconsejable realizarlo fuera de la circunferencia para evitar confusión de líneas. No es necesario pasar todas las divisiones al diámetro, pasando la nº 2 es suficiente. Cuando se obtenga la medida del lado se debe pasar la medida primero hacia un lateral y luego hacia el otro, si hay imprecisión se notará menos al quedar simétrico respecto al eje vertical. Se debe recordar que un polígono con un número de lados par tiene los vértices opuestos unidos por un diámetro; si el polígono tiene un número impar de lados, por cada vértice pasará un diámetro perpendicular al lado opuesto en su punto medio. Construcción de polígonos regulares de 3, 6, 12 lados El método es exacto y muy fácil de recordar. Si se conoce el método para hacer un polígono de n lados, si es par, se puede dibujar el de la mitad de lados, y utilizando mediatrices / bisectrices se puede obtener polígonos con el doble de lados. 1. Hexágono. Se traza el diámetro AB, y con radio el de la circunferencia se trazan dos arcos con centro A y B que corten a la circunferencia en cuatro puntos; con los dos extremos del diámetro la circunferencia ha quedado dividida en seis partes iguales. 1º de Bachillerato Página 2 de 5
2. Triángulo. Se obtendrá uniendo los vértices del hexágono tomados de dos en dos. 3. Dodecágono. Se traza un diámetro CD perpendicular a AB, con el radio de la circunferencia se trazan dos arcos que corten a la circunferencia en cuatro puntos. Uniendo las divisiones obtenidas con las del primer hexágono se obtiene el dodecágono. Polígono regular de 4, 8, 16 lados 1. Cuadrado. Se trazan los diámetros AB y CD perpendiculares que dividen a la circunferencia en cuatro partes iguales. Se traza el cuadrado. 2. Octógono. Trazando las mediatrices de los lados del cuadrado la circunferencia queda dividida en ocho partes iguales. Se traza el octógono. 3. Hexadecágono. Trazando las mediatrices de los lados del octógono la circunferencia queda dividida en 16 partes iguales. Polígono de 5, 10 lados (método exacto) 1. Se trazan los diámetros AB y CD perpendiculares. 2. Se encuentra el punto medio, M, del radio OD trazando la mediatriz. 3. Con centro M y radio MA se traza el arco que corte al diámetro AB en el punto E. 4. Pentágono. La distancia AE es la medida del lado del pentágono. Se pasa desde A la medida del lado sucesivamente a la circunferencia (primero un lateral y luego el otro), se traza el pentágono. 5. Decágono. La distancia OE es la medida del lado del decágono. También se puede obtener haciendo la mediatriz del lado del pentágono o trazando rectas desde los vértices del pentágono que pasando por el centro, corten a la circunferencia. 1º de Bachillerato Página 3 de 5
3. Construcción de polígonos regulares conociendo el lado No existen métodos exactos para los polígonos regulares de 7, 9, 11, 13, para dibujar estos polígonos es conveniente utilizar un método general. Método general conocido el lado Dado el segmento (lado) AB, construir un polígono regular de n lados: 1. Se halla el centro O de la circunferencia que contiene al hexágono de lado AB. El punto O es el tercer vértice del triángulo equilátero de lado AB. 2. Se dibuja la circunferencia de centro O, que contiene a los extremos del segmento AB. 3. Se traza el diámetro, CD, de la circunferencia, perpendicular a AB, y se divide en 12 partes iguales (sea cual sea el número de lados del polígono que se pretende construir). 4. Se numeran las divisiones del diámetro empezando por D (cero); el centro de la circunferencia coincidirá con la división nº 6 y el otro extremo del diámetro, C, con la nº 12. 5. Se hace centro en el número de división que coincide con el número de lados del polígono que se quiere construir, se traza la circunferencia que pasa por AB. Esta circunferencia circunscribe al polígono que se busca, sobre ella se pasan los lados (primero un lateral y luego el otro). Ejemplo. Construcción de un eneágono: Métodos específicos. Aplicación general. Sabiendo hacer el triángulo, el cuadrado y el pentágono, aplicando el conocimiento geométrico del ángulo inscrito en la circunferencia, se pueden construir fácilmente los polígonos con el doble de lados con total exactitud. Polígono de 4, 8, 16 lados (m. exacto) 1. Se puede construir fácilmente el cuadrado (ABCD) con regla y compás, o con escuadra y cartabón. Es imprescindible la precisión en los lados y ángulos (90º) iguales. 2. Octógono. Se dibuja la circunferencia circunscrita y se traza el diámetro, EF, perpendicular al lado AB. 3. La circunferencia de centro E que pasa por A y B es la circunscrita del octógono. 1º de Bachillerato Página 4 de 5
Justificación: El ángulo central del cuadrado es, lógicamente, el doble que el del octógono. El ángulo inscrito en la circunferencia del cuadrado y con vértice en E mide la mitad que el ángulo central del cuadrado: lógicamente E es el centro de la circunferencia que pasando por A y B circunscribe al octógono. Siguiendo el mismo razonamiento es fácil encontrar la circunferencia que circunscribe al hexadecágono (16) de lado AB. Polígono de 3, 6, 12 lados 1. Dibujar el triángulo equilátero encontrando el vértice C. 2. Hexágono. La circunferencia con centro en C que pasa por A y B es la circunscrita del hexágono. 3. Dodecágono. Se traza el diámetro DE, el punto E es el centro de la circunferencia que pasando por A y B circunscribe al dodecágono. Polígono de 5, 10 lados 1. Pentágono. La diagonal del pentágono y el lado tienen proporción áurea. Se puede utilizar el método de rectángulo áureo ya estudiado: - Se traza la mediatriz de AB, será el eje de simetría del pentágono y señalará el punto medio, M, de AB. - Se traza la perpendicular al lado en el punto B y se pasa sobre ella la medida del lado obteniendo C. - Con centro en M y radio MC se traza el arco que corta a la prolongación del lado en el punto D. El segmento AD tiene la medida de la diagonal del pentágono. - Por triangulación se obtienen los vértices del pentágono. 2. Decágono. El vértice E, opuesto al lado AB es el centro de la circunferencia que pasando por A y B circunscribe al decágono. 1º de Bachillerato Página 5 de 5