Sigma-álgebras Objetivos. Definir la noción de σ-álgebra y estudiar sus propiedades básicas. Definir la noción de σ-álgebra generada por un conjunto de conjuntos. Requisitos. Operaciones con conjuntos, operaciones con familias de conjuntos. 1. Notación (conjunto potencia, conjunto de los subconjuntos). Sea X un conjunto. Entonces denotemos por 2 X al conjunto de todos los subconjuntos de X. 2. Definición (σ-álgebra). Sea X un conjunto. Un conjunto F 2 X se llama σ-álgebra sobre X si cumple con las siguientes condiciones: 1. X F. 2. F es cerrado bajo complementos: si A F, entonces X \ A F. 3. F es cerrado bajo uniones numerables: si A i F para todo i N y B = i N A i, entonces B F. 3. Propiedades elementales de σ-álgebras. Sea F una σ-álgebra sobre X. Entonces: 1. F. 2. F es cerrada bajo intersecciones numerables: si A i F para todo i N, entonces i N A i F. 3. F es cerrada bajo uniones finitas: si A i F para todo i {1,..., m}, entonces m i=1 A i F. 4. F es cerrada bajo intersecciones finitas: si A i F para todo i {1,..., m}, entonces m i=1 A i F. 5. F es cerrada bajo la operación de diferencia de conjuntos: si A, B F, entonces A \ B F. Sigma-álgebras, página 1 de 5
Ejemplos de σ-álgebras 4. Ejemplo de una σ-álgebra: conjunto potencia. Sea X un conjunto. Entonces 2 X es una σ-álgebra sobre X. 5. Propiedades de conjuntos finitos o numerables (repaso). Recuerde cómo se demuestran las siguientes proposiciones: Sea (A k ) k N una sucesión de conjuntos a lo más numerables. Entonces la unión k N A k también es un conjunto a lo más numerable. Sea B un conjunto a lo más numerable y sea C B. Entonces que C también es a lo más numerable. 6. Ejemplo de una σ-álgebra: subconjuntos a lo más numerables y sus complementos. Sea X un conjunto no numerable. Denotemos por N al conjunto de todos los subconjuntos finitos o numerables de X: N := { Y X : Y es finito o numerable }. Denotemos por F al conjunto que consiste en todos los subconjuntos finitos o numerables de X y todos subconjuntos de X cuyos complementos son finitos o numerables: Entonces F es una σ-álgebra. F := { Y X : Y N Y c N }. Indicación acerca de la demostración. En la demostración de la propiedad 3 hay que considerar dos casos: 1) A i N para todo i N; 2) A c j N para algún j N. Sigma-álgebras, página 2 de 5
Sigma-álgebra generada por un conjunto de conjuntos 7. Proposición (intersección de un conjunto de σ-álgebras es una σ-álgebra). Sea Ψ un conjunto de σ-álgebras sobre X. Denotemos por H a la intersección de las σ-álgebras pertenecientes a Ψ: H := A Ψ A = { Y X : A Ψ Y A }. Entonces H es una σ-álgebra sobre X. Demostración incompleta. Probemos solamente que H es cerrada bajo uniones numerables. Sea (B j ) j N H N y sea C := j N B j. Para cada j N tenemos que B j H. Por la construcción de H esto significa que j N A Ψ B j A. Podemos intercambiar el orden de cuantificadores : A Ψ j N B j A. En otras palabras, para cada A Ψ la sucesión (B j ) j N toma valores en A. Como A es una σ-álgebra, esto implica que C A. Recordando que A Ψ era arbitraria concluimos que C H. 8. Proposición (sigma-álgebra generada por un conjunto de subconjuntos de X). Sea G 2 X. Entonces existe una única σ-álgebra F que contiene G y es mínima entre todas las σ-álgebras que contienen G: 1. G F. 2. Si H es una σ-álgebra sobre X y G H, entonces F H. Se dice que F es la σ-álgebra generada por G. Demostración. Denotemos por Ψ al conjunto de todas las σ-álgebras sobre X que contienen a G: Ψ := {A 2 X : A es una σ-álgebra G A}. Definimos F como la intersección de los elementos de Ψ: F := Ψ = A Ψ A. Sigma-álgebras, página 3 de 5
En otras palabras, F consiste de todos aquellos subconjuntos de X que pertenecen a cualquier σ-álgebra que contiene a G. Por la Proposición 7, F es una σ-álgebra sobre X. Si Y G, entonces Y A para cualquier A Ψ y por lo tanto Y F. Hemos demostrado que F Ψ. De la definición de intersección se sigue que si H Ψ, entonces F H. Por lo tanto, F es el elemento mínimo de Ψ. 9. Ejercicio: σ-álgebra generada por los subconjuntos unipuntuales de un conjunto no numerable. Sea X un conjunto no numerable y sea G el conjunto de los subconjuntos unipuntuales de X: G := { {t}: t X }. Describa la σ-álgebra F generada por G. Indicación: determine qué conjuntos se obtienen de los conjuntos unipuntuales al aplicar las operaciones de σ-álgebra. 10. Definición (σ-álgebra de Borel de un espacio topológico). Sea (X, τ) un espacio topológico. La σ-álgebra B generada por la topología τ se llama la σ-álgebra de Borel. En esta situación los elementos de B se llaman conjuntos de Borel o conjuntos borelianos. Sigma-álgebras, página 4 de 5
Generadores de la sigma-álgebra de Borel del eje real 11. Proposición (la sigma-álgebra de Borel del eje real está generada por los rayos derechos). La σ-álgebra B R está generada por {(a, + ): a R}. Demostración. Denotemos por F a la σ-álgebra generada por 1. [b, + ) = n N G = {(a, + ): a R}. (b 1n ), + F. 2. (a, b) = (a, + ) \ [b, + ) F. 3. Sea A un conjunto abierto en R. Se sabe que A se puede representar como la unión de una sucesión de intervalos de la forma (a n, b n ), donde a n, b n R. Por lo tanto A F. 4. F es una σ-álgebra que contiene a la topología τ de R, y B R es la mínima σ-álgebra con esta propiedad. Por lo tanto B R F. 5. B R es una σ-álgebra que contiene a G, y F es la mínima σ-álgebra con esta propiedad. Por lo tanto F B R. 12. Proposición (la sigma-álgebra de Borel del eje real extendido está generada por los rayos derechos). La σ-álgebra B R está generada por {(a, + ]: a R}. Sigma-álgebras, página 5 de 5