DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA SUMARIO DE REPASO A continuación se presentan las expresiones matemáticas de algunos conceptos tenidos en cuenta en la dinámica de partículas Cantidad de movimiento: Segundo principio de Newton: Peso de un cuerpo: Fuerza de rozamiento: Fuerza centrípeta:
PROBLEMAS RESUELTOS 1) Sea un paralelepípedo rectángulo de hierro (δ = 7,8 g/cm ³) cuya base es de 32 cm ² y su altura es de 20 cm, determinar: a) La masa. b) La aceleración que le provocará una fuerza constante de 100 N. c) La distancia recorrida durante 30 s. SOLUCIÓN Datos: b = 32 cm ² h = 20 cm δ = 7,8 g/cm ³ F = 100 N t = 30 s a) La masa la hallamos mediante la fórmula de densidad. δ = m/v m = δ.v m = (7,8 g/cm ³).(32 cm ².20 cm) m = 4992 g m = 5 kg b) F = m.a a = F/m a = 100 N/5 kg, luego: a = 20 m/s ² c) Suponiendo que parte del reposo. e = v 1.t + ½.a.t ² e = ½.a.t ² e = ½.(20 m/s ²).(30 s) ² e = 9000 m 2) Sobre un cuerpo actúa una fuerza constante de 50 N mediante la cual adquiere una aceleración de 1,5 m/s ², determinar: a) La masa del cuerpo. b) Su velocidad a los 10 s. c) La distancia recorrida en ese tiempo. Solución Datos: a = 1,5 m/s ² F = 50 N t = 10 s F = m.a m = F/a m = 50 N/1,5 m/s ² m = 33,33 kg b) Como parte del reposo: v = a.t v = (1, 5 m/s ²).10 s v = 15 m/s
c) e = ½.a.t ² e = ½.(1,5 m/s ²).(10 s) ² e = 75 m 3) Cuál será la intensidad de una fuerza constante al actuar sobre un cuerpo que pesa 50 N si después de 10 s ha recorrido 300 m? Solución Datos: P = 50 N t = 10 s e = 300 m Se adopta g = 10 m/s ² Primero calculamos la aceleración: e = ½.a.t ² a = 2.e/t ² a = 2.300 m/(10 s) ² a = 6 m/s ² Ahora calculamos la masa del cuerpo: P = m.g m = P/g m = 50 N/(10 m/s ²) m = 5 kg Con estos datos calculamos la fuerza: F = m.a F = 5 kg.6 m/s ² F = 30 N 4) Cuál será la fuerza aplicada a un cuerpo que pesa 12800 N si lo hace detener en 35 s?, la velocidad en el instante de aplicar la fuerza era de 80 km/h. Solución Datos: P = 12800 N t = 35 s v 1 = 80 km/h = (80 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 22,22 m/s v 2 = 0 m/s Se toma g = 10 m/s ² Primero, empleando ecuaciones de cinemática, calculamos la aceleración (negativa) producida por la fuerza. v 2 - v 1 = a.t a = - v 1 /t a = (- 22, 22 m/s)/35 s a = -0,635 m/s ²
La masa resulta: P = m.g m = P/a m = 12800 N/(10 m/s ²) m = 1280 kg Luego: F = m.a F = 1280 kg.(-0,635 m/s ²) F = -812,7 N La fuerza es contraria al movimiento. 5) Un cuerpo posee una velocidad de 20 cm/s y actúa sobre él una fuerza de 120 N que después de 5 s le hace adquirir una velocidad de 8 cm/s. Cuál es la masa del cuerpo? Solución Datos: F = 120 N v 1 = 20 cm/s = 20 cm/s.(1 m/100 cm) = 0,2 m/s v 2 = 8 cm/s = 8 cm/s.(1 m/100 cm) = 0,08 m/s t = 5 s De acuerdo a los datos la fuerza le produce a la masa una desaceleración. Primero, empleando ecuaciones de cinemática, calculamos la aceleración (negativa) producida por la fuerza. v 2 - v 1 = a.t a = (v 2 - v 1 )/t a = (0, 08 m/s - 0,2 m/s)/5 s a = -0,024 m/s ² Luego: F = m.a m = F/a m = -120 N/(-0,024 m/s ²) m = 5000 kg 6) Impulsado por una carga explosiva, un proyectil de 250 N atraviesa la cámara de fuego de un arma de 2 m de longitud con una velocidad de 50 m/s, Cuál es la fuerza desarrollada por la carga explosiva? Solución Datos:
P = 250 N d = 2 m v 2 = 50 m/s Tome g = 10 m/s ² Calculamos la masa del proyectil: P = m.g m = P/a m = 250 N/(10 m/s ²) m = 25 kg Mediante cinemática calculamos la aceleración: v 2 ² - v 1 ² = 2.a.d Como la velocidad inicial es nula: v 2 ² = 2.a.d a = v 2 ²/(2.d) a = (50 m/s) ²/(2.2 m) a = 625 m/s ² Luego la fuerza: F = m.a F = 25 kg.625 m/s ² F = 15625 N 7) Un cuerpo de masa 3 kg está sometido a la acción de dos fuerzas de 6 N y 4 N dispuestas perpendicularmente, como indica la figura, determinar la aceleración y su dirección Solución Datos: m = 3 kg F 1 = 4 N F 2 = 6 N El esquema es el siguiente: Primero calculamos la fuerza resultante por Pitágoras:
R ² = F 1 ² + F 2 ² R ² = (4 N) ² + (6 N) ² R = 7,21 N Ahora calculamos la aceleración: R = m.a a = R/m a = 7,21 N/3 kg a = 2,4 m/s ² Calculamos la dirección con respecto a F 2 : tg α = F 1 /F 2 α = arctg (F 1 /F 2 ) α = arctg (4 N/6 N) α = arctg (0,67) α = 33 41 24" 8) Determinar la fuerza F necesaria para mover el sistema de la figura, considerando nulos los rozamientos, si la aceleración adquirida por el sistema es de 5 m/s ². Datos: a = 5 m/s ² m 1 = 5 kg m 2 = 12 kg m 3 = 15 kg Para calcular la fuerza necesaria para mover una masa simplemente se plantea la situación de equilibrio: F = 0 Si hay movimiento: F = m.a F 1 + F 2 + F 3 = R m 1.a + m 2.a + m 3.a = R (m 1 + m 2 + m 3 ).a = R R = (5 kg + 12 kg + 15 kg).5 m/s ² R = 160 N PROBLEMAS RESUELTOS 1. Dos cuerpos de 3 y 4 kg de masa, respectivamente, se deslizan sobre una superficie horizontal pulida bajo la acción de una fuerza de 15 N sobre el primero y de 8 N sobre el segundo. Los dos parten del reposo en el mismo instante. Cuánto tiempo transcurre hasta que la distancia entre ellos sea de 100 m. Qué velocidad llevará cada uno en dicho instante? La trayectoria seguida por los dos cuerpos es una línea recta. De F = ma se sigue:
Si en un tiempo t el primero recorre una distancia s+100 y el segundo una distancia s, será: La velocidad de cada móvil al cabo de 8,16 segundos será: 2. Un coche de 2 000 kg se mueve sin rozamiento, con la aceleración de 0,2 m/s² Qué fuerza tiene que hacer el motor cuando el movimiento es por una carretera rectilínea y horizontal? Y cuando sube una cuesta del 30%? En la carretera rectilínea y horizontal: F = ma = 2 0000,2 = 400 N. Cuando sube la cuesta del 30% sin rozamiento: F - PT = ma F = PT + ma. Como PT = P sen = 2 0009,830/100 = 5 880 N resulta: F = 5 880 + 400 = 6 280 N.
3. A un cuerpo de 30 g de masa, e inicialmente en reposo, se le aplica una fuerza constante igual a 0,6 N durante 10 s; a los 4 s de haber dejado de actuar la fuerza se le aplica otra también constante de 1,8 N, en la misma dirección que la primera pero de sentido contrario. Por efecto de esta segunda fuerza, el cuerpo se para. Calcular: 1) Velocidad del cuerpo en los instantes t = 6 s, t = 10 s, t = 11 s, t = 14 s, a partir del instante inicial. 2) Tiempo que tarda en pararse el cuerpo. 3) Distancia total recorrida. (Se supone nulo el rozamiento.) Durante los primeros segundos actúa la fuerza de 0,6 N sobre la masa de 0,030 kg produciendo una aceleración de: Entre los 10 y los 14 segundos deja de actuar la fuerza, luego la aceleración es: Una vez transcurridos los 14 primeros segundos, la aceleración es: ya que la fuerza actúa en sentido contrario al movimiento. 1) Las velocidades son 2) Se parará el cuerpo cuando la velocidad se haga cero: La distancia total recorrida en esos 52/3 s es:
4. Las masas que penden de los extremos de la cuerda de una máquina de Atwood son, respectivamente 1 000 y 1 010 g. Calcular: 1) la aceleración con que se mueve el sistema; 2) el espacio que recorre en 50 s partiendo del reposo; 3) la tensión de la cuerda. 2) La distancia valdrá: 3) Aislando una parte del sistema (masa m2) : Aislando la masa m, :
5. Un bloque de 300 N es arrastrado a velocidad constante sobre la superficie lisa de un plano inclinado, por la acción de un peso de 100 N pendiente de una cuerda atada al bloque y que pasa por una polea sin rozamiento. Calcular: a) el ángulo de inclinación del plano; b) la tensión de la cuerda. Si es arrastrado a velocidad constante, la fuerza resultante ha de ser cero, luego: Aislando una parte del sistema (por ejemplo, m1 ) : T = P1 = 100 N. 6. En el sistema de la figura, los dos bloques A y B tienen la misma masa igual a 20 kg, y se suponen superficies pulidas y poleas ligeras y sin rozamientos. Calcular: 1) Aceleración del sistema. 2) Tiempo transcurrido para que el bloque A recorra 2 m descendiendo por el plano inclinado. 1 ) De la figura: 2) El tiempo transcurrido en recorrer esos 2 m es:
7. En el sistema de la figura se suponen superficies pulidas y poleas ligeras y sin rozamiento. Calcular: 1) En qué sentido se moverá? 2) Con qué aceleración? 3) Cuál es la tensión de la cuerda? De la figura: 1) Suponemos que se dirige hacia la izquierda: Se mueve en el sentido supuesto. 3) Aislando la masa de 100 kg: 8. En el sistema de la figura, los bloques A (ma = 0,8 kg) y B (mb = 0,2 kg) deslizan con velocidad constante sobre la superficie horizontal por acción de otro bloque C (mc = 0,2 kg) suspendido. El bloque B se separa del A y se suspende junto con el C. Cuál será la aceleración del sistema? Y la tensión de la cuerda? En el primer caso, cuando el sistema es el de la figura, si se desliza con velocidad constante:
Al suspender el bloque B junto al C: y aislando, por ejemplo, el bloque A, obtenemos para la tensión: 9. Para arrastrar un bloque por una superficie horizontal con velocidad constante se requiere una fuerza de 30 N. Si la masa del bloque es de 5 kg, cuál es el coeficiente dinámico de rozamiento? Si la velocidad es constante, la fuerza resultante que actúa sobre el bloque ha de ser cero, luego: 10. Un bloque de 10 kg está sobre un plano inclinado 30º con relación al horizonte. Sobre el cuerpo actúa una fuerza paralela al plano de 60 N que hace ascender al cuerpo. Si el coeficiente dinámico de rozamiento es 0,1, determinar: 1) El valor de la fuerza de rozamiento. 2) La aceleración con que se mueve el cuerpo.
11. Sobre un plano inclinado 30º sobre el horizonte hay un cuerpo de 40 kg. Paralela al plano y hacia abajo, se le aplica una fuerza de 40 N. Si el coeficiente de rozamiento dinámico es 0,2, determinar: 1) Valor de la fuerza de rozamiento. 2) Aceleración con que se mueve el cuerpo. 3) Velocidad del cuerpo a los 10 s de iniciarse el movimiento. 12. Un hombre arrastra una caja por el suelo mediante una cuerda que forma un ángulo de 30º con la horizontal. Con qué fuerza tendría que tirar el hombre si la caja, que pesa 500 kg, se mueve con velocidad constante y el coeficiente dinámico de rozamiento es de 0,4?
Al moverse con velocidad constante: F = 0, luego de la figura: 13. Cuál debe ser el coeficiente de rozamiento dinámico entre un niño y la superficie de un tobogán de 30º de inclinación, para que la aceleración de caída del niño sea de 0,24 ms-2? De la figura: donde: luego:
14. Un bloque se encuentra en reposo sobre un plano inclinado, siendo 0,3 y 0,5 los coeficientes de rozamiento cinético y estático, respectivamente. Calcular: 1) El ángulo mínimo de inclinación que se debe dar al plano para que el cuerpo empiece a deslizar. 2) Para este ángulo, hallar la aceleración del bloque cuando ha empezado a moverse. 1) Si a es el ángulo de inclinación mínimo para el cual el cuerpo ha de comenzar a deslizar, éste ha de ser tal que el cuerpo se encuentre aún en equilibrio: 2) Para este ángulo, si el cuerpo comienza a moverse la aceleración será tal que: 15. Un bloque de 35,6 N está en reposo sobre un plano horizontal con el que roza, siendo 0,5 el coeficiente de fricción dinámico. El bloque se une mediante una cuerda sin peso, que pasa por una polea sin rozamiento, a otro bloque suspendido cuyo peso es también 35,6 N. Hallar: 1) La tensión de la cuerda. 2) La aceleración de cada bloque. 1) La ecuación dinámica es: es decir:
de donde: a = 2,45 ms-2 2) La tensión la podemos calcular aislando el bloque que produce el movimiento, donde: 16. Con ayuda de una cuerda se hace girar un cuerpo de 1 kg en una circunferencia de 1 m de radio, situada en un plano vertical, cuyo centro está situado a 10,8 m por encima de un suelo horizontal. La cuerda se rompe cuando la tensión es de 110,88 N, lo cual ocurre cuando el cuerpo está en el punto más bajo de su trayectoria. Hallar: 1) La velocidad del cuerpo cuando se rompe la cuerda. 2) El tiempo que tardará en caer al suelo. 3) Su velocidad en el instante de chocar con el suelo. Cuando el cuerpo está en el punto más bajo de su trayectoria, si v es la velocidad que ha adquirido: Como la velocidad en el instante de romperse la cuerda tiene dirección horizontal, tendremos al cabo de un cierto tiempo t:
alcanzando el suelo cuando y = 9,8 m en cuyo instante la velocidad vale: 17. Un cuerpo de 2 kg de masa atado al extremo de una cuerda de 0,5 m de longitud describe una circunferencia situada en un plano vertical. Si la velocidad en el punto más alto es de 5 ms-1, hallar la tensión de la cuerda: a) en el punto más alto de la trayectoria; b) en el punto más bajo; c) en un punto de la trayectoria al mismo nivel que el centro de la circunferencia; d) formando un ángulo de 45º con la horizontal. a) De la figura: Ta + P = Fc, siendo: P = 2 9,8 = 19,6 N y Fc = 2 5 2 /0,5 = 100 N, con lo cual: Ta = Fc - P = 100-19,6 = 80,4 N. b) En el punto más bajo la velocidad habrá aumentado debido al recorrido efectuado bajo la acción de la gravedad: con lo cual, en nuestro caso:
y la tensión: c) y la tensión: d) Para calcular la velocidad v d primeramente tendremos que hallar lo que el cuerpo ha bajado desde a hasta d. En la figura: con lo cual: y, por tanto: Es decir:
18. Una bolita unida por un hilo de 0,5 m de longitud a un punto fijo de una superficie plana gira, deslizándose sin rozamiento sobre dicha superficie, con una velocidad angular de 10 vueltas por minuto. Cuál será la inclinación máxima de la superficie para que la bola continúe describiendo circunferencias? Expresar el resultado mediante una función trigonométrica del ángulo de la superficie con la horizontal. Para que la bolita describa circunferencias, la inclinación máxima que puede tener la superficie debe ser tal que la fuerza centrífuga sea igual a la componente del peso de la bola según el plano de la trayectoria. Es decir: FC = P sen, siendo el ángulo que forma la superficie con la horizontal. Por lo tanto: de donde: y. 19. Si la masa de un ciclista y la de su máquina es de 80 kg, calcular la velocidad mínima que debe tener para rizar el "rizo de la muerte" de radio 7 m. La velocidad que lleve el ciclista debe ser tal que la fuerza centrífuga contrarreste el peso del ciclista y su máquina. Es decir: 20. Una pista de carreras de forma circular tiene 1,5 km de radio. Si no tiene peralte y el coeficiente de rozamiento es 0,12, calcular la velocidad máxima a la que se podrá circular.
igual a la fuerza de rozamiento: La velocidad máxima será la que dé lugar a una fuerza centrífuga que sea 21. Un dinamómetro se halla suspendido del techo de la cabina de un ascensor y cuelga una masa de 10 kg. Hallar la indicación del dinamómetro cuando el ascensor está parado y cuando sube con una aceleración constante de 2 m/s². La indicación del dinamómetro será la tensión que soporta el resorte del mismo, luego cuando está parado: T - P = 0 T = P = 10 9,8 = 98 N Cuando asciende con la aceleración de 2 ms -2 T - P = 10 2 T = 98+20 = 118 N
22. Un cuerpo pende de una balanza de resorte colgada del techo de la cabina de un ascensor. Cuando el ascensor desciende con aceleración de 1,26 ms-2, la balanza señala un peso de 17,5 N. 1) Cuál es el verdadero peso del cuerpo? 2) Cuándo marcará la balanza 22,5 N? 3) Cuánto indicará la balanza si se rompe el cable del ascensor? 1) La tensión del resorte ha de ser tal que: luego: 2) Cuando el resorte marca 22,5 N:
El ascensor asciende con una aceleración de 1,18 ms-2 3) Si se rompe el cable del ascensor, el conjunto ascensor-resorte-cuerpo desciende con la aceleración de la gravedad (caída libre), luego: 23. Calcular la fuerza media de retroceso que se ejerce sobre una ametralladora que efectúa 120 disparos por minuto, siendo la masa de cada proyectil 10 g y la velocidad inicial 600 m/s 24. Un cohete quema 20 g de combustible por segundo, expulsándolo en forma de gas a la velocidad de 5 000 ms-1. Qué fuerza ejerce el gas sobre el cohete? El cohete ejerce sobre los gases una fuerza igual a: 25. Una partícula de 1 kg se mueve con velocidad constante de 4 ms-1 en el plano XY, en el sentido positivo de las y y a lo largo de la línea x = 4 m. a) Hallar el momento cinético respecto al origen. b) Qué momento respecto al origen hace falta para mantener el movimiento?
a) La velocidad sólo tiene componente en el eje Y, por lo que: El momento cinético es entonces: 26. La distancia media de Júpiter al Sol es 5,22 veces la de la Tierra al Sol. Cuál es el período de revolución de Júpiter? Por la tercera ley de Kepler: de donde el período de Júpiter es: CUESTIONES C.1. Una bola de marfil se deja caer por un plano inclinado 60º respecto de la horizontal y de altura h, sin velocidad inicial. Si no existe fricción, hasta qué altura subirá por un segundo plano con inclinación mitad que el anterior? Si en la bajada recorre 1 m, cuál será la distancia recorrida en el ascenso? Podrias inducir lo que ocurriria si el segundo plano fuese horizontal? (Experiencia realizada por Galileo.)
Al no existir rozamiento, la bola de marfil subirá por el segundo plano a la misma altura h. (Principio de conservación de la energia.) De la figura: Si el segundo plano fuese horizontal y sin rozamiento, la bola seguirá moviéndose indefinidamente con movimiento rectilíneo y uniforme. C.2. Se supone una pelota colgada en el centro de un vagón y después el vagón acelera hacia adelante. Describir el movimiento de la pelota respecto: a) la tierra b) el vagón. a) Respecto a la tierra la pelota acelera hacia adelante, como el vagón. b) Respecto al vagón, la pelota debido a su inercia, se moverá hacia atrás mientras siga acelerando. C.3. Dos recipientes cerrados y del mismo aspecto están llenos el primero de plomo y segundo de plumas Cómo podrías determinar cuál de los dos tiene mayor masa si tú y los recipientes estuvieseis flotando en el espacio en condiciones de ingravidez. Podríamos utilizar un método basado en la inercia de los cuerpos, imprimiendo a ambos recipientes un mismo impulso. El que adquiere menos velocidad es el que tiene mayor masa. C.4. Una persona se está pesando en el cuarto de baño con una balanza. Utilizando la idea de acción y reacción por qué es menor lo que indica una báscula cuando empujas el lavabo hacia abajo? por qué es mayor la indicación de la báscula cuando tiras hacia arriba por la parte inferior del lavabo? Al empujar el lavabo hacia abajo, la reacción hace que el peso resulte menor. Lo contrario ocurre cuando se empuja del lavabo hacia arriba por la parte inferior del mismo. C.5. Se pensaba que era imposible enviar un cohete a la Luna porque una vez fuera de la atmósfera terrestre no había aire para que el cohete se impulsara. Hoy sabemos que esta idea es errónea Cuál es la fuerza que impulsa un cohete en el vacío? La fuerza que impulsa un cohete en el vacío hacia adelante es debida a la variación de la cantidad de movimiento de los gases que
expulsa hacia atrás. C.6. Un hombre tiene tanta ropa que no puede moverse y se encuentra en la mitad de una pista de patinaje de hielo perfectamente lisa. Cómo puede salir de la pista? Lo que tendrá que hacer es ir lanzando la ropa que se vaya quitando en sentido contrario del que desee moverse. C.7. Se pesa una jaula que contiene un pájaro. La indicación de la balanza varía según el pájaro descanse en su varilla o revolotee en la jaula?. Qué ocurre con un pez, varía la indicación de la balanza si el pez nada o descansa sobre el fondo? a) si el pájaro vuela, transmite su peso al aire y este al suelo. Su peso se reparte entre la superficie del suelo de la jaula y la del suelo de la habitación. Por lo tanto y salvo que la jaula esté herméticamente cerrada, si varía la indicación de la balanza. b) No, ya que el acuario con el pez dentro forman un sistema aislado. C.8. Una cuerda pasa por una polea colgando a ambos lados de esta. Un mono está colgado de uno de los extremos; enfrente de él, un espejo del mismo peso cuelga del otro extremo. Asustado de su imagen, el mono intenta escapar de ella trepando por la cuerda Qué le ocurre al espejo? Justifica la respuesta. Como el peso del mono y el espejo son iguales el conjunto polea, cuerda, mono y espejo forman un sistema aislado, cuando el mono intenta subir ejerce una tensión sobre la cuerda igual a la que recibe el espejo. Mono y espejo tienen la misma velocidad, con lo que el mono siempre se encuentra delante del espejo. C.9. Una cadena extendida sobre una mesa con algunos eslabones colgando hacia fuera es primero mantenida quieta y posteriormente se la deja libre a) es uniformemente acelerado su movimiento? b) su velocidad al cabo de un cierto tiempo, es menor, igual o mayor que la velocidad adquirida al cabo del mismo tiempo por un cuerpo en reposo que cae con caída libre? Al soltar la cadena cada vez es mayor el peso de los eslabones que cuelgan, con lo cual, la aceleración aumenta más y más hasta que la cadena cae libremente, luego: a) Mientras la cadena está sobre la mesa el movimiento no es uniformemente acelerado, la aceleración es cada vez mayor. b) Al ser menor la aceleración que la de la caída libre, la velocidad es menor. Cuando toda la cadena está fuera de la mesa: 1) el movimiento es uniformemente acelerado. 2) la velocidad es menor ya que la velocidad inicial de la cadena es menor que la que tendría en ese instante si hubiera caído libremente. PAGINAS CONSULTADAS: www.lowy-robles.com/frame37_1.htm www.fisicanet.com.ar/fisica/f1_dinamica.php