TEMA 4: ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Matías Arce, Sonsoles Blázquez, Tomás Ortega, Cristina Pecharromán 1. INTRODUCCIÓN...1 2. DEFINICIONES BÁSICAS RECTILÍNEAS...3 3. DEFINICIONES BÁSICAS ANGULARES...5 4. POLIGONALES...9 1. INTRODUCCIÓN Con este capítulo comienza el estudio (enseñanza y aprendizaje) de la geometría sintética en la que los elementos básicos son el punto, la recta y el plano. No existe una definición precisa de ninguno de estos elementos, ya que son entes primarios, y, por tanto, sólo es posible definirlos a partir de otros similares, pero si consideramos al plano como elemento de partida se puede definir recta como la intersección de dos planos y punto la intersección de dos rectas. A lo largo de la historia se ha pretendido dar definiciones de estos conceptos de forma independiente, pero sólo se han conseguido enunciados más o menos aproximados a los conceptos que podríamos llamar pseudefiniciones. Pseudo-definiciones de punto recta y plano. En Euclides (1991, 189-190) aparecen las siguientes definiciones: Un punto es aquello que no tiene partes Una línea es una longitud sin anchura Los extremos de una línea son puntos Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella. Además de esta pseudo-definición recogida en los Elementos de Euclides, a lo largo de la historia se han dado otras tan deficientes como ésta, ya que es imposible enunciar tal definición. Es la línea que sus puntos intermedios hacen sombra a sus extremos (Platón, 427-347). 1 de 10
Es el conjunto de puntos que permanecen invariantes cuando un cuerpo gira alrededor de dos de sus puntos (Leibniz, 1646-1716). Es el camino más corto entre dos puntos (Legendre, 1752-1833) Es la línea que, trazada de un punto a otro no se vuelve ni a la derecha ni a la izquierda, y es la más corta que puede trazar entre esos dos puntos (Simpson, 11710-1761) La recta es una serie de puntos, cada uno de los cuales equidista de tres puntos dados (Fourier, 1768-1830) Es una línea homogénea, es decir, cuyas partes, tomadas indiferentemente, son semejantes entre sí y no difieren más que en su longitud (Delboeuf, 1831-1896) Es una línea indefinida tal que por dos puntos dados no se puede hacer pasar más que una (Duhamel, 1797-1872). Plano es una superficie sin aristas ni ondulaciones (Díaz Velazquez, 1979) Es suficiente con tener una idea aproximada de cada uno de ellos: como plano una pared recta infinita en todas las direcciones; como recta un hilo tenso infinito en ambos sentidos, un rayo de luz, un rayo visual; como punto la punta de un lápiz afiladísimo, o el puntito o cruz que se señala con él. El punto no tiene dimensiones, la recta sólo longitud y el plano longitud y anchura. En geometría plana todas las figuras se construyen sobre el mismo plano, no hay otro, a las rectas se las suele invocar con letras latinas minúsculas o por dos cualquier pareja de puntos pertenecientes a la recta. Junto a estos elementos la circunferencia es un elemento auxiliar importante, pues sus propiedades se utilizarán frecuentemente para realizar construcciones geométricas, ya que se trata de una geometría que se construye de forma exacta con regla y compás. Por esta razón, hay unas herramientas que son fundamentales: La regla, que se debe utilizar para medir y trazar rectas, la escuadra y el cartabón, para trazar paralelas, perpendiculares y ángulos de 30º, 45º y 60º y el compás para transportar distancias, dibujar circunferencias y determinar mediatrices, bisectrices, 2 de 10
2. DEFINICIONES BÁSICAS RECTILÍNEAS Haz de rectas: Es el conjunto de rectas contenidas en un plano que pasan por un punto. A este punto se le llama centro o vértice del haz. Conviene notar que un haz de rectas contiene todas las direcciones del plano. Semirrecta: Cada una de las dos partes en que es dividida la recta por uno de sus puntos. A este punto se le denomina origen de la semirrecta y para su determinación es necesario conocer otro punto de la semirrecta o bien la dirección y sentido de la misma. Segmento (rectilíneo): Parte de una recta comprendida entre dos puntos. Al primero de ellos, A, se le denomina origen y al segundo, B, extremo y se invoca como segmento AB. La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que los une. Circunferencia: Curva cerrada y plana, cuyos puntos equidistan de uno fijo llamado centro. El segmento que une el centro con cualquiera de sus puntos es el radio. Se dibuja con el compás pinchando en el centro y abriéndole la longitud del radio. El compás (la circunferencia) se utiliza para transportar distancias, trazar mediatrices, Suma de segmentos: Es otro segmento cuya longitud es la suma de las longitudes. Se suman llevando con el compás las longitudes de cada uno a continuación de otro sobre una semirrecta. 3 de 10
Posición de rectas: dos rectas en el plano o se cortan o son paralelas. Rectas secantes: Son aquellas que se cortan en un punto. Rectas paralelas: Son aquellas que no tienen ningún punto común. Rectas perpendiculares: Son aquellas que se cortan dividiendo al plano en cuatro regiones iguales (cuadrantes). Son iguales porque al superponerlas coinciden. Dos segmentos son perpendiculares si lo son las rectas que los contienen. Análoga definición para recta y segmento, también para semirrectas. Tarea 1: Si una recta a es perpendicular a otra, b, y ésta, a su vez, es perpendicular a una tercera, c, entonces a es paralela a c. Haz la figura correspondiente y demuestra el enunciado. Trazado de paralelas y perpendiculares: Paralelas Perpendiculares Construcciones con regla y compás: http://www.jorge-fernandez.es/proyectos/angulo/temas/temaab/index.html 4 de 10
Mediatriz de un segmento: Es la recta perpendicular al segmento en su punto medio. También se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de los extremos. Justamente se utiliza esta propiedad para dibujarla con la regla y el compás. Tarea 2: La figura adjunta representa la construcción de la mediatriz de un segmento. Explica cómo se ha trazado 3. DEFINICIONES BÁSICAS ANGULARES Ángulo: Porción de plano delimitada por dos semirrectas con origen común. A este punto se le denomina vértice. También se pueden construir girando una semirrecta alrededor de su origen una amplitud determinada. Los ángulos se representan con un arco que tiene su centro en el vértice, comienza en la primera semirrecta y termina en la segunda. Tipos de ángulos: Es evidente que dos semirrectas determinan dos ángulos uno determinado por todos los puntos comprendidos entre las dos semirrectas y otro por todos los puntos exteriores a la región anterior. Al primero de estos dos ángulos se le denomina convexo y el segundo cóncavo. Un ángulo convexo tiene la propiedad de que al prolongar las semirrectas éstas no cortan a la región angular (esto es equivalente a decir que si se unen dos puntos arbitrarios del ángulo por un segmento éste está totalmente contenido en el ángulo, cosa que no ocurre para tos los puntos del ángulo cóncavo). Tarea 3: Traza un segmento que una dos puntos del ángulo cóncavo y que no esté totalmente contenido en dicho ángulo y otro que sí que esté. 5 de 10
Amplitud de un ángulo: Es la menor o mayor separación de las semirrectas que los determinan. Se miden mediante el arco de circunferencia con centro en el vértice. Ángulos congruentes: Son aquellos cuyas semirrectas que los definen tienen la misma abertura (separación). Esto ocurre cuando al trazar sendos arcos entre las semirrectas con el mismo radio, ambos tienen la misma longitud (también la longitud de la cuerda que determinan es la misma). Suma de ángulos: Es un ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes. El ángulo suma se obtiene poniendo uno a continuación de otro de manera que coincidan los vértices de ambos y uno de los lados. Para ello se utiliza el compás como se muestra en la figura adjunta. En ella se han colocado los tres ángulos dados a partir de una semirrecta considerando que el origen de la misma será el vértice de los tres ángulos. La suma de ángulos tiene las propiedades asociativa y conmutativa. Comparación de ángulos: Un ángulo r es mayor que otro s cuando éste es congruente con un ángulo contenido en aquel (cuando las semirrectas que definen a aquel están más abiertas que las de éste). Esto es equivalente a decir que existe otro ángulo t que sumado con s da como resultado r. Ángulo recto: Es cada uno de los cuatro ángulos que determinan dos rectas perpendiculares. Ángulo llano: Es aquel que forman las dos semirrectas en que un punto divide a la recta. Es la suma de dos rectos. En la figura se representa el ángulo llano formado por las semirrectas AB y AC. Ángulos agudos y obtusos: A los ángulos menores que un recto se les denomina agudos y a los que son mayores obtusos. 6 de 10
Ángulos complementarios: Son aquellos cuya suma es un ángulo recto. Ángulos suplementarios: Son aquellos cuya suma es un ángulo llano. Ángulos formados por dos rectas que se cortan: Dos rectas que se cortan forman cuatro ángulos. Si tienen una semirrecta común se denominan adyacentes y si no la tienen opuestos por el vértice. En la figura d y e son adyacentes mientras que d y c son opuestos por el vértice. Es evidente que si se prolonga una de las semirrectas que definen a un ángulo se obtiene otro ángulo adyacente al primero y, por tanto, ambos son suplementarios. Teorema: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Demostración: d+e=e+c y, por tanto d=c. Tarea 4: Explica la demostración anterior. Bisectriz de un ángulo. Es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales. Se suele decir la recta considerando también la del ángulo cóncavo. También se suele dar la siguiente definición: el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo (la distancia de un punto a una recta o semirrecta se mide a través de la perpendicular). Tarea 5: a) Describe el trazado de la bisectriz que se muestra en la figura anterior. b) Traza la bisectriz a un ángulo utilizando los segmentos entre dos circunferencias centradas en el vértice. c) Ídem con una circunferencia y perpendiculares. Ángulos de dos rectas cortadas por una secante: Los ocho ángulos que se forman al cortar a dos rectas paralelas por una secante o son rectos o son cuatro agudos iguales entre sí y otros cuatro obtusos también iguales entre sí. Los ángulos q y h, r y t, p y k y s y c 1 se les llama correspondientes (la misma posición respecto a la secante y a la paralela). A los ángulos k y q, y r y c 1 se les llama alternos (distintos lados de la secante) externos (fuera de la banda que delimitan las paralelas). A los ángulos h y p, 7 de 10
y t y s se les llama alternos (distintos lados de la secante) internos (dentro de la banda que delimitan las paralelas). Se verifican las igualdades siguientes: r=t, p=k, q=h y s=c 1 por el quinto postulado de Euclides. r=s, p=q, h=k y t=c 1 por ser opuestos por el vértice. Por tanto, p=h, s=t, k=q y r=c 1. Teorema. Los ángulos adyacentes que forma una recta, r 1, con una semirrecta, s 1, con origen en A, son iguales o suplementarios de los ángulos adyacentes que forma otra recta paralela a la anterior, r 2, con otra semirrecta, s 2, paralela a la anterior y con origen en D. Demostración: Por ser r 1 paralela a r 2 y s 1 paralela a s 2, los ángulos correspondientes α y ε son iguales y por la misma razón lo son ε y β, por lo que α y β son iguales y también lo seránγ y ξ por ser suplementarios a los anteriores. Teorema. Los ángulos adyacentes que forma una recta, r 1, con una semirrecta, s 1, con origen en A, son iguales o suplementarios de los ángulos adyacentes que forma otra recta perpendicular a la anterior, r 2, con otra semirrecta, s 2, perpendicular a la anterior y con origen en D. Demostración: Hay que tener en cuenta que siempre se pueden colocar los puntos A y D como en la figura, ya que si no están en esa posición se toman ángulos congruentes con el vértice en el punto que se desee. De esta manera, los triángulos ALE y LDQ son rectángulos y además, los ángulos ξ y ε son opuestos por el vértice y por tanto iguales. En 8 de 10
consecuencia β y δ son iguales y α y γ, que son suplementarios de los anteriores, también serán iguales entre sí. 4. POLIGONALES Poligonales: Una poligonal es una línea formada por un número finito de segmentos tal que el extremo de uno de ellos es el origen del siguiente. Polígono: Es una poligonal cerrada (el origen del primer segmento coincide con el extremo del último segmento). A los segmentos de la poligonal se les llama lados del polígono. Polígonos convexos: Al prolongar los lados del polígono, éstos no cortan a la región interior de la poligonal. El segmento que une dos puntos arbitrarios del polígono está totalmente contenido en la región que delimita. Polígonos cóncavos: Al prolongar los lados del polígono, éstos cortan a la región interior de la poligonal. Hay pares de puntos tales que el segmento que determinan no está contenido en la región poligonal. Los polígonos reciben nombres distintos según el número de lados que tengan: Triángulo, 3 lados; cuadrilátero, 4 lados; pentágono, 5 lados; hexágono o exágono, 6 lados; heptágono o eptágono, 7 lados; octógono, 8 lados; nonágono o eneágono, 9 lados; decágono 10 lados; undecágono, 11 lados; dodecágono, 12 lados; pentadecágono 15 lados. Para el resto de los polígonos se dice expresamente el número de lados, por ejemplo, polígono de 19 lados. 9 de 10
Una aplicación de las igualdades entre los ángulos entre dos paralelas cortadas por una secante permite establecer que el ángulo exterior, δ, de un triángulo cualquiera es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes, α y β. Demostración: α=α 1 por ser correspondientes y β=β 1 por ser alternos internos. Por tanto, α+β=α 1 +β 1 =δ Tarea individual obligatoria. Dibuja con regla y compás o con un programa informático todos los gráficos que se han utilizado en el tema. 10 de 10