Regla de la Potencia para la Integración Ejercicios Resuelva cada Integral Problemas de Aplicación 1. El costo marginal ( en dólares) de una compañía que fabrica zapatos esta dado por, en donde x es el número de pares de zapatos producidos. a. Determine la función costo b. Calcule el costo de fabricar 100 pares de zapatos 2. La función de ingreso marginal para cierto producto está dada por: Encuentre la función de la demanda si q=100 3. Suponga que el ingreso marginal de un producto está dado por, donde x es el número de unidades y el ingreso se da en dólares. Encuentre el ingreso total. 4. El ingreso marginal de una calculadora nueva está dado por 1
, donde x representa cientos de calculadora y el ingreso esta dado en dólares. Encuentre la función de ingreso total de estas calculadoras. 5. La producción total de varios trabajadores o máquinas se denomina productividad física y es una función del número de máquinas y es una función del número de máquinas o trabajadores. Si P=f(x) es la productividad física, productividad física marginal de unos albañiles es es la productividad física marginal. Si la, donde P es el número de ladrillos colocados por día y x es el número de albañiles, encuentre la productividad física de 4 albañiles. Nota P=0 cuando x=0 6. La tasa de producción de una línea nueva de productos se determina por medio de, donde x es el número de artículos, y t es el número de semanas que el producto ha estado en producción. a. Suponiendo que x=0 cuando t=0 encuentre la función que determina el número total de artículos producidos como una función del tiempo. b. Cuántos artículos se produjeron en la quinta semana? 7. Puesto que un empleado nuevo debe aprender una tarea asignada, la producción se incrementará con el tiempo. Suponga que para un empleado promedio, la tasa de desempeño está dada por, donde N es el número de unidades terminadas t horas después de comenzar una nueva tarea. Si terminan 2 unidades en 3 horas, cuántas unidades se terminaran después de 8 horas? 8. El ingreso marginal de cierta empresa está dado por: a. Encuentre la función ingreso b. Halle el ingreso cuando se producen y venden 100 unidades 2
Integrales que Involucran Funciones Exponenciales Ejercicios Calcule cada integral Problemas de Aplicación 1. Se invierten $p durante n años, a una tasa de interés del 10% compuesto continuamente, la tasa con que se incrementa el valor futuro es a. Qué función describe el valor futuro al cabo de n años? b. En cuántos años se duplicará el valor futuro? 2. Suponga que la razón de cambio del impuesto federal per cápita de los Estado Unidos, T (en dólares), se puede modelar mediante, donde t es el número de años transcurridos desde 1950. a. Teniendo en cuenta que en 1975 el impuesto per cápita fue de $1 375.84, encuentre la función que modela el impuesto federal per cápita en los Estados Unidos. b. Encuentre e intérprete T(60) y T (60). 3. Una tienda encuentra que sus ventas disminuyen después de terminar una campaña publicitaria, con sus ventas diarias en el periodo bajando con la tasa, t 1, donde t es el número de días que han pasado desde que la campaña termino. Suponga que S=7 389 unidades cuando t=0. a. Encuentre la función que describe el número de ventas diarias t días después de culminar la campaña 3
b. Encuentre el número total de ventas 10 días después de finalizar la campaña 4. Suponga que la razón de cambio del ingreso personal total, I en Estados Unidos (en miles de millones de dólares se puede modelar mediante, donde t es el número de años que han pasado desde 1960 a. Teniendo en cuenta que en 1960 el ingreso personal fue de $409.4 encuentre la función que modela el ingreso personal total. b. Encuentre e intérprete T(60) y T (60). 5. Después que una persona ha estado trabajando por t horas con una máquina en particular habrá producido x unidades, en donde la tasa de rendimiento (número de unidades por hora) está dado por t 1 1 t Si t=0 entonces x=0, calcule el rendimiento en las primeras 50 horas 6. Una industria textil tiene un costo marginal (en dólares) por rollo de una tela particular dado por, donde x es el número de rollos producidos de la tela. Si los costos fijos ascienden a $1500 determine la función costo y calcule el costo de producir 100 rollos de tela. 7. Durante una crisis económica, reciente el porcentaje de desempleados creció a razón de, donde t es el tiempo en meses. Dado que en t=0 había el 4% de desempleados qué porcentaje estaba empleado?: a. 10 meses después b. 20 meses después 8. Después que una persona ha estado trabajando por t horas con una máquina en particular habrá rendido x unidades, en donde la tasa de rendimiento (número de unidades por hora) está dado por Cuántas unidades de rendimiento alcanzará la persona en sus primeras 50 horas? 4
9. Durante el primer año de lanzamiento al mercado se vendieron dos mil pares de bocinas del sistema de sonido modelo F de Acrosonic. Desde entonces, las ventas de estos sistemas se han incrementado a razón de, unidades por año Donde t denota los años que estos sistemas han estado en el mercado. Cuántos sistemas se vendieron durante los primeros 5 años posteriores a la introducción al mercado? 5
Integrales que Involucran Funciones Logarítmicas Ejercicio. Calcule cada integral Problemas de Aplicación 1. La función costo marginal para el producto de un fabricante está dada por Donde c es el costo marginal en dólares cuando se producen q unidades. Cuando se producen 100 unidades el costo promedio es de 50 dólares por unidad. Determine el costo de producir 200 unidades 2. Una compañía encuentra que la tasa de cambio de los gastos de publicidad respecto a las unidades vendidas semanalmente esta dado por, dólares Si cuando no hay inversión en publicidad se venden 100 unidades. Calcule los gastos de publicidad si se quiere vender 200 unidades 3. La tasa de cambio de la demanda respecto al precio de cierto producto está dada por Si cuando el precio p=2 dólares se demandan 28 unidades, calcule la demanda si el precio se incrementa en 4 dólares. 4. La tasa de cambio del precio (en miles de pesos) respecto a las unidades ofertadas está dada por Si cuando se venden 30 unidades el precio es de 235 mil pesos, calcule el precio si se venden 40 unidades 6
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Ejercicios Calcule cada integral 4 2 4 7 1 4 dx 5x 2 x x 2 dx 1 1 3 0 x x 3 2 2x 5x 6 dx x 1dx 2 0 2 3 2x x 1dx Problemas de Aplicación 1. El costo marginal de producir x unidades de cierto producto es C (x)= 74 + 1.1x 0.002x 2 + 0.00004x 3 dólares por unidad Encuentre el incremento en costo si el nivel de producción se eleva de 1200 a 1600 unidades 2. Una compañía puede reducir sus gastos laborales automatizando su planta. Sin embargo la automatización requiere mantenimiento sustancial extra, el cual se incrementa con el tiempo. El ahorro neto anual después de t años esta dado por S (t)= 120 4t 0.5t 2 (millones de pesos por año). Calcule el ahorro total sobre los primeros 8 años. 3. Una compañía está considerando la compra de una maquinaria nueva con un costo de 5000 dólares. Se estima que la máquina ahorrará dinero a la compañía a una tasa de 160(5 + t) dólares anuales en un tiempo t después de su adquisición. Se pagará la máquina a si misma durante los próximos 5 años? 4. La función ingreso marginal de un fabricante es 7
Si r está en dólares, encuentre el incremento en el ingreso total del fabricante si la producción se incrementa de 15 a 25 unidades 5. La tasa de depreciación de un edificio está dada por D (t)= 3 000 (20 t) ólar s por año, t. Us la int gral fini a para ncontrar: a. La depreciación los primeros 10 años b. La depreciación los primeros 20 años c. La depreciación entre 10 y 20 años 6. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de operación. Cuando la máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f(x) pesos al año donde f (x) = 1000 + 5000x. Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años? 7. La curva de demanda está dada por la ley d(x) = 50-0,06x 2. Encuentre el superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades 8. Se conoce que la curva de la oferta para un producto es S(x) =. Encuentre la ganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos 9. Una tienda se da cuenta de que sus ventas cambian a una tasa dada por: S (t) = -3t 2 + 300t, donde t es el número de días después de terminada la campaña publicitaria y t. a. Encuentre la venta total durante la primera semana después que se término la campaña (t=0 a t=7) b. Encuentre la venta total durante la segunda semana después que se término la campaña (t=7 a t=14) 10. La cantidad total que los consumidores están dispuestos a gastar para obtener q 0 unidades de un artículo esta dado por donde D(q) es la función de la demanda. Supongamos que la función demanda de cierto artículo es D(q)=4(25-q 2 ) dq. Hállese la cantidad de dinero (en miles de pesos) que los consumidores están dispuesto a pagar para obtener 3 unidades del artículo. 8