FUNCIÓN LINEAL. La función lineal o de primer grado es aquella que se representa gráficamente por medio de una línea recta. Dicha función tiene una ecuación lineal de la forma f()= =m+b, en donde m b son números constantes, m representa la pendiente de la recta b representa la ordenada al origen. En la siguiente gráfica se muestra una función lineal lo que representa m b. = 3+4 m=3 representa la pendiente o inclinación de la recta b=+4 representa la ordenada al origen o el punto donde la recta corta al eje.7. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LINEAL. Es inectiva. Dados dos números, las imágenes que le corresponden también son diferentes, f( ) f( ). Es sobreectiva. Ya que no queda un solo valor en sin que esté relacionado por lo menos con un valor de. Es biectiva. La función lineal es inectiva sobreectiva, entonces también es biectiva.
PENDIENTE Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA. La pendiente la podemos interpretar como el grado de inclinación de una recta respecto al eje, eisten pendientes positivas, negativas, Nulas e infinitas. En el siguiente esquema se muestra cada una de ellas. Pendiente nula. Pendiente positiva. Pendiente negativa. Pendiente infinita. Si consideramos una recta ubicamos un punto P(, ) cualquiera sobre dicha recta, proectamos sus coordenadas hacia los ejes, se formará un triángulo rectángulo como el que se muestra en la siguiente figura, en el cual se localiza el ángulo de inclinación θ El ángulo de inclinación θ de la recta es el que se forma hacia la parte positiva de los ejes de las abscisas (eje ) La pendiente (m) de una recta es la razón entre el cateto vertical ( ) el cateto horizontal () P(, ) Cateto vertical También sabemos que la función trigonométrica que relaciona al cateto opuesto al cateto adacente es la tangente (Tan), entonces tenemos que: θ Cateto horizontal m = Tan θ θ = Tan - (m) Por lo que la pendiente m es: m = Cabe mencionar que si la pendiente es positiva, el ángulo se medirá en sentido contrario a las manecillas del reloj si es negativa, se medirá en el mismo sentido del movimiento de las manecillas.
PENDIENTE DE UNA RECTA A PARTIR DE DOS PUNTOS CONOCIDOS. Sea A(, ) B(, ) dos puntos conocidos en una recta, a partir de ellos, se puede conocer la pendiente de la recta que los une, como se muestra en la siguiente figura. B(, ) A(, ) θ - - Sabemos que la pendiente (m) se determina con: m = Tan θ Pero también del triángulo que se forma entre los puntos A B se sabe que: La Tanθ = co / ca tanθ = Al igualar las dos ecuaciones obtenemos que: m =
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA. Hasta el momento, se han dado algunas características de la recta tales como su pendiente, ordenada al origen, ángulo de inclinación, relación entre ellas, etc. Con ello a tenemos elementos que nos servirán para la obtención de la ecuación en sus distintas formas. La recta se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que al tomarse de dos en dos se obtiene la misma pendiente. FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA. La ecuación de la recta en su forma ordinaria está dada en términos de la pendiente (m) la ordenada al origen (b) b b Figura (A) Figura ( B) Si la pendiente m, (la cual representa la inclinación de la recta) es positiva obtendremos una gráfica como la de la figura (A) si m es negativa obtendremos una gráfica como la de la figura (B). Cabe mencionar que (b) representa el valor de la ordenada (), donde la recta intersecta al eje. = m + b FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA. En esta forma, la ecuación de la recta se representa por coeficientes enteros debe ser igualada a cero, su forma simbólica es: A + B + C = 0 Nota: Cuando la ecuación se presente en esta forma, el termino A deberá ser positivo Donde A, B C son los coeficientes de la ecuación, e son las variables.
GRÁFICAS DE FUNCIONES LINEALES. Ejemplo. Dada la función =f()=-4, elabore la gráfica para cualquier valor de a sea positivo o negativo establezca el valor de su dominio, rango, pendiente, ordenada al origen su ecuación en forma general. = -4 (,) = -4 - = ( -) -4 = -4-4 = -8 (-,-8) - = (-)-4= --4 = -6 0 = (0)-4= 0-4 = -4 = ()-4= -4 = - = ()-4= 4-4 = 0 3 = (3)-4= 6-4 = (-,-6) (0,-4) (,-) (,0) (3,) Dominio D= Reales R ( -, + ) Pendiente m= + Ordenada al origen b= -4 Rango R= Reales R ( -, + ) Ecuación general --4=0 Recordemos que el valor de A debe ser positivo. Ejemplo. En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos al colgar un cuerpo de masa (m) en un resorte medir el alargamiento que sufre el resorte (L). Con estos datos elaborar la gráfica correspondiente determinar la ecuación de la función en su forma ordinaria general. Masa m 0gr. Alargamiento L 6cm 8 6 4 Alargamiento cm 00gr. 00gr. 9cm cm b=6 0 8 6 300gr 400gr 5cm 8cm 4 00 00 300 400 masa gr
,, Tomando dos puntos: (0, 6) (00, 9) para calcular su pendiente m. Recordemos que en una coordenada el primer valor representa el segundo valor a, esto es (,). 9 6 3 3 m = m = m = m = m = 0. 03 00 0 00 00 El valor de b es 6, a que es el punto donde la recta corta al eje. Por lo que la ecuación de la función en su forma ordinaria queda: =m()+b =f()=(0.03)+6 En su forma general es A + B + C = 0, al hacer la igualación a cero la ecuación queda: 0.03-+6=0, recordemos que el valor de A debe ser positivo. Ejemplo 3. Un capturista de datos recibe un sueldo de 36 pesos por día de trabajo por cada página capturada correctamente recibe una comisión de 3 pesos. Determinar: a) La ecuación en su forma ordinaria de la función que relaciona el número de páginas capturadas con el sueldo recibido en un día de trabajo. b) Si el lunes capturó 5 páginas, el martes 9 páginas, el miércoles páginas, el jueves 5 páginas el viernes 30 páginas. Cuánto ganó por día? c) Elaborar una gráfica que muestre en el eje el número de páginas capturadas el sueldo en ese día de trabajo en el eje. Solución. a) Sea el número de páginas capturadas e el sueldo por día. = f ( ) = (3pesos)( páginas) + 36 pesos Sueldo = 3+36 (,) Lunes 5 3(5)+36=45+36=8 (5,8) Martes 9 3(9)+36=57+36=93 (9,93) Miércoles 3()+36=66+36=0 (,0) Jueves 5 3(5)+36=75+36= (5,) Viernes 30 3(30)+36=90+36=6 (30,6) Páginas capturadas