REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 23, No. 1, 2002

REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 23, No. 1, 2002 OPTIMIZACION DE MULTIPLES RESPUESTAS POR EL METODO DE LA FUNCION DE CONVENIENCIA PARA UN DISEÑO DE MEZCLAS Margarita Nuñez e Villavicencio Ferrer 1, Instituto e Investigaciones para la Inustria Alimenticia, Ciua e La Habana, Cuba RESUMEN Se escriben la función e conveniencia para respuestas múltiples propuesta por Lowe para problemas en los cuales puee asumirse una relación lineal entre las respuestas sus conveniencias iniviuales, las funciones e conveniencia no lineales e Harrington para una os colas para problemas con límites e especificaciones en los valores e las respuestas, así como la función e conveniencia global. Meiante el proceimiento escrito utilizano el métoo e la función e conveniencia fue posible optimizar los resultaos experimentales obtenios a partir e un iseño e mezclas D-óptimo para la formulación e una limonaa empleano las funciones e conveniencia e Harrington e os colas para ambas respuestas maximizano la función e conveniencia global. ABSTRACT In the present paper, the function of esirabilit for multiple responses propose b Lowe for problem in which a linear relationship among responses an their iniviual esirabilit can be assume an, Harrington non-linear functions of esirabilit for one an two sies, an the function of overall esirabilit, are escribe. Experimental values obtaine from a D-optimal mixtures esign for the formulation of a lemonae coul be optimize with the proceure escribe, using Harrington s two-sie esirabilit functions for both responses an maximizing the overall esirabilit function. MSC: 62P30 1. INTRODUCCION En el esarrollo e un proucto un problema típico es encontrar un conjunto e coniciones o valores e las variables e entraa, que en como resultao el proucto más conveniente en términos e sus características o respuestas en las variables e salia. El proceimiento para resolver este problema generalmente involucra os pasos: (1 preecir las respuestas e las variables epenientes Y, ajustano las respuestas observaas usano una ecuación basaa en los niveles e las variables inepenientes X (2 buscar los niveles e las variables inepenientes X que simultáneamente proucen los valores e las variables e respuestas preichas más convenientes. (Winer, 1971 Cuano las proporciones en que se mezclan los ingreientes e un proucto constituen las variables e entraa o "inepenientes" lo más aecuao es emplear un Diseño e Mezclas. El empleo e este tipo e iseños aquiere gran importancia en campos como el e la investigación en alimentos, ebio a que el esarrollo e cualquier nuevo proucto o la moificación e uno a existente que implique la mezcla e os o más ingreientes requiere e alguna forma la realización e experimentos e mezcla. (Hare, 1974 Como resultao e un iseño e mezclas es posible obtener un moelo matemático que permite eterminar el efecto e los ingreientes sobre las características el proucto preecir los valores e las variables e respuestas a partir e los niveles e las variables inepenientes. Obtener el mejor proucto implica aemás, encontrar el balance e ingreientes que optimice su calia global, es ecir, eterminar los niveles óptimos e los componentes e la mezcla para la calia global el proucto. (Bowless Montgomer, 1972 Existen varios métoos e optimización para este tipo e problemas, entre ellos el proceimiento e superficie e respuesta extenio, el métoo e istancia generalizaa, el métoo e regiones e confianza restringias (Castillo, 1996, el métoo e minimización e la suma e cuaraos e las esviaciones el métoo e función e conveniencia, que será el que se escribirá aquí. (Anerson Whitcomb, 1993, Box,1965 1 E-mail:Agu@iiia.eu.cu 83

2. PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN DE MÚLTIPLES RESPUESTAS En muchos problemas e optimización experimental, es inusual encontrar sólo una respuesta que necesite ser optimizaa, en cambio, frecuentemente eben ser consieraas varias respuestas. (Walter col. 1999. El objetivo e la optimización es la selección, inepenientemente e la multiplicia e soluciones potenciales, e la mejor solución con respecto a algún criterio bien efinio. La elección e este criterio, el objetivo, es un paso esencial en un estuio (Beverige Schechter, 1970. Una función objetivo es aquella que expresa el objetivo en términos e los factores el sistema /o respuestas. Las funciones objetivo basaas en estrategias económicas tienen a ser altamente complejas, mientras que las basaas en consieraciones técnicas e calia son comúnmente simples. (Walters col. 1999 Consiere la mezcla necesaria para hacer una limonaa. Esta mezcla tiene tres componentes, agua, azúcar jugo e limón que se mezclaron en istintas proporciones según un iseño e mezclas D-óptimo, a las mezclas así obtenias se les miieron os respuestas, intensia el ulzor e intensia e la aciez por un grupo e jueces entrenaos utilizano una escala no estructuraa e 10 puntos. Con estos resultaos se ajustaron moelos matemáticos que permiten preecir los valores e las variables respuestas en función e los componentes e la mezcla. Si se preteniera comercializar esta limonaa, ebe tenerse en cuenta que su aceptación está aa por su balance ácio ulce, por lo que poría usarse una función objetivo para inicar formalmente cuánto ulzor cuánta aciez eben combinarse para ser optimizaos. En este caso la función objetivo puee ser simplemente la suma el ulzor la aciez juzgaos por el panel. Si se eseara enfatizar el contenio e alguna e las os características esta puee ponerarse. También pueen establecerse valores convenientes o metas para una o ambas respuestas el objetivo puiera ser minimizar la esviación con respecto a ese valor o establecer una función que relacione, e alguna forma, los valores e las respuestas con valores convenientes el objetivo seria maximizar esta función. 3. FUNCIONES DE CONVENIENCIA Lowe (1967 propone un proceimiento simple para formar funciones e conveniencia e respuestas múltiples. Si ji jd son meiciones e los valores más ineseables (I más eseables (D e una respuesta j respectivamente si se asume que la conveniencia se incrementa linealmente e ji a jd, entonces la conveniencia e la respuesta se calcula como: 0 = 1 ( ( id para para para < > id id one es la i-ésima respuesta e j es el valor e conveniencia calculao para esa respuesta. Aquí < > pueen interpretarse como peor que mejor que. Obsérvese que es aimensional entre cero uno. Según lo establecio por el panel que evaluó la limonaa, que se pretene formular, se tiene que para la respuesta intensia el ulzor un valor menor e 6 puntos es ineseable, mientras que el valor más eseable es 8 puntos. Por otra parte para la intensia e la aciez se tienen valores e 5 7 puntos para los valores ineseables más eseables respectivamente. Para ambas respuestas los valores e la función e conveniencia están aos por respectivamente se calculan meiante: i 1 0 = 1 2 2 si si si < 6 > 8 6 8 i 2 0 = 1 2 0 < 5 > 7 si 5 7 En la Figura 1 se ilustra este proceimiento, por meio el cual pueen transformarse los valores e las respuestas preichas en valores e conveniencia aplicaos al ejemplo e la limonaa. El eje vertical es el e la conveniencia que va e 0.0 (no conveniente a 1.0 (conveniente. En la parte inferior se representan los ejes e las respuestas, hacieno coinciir los valores e más ineseables eseables con los extremos izquiero erecho e la escala respectivamente. En este gráfico puee observarse cómo partieno e un valor e las variables respuestas es posible obtener el corresponiente valor e conveniencia. 84

Obsérvese que a los valores e respuestas a la izquiera e la escala se les asignan conveniencias cero, mientras que los valores a la erecha se les asignan conveniencias uno, esto último puee no ser aecuao para el caso e la limonaa a que esta no ebe ser extremaamente ulce ni extremaamente ácia. 1.0 CONVENIENCIA 0.5 1 Y2 6 6.5 7 7.5 8 5 5.5 6 6.5 7 Intensia el ulzor Intensia e la aciez Figura 1. Conveniencia como una función lineal e primer oren e las respuestas. Una alternativa es la función e conveniencia propuesta por Harrington (1965, que no asume una relación lineal e primer oren entre respuestas conveniencias en el caso e os colas está aa por: = e n ( one n es un número positivo no necesariamente entero (0 < n <, éste es una transformación e las respuestas, tal que: es el valor absoluto e 1 = j = 1 = j+, 2 ( j+ + j j ó j+ ( j+ j j es el límite inferior j+ el límite superior e las especificaciones para las respuestas, para los valores efinios, mie la istancia e al punto meio entre las especificaciones superiores e inferiores. Aplicano esta función al ejemplo e la limonaa, tomano como límites e especificaciones para ambas respuestas los valores antes mencionaos se tienen, para n = 2, las siguientes funciones e conveniencia para ambas respuestas: e = e e = 6 = 8 2 ( 7 ( 6 6 ó 8 e = e e 2 = 5 = 7 5 ó 7 En la Figura 2 se muestra la función e conveniencia 1 obtenia para la intensia el ulzor, análogamente puee construirse la función e conveniencia para la intensia e la aciez. Esta función es más aecuaa al caso el ejemplo pues como puee observarse, los valores e conveniencia isminuen en 85

ambos extremos e la escala, es ecir, tan inconveniente es una limonaa poco ulce o ácia como una mu ulce o mu ácia. La función e conveniencia e Harrington, cuano se usan límites e especificaciones e un solo lao (una cola toma una forma especial e la curva e crecimiento e Gompertz. = e one = 0 en el límite e especificación. La transformación e en se realiza escogieno os pares orenaos e (, calculano = ln[ ln( ] línea recta = b + b. 0 1 j e ', e los pares orenaos resultantes puee obtenerse la CONVENIENCIA 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 6.0 7.0 8.0 10.0 INTENSIDAD DEL DULZOR Figura 2. Función e conveniencia e os colas e Harrington para la intensia el ulzor e una limonaa (n = 2. Es posible encontrar otras formas alternativas para las funciones e conveniencia, algunas e las más útiles son las llamaas e forma libre, las cuales suelen ser esarrollaas en iscusiones entre los interesaos para las pueen obtenerse niveles e especificaciones más significativos. Derringer Suich (1980 an varios ejemplos. 4. FUNCION DE CONVENIENCIA GLOBAL Ha varias formas en las cuales se pueen combinar las conveniencias iniviuales, una e ellas poría ser la meia aritmética. Sin embargo, en la realia existe una premisa básica: si una característica es tan pobre que no es conveniente el uso el proucto, tal proucto no ebe ser aceptao, sin tener en cuenta el resto e las características, es ecir, no es posible vener una limonaa mu poco ulce aunque su aciez sea la correcta. La reacción el consumior a un proucto está basaa en gran meia en las características menos eseables e tal proucto ebio a que son un foco e problemas potenciales. (Harrington, 1965 El moelo matemático análogo a esta reacción psicológica es la meia geométrica e los valores e conveniencia iniviuales. (Harrington, 1965; Derriger Suich, 1980 n D = = es eviente que si algún valor e i es cero, el valor e D asociao será cero. i 1 i 1 n 86

La Figura 3 muestra como varía D como función e 1 2, nótese que si algún valor e i es cero, D será cero, sin tener en cuenta el otro valor. Walters (1999 muestra varios ejemplos e istintos tipos e funciones e conveniencia global, la forma e la función D epene el tipo e función e conveniencia iniviual que se asuma. El proceimiento escrito proporciona una vía para transformar los valores preichos para múltiples variables epenientes en un valor simple e conveniencia global. El problema e la optimización simultánea e varias variables respuestas será entonces el e seleccionar las proporciones e los componentes e la mezcla (variables preictoras que maximicen la conveniencia global. 5. OPTIMIZACION DE RESPUESTAS MULTILES Figura 3. Conveniencia global como función e 1 2. Para buscar los valores e los componentes que proucen resultaos con la maor conveniencia global se plantean os métoos. El primero emplea un proceimiento e optimización general e la función e conveniencia global (el métoo símplex para encontrar los valores óptimos e los componentes entro el rango experimental específico. El seguno busca en caa combinación específica e valores e los componentes la combinación que prouzca la conveniencia global óptima, en este caso la respuesta puee no ser única. (Chitra, 1990 Para la optimización e la conveniencia global tomao como función la meia geométrica como funciones e conveniencias e las respuestas iniviuales la función e Harrington e os colas, empleano el seguno métoo, en la formulación e la limonaa, es necesario, por razones tecnológicas, agregar restricciones aicionales con respecto a los componentes e la mezcla sería conveniente que se empleara: la menor cantia e agua posible por encima e 60%, la menor cantia e jugo e limón entre 10 20 % el azúcar mínimo necesario entre 10 30 %. Al imponer estas restricciones se obtuvieron las siguientes soluciones óptimas : Agua Azúcar Limón Intensia el ulzor Intensia e la aciez Conveniencia global 1 55.09 23.64 21.27 7.3 6.5 0.709 2 60.00 18.81 21.19 5.7 6.5 0.634 Solución 1 Solución 2 Figura 4. Histograma e la función e conveniencia para las soluciones. 87

La Figura 4 muestra los histogramas e la función e conveniencia para caa componente, las respuestas la función e conveniencia global e caa solución. En ellos se observa en qué meia caa solución satisface las coniciones impuestas, la longitu e las barras representan el valor alcanzao por la función e conveniencia para caa componente, caa respuesta la conveniencia global o combinaa. Las soluciones encontraas alcanzan valores e 0.709 0.634 e la función e conveniencia global los cuales puieran ser satisfactorios aunque no se satisfagan exactamente las restricciones impuestas, por otra parte, el valor e intensia el ulzor obtenio para la primera solución (7.3 está mu cercano al centro el rango especificao, el e la seguna está fuera el rango especificao, con ambas soluciones se obtiene el mismo valor e intensia e la aciez (6.5, que está entro el rango especificao. La primera solución empleará una proporción e agua algo inferior al límite impuesto, el jugo e limón el azúcar están entro e los rangos, la seguna solución empleará proporciones e los componentes entro e los rangos especificaos. Con esta información es posible eterminar cuál e las os soluciones se tomarán para estuios posteriores e aceptación. 6. CONCLUSIONES El métoo e la función e conveniencia permite resolver problemas e la optimización experimental con múltiples respuestas. Las funciones e conveniencia formaas por el proceimiento propuesto por Lowe son aecuaas para el caso en que puee asumirse que la conveniencia se incrementa linealmente ese el valor menos conveniente al más conveniente asumen valores e conveniencia cero uno para respuestas por ebajo por encima el valor menos conveniente el valor más conveniente respectivamente. La función e conveniencia e Harrington e os colas es aecuaa cuano se establecen límites e especificaciones superiores e inferiores e las variables respuestas, la conveniencia es máxima entre esos límites isminue hacia los extremos e la escala e las respuestas. La función e conveniencia e Harrington e una cola se utiliza cuano se establece un límite superior o inferior e las variables respuestas, por encima o por ebajo el cual la conveniencia crece. Utilizano el métoo e la función e conveniencia fue posible optimizar los resultaos experimentales obtenios a partir e un iseño e mezclas D-óptimo para la formulación e una limonaa empleano las funciones e conveniencia e Harrington e os colas para ambas respuestas maximizano la función e conveniencia global. REFERENCIAS ANDERSON, M.J an P.J. WHITCOMB (1993: Optimizing formulation performance with esirabilit functions, Quebec Metalurgical Conference. BEVERIDGE, G.S.G. an R.S. SCHECHTER (1970: Optimization: Theor an Practice, Mc Graw Hill, New York. BOWLES, M.L. an MONTGOMERY, D.C. (1997: "How to formulate the ultimate Margarita: a tutorial on experiments with mixtures", Qual. Eng. 10, 2, 239-253. BOX, M.J. (1965: "A new metho of constraine optimization an a comparison with other methos", Computer J., 8, 42. CHITRA, S.P. (1990: "Multi-response optimization for esigne experiments", Proc. Statistical Computing Section. Am Stat Ass. Anaheim, California, Agosto 6-9. DERRINGER, G.C. an SUICH, R. (1980. "Simultaneous optimization of several response variables", J. Qual Technol. 12, 214-219. HARE, L.B. (1974: "Mixture esigns applie to foo formulation", Foo Technol., 28, 50,52-54,56,62. HARRINGTON, E.C. (1965: "The esirabilit function", In. Qual Control 21, 494-498. 88

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