PERSPECTIVA ISOMÉTRICA. INTERSECCIONES CON RECTAS Y PLANOS. SECCIONES PLANAS. 1. INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS DADOS POR SUS TRAZAS. 1.1. INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS CUALESQUIERA. Es la recta común a los dos planos. Dicha recta debe cumplir con ambos la condición de pertenencia, es decir, las trazas de la recta deben estar en las trazas homónimas de los planos. Sean los planos α y β, para hallar su recta intersección se busca el corte de las trazas homónimas: α1 y β1 se cortan en el punto I1 así como α3 y β3 lo hacen en el punto I3. Uniendo I1 con I3 se tiene la recta i y con ello su proyección horizontal i. 1.2. INTERSECCIÓN DE UN PLANO CUALQUIERA CON OTRO PROYECTANTE. Se trata de un caso particular del anterior y por tanto el proceso a seguir es el mismo. 1.3. INTERSECCIÓN DE UN PLANO CUALQUIERA CON OTRO PARALELO A UN COORDENADO. Consideramos un plano α cualquiera y otro β, paralelo al plano vertical XOZ. En este caso, la recta intersección será paralela al vertical XOZ al pertenecer al plano β. Su determinación sigue el proceso general descrito anteriormente ANA BALLESTER JIMÉNEZ 1
2. INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO. 2.1. INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UN PLANO DADO POR SUS TRAZAS. Sea la recta r y un plano cualquiera α, recordemos el proceso a seguir: Se hace pasar un plano auxiliar cualquiera que contenga a la recta (para mayor comodidad un plano proyectante). Se halla la recta i, intersección de α con δ. El punto de corte R de las rectas r e i consideradas, es el punto intersección buscado. 2.2. INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UN PLANO DADO POR TRES PUNTOS. Cuando el plano con el que se desea hallar la intersección no está definido por sus trazas, si no mediante dos rectas o tres puntos, tales como A, B y C, se puede determinar la intersección sin necesidad de obtener las trazas del mismo. El proceso es como sigue: Se considera el plano proyectante δ que contiene a la recta r dada, siendo δ1 coincidente con la proyección r de la recta. Se halla la recta intersección i del plano ABC dado con el plano proyectante δ.: determinados los puntos 1 y 2 (como intersección de r con A B y B C respectivamente), se refieren sus correspondientes 1 y 2 del espacio, que determinan la recta intersección buscada. El punto de corte R, de la recta con el plano, viene definido por el punto común de la recta intersección i con la recta r. Con ello, y por último, se analizan partes vistas y ocultas de la recta r con respecto al plano ABC. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 2
3. PASOS EN EL TRAZADO Y DETERMINACIÓN DE LA SECCIÓN PRODUCIDA EN UN CUERPO POLIÉDRICO POR UN PLANO DADO POR TRES PUNTOS A, B Y C. Paso 1: Se comienza por obtener la perspectiva axonométrica del cuerpo, considerando partes vistas y ocultas. Paso 2: Se determinan las trazas del plano α dado por los puntos A, B y C. Recordemos que todos los planos del cuerpo que sean paralelos a los coordenados serán cortados por el plano según rectas paralelas a las trazas α1, α2 y α3 respectivamente. Al trazar las paralelas se obtienen los puntos 1 al 9, quedando por definir la sección producida en los planos inclinados. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 3
Paso 3: Para determinar los puntos 10 y 11 se halla el punto P, intersección de α2 y ϒ2, y por él se traza la paralela a α1. Paso 4: Para una visualización más clara se borran todas las líneas auxiliares y se delinea correctamente la sección retirando el volumen que se extiende por encima de la misma. 4. EJERCICIOS SECCIONES EN ISOMÉTRICA. 1. Un PRISMA RECTO HEXAGONAL REGULAR de arista de base 35 mm, y altura el doble, se apoya en el plano XOY y tiene el centro de su base en el origen de coordenadas. Dos de sus caras laterales son paralelas al plano XOZ. a) Determinar la SECCIÓN producida por un plano paralelo al eje Y que pasa por el punto P y contiene al CENTRO DE GRAVEDAD del prisma. b) Dibujar la PORCIÓN DE PRISMA limitada por su base y la sección. 2. Dadas las proyecciones diédricas ALZADO y LATERAL IZQUIERDO de un SÓLIDO DE CARAS PLANAS, se pide: a) Dibujar, a escala natural, la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA del cuerpo. b) Representar la SECCIÓN por el plano que contiene a los puntos A, B y C, eliminando el trozo de pieza que se encuentra por encima del plano. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 4
3. El SÓLIDO DE CARAS PLANAS del que se facilitan sus tres PROYECCIONES DIÉDRICAS acotadas es seccionado por el plano que definen los puntos A, B y C, eliminándose las partes del mismo que quedan por encima de dicho plano. Se pide: Dibujar a escala 5/4, la PERSPECTIVA AXONOMÉTRICA ISOMÉTRICA del sólido seccionado, disponiéndolo de forma que resulten vistas las TRES PROYECCIONES dadas. 4. Un CILINDRO RECTO DE REVOLUCIÓN de altura 80 mm, tiene su base situada en el plano horizontal XOY con centro en el punto P(26,26,0), siendo tangente a los otros planos coordenados. a) Dibujar la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA del CILINDRO. b) Hallar la SECCIÓN producida por un plano paralelo al eje X, que forma 45º con el plano XOY y pasa por el centro de gravedad del cuerpo. 5. El dibujo representa las PROYECCIONES DIÉDRICAS, acotadas en milímetros, de un SEMICUBO atravesado por un TALADRO PASANTE VERTICAS de 50 mm de diámetro. Dibujar a escala natural, la PERSPECTIVA AXONOMÉTRICA ISOMÉTRICA de la pieza mecánica hueca. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 5
6. Dadas la proyecciones diédricas de un SÓLIDO DE CARAS PLANAS se pide: a) Dibujar, a escala natural, la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA de dicho cuerpo. b) Representar la INTERSECCIÓN por un plano que contenga a los puntos A, B y C, eliminando el trozo de pieza que se encuentra por encima del plano. 7. Un SÓLIDO DE CARAS PLANAS, del que se facilitan sus tres PROYECCIONES DIÉDRICAS acotadas, es seccionado por el plano que definen los puntos A, B y C, eliminándose las partes del mismo que quedan por encima de dicho plano. Se pide: Dibujar, a escala 5/2, la PERSPECTIVA AXONOMÉTRICA ISOMÉTRICA del sólido seccionado, disponiéndolo de forma que resulten vistas las TRES PROYECCIONES dadas. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 6
5. EJERCICIOS SECCIONES EN CABALLERA. 1. Disponemos de un hexaedro de 60 mm de lado en perspectiva caballera con tres de sus aristas coincidentes con las partes positivas de los ejes coordenados. Se pide: Obtener la intersección del cubo con el plano que contiene los puntos A (80,20,20), B(0, 100,0) y C(0,0,70), sabiendo que el ángulo de fuga es ϕ= 135º y el coeficiente de reducción Cr = 2/3. 2. Dadas las proyecciones diédricas de un sólido de caras planas se pide: Representar a escala 1/1, la perspectiva caballera dibujando la porción de cuerpo comprendido entre su base y la sección producida por el plano definido por los puntos A, B y C. Ángulo de fuga ϕ= 135º. Coeficiente de reducción Cr = 2/3. 3. Dado un sólido de caras planas, representar a escala ½, la perspectiva caballera, dibujando la porción de cuerpo comprendido entre su base y la sección producida por el plano definido por los puntos A, B y C. Ángulo de fuga ϕ= 135º. Coeficiente de reducción Cr = ¾. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 7
4. Dadas las proyecciones diédricas del cuerpo se pide: Dibujar a escala 4/5 su perspectiva caballera, teniendo en cuenta que el ángulo de fuga toma el valor ϕ= 135º y el coeficiente de reducción en el eje X es de Cr = 2/3. Dibujar la sección que produce el plano ABC a la pieza dada. 5. El dibujo representa las proyecciones diédricas de un sólido de caras planas. Se pide: Dibujar a escala 2/1, la perspectiva caballera del sólido que resulta al seccionarle por el plano que contiene a los puntos A, B y C, retirando la porción del mismo que se extiende por encima del plano de corte. Ángulo de fuga ϕ= 135º. Coeficiente de reducción Cr= 2/3. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 8