ESPACIOS MÉTRICOS. por Jorge F. Yazlle Curso de Extensión Facultad de Ciencias Exactas Universidad Nacional de Salta Junio de 2011

ESPACIOS MÉTRICOS por Jorge F. Yazlle Curso de Extensión Facultad de Ciencias Exactas Universidad Nacional de Salta Junio de 2011 El desarrollo de la teoría de funciones y sucesiones que se vio en los cursos de Análisis Matemático I y II sirve bien cuando el objeto de estudio es una función a valores reales, definida en un subconjunto de R (o, un poquito más en general, cuando la función va de R m en R n ). Sabemos bien lo que significa un proceso de límite de una función de ésas, o la convergencia de sucesiones o series numéricas. Sin embargo, es frecuente, en el desarrollo de ciencias que tienen que ver con la Matemática, toparse con conjuntos no numéricos (piénsese, por ejemplo, en el conjunto de todas las imágenes que pueden aparecer en la pantalla de una computadora, o en el conjunto de todas las funciones reales continuas del intervalo [0, 1]) y estudiar sucesiones y funciones cuyos dominio y/o codominio son esos conjuntos raros. Un caso emblemático es el de los fractales, en donde, en la pantalla de una PC, va apareciendo una seguidilla de imágenes que converge a una cierta figura. Pero, qué quiere decir converge? Habrá una teoría general de convergencia de sucesiones de elementos que no son números? Habrá alguna teoría de límite, o de integración, para funciones no numéricas? Resulta que la teoría de límite de funciones y sucesiones puede ser extendida a conjuntos más extravagantes que el de los números reales, a condición de dotar a esos conjuntos de una estructura que capture conceptos parecidos a los que se usan en el conjunto de los números reales para estudiar los procesos de límite, y de generalizar de algún modo los resultados que se conocen sobre los reales. Más concretamente, la definición de límites, por ejemplo, depende crucialmente de la función módulo, que da una idea ni más ni menos que de la distancia a la que se encuentran dos números reales sobre la recta real. Y qué propiedades tiene esa manera de medir distancias? Después de mucho discutirlo, los matemáticos se dieron cuenta de que todas las propiedades de la misma podían deducirse a partir de unos cuantos axiomas: la distancia entre dos puntos es un número no negativo ( x y 0), la distancia desde un punto a sí mismo es 0 ( x x = 0), la distancia desde un punto a otro punto distinto es estrictamente positiva(x y x y > 0), la distancia es la misma de ida que de vuelta ( x y = y x ), y el viaje puede hacerse más largo si pasamos por un tercer punto ( x y x z + z y ). Resulta entonces que si a un conjunto cualquiera le definimos una manera de medir distancias (entre puntos del conjunto) que satisfaga esos axiomas, podremos hablar de límites de sucesiones y de funciones, de continuidad, etc., e investigar sus propiedades. Ése es el propósito de este curso. 1. Preliminares Primero estableceremos una serie de notaciones referidas a la teoría general de conjuntos y de funciones, y de supremos e ínfimos, que serán muy útiles en el desarrollo del curso. 1.1. Conjuntos Suponemos ya conocido el concepto de conjunto, y las notaciones y definiciones básicas de este campo (pertenencia, inclusión, igualdad, unión, intersección, complemento, etc.). 1

Sean U un conjunto (universal) e I un conjunto (de índices) cualesquiera. Supongamos que para cada i I se tiene definido un subconjunto A i U. Denotamos por {A i } i I a la colección de todos estos conjuntos. La unión de todos los A i es el conjunto A i = {x U : i I : x A i } i I La intersección de todos los A i es el conjunto A i = {x U : i I : x A i } i I Se cumplen las leyes distributivas y las leyes de De Morgan para uniones e intersecciones: 1. B i I A i = i I (B A i) B i I A i = i I (B A i) 2. ( i I A ) c ( i = i I Ac i i I A ) c i = 1.2. Funciones i I Ac i Suponemos ya conocido el concepto de función, y las notaciones y definiciones básicas de este campo (inyectividad, sobreyectividad, composición, inversa, etc.). Si f es una función de X en Y, A X y B Y, denotamos por f(a) al conjunto de todos los elementos de Y que son imagen por f de algún elemento de A, y por f 1 (B) al conjunto de todos los elementos de X cuya imagen por f pertenece a B. Formalmente: f(a) = {y Y : x A : y = f(x)} f 1 (B) = {x X : f(x) B} Sea f una función de X en Y, A y E subconjuntos de X, B y F subconjuntos de Y, I un conjunto arbitrario de índices, {A i } i I una familia de subconjuntos de X, {B i } i I una familia de subconjuntos de Y. Se satisfacen las siguientes propiedades: 1. A E f(a) f(e) 2. B F f 1 (B) f 1 (F) 3. Si f es inyectiva, f(a c ) f(a) c. Si f es sobreyectiva, f(a c ) f(a) c. Luego, para f biyectiva, es f(a c ) = f(a) c. 4. f 1 (B) c = f 1 (B c ) 5. f (f 1 (B)) B (si f es sobreyectiva, vale la igualdad). 6. A f 1 (f(a)) (si f es inyectiva, vale la igualdad). 7. f ( i I A ) i = i I f(a i) 8. f ( i I A ) i i I f(a i) (si f es inyectiva, vale la igualdad). 9. f 1( i I B ) i = i I f 1 (B i ) 10. f 1( i I B ) i = i I f 1 (B i ) Si f : X Y y S X, se define la restricción de f a S como la función g : S Y tal que g(x) = f(x) para todo x S. Una notación habitual para la función restringida es f S, aunque haciendo abuso de notación, también suele usarse el mismo nombre f. 2

1.3. Supremos e ínfimos Sea A R. Se dice que t R es una cota superior de A si x A,x t. Si A tiene una cota superior, se dice que A es acotado superiormente, y se define el supremo de A, denotado supa, como la menor de las cotas superiores de A (se puede demostrar, aunque no fácilmente, que tal definición es buena). Si A no tiene cota superior, decimos que el supremo de A es. Se verifica que para cualquier A R: 1. El supremo de A es único. 2. supa k x A,x k. 3. Si k R y existe x A tal que x k, entonces supa k. 4. Si A B R, entonces supa supb. 5. Si B R y hacemos C = {a+b : a A,b B}, entonces supc supa+supb. De manera similar, se definen las cotas inferiores, y el ínfimo de A (ínfa) como la mayor de las cotas inferiores (si el conjunto es acotado inferiormente, o si no). Siempre ocurre que ínfa supa. Para el ínfimo, se tienen propiedades análogas a las enunciadas para el supremo. 2. Espacios métricos: definiciones y propiedades básicas Un espacio métrico es un par(x,d), dondex es un conjunto de elementos que llamaremos puntos y d es una función de X X en R que cumple los siguientes axiomas, para todos a,b,c pertenecientes a X: 1. d(a,b) 0 2. d(a,b) = 0 a = b 3. d(a, b) = d(b, a) (axioma de simetría). 4. d(a, b) d(a, c) + d(c, b) (desigualdad triangular). La función d se llama distancia o métrica para X. Un ejemplo clásico de espacio métrico es el del conjunto de los números reales y la distancia usual dada por el módulo: d(a,b) = a b. Más generalmente, para n 1, R n con la distancia euclídea d((x 1,...,x n ),(y 1,...,y n )) = (x 1 y 1 ) 2 + +(x n y n ) 2 es un espacio métrico, denominado espacio euclídeo n-dimensional. La teoría de los espacios métricos surge con la intención de generalizar los espacios euclídeos, permitiendo extender ideas a otros tipos de conjuntos. Ejemplo 1. Se denota con C [0,1] al conjunto de todas las funciones cuyo dominio es el intervalo [0,1], cuyo codominio es R, y que además son continuas en todo el dominio. Para f,g C [0,1], definamos d(f,g) = sup{ f(x) g(x) : x [0,1]} Por ejemplo, sean f, g y h las funciones definidas por f(x) = x g(x) = x 4 + 1 4 h(x) = x 2 3

Queda de ejercicio verificar que d(f, g) = 1/2, d(g, h) = 1/2 y d(f, h) = 1/4. Mostraremos que d definida anteriormente es una métrica para C [0,1]. Lo primero a hacer es ver que es una función bien definida. Sean f y g dos elementos de C [0,1], y hagamos A = { f(x) g(x) : x [0,1]}.Aes un conjunto acotado superiormente, porque f yg son continuas en [0,1], y por tanto acotadas. Luego, supa es un número real, por lo que d es una función bien definida de C [0,1] C [0,1] en R. Ahora debemos ver el cumplimiento de los cuatro axiomas. Sean f,g,h C [0,1]. Ya que f(x) g(x) 0 cualquiera sea x [0,1], tenemos que, por propiedad de supremos, sup{ f(x) g(x) : x [0,1]} 0, es decir, d(f,g) 0. Supongamos que d(f,g) = 0. Tomemos cualquier t [0,1]. Tenemos que 0 f(t) g(t) sup{ f(x) g(x) : x [0,1]} = d(f,g) = 0, y entonces f(t) g(t) = 0. Luego, f(t) = g(t) para todo t [0,1], por lo que f = g. Recíprocamente, si f = g, tenemos que x [0, 1], f(x) = g(x), y, en consecuencia, { f(x) g(x) : x [0,1]} = {0}, por lo que d(f,g) = sup{0} = 0. Se cumple entonces el segundo axioma. d(f,g) = sup{ f(x) g(x) : x [0,1]} = sup{ g(x) f(x) : x [0,1]} = d(g,f). En consecuencia, se cumple el axioma de simetría. Dado que para cualquier x [0,1] se cumple que tenemos que f(x) g(x) = f(x) h(x)+h(x) g(x) f(x) h(x) + h(x) g(x), d(f,g) = sup{ f(x) g(x) : x [0,1]} sup{ f(x) h(x) + h(x) g(x) : x [0,1]} Hagamos entonces C = { f(x) h(x) + h(x) g(x) : x [0,1]} A = { f(x) h(x) : x [0,1]} B = { h(x) g(x) : x [0,1]} C = {a+b : a A,b B}. Tenemos que C C, y entonces supc supc supa + supb. Concluimos que d(f,g) d(f,h)+d(h,g), y, en consecuencia, se cumple la propiedad triangular. Como hemos verificado que d es una función bien definida de C [0,1] C [0,1] en R que satisface los axiomas correspondientes, podemos afirmar que d es una métrica para C [0,1]. Pasamos ahora a una definición crucial en la teoría de espacios métricos. Definición 2. Sean(X,d) un espacio métrico,x 0 un elemento cualquiera dex yr cualquier real positivo. El entorno de centro x 0 y radio r es el conjunto B r (x 0 ) = {x X : d(x 0,x) < r}. El entorno reducido de centro x 0 y radio r es B r(x 0 ) = {z X : 0 < d(x 0 x) < r} O sea que B r (x 0 ) está constituido por todos los puntos de X que están a distancia estrictamente menor que r de x 0 (esto incluye, por supuesto, al propio x 0 ; es decir, todo entorno incluye a su centro). El entorno reducido consiste en todos los puntos del entorno, excepto el centro. Las siguientes definiciones se refieren a puntos x y subconjuntos E de un espacio métrico (X,d). 4

1. x es punto de acumulación de E si todo entorno reducido de x contiene al menos un punto de E, es decir, si r > 0,B r(x) E (lo que equivale a decir que cualquier entorno de x contiene un punto de E {x}). Designamos por E al conjunto de todos los puntos de acumulación de E. Observar que un punto de acumulación de E puede o no pertenecer a E. 2. E es cerrado si todos sus puntos de acumulación pertenecen a E, es decir, si E E. 3. La clausura de E es E = E E, es decir, la unión del conjunto y sus puntos de acumulación. 4. Si x E pero x no es punto de acumulación de E, x se llama punto aislado de E. 5. x es un punto interior de E si existe r R + tal que B r (x) E. 6. E es abierto si todos sus puntos son puntos interiores de E. 7. La frontera de E es E = {x X : r > 0,B r (x) E B r (x) E c }. 8. E es acotado si existen x X y r R + tales que E B r (x). 9. E es denso en X si E = X. 10. El diámetro de E es diam(e) = sup{d(x,y) : x,y E}. Desarrollaremos ahora algunas de las propiedades más elementales de los espacios métricos. Proposición 3. Todo entorno es un conjunto abierto. Demostración. Sea B r (x) un entorno de x en el espacio (X,d). Para y B r (x), tomemos r = r d(x,y). Será r > 0 pues d(x,y) < r. Veamos que B r (y) B r (x): si z B r (y), d(x,z) d(x,y)+d(y,z) < d(x,y)+r = r, de donde z B r (x). Luego todo punto de B r (x) es un punto interior de B r (x), por lo que B r (x) es abierto. Proposición 4. Sea E un subconjunto del espacio métrico X. Un punto x de X pertenece a E si, y sólo si, cualquier entorno de x contiene al menos un punto de E. Demostración. Supongamos que x E. Si x E, cualquier entorno de x contiene al propio x, que es un punto de E. Si x / E, x es punto de acumulación de E, por lo que cualquier entorno de x contiene un punto de E {x}, o sea un punto de E. Recíprocamente, supongamos que cualquier entorno de x contiene un punto de E. Si x E, x E. Si x / E, tenemos que E = E {x}, por lo que cualquier entorno de x posee un punto de E {x}; luego x es punto de acumulación de E, y x E. Proposición 5. Si x es punto de acumulación de E, todo entorno de x posee infinitos puntos de E. Demostración. Demostraremos por contrarreciprocidad. Sea x X tal que existe r > 0 tal que B r (x) contiene una cantidad finita de puntos de E. Si Br(x) E =, x no cumple la definición de punto de acumulación de E. Si Br(x) E, sea r = mín{d(x,y) : y Br(x) E}. r es el más chico de un conjunto finito de números positivos, por lo que r > 0. Tendremos que (x) no contiene puntos de E, por lo que x tampoco es punto de acumulación de E. B r Corolario 6. Un subconjunto finito de un espacio métrico no posee puntos de acumulación. Teorema 7. Un subconjunto de un espacio métrico es abierto si, y sólo si, su complemento es cerrado. 5

Demostración. Supongamos que E es un subconjunto abierto de (X,d). Sea x E. Existe r > 0 tal que B r (x) E, luego B r (x) E c =, por lo que x no es punto de acumulación de E c. Tenemos entonces que si x E, x no es punto de acumulación de E c, que equivale a decir que si x es punto de acumulación de E c, x pertenece a E c, mostrando que E c es cerrado. Recíprocamente, supongamos que E c es cerrado. Sea x E, es decir, x / E c. x no es punto de acumulación de E c, por lo que existe un entorno B r (x) que no contiene puntos de E c {x}. Pero ya que x E, resulta E c {x} = E c, por lo que B r (x) E c =, es decir, B r (x) E. Luego x es punto interior a E, y E es abierto. Corolario 8. Un subconjunto de un espacio métrico es cerrado si, y sólo si, su complemento es abierto. Demostración. E es cerrado (E c ) c es cerrado E c es abierto. Teorema 9. Para cualquier espacio métrico, las siguientes afirmaciones son válidas: 1. La unión arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. 2. La intersección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. 3. La intersección arbitraria de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. 4. La unión finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. Demostración. Sea {A i } i I una familia cualquiera de subconjuntos abiertos de (X,d). Si x i I A i, existe k I tal que x A k, luego hay un entorno B r (x) A k i I A i, lo que muestra que i I A i es abierto. Esto prueba la primera afirmación. Sea {A i } n i=1 una familia finita de subconjuntos abiertos, y x n i=1 A i. Para cada i {1,...,n}, existe un r i > 0 tal que B ri (x) A i. Sea r = mín{r i : i = 1,...,n}. Será r > 0. Verifiquemos que B r (x) n i=1 A i: si d(x,z) < r será d(x,z) < r i para todo i {1,...,n} por la elección de r, por lo que z A i para todo i {1,...,n}, de donde z n i=1 A i. Por lo tanto n i=1 A i es abierto. Esto muestra la segunda afirmación. Un ejemplo que muestra que la afirmación no es válida para intersecciones arbitrarias es A i = ( 1, 1 ) para i N, en i+1 i+1 el espacio de los reales con la métrica usual. Aquí se tiene que i=0 A i = {0}, que no es un subconjunto abierto de R. Sea {C i } i I una familia cualquiera ) de subconjuntos cerrados de (X,d). Por las leyes de De c = Morgan, se tiene que ( i I C i i I Cc i, siendo este último un conjunto abierto según se demostró en el primer ítem, ya que cada Ci c es un conjunto abierto. Luego ( i I C i) es un conjunto cerrado, pues su complemento es abierto. Esto demuestra la tercera afirmación. Finalmente, sea {C i } n i=1 una familia finita de subconjuntos cerrados. Será ( n i=1 C i) c = n i=1 Cc i, siendo este último un conjunto abierto según el inciso segundo de este teorema, por lo que n i=1 C i es cerrado. Teorema 10. Un subconjunto de un espacio métrico es abierto si, y sólo si, es una unión de entornos. Demostración. Supongamos que E es un subconjunto abierto de un espacio métrico (X, d). Entonces podemos asociar a cada punto z de E un número positivo r z tal que B rz (z) E. Veamos que E = z E B r z (z): si x E, x B rx (x) z E B r z (z), luego E z E B r z (z). Y si x z E B r z (z), hay un z de E tal que x B rz (z); pero por hipótesis B rz (z) E, de donde x E; con esto, z E B r z (z) E. La vuelta se deduce de la Proposición 3 y del Teorema 9. El siguiente teorema nos dice que la clausura de un conjunto E es el más pequeño de los conjuntos cerrados que contienen a E. 6

Teorema 11. Sea E un subconjunto de un espacio métrico (X,d). 1. E es un subconjunto cerrado. 2. E = E si, y sólo si, E es cerrado. 3. Si E F y F es cerrado, entonces E F. 4. diam(e) = diam(e). Demostración. 1. Mostraremos que el complemento de E es abierto. Sea x E c, luego x / E, por lo que existe r > 0 : B r (x) E =. (prop. 4). Como B r (x) es abierto (prop. 3), para cada z B r (x) existe r > 0 tal que B r (z) B r (x), y entonces B r (z) E =, por lo que z / E. Entonces B r (x) E c. Ya que x era arbitrario, se sigue que E c es un conjunto abierto. 2. La ida es inmediata por el inciso anterior. Para la vuelta, siendo E cerrado, se tiene que E E, por lo que E = E E = E. 3. Primero observemos que si E F, debe ser E F : Tomemos x E, y consideremos r > 0. Por prop. 4, B r(x) E, de donde, siendo E F, es B r(x) F. Luego, nuevamente por prop. 4, x F. Con esto podemos ver que E = E E F F = F, es decir, E F. 4. Puesto que E E, es directo que diam(e) diam(e). Sea ε > 0, y tomemos x e y arbitrarios en E. Sean x,y E tales que d(x,x ) < ε/2 y d(y,y ) < ε/2 (prop. 4). Luego, d(x,y) d(x,x ) + d(x,y ) + d(y,y) < ε + d(x,y ) ε + diam(e). Es decir, d(x,y) < ε+diam(e). Como x e y son arbitrarios, se sigue que diam(e) ε+diam(e), y, puesto que ε es arbitrario, se deduce que diam(e) diam(e). Proposición 12. Sea E un subconjunto del espacio de los reales con la métrica euclídea, y supongamos que E posee cota superior. Entonces el supremo de E pertenece a la clausura de E. Luego, si E es cerrado, el supremo de E pertenece a E. Demostración. Sea s = supe. Para todo r > 0, B r (s) = (s r,s+r) contiene un punto de E (pues sino s r sería una cota superior para E, pero menor que el supremo, y eso sería una contradicción). Luego, s E (prop. 4). La última afirmación en el enunciado del teorema es consecuencia inmediata del Teorema 11. Consideraciones análogas valen para el ínfimo de un conjunto. Proposición 13. Sea X un espacio métrico, y {V 1,...,V n } una familia finita de abiertos densos en X. Entonces n k=1 V k es un subconjunto abierto denso en X. Demostración. En virtud del Teorema 9, sólo resta probar que n k=1 V k es densa. Lo probaremos para el caso n = 2, y luego una simple inducción permitirá verificar el resultado general. Para probar que V 1 V 2 es denso, sea x X y ε > 0 arbitrario. Por ser V 1 denso, existe y V 1 : d(x,y) < ε/2. Como V 1 es abierto, existe r > 0 tal que B r (y) V 1. Sea r = mín{r,ε/2}. Observar que B r (y) B r (y) V 1. Como V 2 es denso, existe z V 2 tal que d(z,y) < r. Entonces z V 1 V 2, y d(z,x) d(x,y)+d(y,z) < ε. Luego, x pertenece a V 1 V 2 (prop. 4). Por ello, V 1 V 2 es denso en X. 7

2.1. Subespacios Sea (X,d) un espacio métrico y S un subconjunto de X. Designemos por d S a la restricción de d al subconjunto S S; es decir, para x,y S, d S (x,y) = d(x,y). El par (S,d S ) es también un espacio métrico, y se llama subespacio de (X,d). Observemos que el entorno de radio r alrededor de un x S en el espacio métrico S es {y S : d S (x,y) < r}, mientras que el entorno de radio r alrededor de x en el espacio métrico X es {y X : d(x,y) < r}. El entorno del punto x depende, entonces, del espacio métrico que estemos considerando. Así, cuando hablemos de entorno alrededor de x y haya posibilidad de confusión, emplearemos un supraíndice para indicar a qué espacio nos referimos: Br(x) S indicará entorno alrededor de x, de radio r, en el espacio métrico S, mientras que Br X (x) denotará entorno de radio r alrededor de x en el espacio X. Observar que Br(x) S = S Br X (x). Supongamos X = R con la métrica usual, S = [0,1] y E = ( 1,1]. En el espacio métrico 2 (X,d), E no es abierto, ya que 1 E no es punto interior de E. Pero visto como subconjunto de (S,d S ), E resulta un conjunto abierto, pues B S 1(1) es el conjunto de todos los reales x con 3 < x 1, que es un subconjunto de E. En otras palabras, E no es abierto en el espacio X, pero 4 sí en el subespacio S. Por esto, al hablar de conjuntos abiertos o cerrados (cuando se trabaja con espacios y subespacios) hace falta especificar con respecto a cuál de los espacios métricos estamos haciendo referencia. Usaremos frases del estilo E es abierto relativo en S o E es abierto relativo en X para indicar si nos estamos refiriendo a E como subconjunto abierto del espacio métrico (S,d S ) o del espacio métrico (X,d), respectivamente. Afortunadamente, hay una sencilla caracterización de los subconjuntos abiertos de un subespacio. Teorema 14. Sea S subespacio de un espacio métrico (X,d), y E S. E es abierto relativo en S si, y sólo si, E = S G para algún G abierto en X. Demostración. Para la ida: Sabemos que E = x E BS r x (x) (teor. 10). Sea G = x E BX r x (x), el cual es un subconjunto abierto de X (prop. 3 y teor. 9). Además, G S = ( x E BX r x (x) ) ( S = x E B X rx (x) S ) = x E BS r x (x) = E. Para la vuelta, supongamos que E = S G con G abierto en X. Sea x E. Existe r > 0 : Br X (x) G. Entonces Br X (x) S G S, es decir, Br(x) S E, luego E es abierto en S. Corolario 15. Si E S X, E es cerrado relativo en S si, y sólo si, E = S F para algún F cerrado en X. Demostración. E es cerrado relativo en S si, y sólo si, S E es abierto relativo en S, lo que equivale a que S E = S G para algún G abierto relativo en X, lo que equivale a que E = G c S, siendo G c el complemento de G en X, que es un conjunto cerrado relativo en X. 2.2. Conjuntos compactos Sea (X,d) un espacio métrico, E X, I un conjunto arbitrario de índices y {A i } i I una familia de subconjuntos de X. Decimos que{a i } i I es un cubrimiento para E sie i I A i. Si todos los A i son conjuntos abiertos, decimos que {A i } i I es un cubrimiento por abiertos para E. Un subcubrimiento de {A i } i I para E es una subfamilia de los {A i } que también es cubrimiento para E. Un cubrimiento es finito si posee una cantidad finita de miembros. Un subconjunto de un espacio métrico es compacto si cualquier cubrimiento por abiertos para él posee un subcubrimiento finito. Teorema 16. Un subconjunto compacto de un espacio métrico es cerrado y acotado. 4 8

Demostración. Sea K un subconjunto compacto de un espacio métrico X. Mostraremos que K c es un subconjunto abierto de X. Sea p K c. Para cada q K, sea r q = d(p,q)/2, y tomemos W q = B rq (q). Observar que K q K W q, por lo que {W q : q K} es un cubrimiento por abiertos para K. Luego K n j=1 W q j para alguna subfamilia finita {W q1,...,w qn }. Sea r = mín{r q1,...,r qn } > 0. Para cada j {1,...,n},B r (p) W qj = (en caso contrario, habría un x tal que d(p,x) < r y d(x,q j ) < r qj, de donde 2r qj = d(p,q j ) d(p,x)+d(x,q j ) < r+r qj 2r qj, contradicción). De allí que B r (p) n j=1 W q j =, y entonces B r (p) K =, de donde B r (p) K c. Luego p es un punto interior de K c, el cual resulta, en consecuencia, ser un conjunto abierto. Por eso, K es cerrado. Para ver que K es acotado, notemos que la familia de todos los entornos de radio 1 alrededor de los puntos de K es un cubrimiento por abiertos para el compacto K, así que hay una subfamilia finita {B 1 (x j )} n j=1 tal que n j=1 B 1(x j ) K. Definamos r = máx{d(x i,x j ) : 1 i n,1 j n}. Sea x K. x pertenece a B 1 (x m ) para algún m {1,...,n}, de modo que d(x 1,x) d(x 1,x m )+d(x m,x) < r +1, y entonces x B r+1 (x 1 ). Como x era cualquier punto de K, vemos que K B r+1 (x 1 ), por lo que K es acotado. Teorema 17. Un subconjunto cerrado de un conjunto compacto es un conjunto compacto. Demostración. Sea K un subconjunto compacto de X, y F un subconjunto de K que es cerrado relativo en X. Sea Ω = {A i } i I una familia de abiertos en X tal que F i I A i. Hagamos Ω 2 = Ω {F c }; Ω 2 resulta ser una familia de abiertos (pues F es cerrado) que cubre a todo X: F c A i F c F = X. En particular, esta nueva familia es un cubrimiento por abiertos para el compacto K, luego hay una subfamilia finita Ω 3 de Ω 2 que cubre a K, y por lo tanto a F. Tomemos Ω 4 = Ω 3 {F c }. Puede verse que Ω 4 es una subfamilia finita de Ω que cubre a F (pues Ω 3 lo hacía, y ningún punto de F está en F c ). Luego F es compacto. Corolario 18. Si F es cerrado y K compacto, F K es compacto. Demostración. Siendo K compacto, es cerrado, por lo que F K es también cerrado, y, siendo subconjunto del compacto K, es compacto. Corolario 19. Sea X un espacio métrico compacto, y E un subconjunto de X. E es compacto si, y sólo si, es cerrado. Teorema 20. Si {K i } i I es una colección de subconjuntos compactos con la propiedad de que la intersección de cualquier subfamilia finita es no vacía, entonces i I K i es no vacía. Demostración. Supongamos que i I K i =. Sea m cualquier elemento de I. Sería entonces i I K i = K m ( c i I {m} K i =, y entonces K m i I {m} i) K = i I {m} Kc i. Cada Ki c es abierto (teor. 16), por lo que {Ki c : i I {m}} es un cubrimiento por abiertos para K m, y, siendo éste compacto, hay una subfamilia finita {Ki c 1,...,Ki c n } que cubre a K m. Es decir, ( n j=1 Kc i j = K m ) n c, j=1 K i j o seakm K i1... K in =, es decir, hay una subfamilia finita de {K i } i I cuya intersección es vacía. Entonces, por contrarreciprocidad, se tiene el resultado. Corolario 21. Si {K n } n N es una colección de subconjuntos compactos no vacíos tal que n N,K n K n+1, entonces n N K n. Además, si lím n diam(k n ) = 0, entonces n N K n consta de un solo punto. Demostración. Hagamos K = n N K n. Sea {K n1,...,k nn } una subfamilia finita de {K n }. Tomemos m = máx{n 1,...,n N }. Será N j=1 K n j = K m. Es decir, cualquier subfamilia finita tiene intersección no vacía. Luego, K es no vacío (teor. 20). Para probar la última afirmación, supongamos que K contuviese más de un punto. Sería diam(k) > 0. Pero para cada n N, K n K, de modo que diam(k n ) diam(k). Esto contradiría la hipótesis de que lím n diam(k n ) = 0. 9

Teorema 22. Si E es un subconjunto infinito de un conjunto compacto K, entonces E tiene un punto de acumulación en K. Demostración. Supongamos que ningún punto de K fuese punto de acumulación de E. Entonces, para cada q K habría r q > 0 tal que B rq (q) E contiene a lo sumo un punto de E (q, en el caso en que q E). La familia {B rq : q K} es cubrimiento por abiertos para K, pero ninguna subfamilia finita puede cubrir a E (pues E es infinito y cada miembro de la familia tiene a lo sumo un punto de E), por lo que ninguna subfamilia finita puede cubrir a K. Contradicción con la compacidad de K. Teorema 23. Sea K S X. K es compacto relativo en X si, y sólo si, K es compacto relativo en S. Demostración. Supongamos K compacto relativo en X. Sea {A i } i I un cubrimiento para K donde todos los A i son abiertos en el espacio métrico S. Para cada i I, A i = S V i para algún V i abierto en X. Luego K i I A i = i I (V i S) = S i I V i. Entonces K i I V i, y, siendo K compacto en X, existe una subfamilia finita {V i1,...,v in } tal que K n j=1 V i j. Luego K S n j=1 V i j = n ( j=1 Vij S ) = n j=1 A i j. Entonces K es compacto relativo en S. Recíprocamente, supongamos K compacto relativo en S, y sea {V i } i I un cubrimiento para K por abiertos de X. Para cada i I, sea A i = S V i. Cada A i será abierto en S. K i I V i, por lo que, siendo K S, será K S i I V i = i I (V i S) = i I A i. Por ser K compacto j=1( Vij S ) = relativo ens, hay una subfamilia finita{a i1,...,a in } tal quek n j=1 A i j = n S n j=1 V i j, de donde K n para K. j=1 V i j, siendo entonces {V i1,...,v in } un subcubrimiento finito En R n con la métrica euclídea, los conjuntos compactos se caracterizan por ser exactamente los subconjuntos cerrados y acotados de R n (Teorema de Heine Borel). En particular, en R con la métrica usual, un intervalo cerrado [a,b] con a,b R es un conjunto compacto. 2.3. Conjuntos conexos Un conjunto A de un espacio métrico (X,d) se dice disconexo si existen dos conjuntos A 1 y A 2 que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones: 1. A 1 y A 2 son ambos abiertos en X. 2. A 1 A 2 = 3. A A 1 A 2 4. A A 1 A A 2 Es decir, A es disconexo cuando tiene partes contenidas en dos abiertos disjuntos que cubren a A. Si A no es disconexo, se dice que es conexo. Un conjunto se dice totalmente disconexo si los únicos subconjuntos no vacíos de él que son conexos constan de un único punto. Ejemplo 24. En el espacio de los reales con la métrica euclidea, todo intervalo es conexo. Veámoslo para el caso de un intervalo [a,b] con a,b R y a < b (para los otros tipos de intervalos, la demostración es análoga). En efecto, sea I = {x R : a x b}. Sean A 1 y A 2 dos abiertos disjuntos tales que que I A 1 = I A 2. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer quea A 1. ComoA 1 es abierto, existeε > 0 tal queb ε (a) A 1, por lo que A 1 contiene no sólo a a, sino a todo un subsegmento de I empezando en a. Hagamos S = I A 2 y tomemos m = ínfs. Por lo antedicho y por ser A 1 y A 2 disjuntos, debe ser m > a 10

(con lo que m a > 0), y también m b (ya que estamos suponiendo que existe x I A 2, y entonces m x b). Es decir, m I. Si fuese m A 1, existiría R > 0 tal que B R (m) A 1, y, por propiedad del ínfimo, existe t S tal que m t < m + R. Como m no podría estar en S, sería m < t < m + R. Pero entonces sería t A 1 (pues t m < R, es decir, t B R (m) A 1 ) y t A 2 (pues t S), contradiciendo que A 1 y A 2 son disjuntos. Entonces no puede ser m A 1. Si fuese m A 2, por ser éste abierto, existiría r > 0 tal que B r (m) A 2, de donde, por ser m a > 0, habría un x A 2 tal que x I y x < m. Sería entonces x A 2 I = S pero x < ínfs, contradiciendo la definición de ínfimo. Entonces no puede ser m A 2. Luego, m I (A 1 A 2 ), es decir, I A 1 A 2. Esto prueba que no pueden existir A 1 y A 2 que muestren que I es disconexo. Veremos seguidamente otras caracterizaciones de los conjuntos conexos. Lema 25. Sean A y C subconjuntos disjuntos, con A abierto. Entonces A C =. Demostración. Seax A. Exister > 0 tal queb r (x) A. ComoA C =, seráb r (x) C =, de modo que x / C (prop. 4). Luego, A C =. Teorema 26. Un conjunto A es disconexo si, y sólo si, existen conjuntos no vacíos C y D tales que A = C D y C D = = C D. Demostración. Para la ida, sean A 1 y A 2 abiertos disjuntos tales que A A 1 A 2 y A A 1 A A 2. Hagamos C = A A 1 y D = A A 2 (notar que A 1 D = ). Tenemos que A = C D, pues, siendo A A 1 A 2, es A = A (A 1 A 2 ) = (A A 1 ) (A A 2 ). Además, C D A 1 D = (lema 25), y análogamente C D =. Veamos la vuelta. Como C D =, para cada x C existe R x > 0 tal que B 2Rx (x) D =, es decir, B 2Rx (x) D c (prop 4). Sea A 1 = x C B R x (x). Similarmente, para cada z D, existe r z > 0 tal que B rz (z) C c ; sea A 2 = z D B r z (z). Observar que para cada x C y z D, B Rx (x) B rz (z) = (de lo contrario, habría w tal que d(x,w) + d(w,z) < R x + r z, así que d(x,z) < 2máx(R x,r z ), con lo que o bienx B 2rz (z) C c o bienz B 2Rx (x) D c, imposibles ambas pues x C y z D). Como consecuencia, A 1 A 2 debe ser vacío. Se tiene entonces que: 1. A 1 y A 2 son abiertos (teor. 10). 2. A A 1 A 2, pues A 1 C y A 2 D, teniéndose que A 1 A 2 C D = A. 3. A A 1, pues como C es no vacío, existe z C A, de donde z A 1 y z A. Análogamente, A A 2. 4. A 1 A 2 = Luego, A es disconexo. Teorema 27. Un espacio métrico X es conexo si, y sólo si, los únicos subconjuntos de X que son simultáneamente abiertos y cerrados son el propio X y el conjunto vacío. Demostración. Supongamos que X es conexo. Sea E un subconjunto propio no vacío de X. Si E fuese abierto y cerrado simultáneamente, tomemos A = E,B = E c. Será A = B, A = E y B = E c ya que tanto E como E c son cerrados. A B = = A B, por lo que A y B son separados, contradiciendo la conexidad de X. Supongamos ahora que X no es conexo. Entonces X = A B con A,B no vacíos separados. Tenemos entonces que A = B c. Notar también que, siendo A B =, será A = B c, de donde resulta que A es abierto. Análogamente, B es abierto, y siendo A = B c, resulta A cerrado. Entonces, A es un subconjunto propio no vacío que es simultáneamente abierto y cerrado. 11

3. Sucesiones en espacios métricos Una sucesión en un conjunto X es una función de los naturales en X. Designamos por x n al n ésimo término de la sucesión (es decir, a la imagen de n a través de la función) y por {x n } n N (o, más brevemente, {x n }) a la sucesión completa. El campo de variabilidad de la sucesión {x n } es {y X : n N : x n = y}, es decir, el conjunto de valores que toma la sucesión. Una sucesión se dice acotada si su campo de variabilidad es un conjunto acotado. Decimos que una sucesión {x n } en un espacio métrico (X,d) es convergente en X si existe un punto p X con la propiedad de que ε > 0, N N : n N,d(p,x n ) < ε. En ese caso, decimos que la sucesión converge hacia p, o que p es el límite de {x n }, y escribimos lím n x n = p. Observemos que decir que lím n x n = p es equivalente a decir que lím n d(x n,p) = 0. Teorema 28. Sea {x n } una sucesión en un espacio métrico (X,d), y p X. 1. {x n } converge hacia p si, y sólo si, cualquier entorno de p contiene a todos los términos de la sucesión, salvo una cantidad finita de ellos. 2. Si {x n } converge, su límite es único. 3. Si {x n } converge, es acotada. Demostración. 1. Supongamos que lím n x n = p. Sea r > 0. Existe N tal que para todo n N,d(x n,p) < r, por lo que para todo n N,x n B r (p), es decir, B r (p) contiene todos los términos de la sucesión salvo, posiblemente, x 0,...,x N 1. Recíprocamente, supongamos que cada entorno de p contiene todos los términos de la sucesión, salvo un número finito. Sea ε > 0, y sea N tal que n N,x n B ε (p). Entonces, para todo n N,d(p,x n ) < ε, por lo que lím n x n = p. 2. Supongamos que lím n x n = p y lím n x n = p. Si p p, sea ε = d(p,p )/2. Será ε > 0. Sea N 1 tal que n N 1,d(x n,p) < ε y N 2 tal que n N 2,d(x n,p ) < ε. Tomemos N = máx{n 1,N 2 }. Sería entonces d(p,p ) d(p,x N )+d(x N,p ) < 2ε = d(p,p ), que es una contradicción. 3. Sea {x n } convergente hacia p. Existe N N tal que para todo n N,d(x n,p) < 1. Sea M = máx{d(x 0,p),...,d(x N 1,p),1}. Entonces, para todo n N,d(x n,p) M, por lo que la sucesión {x n } es acotada. Proposición 29. Sean E X y x X. x es un punto de acumulación de E si, y sólo si, existe una sucesión en E {x} que converge hacia x. Demostración. Supongamos que x es punto de acumulación de E. Para cada n N, elijamos y n E {x} tal que d(x,y n ) < 1/(n+1). Observemos que {y n } n N es una sucesión en E {x}, y que d(x,y n ) tiende a 0 cuando n tiende a, por lo que lím n y n = x. Esto demuestra la ida. Para la vuelta, sea {y n } n N una sucesión en E {x} tal que lím n y n = x. Dado ε > 0, existe n N tal que d(x,y n ) < ε; puesto que y n E {x}, se tiene que B ε (x) contiene un punto de E {x}. Luego, x es punto de acumulación de E. El concepto de sucesión de Cauchy aprendido para sucesiones de números reales se extiende a espacios métricos cualesquiera, de una manera natural. Sea {x n } una sucesión en el espacio X. Decimos que {x n } es una sucesión de Cauchy si ε > 0, N N : m,n N,d(x m,x n ) < ε. 12

Conocido es que, en el espacio métrico de los reales con la métrica euclídea, decir sucesión convergente equivale a decir sucesión de Cauchy. Esta equivalencia no es válida para espacios métricos en general. Por ejemplo, en el espacio métrico (0, 1) con la métrica euclídea, la sucesión {1/(n+1)} no es convergente, y sin embargo es de Cauchy. Esto motiva la siguiente definición: Un espacio métrico en el que toda sucesión de Cauchy converge se llama espacio métrico completo. Los reales con la métrica euclídea forman un espacio completo, cosa que no ocurre con los racionales. Proposición 30. Si una sucesión en un espacio métrico converge, entonces es de Cauchy. Demostración. Supongamos que lím n x n = p. Sea ε > 0. Existe N N : n N,d(x n,p) < ε/2. Luego, simynson mayores o iguales quen, tenemos qued(x n,x m ) d(x n,p)+d(p,x m ) < ε, por lo que {x n } es sucesión de Cauchy. Si {x n } es una sucesión en el espacio métrico X y designamos por E N al conjunto {y X : n N : y = x n }, resulta directo que {x n } es una sucesión de Cauchy si, y sólo si, lím N diam(e N ) = 0. 3.1. Subsucesiones Sea {x n } n N una sucesión en el espacio métrico X. Consideremos una sucesión {n k } k N estrictamente creciente de números naturales, es decir, n k < n k+1 para todo k. Con estas dos sucesiones, podemos definir una nueva sucesión {y k } k N en X haciendo y k = x nk. La sucesión {y k } k N se llama subsucesión de {x n } n N y se denota mediante {x nk } k N. Si {x nk } converge a p X, es decir, si lím k x nk = p, entonces p se llama punto de acumulación de {x n }. Observar que para todo k N,n k k. Observación 31. Un hecho que usaremos frecuentemente en las demostraciones que siguen es que un subconjunto de números naturales es infinito si, y sólo si, es no acotado. Teorema 32. Una sucesión {x n } converge hacia p si, y sólo si, cualquiera de sus subsucesiones converge hacia p. Demostración. Supongamos que {x n } converge a p, y sea {x nk } una subsucesión. Hay un N tal que n N,d(x n,p) < ε. Luego, si k N, será n k n N N, por lo que d(x nk,p) < ε. La vuelta es trivial, ya que {x n } es subsucesión de sí misma. Proposición 33. Sea {x n } una sucesión en el espacio métrico (X,d), y sea p un punto de X. p es punto de acumulación de {x n } si, y sólo si, cualquier entorno de p posee infinitos términos de {x n }. Demostración. Supongamos que p es un punto de acumulación de {x n }. Hay una subsucesión {x nk } k N de {x n } n N tal que lím k x nk = p. Sea ε > 0. Existe N N tal que k N,x nk B ε (p). Como cada término de la subsucesión es un término de {x n }, se tiene que B ε (p) contiene una cantidad infinita de términos de {x n }. Recíprocamente, supongamos que todo entorno de p posee una cantidad infinita de términos de {x n }. Elijamos n 0 tal que d(p,x n0 ) < 1. Ahora elijamos n 1 > n 0 tal que d(x n1,p) < 1/2. Tal elección es posible, pues si hacemos I = {n N : x n B 1/2 (p)}, por la hipótesis I es infinito, y entonces es no acotado (observ. 31), de donde debe existir unn 1 mayor quen 0 eni. Continuando de esta manera, para cada k > 1 debe existir un n k > n k 1 tal que d(p,x nk ) < 1/(k + 1). Se tiene que {x nk } es subsucesión de {x n } y que lím k x nk = p, lo que demuestra la suficiencia de la condición. 13

Teorema 34. El conjunto de puntos de acumulación de una sucesión es un conjunto cerrado. Demostración. Sea {x n } una sucesión en el espacio X. Denotemos por E al campo de variabilidad de {x n } y por E al conjunto de puntos de acumulación de {x n }. Sea q un punto de acumulación de E. Veamos que q E. Sea z 0 E {q} tal que d(z 0,q) < 1/2. Sea x n0 E tal que d(z 0,x n0 ) < 1/2. Tenemos entonces que d(q,x n0 ) d(q,z 0 )+d(z 0,x n0 ) < 1. Elijamos ahora z 1 E {q} tal que d(z 1,q) < 1/4, y n 1 tal que n 1 > n 0 y d(z 1,x n1 ) < 1/4. Tal elección es posible, pues, siendo z 1 un punto de acumulación de {x n }, hay una subsucesión infinita de {x n } que converge a z 1. Se tiene que d(q,x n1 ) d(q,z 1 ) + d(z 1,x n1 ) < 1/2. Continuando de esta manera, para cada k N, sea z k E {q} tal que d(q,z k ) < 1/(2k + 2) y sea n k > n k 1 tal que d(z k,x nk ) < 1/(2k+2). Se tendrá entonces que {x nk } converge a q, pues d(q,x nk ) d(q,z k )+d(z k,x nk ) < 1/(k +1), por lo que q E. Teorema 35. Si {x n } es una sucesión en el espacio métrico compacto X, entonces {x n } tiene un punto de acumulación en X. Demostración. Sea E el campo de variabilidad de {x n }. Si E es finito, debe haber un punto p E y una sucesión infinita {n k } de naturales tales que n 0 < n 1 <... y x nk = p para todo k N. Entonces {x nk } es subsucesión de {x n } y converge hacia p E X, por lo que p es un punto de acumulación de {x n }. SiE es infinito, tiene un punto de acumulaciónpenx (teor. 22). Sean 0 tal qued(p,x n0 ) < 1. Elijamos n 1 tal que n 1 > n 0 y d(p,x n1 ) < 1/2 (tal elección es posible pues hay una cantidad infinita de m tales que d(p,x m ) < 1/2). Continuando de esta manera, para cada k N elijamos n k tal que n k > n k 1 y d(p,x nk ) < 1/(k +1). Entonces {x nk } k N es una subsucesión de {x n } que converge a p, de donde p es punto de acumulación de {x n }. Teorema 36. Los espacios métricos compactos son completos. Demostración. Sea (X,d) un espacio métrico compacto, y {x n } una sucesión de Cauchy en X. {x n } tiene un punto de acumulación p en X (teor. 35). Sea {x nk } una sucesión tal que lím k x nk = p. Veamos que lím n x n = p: para ε > 0, sea N 1 N tal que m,n N 1,d(x m,x n ) < ε/2, y N 2 N tal que k N 2,d(p,x nk ) < ε/2. Sea N = máx{n 1,N 2 }. Notar que, siendo n N N, será n N N 1 ; además, N N 2. Para m N (y por tanto m N 1 ), se tiene d(p,x m ) d(p,x nn )+d(x nn,x m ) < ε. Teorema 37. Sea X un espacio métrico compacto, y {V n } n N una familia de subconjuntos abiertos densos en X. Luego, n N V n es densa en X. Demostración. Sean x X y ε > 0 arbitrarios. Debemos mostrar que hay un y n N V n tal que d(x,y) < ε (prop. 4). Hagamos x 0 = x y δ 0 = ε/2. Por la Proposición 13, para cada n 1, existe x n X y δ n > 0 tal que ( n 1 B δn (x n ) V k ) B δn 1 (x n 1 ) k=0 Por ser X compacto, la sucesión {x n } tiene un punto de acumulación y X (teor. 35). Se cumple B δ0 (x 0 ) B δ1 (x 1 ) B δ2 (x 2 ) por lo que y B δn (x n ) V n para todo n. Luego, y n N V n. Ya que y B δ0 (x 0 ) B ε (x), se sigue que d(x, y) < ε. 14

3.2. Límites superior e inferior Un caso particular es el del espacio métrico de los reales con la métrica usual. Decimos que una sucesión de números reales {x n } converge a si M R, N N : n N,x n M. Análogamente, lím n x n = si M R, N N : n N,x n M. Sea {x n } una sucesión de números reales, y E el conjunto de sus puntos de acumulación. Se define el límite superior de {x n } comolímsupx n = supe, y el límite inferior de {x n } como líminfx n = ínfe. A la luz de la Proposición 12 y del Teorema 34, se verifica que límsupx n pertenece a E, así como líminfx n. Proposición 38. límsupx n = si, y sólo si, {x n } no está acotada superiormente. Demostración. Si límsupx n =, hay una subsucesión {x nk } que converge a. Sea M R. Existe un k N tal que x nk > M. Como x nk es un término de {x n }, ésta es no acotada. Recíprocamente, sea {x n } no acotada superiormente. Luego hay un n 0 tal que x n0 > 0. Notar que la sucesión {x n0 +1,x n0 +2,...} es no acotada. Por ello, existe n 1 > n 0 tal que x n1 > 1. Similarmente, para cada k > 1, hay un n k > n k 1 tal que x nk > k (pues la sucesión {x nk 1 +1,x nk 1 +2,...} es no acotada. Entonces la subsucesión {x nk } así formada converge a, por lo que límsupx n =. Proposición 39. Si t > límsupx n, existe N N tal que para todo n N, x n < t. Demostración. Sea s = límsupx n. Si s =, no hay nada que probar. Si s R, {x n } es acotada superiormente. Sea M R tal que n N,x n < M. Supongamos que el enunciado fuese falso, es decir, supongamos que N N, n N : x n t. Sea n 0 tal que x n0 t. Sea n 1 n 0 +1 tal que x n1 t. Continuando de este modo, encontramos una subsucesión {x nk } íntegramente contenida en el compacto [x, M]. Esa subsucesión tiene un punto de acumulación en [x,m] (teor. 35) que también es punto de acumulación de {x n }, pero mayor que límsupx n. Contradicción. Consideraciones análogas valen para líminfx n. 4. Funciones entre espacios métricos 4.1. Límite de una función Sean (X,d X ), (Y,d Y ) dos espacios métricos, E X, f una función de E en Y, p un punto de acumulación de E y q Y. Decimos que el límite de f cuando x tiende a p es q si ε > 0, δ > 0 : x E,0 < d X (x,p) < δ d Y (f(x),q) < ε. En ese caso, escribimos lím x p f(x) = q. Notar que no es necesario que p E para poder hablar de límite cuando x tiende a p. Además, aún estando definida la función en p, podría ocurrir que f(p) q. Teorema 40. Sean X,Y,E,p,q,f como en la definición anterior. Se tiene que lím x p f(x) = q si, y sólo si, lím n f(x n ) = q para toda sucesión {x n } en E {p} que converja a p. Demostración. Supongamos que lím x p f(x) = q. Sea {x n } una sucesión en E {p} tal que lím n x n = p. Sea ε > 0. Existe δ > 0 : 0 < d X (x,p) < δ d Y (f(x),q) < ε. Correspondiente a ese δ > 0, existe N N : n N,d X (x n,p) < δ. Luego, si n N, se tiene que d Y (f(x n ),q) < ε, por lo que lím n f(x n ) = q. Esto demuestra la necesidad de la condición. Supongamos ahora que lím x p f(x) q. Entonces existe ε > 0 : δ > 0, x X tal que d X (x,p) < δ pero d Y (f(x),q) ε. En particular, para cada n N, existe x n tal que d X (x n,p) < 1/(n+1) pero d Y (f(x n ),q) ε. Ya que lím n d X (x n,p) = 0, tenemos que {x n } converge a p. Sin embargo, lím n f(x n ) q. Esto demuestra la suficiencia de la condición. 15

Corolario 41. Si una función tiene límite cuando x tiende a p, el límite es único. Demostración. La conclusión se sigue de los Teoremas 28 (inciso 2) y 40. Supongamos que(x 1,d 1 ),(X 2,d 2 ) y(x 3,d 3 ) son tres espacios métricos, quef es una función de D 1 X 1 en X 2 y que g es una función de D 2 X 2 en X 3, con f(d 1 ) D 2. La función compuesta g f : D 1 X 3 está bien definida. Supongamos que p es punto de acumulación de D 1 y que lím x p f(x) = L 1. Supongamos también que L 1 es punto de acumulación de D 2, y que lím x L1 g(x) = L 2. Resulta entonces natural preguntarse por la existencia del límite de la composición cuando x tiende a p. Lo primero que la intuición nos hace pensar es que lím x p g(f(x)) existe y vale también L 2. Sin embargo... Ejemplo 42. Sea X 1 = X 2 = X 3 = R con la métrica euclídea. Sean f y g las funciones de R en R dadas por { 1 si x = 0 f(x) = 0 g(x) = 0 si x 0 Observemos que lím x 0 f(x) = 0 = lím x 0 g(x), pero g f es la función constante igual a 1, por lo que lím x 1 g(f(x)) = 1. Reconociendo la equivocación en nuestra intuición, podríamos pensar entonces que el límite de la composición debe existir cuando x tiende a p, aún sin ser igual a L 2. Sin embargo... Ejemplo 43. Sea X 1 = X 2 = X 3 = R con la métrica euclídea. Sean f y g las funciones de R en R dadas por f(x) = { 0 si x Q x si x / Q g(x) = { 1 si x = 0 0 si x 0 Observemos que f(x) = 0 si, y sólo si, x Q. Tenemos que lím x 0 f(x) = 0 = lím x 0 g(x), pero { { 1 si f(x) = 0 1 si x Q g(f(x)) = 0 si f(x) 0 = 0 si x / Q de modo que no existe límite de la composición cuando x tiende a 0. Veremos luego que, bajo ciertas condiciones sobre la función g, el límite efectivamente existe. 4.2. Continuidad Sean (X,d X ), (Y,d Y ) dos espacios métricos, E X, f una función de E a Y y p E. Decimos que la función f es continua en p si ε > 0, δ > 0 : x E,d X (x,p) < δ d Y (f(x),f(p)) < ε. Si f es continua en todo punto de E, decimos que f es continua en E. Nótese que, para p E, f es continua en p si, y sólo si, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que f ( E B X δ (p)) B Y ε (f(p)). Observar que, para que f sea continua en p, f debe estar definida en p. Si p es un punto aislado de E, f es continua en p. Si p es un punto de acumulación de E, se tiene que f es continua en p si, y sólo si, lím x p f(x) = f(p). En consecuencia, si f es continua en p y {x n } es una sucesión que converge a p, se tiene que lím n f(x n ) = f(p) (teor. 40), lo cual suele recordarse diciendo que los procesos de tomar límite de sucesión y evaluar f son intercambiables: lím n f(x n ) = f (lím n x n ). Proposición 44. Sean (X 1,d 1 ), (X 2,d 2 ) y (X 3,d 3 ) tres espacios métricos. Supongamos que f es una función de D 1 X 1 en X 2 y que g es una función de D 2 X 2 en X 3, con f(d 1 ) D 2. Supongamos también que p es punto de acumulación de D 1, que lím x p f(x) existe, y que g es continua en él. Entonces, lím x p g(f(x)) = g(lím x p f(x)). 16

Demostración. Llamemos L 1 = lím x p f(x). Por la continuidad de g en L 1, tenemos que lím η L1 g(η) = g(l 1 ). Seaε > 0. Exister > 0 tal que sid 2 (η,l 1 ) < r, entoncesd 3 (g(η),g(l 1 )) < ε. Correspondiente a ese r > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < d 1 (x,p) < δ y x D 1, entonces d 2 (f(x),l 1 ) < r. ) En consecuencia, para todo x D 1 tal que 0 < d 1 (x,p) < δ, se tiene que d 3 (g(f(x)),g(l 1 ) < ε. Esto muestra que lím x p g(f(x)) = g(l 1 ), según queríamos probar. Teorema 45. Sean f : X Y continua en p X y g : Y Z continua en f(p). Entonces g f es continua en p. Demostración. Si p es punto aislado de X o f(p) es punto aislado de Y, la continuidad de g f en p es inmediata. Si p es punto de acumulación de D 1, por prop. 44, tenemos que lím x p g(f(x)) = g(lím x p f(x)) = g(f(p)). Luego, g f es continua en p. Proposición 46. Sea f : X Y continua en p, y sea S X tal que p S. Entonces, f S es continua en p. Demostración. Sea ε > 0. Hay un δ > 0 tal que si x Bδ X(p), f(x) BY ε (f(p)). Veamos que para todo x Bδ S(p), f S (x) BY ε (f S (p)): si x Bδ S(p), x BX δ (p) y x S; luego f(x) Bε Y (f(p)); ya que p y x están en S, es f S (x) = f(x) y f S (p) = f(p); entonces f S (x) Bε Y (f S (p)). Por lo tanto, f S es continua en p. Teorema 47. Sea f una función del espacio métrico X al espacio métrico Y, y x 0 un punto en X. f es continua en x 0 si, y sólo si, para todo subconjunto V de Y que sea abierto en Y y que contenga a f(x 0 ), x 0 es un punto interior de f 1 (V). Demostración. Supongamos f continua en x 0. Sea V un subconjunto abierto de Y tal que f(x 0 ) V. Existe ε > 0 tal que Bε Y (f(x 0 )) V. Por continuidad de f en x 0, existe δ > 0 tal que f ( Bδ X(x 0) ) Bε Y (f(x 0 )) V. Es decir, Bδ X(x 0) f 1 (V), con lo cual resulta que x 0 es un punto interior de f 1 (V). Supongamos ahora que x 0 es un punto interior de f 1 (V) siempre que V es un subconjunto abierto de Y que contenga a f(x 0 ). Sea ε > 0. Tomando V = Bε Y (f(x 0 )), que es abierto y contiene a f(x 0 ), por nuestra hipótesis tenemos que x 0 es punto interior de f 1 (V), es decir, existe δ > 0 tal que Bδ X(x 0) f 1 (V). Por lo tanto, f ( Bδ X(x 0) ) f ( f 1( Bε Y (f(x 0 )) )) Bε Y (f(x 0 )). Entonces f es continua en x 0. Corolario 48. Sea f una función del espacio métrico X al espacio métrico Y. f es continua en X si, y sólo si, para todo subconjunto V de Y que sea abierto en Y, f 1 (V) es un subconjunto abierto de X. Demostración. Para la ida, sea V abierto en Y, y tomemos x f 1 (V). Como f(x) V y f es continua, x es punto interior de f 1 (V) (teor. 47), y ya que x es arbitrario se sigue que f 1 (V) es abierto en X. Para la vuelta, sea x X, y sea V un abierto en Y que contenga a f(x). Por hipótesis, f 1 (V) es abierto en X y contiene a x; por lo tanto, x es punto interior de f 1 (V), de donde f es continua en x (teor. 47). Como x es arbitrario, f es continua en todo su dominio. Corolario 49. Sea f una función del espacio métrico X al espacio métrico Y. f es continua en X si, y sólo si, para todo subconjunto V de Y que sea cerrado en Y, f 1 (V) es un subconjunto cerrado de X. Demostración. Para la ida, sea V un cerrado en Y. Entonces V c es abierto en Y, por lo que, siendo f continua, es f 1 (V c ) abierto en X. Pero f 1 (V c ) = [f 1 (V)] c. Luego, [f 1 (V)] c es abierto en X, y entonces f 1 (V) es cerrado en X. 17