Capítulo 10 Efectos de superficie. Sistema respiratorio 1
Tensión superficial El coeficiente de tensión superficial γ es la fuerza por unidad de longitud que hay que realizar para aumentar una superficie: F = 2 γ l El coeficiente de tensión superficial es la energía por unidad de área de la superficie: W = 2γS El factor 2 se introduce en las ecuaciones anteriores cuando existen dos superficies entre el líquido y el aire. El coeficiente de tensión superficial posee unidades de N/m.
Tamaño de pompas y gotas La diferencia de presiones entre el interior y el exterior de una pompa vale: p = 4γ r Si sólo hay una superficie, como ocurre en un alveolo, el factor 4 se sustituye por 2. El tamaño de una gota a través de un orificio de radio r es: r = 3γ 2gρ. Podemos medir γ contando las gotas N y N r de dos líquidos, de uno de los cuales conocemos γ r. Si ρ y ρ r son las densidades tenemos: γ = ρn r ρ r N γ r.
Capilaridad La altura de la columna de líquido producida por capilaridad en un tubo de radio r es: 2γ cos θ h = ρgr θ es el ángulo de contacto. La presión negativa se debe a las fuerzas que mantienen unido a un líquido y tratan de evitar que en él se forme una superficie libre.
Transporte respiratorio El volumen V intercambiado en los alveolos cuando la diferencia de presiones parciales es p vale: V t = KS p x S es el área de la membrana, y la constante K se denomina de Krogh. La capacidad de difusión es la constante D L = KS/ x. Un valor típico de D L para el O 2 es 30 ml/(min mm de Hg). La difusión del CO 2 es unas seis veces más rápida.
Características de los pulmones La compliancia C es la relación entre el volumen y la presión: C = V p Un valor típico de la compliancia del sistema respiratorio humano es de C = 0, 14 l/mm de Hg. La potencia de los pulmones P es igual a: P = W T = 2p V T El factor 2 extra es para tener en cuenta tanto el trabajo realizado en la inspiración como en la espiración.
Problema 10.1 Qué fuerza hay que realizar para mover un alambre que desliza sobre dos rieles, en forma de U, separados 20 cm si existe una capa de agua en el rectángulo formado por ellos? Cuál es la energía superficial del agua cuando la separación entre el alambre móvil y el otro extremo es de 40 cm?
Problema 10.2 Cada una de las seis patas de un insecto produce una deformación circular en el agua de 1 mm radio. Cuál es el peso máximo del insecto para poder mantenerse sobre el agua?
Problema 10.3 Cuál es la presión del gas en el interior de una burbuja de 1 mm de diámetro en el fondo de un vaso con agua hasta una altura de 12 cm?
Problema 10.4 Supón que ponemos en contacto dos pompas del mismo líquido, pero de distinto radio. Cuál es el radio final de ambas?
Problema 10.5 Encuentra la aceleración con la que cae una pompa de líquido con una tensión superficial de 0.2 N/m y de radio 0.04 m. Supón que el aire es un gas ideal.
Problema 10.6 Para determinar el coeficiente de tensión superficial de un líquido, contamos el número de gotas que caen por un tubo estrecho, para un volumen de líquido dado. Si la densidad del líquido es de 0.8 y se producen 142 gotas, mientras que para el mismo volumen de agua se producen 39, cuál es la tensión superficial del líquido?
Problema 10.7 Un líquido con una tensión superficial de 0.04 N/m y una densidad de 1.2 posee un ángulo de contacto de 120 con el material del que está formado un capilar de 0.2 mm de radio. Qué diferencia de altura, con respecto al nivel de un gran recipiente, adquiere el líquido en el capilar?
Problema 10.8 Supón que el ángulo de contacto de la sangre con un capilar es 0. Cuál es el radio del capilar si la sangre asciende por él 2 cm?
Problema 10.9 Obtén la expresión de la altura de una columna de líquido en un capilar por medio de la diferencia de presiones entre el gas y el líquido en función del radio de curvatuta de su superficie de separación. Este radio de curvatura se puede escribir en términos del radio del capilar y el ángulo de contacto.
Problema 10.10 Podemos imaginar al xilem formado por conductos de 0.02 mm de radio que en su parte superior están cerrados por las hojas, que poseen unos poros de 5 nm de radio. Determina: (a) la máxima altura que puede alcanzar el agua en un capilar de 5 nm de radio, (b) la máxima presión, debida a la tensión superficial, que puede aguantar uno de esos capilares, (c) la máxima altura de un conducto si el agua que contiene aguanta una presión negativa de 32 atm, (d) el caudal que atraviesa un conducto de un árbol de 30 m de altura, si la presión en su parte superior es un diez por ciento mayor que la necesaria para mantener la columna de agua, (e) la presión necesaria para mantener el mismo caudal en un conjunto de vasos de radio 5 nm y cuya área total fuera igual a la del vaso del xilem.
Problema 10.11 La presión parcial del oxígeno en un alveolo es de 160 mm de Hg y en la sangre de 40 mm de Hg. La capacidad de difusión del oxígeno a través de la membrana de separación de un alveolo es de 30 ml/(min mm de Hg) y el intercambio gaseoso se produce durante 0.3 s. Qué cantidad de oxígeno pasa a la sangre durante dicho intervalo en un alveolo?
Problema 10.12 Cuál es la diferencia de presiones entre el interior y el exterior de un alveolo de 0.1 mm de radio cuya capa de fluido posee una tensión superficial de 0.004 N/m?
Problema 10.13 Determina la potencia consumida en la respiración por una persona que realiza 10 inhalaciones por minuto, cada una de ellas de 0.6 l, con una presión media de 10 mm de Hg. Si la eficiencia de la persona es del 25 %, cuál es la potencia total que requiere?
10.1 Qué fuerza hay que realizar para mover un alambre que desliza sobre dos rieles, en forma de U, separados 20 cm si existe una capa de agua en el rectángulo formado por ellos? Cuál es la energía superficial del agua cuando la separación entre el alambre móvil y el otro extremo es de 40 cm? La fuerza es proporcional a la longitud y al coeficiente de tensión superficial: F = 2γL = 2 0.073 0.2 = 0.029 N. La energía superficial es proporcional al área y al coeficiente de tensión superficial: E = 2γS = 2 0.073 0.2 0.4 = 0.0117 J.
10.2 Cada una de las seis patas de un insecto produce una deformación circular en el agua de 1 mm radio. Cuál es el peso máximo del insecto para poder mantenerse sobre el agua? El peso máximo del insecto corresponde a cuando la deformación de la superficie del agua es semiesférica. En este caso la fuerza debida a la tensión superficial es: F = 6 2πr γ = 6 2π 10 3 0.073 = 2.75 10 3 N. La masa máxima del insecto es: m = F g = 2.75 10 3 9.8 = 0.28 g.
10.3 Cuál es la presión del gas en el interior de una burbuja de 1 mm de diámetro en el fondo de un vaso con agua hasta una altura de 12 cm? La presión del gas en una burbuja es igual a la presión fuera más la diferencia de presiones asociada a la tensión superficial: p d = p f + 2γ r = ρgh + 2γ r = 1000 9.8 0.12 + 2 0.073 0.0005 = 1468 N/m2. Esta presión es relativa a la presión atmosférica.
10.4 Supón que ponemos en contacto dos pompas del mismo líquido, pero de distinto radio. Cuál es el radio final de ambas? La presión (por encima de la atmosférica) en el interior de cada pompa es 4γ/r. Por tanto, es mayor en la pompa más pequeña. Puestas las pompas en contacto pasará gas de la pompa pequeña a la grande hasta que finalmente desaparezca la pequeña. Para calcular el radio final obtenemos el número de moles totales: n 1 + n 2 = p 1V 1 RT + p 2V 2 RT = 1 RT ( 4γ r 1 4 3 πr3 1 + 4γ r 2 4 3 πr3 2 Cuando sólo queda una burbuja su radio viene dado por: Y despejando llegamos a: 1 16γπ RT 3 (r2 1 + r2) 2 = 1 16γπ RT 3 r2 f. r 2 f = r 2 1 + r 2 2. ) = 1 16γπ RT 3 (r2 1 + r2). 2
10.5 Encuentra la aceleración con la que cae una pompa de líquido con una tensión superficial de 0.2 N/m y de radio 0.04 m. Supón que el aire es un gas ideal. La presión en el interior de la pompa vale: p = p atm + 4γ r = p atm + 4 0.2 0.04 = p atm + 20 N/m 2. La densidad del aire fuera de la pompa es: ρ 0 = m m V = nm m V = m m p atm RT. en donde m m es la masa molecular media del aire. En el interior de la pompa la densidad vale: ρ = m m p atm + 20 RT = ρ 0 + m m 20 RT. La aceleración de la pompa es igual a su peso menos la fuerza de empuje, todo ello dividido por su masa: a = F m = (ρ ρ 0)gV ρv m m 20 RT g m m p atm RT = 20 9.8 1.013 10 5 = 0.00193 m/s2.
10.6 Para determinar el coeficiente de tensión superficial de un líquido, contamos el número de gotas que caen por un tubo estrecho, para un volumen de líquido dado. Si la densidad del líquido es de 0.8 y se producen 142 gotas, mientras que para el mismo volumen de agua se producen 39, cuál es la tensión superficial del líquido? El coeficiente de tensión superficial del líquido vale: γ = ρn r ρ r N γ r = 1 39 0.073 = 0.025 N/m. 0.8 142
10.7 Un líquido con una tensión superficial de 0.04 N/m y una densidad de 1.2 posee un ángulo de contacto de 120 con el material del que está formado un capilar de 0.2 mm de radio. Qué diferencia de altura, con respecto al nivel de un gran recipiente, adquiere el líquido en el capilar? La diferencia de alturas debida a la capilaridad es: h = 2γ cos θ ρgr = 2 0.04 cos 120 = 0.017 m. 1200 9.8 2 10 4
10.8 Supón que el ángulo de contacto de la sangre con un capilar es 0. Cuál es el radio del capilar si la sangre asciende por él 2 cm? El radio del capilar habrá de ser igual a: r = 2γ cos θ ρg h = 2 0.058 1 1050 9.8 0.02 = 5.6 10 4 m.
10.9 Obtén la expresión de la altura de una columna de líquido en un capilar por medio de la diferencia de presiones entre el gas y el líquido en función del radio de curvatuta de su superficie de separación. Este radio de curvatura se puede escribir en términos del radio del capilar y el ángulo de contacto. El radio de curvatura R de la superficie del líquido es igual a: ( ) π R sen 2 θ = R cos θ = r. La diferencia de alturas vale: h = 2γ cos θ ρgr = 2γ ρgr La diferencia de presión entre el gas y el líquido es: El resultado buscado es, por tanto: p = 2γ R. h = p ρg = p = ρg h.
10.10 Podemos imaginar al xilem formado por conductos de 0.02 mm de radio que en su parte superior están cerrados por las hojas, que poseen unos poros de 5 nm de radio. Determina: (a) la máxima altura que puede alcanzar el agua en un capilar de 5 nm de radio, (b) la máxima presión, debida a la tensión superficial, que puede aguantar uno de esos capilares, (c) la máxima altura de un conducto si el agua que contiene aguanta una presión negativa de 32 atm, (d) el caudal que atraviesa un conducto de un árbol de 30 m de altura, si la presión en su parte superior es un diez por ciento mayor que la necesaria para mantener la columna de agua, (e) la presión necesaria para mantener el mismo caudal en un conjunto de vasos de radio 5 nm y cuya área total fuera igual a la del vaso del xilem. (a) La altura máxima debida a la capilaridad de los poros de las hojas es: 2γ cos θ 2 0.073 1 h = = = 2980 m. ρgr 1000 9.8 5 10 9 (b) Hemos de traducir la altura anterior a su presión equivalente: p = ρg h = 1000 9.8 2980 = 2.92 10 7 N/m 2 = 288 atm. (c) La altura que aguanta un conducto con un líquido que es capaz de soportar una presión negativa de 32 atm es: h = p ρg = 32 1.013 105 1000 9.8 = 331 m. (d) El caudal viene dado por la ley de Poiseuille considerando una diferencia de presiones igual al exceso de presión respecto de la necesaria para mantener la columna (ρgh): Q = p πr4 L 8η = 0.1 1000 9.8 30π(0.02 10 3 ) 4 30 8 0.001
= 6.16 10 14 m 3 /s. (e) Necesitaríamos un total de (0.02 mm/5 nm) 2 = 16000000 capilares de 5 nm por cada conducto de 0.02 mm de radio. El caudal a través de uno de ellos es 16000000 veces menor que el de un conducto. Para mantener dicho caudal necesitaríamos una diferencia de presiones igual a: p 1 = Q 1L8η πr1 4 = Ql8η160000002 = 16000000 p 16000000 πr4 = 16000000 29400 = 4.7 10 11 N/m 2.
10.11 La presión parcial del oxígeno en un alveolo es de 160 mm de Hg y en la sangre de 40 mm de Hg. La capacidad de difusión del oxígeno a través de la membrana de separación de un alveolo es de 30 ml/(min mm de Hg) y el intercambio gaseoso se produce durante 0.3 s. Qué cantidad de oxígeno pasa a la sangre durante dicho intervalo en un alveolo? El volumen de oxígeno intercambiado por alveolo es: V = D L t p = 30 0.3 (160 40) = 18 ml. 60
10.12 Cuál es la diferencia de presiones entre el interior y el exterior de un alveolo de 0.1 mm de radio cuya capa de fluido posee una tensión superficial de 0.004 N/m? La diferencia de presiones entre el interior y el exterior del alveolo será: p = 2γ r = 2 0.004 0.0001 = 80 N/m2.
10.13 Determina la potencia consumida en la respiración por una persona que realiza 10 inhalaciones por minuto, cada una de ellas de 0.6 l, con una presión media de 10 mm de Hg. Si la eficiencia de la persona es del 25 %, cuál es la potencia total que requiere? La potencia neta necesaria para respirar es: P = pv t = 10 133 0.6 10 3 6 2 = 0.266 W. El factor 2 aparece debido a la inhalación y la exhalación. La potencia total necesaria es igual a: P = 100 0.266 = 1.06 W. 25