Tareas Mecánica Clásica I S. Wallentowitz 27 de julio de 2012 Tareas de la ayudantía del curso FIZ0121 Mecánica Clásica I. Se complementan con las tareas del ayudante. 1. Un turista escala la gran pirámide de Giza altitud h, base 2h 2h, y lo hace directamente desde el punto 1 al punto 2 lo cuál se sitúa a la mitad de la altitud total y desde allá hacía la cima en punto 3. Vuelve bajando de punto 3 directamente al punto 1, ver Fig. 1. Con una velocidad constante de 22 m/min el turista necesita para esta vuelta completa 28 min. Qué altitud tiene la pirámide? 1 2. El agua del río Baker fluye en todos lados con la misma velocidad u = 0, u, 0. Un salmón quiere llegar directamente al otro lado del rió, es decir en el eje x indicado en Fig. 2. a Con qué velocidad v propaga el pez si se mueve relativo al agua con la velocidad v 0? b Pero también si quiere moverse en el agua en una trayectoria no ortogonal a la corriente se puede obtener v. Cuál es el resultado para v en este caso? Figura 1: Pirámide de Giza. 1 Se anotan las coordenadas de los vectores de los tres lugares, después se calcula r 12 etc. Valores numéricos se usan a lo más tarde posible. Para este problema se prohíbe usar trigonometría. 3. En el regreso del aeropuerto nos quedamos con 120 km/h precisamente debajo un avión despegando, mientras su sombra incidencia de la luz solar con ángulo π/4 se mueve con 170 km/h en la autopista, ver Fig. 3. a Qué velocidad tiene el avión? b Cuantos metros sube el avión por segundo? 4. Muestre que dos vectores tienen que estar ortogonales si su suma y diferencia tienen el mismo largo. 2 5. Un punto de masa tiene una trayectoria en un plano dado por rt = 1 2 [a 1 cosωt + a 2 sinωt] e 1 Figura 2: Salmón atravesando el río Baker. Figura 3: Avión despegando. 2 Usar calculo vectorial, no usar trigonometría. + 1 2 [ a 1 cosωt + a 2 sinωt] e 2, donde e 1 y e 2 definen las direcciones de los ejes x e y, respectivamente. Además, a 1, a 2, y ω son constantes y > 0. a Cambie a una nueva base de vectores e 1, e 2, es decir a un nuevo sistema de coordenadas x y y, para que la formula de la trayectoria se simplifique. Cómo es la trayectoria el el sistema x, y como función de ωt?
b Qué forma geométrica tiene la trayectoria? c Determine los ángulos ϕt = e 1, rt, ψt = e 2, rt. d Calcule los valores absolutos de rt, vt = rt, at = rt. Qué relación existe entre rt y at? e Calcule ṙt = d dt rt. f Determine los ángulos αt = rt, vt, βt = vt, at, γt = rt, at. 6. La trayectoria de un punto de masa es Calcule: rt = 3 sin t t0 4 t t 0 3 cos t t0. a el camino recorrido st,donde se define st = 0 = 0, b el vector tangencial con largo 1 t, c la curvatura κ y el radio de curvatura ρ de la trayectoria, d el vector normal con largo 1 n, e el triedro acompañante t, n, b para t = 5πt0. 7. Pruebe las siguientes reglas de diferenciación para funciones vectoriales at, bt: a d dt [ at bt ] = at bt + at bt, b d dt [ at bt ] = at bt + at bt. 8. Un punto de masa se mueve en una trayectoria circular con rapidez constante v = 50 cm/s. En esta trayectoria en 2 s el vector de la velocidad cambia su dirección por 60. a Calcule el cambio de velocidad v en este intervalo de 2 s. b Qué magnitud tiene la aceleración centrípeta de este movimiento circular uniforme?
9. La dinámica de una partícula cerca de la superficie de la tierra esta descrita por r = g, donde g = con e z apuntando hacia el cielo y g siendo la aceleración gravitacional terrestre. a Cómo se ve la solución de esta ecuación de movimiento si la partícula parte en t = 0 en el origen del sistema de coordenadas cartesianas con velocidad inicial v 0 = 0 0 g v 0,x v 0,y v 0,z? b Muestre que el movimiento ocurre en un plano fijo. Qué dirección tiene el vector normal de este plano? c Elige ahora la dirección de la velocidad inicial como eje x vector normalizado e x de un nuevo sistema de coordenadas con el mismo origen. Encuentre ortogonal a e x el vector e y nuevo eje y, que define con e x el plano del movimiento de la partícula. d Define e z para que e x, e y, e z representen un sistema orto-normal de mano derecha. 10. Se lanzan verticalmente dos piedras con la misma rapidez inicial v 0 pero con retardo t 0 en el campo gravitacional terrestre. a Obtenga las ecuaciones de movimiento e integre las. b Después cuanto tiempo se encuentran las dos piedras? c Cuales son sus velocidades en el punto de encuentro? 11. Dos masas m 1 y m 2 m 1 < m 2 están conectados con un hilo de largo L. a Cuales son las ecuaciones de movimiento para m 1 y m 2? b Calcule las aceleraciones de las masas como función de m 1 y m 2. 12. Un plano inclinado con ángulo α se encuentre encima de una pesa. Encima del plano inclinado hay un cuerpo de masa m que se encuentra fijado en este momento. La pesa muestra el peso. a Ahora se suelta la fijación y el cuerpo baja sin fricción en el plano inclinado. Cambia el peso mostrado por la pesa?
b Cómo cambia la fuerza que presiona el cuerpo al plano inclinado? 13. Un cable de masa m y largo L desliza a través de un canto, ver Fig. 4. La fricción sea despreciable. a Cuál es la ecuación de movimiento? b Cuál es la solución en el caso en que en el tiempo t = 0 la parte colgante tiene largo x 0 y se suelta el cable? c Cuál es la velocidad en el momento en que el fin del cable pasa el canto? Figura 4: Cable deslizándose. 14. Discuta el tiro vertical de una masa m desde la superficie de la tierra en el campo gravitacional terrestre, F = GmM r r 3. a La velocidad inicial del tiro sea v 0. Se busca la velocidad v de la masa como función de la distancia z del centro de la tierra. b Qué magnitud mínima debe tener v 0 para que la masa puede salir del campo gravitacional de la tierra? 15. Un cuerpo de masa m se mueve en el campo gravitacional de la tierra y bajo la influencia de la fricción de Newton. a Cómo se ve su ecuación de movimiento? Por favor considerar solamente el movimiento vertical. b Con qué velocidad inicial resultaría un movimiento uniforme? c Calcule la dependencia de la velocidad del tiempo para el caso en que el cuerpo empieza a caer al tiempo t = 0 con velocidad vt = 0 = 0. d Calcule la distancia de la caída como función del tiempo para el caso en que se suelta el cuerpo al tiempo t = 0 a una altitud h. Discute el caso límite cuando el coeficiente de fricción 0. 16. Determine las soluciones generales de las siguientes ecuaciones diferenciales: a 7ẍ 4ẋ 3x = 6 b z 10ż + 9z = 9t 17. Un péndulo con largo L y masa m en realidad puede moverse no solamente en una dirección sino en dos direcciones, es decir en una superficie que corresponde a una parte de una esfera con radio igual al largo del hilo L. Así se pueden introducir dos ángulos α y β que corresponden a las dos direcciones de movimiento, como indica la Fig. 5. 0000000000000000 1111111111111111 000000000000000 111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 00000000000000 11111111111111 L β α Figura 5: Péndulo dos-dimensional.
a Deriva las ecuaciones de movimiento para los ángulos α y β. b Obtenga las solución generales αt y βt usando las condiciones iniciales α0 = α 0, α0 = Ω α,0, β0 = β 0, β0 = Ω β,0. c Existen otros dos variables en vez de α y β en que las ecuaciones de movimiento se simplifican? Piensen en un ángulo axial y una distancia radial del punto de equilibrio. 18. Imagínese un péndulo con largo L y masa m colgante. Se reemplaza el hilo de largo L fijo por un hilo elástico, que se comporta como un resorte con constante elástica k y que tiene en el equilibrio el mismo largo L. a Derive las ecuaciones de movimiento en direcciones radiales y angulares. b Indique el problema que tienen estas ecuaciones diferenciales. Por qué no es fácil obtener su solución? c Use su intuición física para describir el tipo de movimiento que va a mostrar un péndulo de este tipo. 19. Las ruedas de un auto están conectadas con amortiguadores que consisten de un resorte y una válvula con aceite. Si uno levanta el auto suavemente y lo deja caer libremente el auto oscila con frecuencia f = 1 Hz y la amplitud inicial A 0 de esta oscilación decae en un tiempo 1 2 3 s a un valor A 0/e con e = constante de Euler. El auto pasa por un camino de ripio destruido por camiones con hoyos cada 5 m. a Cuál es la frecuencia de libre oscilación del auto? b Con qué velocidad tiene que andar el auto para que el conductor sufra lo máximo, pensando que su auto se desarmará? El conductor sufra lo máximo cuando su auto oscila con amplitud máxima. 20. Un parlante tiene un diafragma rígido de masa m, que esta colgado con un resorte, es decir con un material elástico espuma o goma de constante elástica k. El mismo material genera además roce con una constante de fricción α. Una bobina de N vueltas de radio R esta conectada mecánicamente con el diafragma y se encuentra inmerso en un campo magnético B producido por un imán permanente de simetría cilíndrica, ver Fig. 6. Al aplicar una corriente alterna It = I 0 cosω I t en la bobina, el diafragma recibe una fuerza y empieza a oscilar en dirección x así se produce un sonido despreciamos la parte acústica del problema. La fuerza que genera la corriente en la bobina es dada por F = F 0 cosω I t con F 0 = 2πRNBI 0. 00000 11111 00000 11111 x diafragma 0000 1111 S 000000000 111111111 N 0000 1111 S 0000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 1111111111111111111 iman 0000000000000000000 1111111111111111111 Figura 6: Parlante. bobina 0000 1111 0000 1111 resorte
a Con qué amplitud oscila el diafragma? b Cuál es la energía cinética del diafragma promediada sobre un periodo de oscilación? c Para qué frecuencia de la corriente ω I la energía cinética promediada es máxima? 21. En Fig. 7 hay un oscilador armónico amortiguado y forzado con acoplamiento cinético, es decir la fuerza externa F generada por el movimiento circular de la rueda de radio R y frecuencia angular ω no actúa directamente a la masa colgante m. El resorte tiene constante elástica k y el baño de aceite genera una fricción de Stokes con coeficiente de fricción α. Se supone que Ft = 0 = 0. a Determine la ecuación de movimiento para xt. b Resuelve a con las condiciones iniciales x0 = 0, ẋ0 = 0. c Grafique la solución de b para el caso de amortiguamiento critico. 22. En equilibrio un cilindro de madera se encuentra con 2/3 de su largo debajo del agua. Qué trabajo hay que entregar en el proceso de sacar el cilindro del agua, si su radio y largo son r = 10 cm y L = 0,6 m, respectivamente? 23. Se lanza un cuerpo de masa m = 0,8 kg verticalmente hacia arriba. En la altitud h = 10 m todavía tiene la energía cinética E cin = 200 J. Qué altitud máxima puede alcanzar? 24. Un resorte de acero con largo l 0 = 0,8 m se estira con la fuerza F 1 = 20 N por el largo x 1 = 0,05 m. Qué trabajo hay que entregar cuando se estira el resorte al doble de su largo original, si la fuerza que entrega este trabajo es proporcional al estiramiento del resorte? 25. Un punto de masa m se mueve en un campo de fuerza ω R 00 11 00 11 k x m α Figura 7: Acoplamiento cinético. F r = ay, ax, b, donde a, b R +. a Muestre que se trata de una fuerza conservativa. b Calcule el trabajo necesario para mover el punto de masa en una linea recta de P 0 = 0, 0, 0 a P = x, y, z. c Cuál es la energía potencial correspondiente a la fuerza? d Cómo se cambia el trabajo necesario, si uno desplaza el punto de masa de P a P 0 a lo largo de los ejes del sistema de coordenadas cartesianos, 0, 0, 0 x, 0, 0 x, y, 0 x, y, z?
26. Dados dos energías potenciales donde ω es un vector constante. V 1 r = kr2 2, V 2 r = m [ ω r 2 ω 2 r 2], 2 a Calcule la fuerza F = F r generada por cada uno de los potenciales. b Qué significado físico tienen estos potenciales? c Se trata de fuerzas centrales? 27. Una partícula con masa m = 3 g se mueve en un campo de fuerza homogéneo que depende del tiempo: 45t 2 F =, 6t 18t, 3, 10 5 N, s s s 2 con las condiciones iniciales: rt = 0s = 0, 0, 0cm, rt = 0s = 0, 0, 6cm/s. a Calcule la velocidad de la partícula después de un segundo. b Qué energía cinética tiene la partícula después de un segundo? c Qué trabajo W entrega el campo de fuerza en el desplazamiento de la partícula de rt = 0s a rt = 1s? 28. Pensamos en obtener la solución general del oscilador armónico a través de la ley de la conservación de energía. a Por qué la aplicación de esta ley es valida? b Use la conservación de energía para obtener la solución general xt. Ella dependerá de algunos parámetros independientes, que elegimos como la energía total E y el tiempo t 1 en que el oscilador alcanza su amplitud máxima x máx. c Elige la solución en tal manera para que E y t 2 sean los parámetros independientes, donde t 2 es el tiempo en que el oscilador tiene su velocidad máxima. 29. Un cohete funciona a través de expulsar masa con velocidad constante v e. Así en el espacio, despreciando fuerzas gravitacionales, el cambio de la rapidez v del cohete a través de una expulsión total de masa m e, empezando con la masa inicial m 0 del cohete, esta dado por la ecuación de Ziolkowski: v = v e ln m 0 m 0 m e. Obtenga esta ecuación usando la conservación de momento lineal del sistema total basado en Fig. 8. Figura 8: Cohete.
30. Cuál es la rapidez mínima, que tiene que tener un cuerpo en el momento de su lanzamiento de la tierra, para alcanzar la luna? 31. Un satélite geosíncrono se encuentra en una orbita al largo del ecuador y se mueve con la tierra. Así siempre mantiene su posición relativa a la superficie de la tierra. a Cuál es la distancia de un satélite geosíncrono del centro de la tierra? b Cuál es la energía necesaria para el lanzamiento del satélite? c Qué precisión en la distancia satélite-centro de tierra se requiere para que el satélite geosíncrono cambia esta distancia en menos que 0,1 km/d? 32. Un satélite se mueve en una trayectoria circular con radio r alrededor de la tierra. a Cómo cambian la energía potencial, energía cinética, y energía total con el radio r de la trayectoria circular? b Cuál es la razón E cin /E pot? Depende del radio r? c Escribe la energía total en dependencia de M masa de la tierra, m masa del satélite, g aceleración gravitacional terrestre, y r. Se necesitan más variables? 33. La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P = x, y, para los cuales la suma de las distancias hacia dos puntos fijos focos F 1 = e, 0 y F 2 e, 0 es constante = 2a, ver Fig. 9. a Escribe b como función de a y e. Figura 9: Elipse. b Determine la ecuación de la elipse en coordenadas Cartesianas. c Determine la ecuación de la elipse en coordenadas polares, es decir, rϕ. Para este propósito use las magnitudes k = b 2 /a y ɛ = e/a < 1 ɛ =excentricidad de la elipse. d Determine la forma paramétrica de la elipse, e Considere el circulo como caso especial. x y = f t gt 34. Una partícula con masa m se encuentra en un campo de fuerza con energía potencial E pot r = α r 2. a Qué se puede decir sobre fuerza, energía y momento angular? b El inicio del tiempo y el sistema de coordenadas sean elegidos para que con α > 0 fuerza repulsiva se cumple r mín = rt = 0, ϕr mín = 0. Calcule r mín como función de L y E..
c Determine la función rt y la trayectoria r = rϕ para E > 0 y α > 0. Qué trayectoria resulta en el caso especial α = 0? d En qué caso resulta un movimiento ligado para α < 0 atracción? Determine para este caso r máx. e Calcule con la condición inicial rt = 0 = r máx el tiempo t 0, después del cual la partícula llega al centro r = 0. f Calcule la trayectoria r = rϕ con la condición inicial ϕr máx = 0. 35. Dos cuerpos con masas m 1 y m 2 se mueven desde sus lugares iniciales r 1,0 y r 2,0 con velocidades iniciales v 1,0 y v 2,0. El cuerpo 2 ejerce al cuerpo 1 la fuerza F = F0 r 2 r 1 d 0, donde F 0 y d 0 son constantes con [F 0 ] = N y [d 0 ] = m. a Resuelva el movimiento relativo de los cuerpos. b Calcule las trayectorias de ambos cuerpos. 36. Observaciones terrestres detectan un cuerpo momentáneamente a una distancia de r = 84000 km, que se acerca a la tierra con velocidad v = 100 km/s en una dirección que tiene ángulo θ = 135 con la dirección radial, ver Fig. 10. La masa del cuerpo se estima como m = M/100 donde M = 6 10 24 kg es la masa de la tierra. Tierra 000000 111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000 111111 00 11 a Calcule los valores numéricos de la energía E y de la magnitud del momento angular relativo L del cuerpo, suponiendo que el centro de masa del sistema tierra-cuerpo se encuentra en el centro de la tierra. Usar como valor para la constante gravitacional G 70 10 12 m 3 /kg s 2. b Qué trayectoria tiene el cuerpo elipse, parábola o hipérbola? Pruébelo matemáticamente. c Si el cuerpo llegaría a una distancia de solamente 120 km, entraría en la atmósfera de la tierra con consecuencias catastróficas. Ocurre eso? y Cuál es el valor numérico de la distancia mínima? 37. Σ y Σ sean dos sistemas de coordenadas cartesianas con ejes paralelos que se mueven relativamente. La posición de un cuerpo en Σ es rt = 6α 1 t 2 4α 2 t e x 3α 3 t 3 e y + 3α 4 e z, y el mismo cuerpo se encuentra en Σ en la posición rt = 6α 1 t 2 + 3α 2 t e x 3α 3 t 3 11α 5 e y + 4α 6 t e z. Figura 10: Meteorito. r v θ 00 11 000 111 00 11 Cuerpo
a Con qué velocidad se mueve Σ relativo a Σ? b Qué aceleración siente el cuerpo en Σ y en Σ? c Σ sea un sistema inercial. Es entonces Σ también un sistema inercial? 38. Aunque sistemas inerciales simplifican las ecuaciones de movimiento, los movimientos en la tierra se describen típicamente en un sistema de coordenadas que esta rotando con la tierra sistema del laboratorio. Este sistema en estricto rigor no es un sistema inercial. En la superficie de la tierra se fija en un punto con latitud ϕ un sistema de coordenadas cartesianas Σ: eje z verticalmente hacia arriba, eje ȳ hacia norte, eje x hacia este. La velocidad angular de la tierra es ω = 2π 24h = 7,27 10 5 s 1. a Cuál es la ecuación de movimiento de un punto de masa en este sistema de coordenadas cercano a la superficie de la tierra despreciar términos del orden ω 2? b Calcule la aceleración r 0 del origen de Σ relativo a un sistema de coordenadas Σ que se encuentra fijo en el centro de la tierra. c Cuál es la en Σ medible verdadera aceleración terrestre g? Cómo afecta eso la superficie de la tierra? d Cómo depende la fuerza Coriolis de la latitud? e Ponga el sistema Σ en tal manera para que el eje z apunta perpendicular a la superficie real de la tierra. Cuál es la ecuación de movimiento ahora para un punto de masa cercano a la superficie de la tierra? Se puede usar la fuerza Coriolis de d porque entre g y g hay un ángulo muy pequeño. f Un cuerpo inicialmente en reposo se deja caer de una altitud h. Resuelve la ecuación de movimiento de e suponiendo que x y ȳ mantienen valores pequeños durante la caída. Determine la desviación causado por la rotación de la tierra. 39. En ruedas dentadas el numero de dientes es proporcional al diámetro. Entonces, si se mueve una rueda dentada de 50 dientes con un torque M 1, y si esta rueda mueve otra rueda dentada con 120 dientes, cuál es el torque M 2 que siente la segunda rueda dentada?
40. Calcule el momento de inercia de: a un cascaron esférico con radio exterior R, espesor d R y masa m, con respecto a un eje de rotación que pasa por el centro del cascaron, b un cubo con densidad de masa homogénea con largo de su cantos a y masa m, con respecto a uno de sus cantos como eje de rotación. 41. El cubo de 40. b esta colgando con su eje de rotación horizontal y fijo en el campo gravitacional terrestre. Ejerce pequeñas oscilaciones. a Escribe la ecuación de movimiento y determine la frecuencia angular y el periodo de la oscilación. b Qué largo tendría un péndulo con hilo equivalente si tiene la misma masa colgando? 42. Si el límite elástico del cobre es 150 MPa, determinar el díametro mínimo que un alambre puede tener bajo una carga de 10 kg si su límite elástico no va a excederse. 43. Un cable de acero de 3 cm 2 de sección transversal tiene una densidad de masa lineal de 2,4 g/m. Si 500 m de cable se cuelgan desde un extremo, cuánto se estira el cable bajo su propio peso? 3 44. A una barra de cobre se le da un golpe longitudinal en un extremo. El sonido del golpe viajando por el aire llega al otro extremo de la barra 6,4 ms después de que el sonido atraviesa la barra. Cuál es la longitud de la barra? 4 45. Dos barras de largos L 1 y L 2 se colocan una tras otra. Las densidades de masa son 2,7 10 3 kg/m 3 y 11,3 10 3 kg/m 3, respectivamente, y con módulos de elasticidad 70 GPa y 16 GPa. Se tiene una tercera barra de largo L 3 = L 1 + L 2 con densidad de masa y modulo de elasticidad 8,8 10 3 kg/m 3 y 110 GPa. Si L 3 = 1,5 m, cuál debe ser a la proporción L 1 /L 2 para que una onda sonora atraviese ambos sistemas en tiempos iguales? 3 Modulo de elasticidad de acero es 200 GPa. 4 La velocidad del sonido en cobre es 3560 m/s.