INTEGRALES DE LÍNEA. 10.1 Introducción

10 INTEGRALES DE LÍNEA 10.1 Introducción En el volumen 1 etudiamo la integral S~ f(x) dx, primero para funcione reale definida y acotada en intervalo finito, y luego para funcione no acotada e intervalo infinito. Poteriormente el concepto e extendió a funcione vectoriale y, en el capítulo 7 del volumen 11, a funcione matriciale. Ete capítulo extiende la noción de integral en otra dirección. El intervalo [a, b] e reemplaza por una curva en el epacio n-dimenional definida por una función vectorial ll, y el integrando e un campo vectorial f definido y acotado en ea curva. La integral que reulta e llama integral de línea, integral curvilínea o integral de contorno, y e emplea para ella la notación Sf' da o algún otro ímbolo parecido. El punto e ua preciamente para ugerir el producto interior de do vectore. La curva e llama camino de integración. La integrale de línea on de capital importancia en Matemática pura y aplicada. Se preentan al etudiar el trabajo, la energía potencial, el flujo de calor, el cambio en la entropía, la circulación de un fluido, y otra cuetione fíica en la que e etudia el comportamiento de un campo ecalar o vectorial a 10 largo de una curva. 10.2 Camino e integrale de línea Ante de definir la integrale de línea recordemo la definición de curva dada en el volumen I. Sea II una función vectorial definida en un intervalo cerrado finito J = [a, b]. Cuando t va tomando lo valore de J, la función II (t) decribe un conjunto de punto en el n-epacio llamado gráfica de la función. Si II e continua en J la gráfica e llama: curva; con mayor preciión, e la curva decrita por ll. En nuetro etudio de la curva en el volumen 1 vimo que funcione di- 393

394 Integrale de línea tinta pueden onginar el trazado de la mima curva en forma ditinta, por ejemplo, en direccione ditinta o con velocidade ditinta. Al etudiar la integrale de línea no interea no ólo el conjunto de punto de una curva ino la manera como tal curva ha ido originada, eto e, la función ex. Una tal función e llamará camino continuo. DEFINICIÓN. Sea! = [a, b] un intervalo cerrado finito de R 1 Una función ex:! ~ R" continua en! e llama camino continuo en el n-epacio. El camino e llama regular i exite la derivada ex' y e continua en el intervalo abierto (a, b). El camino e llama regular a trozo i el intervalo [a, b] puede decomponere en un número finito de ub intervalo en cada uno de lo cuale el camino e regular. La figura 10.1 muetra la gráfica de un camino regular a trozo. En ete ejemplo la curva tiene recta tangente en todo lo punto excepto en un número finito de ello. Eo punto excepcionale ubdividen la curva en arco, a lo largo de cada uno de lo cuale la recta tangente va cambiando de poición con continuidad. FIGURA 10.1 Gráfica de un camino regular a trozo en el plano. DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE LíNEA. Sea ex un camino regular a trozo en el n-epacio definido en un intervalo [a, b], y ea f un campo vectorial dejinido y acotado obre la gráfica de ex. La integral de línea de f a lo largo de ex e repreenta con el ímbolo f f' da y e define por (10.1) f I: da =tf[ex(t)]. ex'(t) dt, iempre que la integral del egundo miembro exita, bien como integral propia o integral impropia. Obervación: En mucho ejemplo que en la práctica e preentan el producto interiorf[«(t)] «'(t)etá acotado en [a, b] y e continuo excepto, acao, en un número finito de punto, en cuyo cao la integral exite como integral propia. 10.3 Otra notacione para la integrale de línea Si e repreenta la gráfica de ex, la integral de línea f I :da también e repre-

Otra notacione para la integrale de línea 395 línea"de / dede a a h a lo largo de a.. Cuando e ue la notación S: / enta por S c I: da. y e llama integral de / a lo largo de C. Si a = a.(a) y b = a.(h) repreentan lo punto extremo de e, a vece la integral de línea e exprea poniendo S: / o S: I:da. y e denomina integral de deberá tenere en cuenta que la integral depende no olamente de lo extremo a y b ino también del camino a. que lo une. Cuando a = b el camino e llama cerrado. A menudo el ímbolo f e ua para indicar la integración a lo largo de un camino cerrado. Cuando / y a. e exprean en función de u componente, a aber y la integral del egundo miembro de (10.1) e convierte en una uma de integrale, En ete cao la integral de línea también e pone en la forma f 11 da; +... + In dan. En el cao bi-dimenional ordinariamente de ecuacione paramétrica, el camino a. e define con un par x = 1X 1 (t), y la integral Sch(x,y)dx de linea] o I :da. e ecribe en la forma +J2(x,y)dy. Se JI dx +f dy, o bien En tre dimenione e utilizan tre ecuacione paramétrica x = 1X1(t), y ponemo la integral fc/' da.en la forma fe /1 dx + f dy +I«dz, o bien fch(x,y, z) dx +f (x,y, z) dy +fa(x,y, z) dz. EJEMPLO. Sea f un campo vectorial de do dimenione dado por /(x, y) = -!y i + (x 3 + y)j para todo (x, y) con y:;? O. Calcular la integral de línea de f dede (O,O) a (1, 1) a lo largo de cada uno de lo iguiente camino: a) la recta de ecuacione paramétrica x = t, Y = t, O~ t ~ 1; b) el camino de ecuacione paramétrica x = t", y = t", O~ t ~ 1.

396 Integrale de línea Solución. Para el camino de la parte a) tomamo ex(t) = ti + tj. Entonce ex'(t) = i + j y f[ex(t») = Jt i + (t3 + t)j. Por coniguiente el producto interior de f[ex(t») por ex'(t) e igual a v7 + t 3 + t y encontramo i O,o 11 I: da = (Jt + t 3 + t) dt = 17. (0.0> o 12 Para el camino de la parte b) tomamo ex(t) = t 2 i + t 3 j. Entonce ex'(t) = 2ti + 3t7 yf[ex(t») = t%i + (t 6 + t 3 )j.por coniguiente aí que {O,O f[ex(t}). ex'(t} = 2t% + 3t 8 + 3t 5, i1 Ir f' da = (2t~~ + 3t 8 + 3t 5 ) dt = 59. 10.0> o 42 Eto ejemplo ponen de manifieto que la integral dede un punto a otro puede depender del camino que lo une. Calculemo ahora la parte b) una vez má, utilizando la mima curva pero con repreentación para métrica ditinta. Dicha curva puede repreentare con la función Eto no lleva a la relación (3(t) = ti + t%j, donde O =:;; t =:;; 1. f[(3(t»). (3'(t) = (t%i + (t3 + t%)j). (i +it~~j) = t% + it% + it 2, cuya integral dede O a 1 e 59/42, como ante. Eto no hace ver que el valor de la integral e independiente de la repreentación paramétrica utilizada para la curva. Eta e una propiedad general de la integrale de línea que e demuetra en la ección iguiente. 10.4 Propiedade fundamentale de la integrale de línea Pueto que la integrale de línea e definen en función de integrale ordinaria, no debe orprender que aquélla gocen de mucha de la propiedade de éta. Por ejemplo, tienen la propiedad de linealidad repecto al integrando, I (af + bg). da = a I f' dex + b I :da,

Propiedade fundamentale de la integrale de línea 397 y la propiedad aditiva repecto al camino de integración: f. r da. = f. r da. + f. r da, e el e. donde la do curva C l y C. forman la curva C. Eto e, C e la gráfica de una función a. definida en un intervalo [a, b], y la curva C l y C 2 on la repreentacione gráfica de a.(t) al variar t en lo ub intervalo [a, e] y [c, b] repectiva. mente, para un e que cumple a < e < b. La demotracione de eta propiedade on conecuencia inmediata de la definición de la integral de línea; y la dejamo como ejercicio para el lector. Seguidamente examinamo el comportamiento de la integrale de línea al efectuar un cambio de parámetro. Sea a. un camino continuo definido en un intervalo [a, b], ea u una función real derivable, de modo que u' nunca ea cero en un intervalo [e, d], y tal que el recorrido de u ea [a, b]. Entonce la función ~ definida en [e, d] por la ecuación ~(t) = a.[u(t)] e un camino continuo que tiene la mima gráfica que a.. Do camino a. y ~ aí relacionado e llaman equivalente. Se dice que proporcionan ditinta repreentacione paramétrica de la mima curva. Se dice que la función u define un cambio de parámetro. u u b b ---- I I I I II a ------1----------- I I I e d e d a) b) FIGURA 10.2 Cambio de parámetro definido por u = h(t). En a), la función h conerva la orientación. En b), la función h invierte la orientación.

398 1ntegrale de línea Sea e la gráfica común de lo do camino equivalente a y (3. Si la derivada de u e iempre poitiva en [e, d] la función u e creciente y decimo que lo do camino a y (3originan e en la mima dirección. Si la derivada de u e iempre negativa decimo que a y (3 originan e en direccione opueta. En el primer cao e dice que u conerva la orientación; y en el egundo cao que u invierte la orientación. En la figura 10.2 e muetra un ejemplo. El teorema iguiente demuetra que una integral de línea no varía al efectuar un cambio de parámetro que conerva la orientación; cambia de igno i el cambio de parámetro invierte la orientación. Se upone que exiten la do integrale ir da e Sf' d(3 TEOREMA 10.1. COMPORTAMIENTO DE UNA INTEGRAL DE LINEA FRENTE A UN CAMBIO DE PARÁMETRO. Si a y ~ on do camino equivalente regulare a trozo, entonce e tiene i a y (3 originan e en la mima dirección; y i a y (3 originan e en direccione opueta. Demotración. Bata demotrar el teorema para camino regulare; luego e aplica la propiedad aditiva con repecto al camino de integración para deducir el reultado para camino regulare a trozo. La demotración e una imple aplicación de la regla de la cadena. Lo camino a y (3 etán ligado por una relación de la forma (3(t) = a[u(t)], etando u definida en un intervalo [e, d] y a en un intervalo [a, b]. De la regla de la ca. dena reulta Por coniguiente encontramo W(t) = a'[u(t)]u'(t). fe r d(3 = tf[(3(t)]. (3'(t) dt =tf(a[u(t)]). a'[u(t)]u'(t) dt. En la última integral hacemo la utitución v = u(t), dv = u'(t) dt y e obtiene f f. U(d) f.b J e f' d(3 = u(c) f(a(v»' a'(v) dv = ± a f(a(v»' a'(v) du = ± e f' da,

El concepto de trabajo como integral de línea 399 en donde e utiliza el igno + í a = u(c) y b = u(d), y el igno - i a = u(d) y b = u(c). El primer cao e preenta i a y (3 originan e en la mima dirección, el egundo i originan e en direccione opueta. 10.5 Ejercicio En cada uno de lo ejercicio 1 al 8 calcular la integral falo largo del camino que e indica. de línea del campo vectorial 1. (x,y) = (x 2-2xy)i + (y2-2xy)j, a 10 largo de la parábola y = x' dede (-1,1) a (1, 1). 2. " (x,y) = (2a - y)i + xj, a 10 largo del camino decrito por tx(t) = a(t -ent)i + a(1 - co t)j,o ~ t ~ h. 3. (x, y, z) = (y2 - z2)i + 2yzj - x 2 k, a 10 largo del camino decrito por tx(t) = ti + t2j + t 3 kl, 0::5 t : 1.1 4. (x,y) = (x 2 + y2)i + (x 2 - y2)j, a 10 largo de la curva y = 1-11 -xl, dede (0,0) a (2, O). 3. (x,y) = (x + y)i + (x - y)j, alrededor de la elipe b2x2 + a2y2 = a2b2 en entido contrario al de la aguja del reloj. 6. Jtx.», z) = 2xyi + (x 2 + z)j + yk, dede (1,0,2) a (3,4,1) a 10 largo de un egmento de recta. 7. (x,y,z) =xi + yj + (xz - y)k,dede (0,0,0) a (1,2,4) a 10 largo de un egmento rectilíneo. 8. (x, y, z) = xi + yi + (xz - y)k, a 10 largo del camino dado por tx(t) = t2i + 2tj + 4t 3 k, 0::5 t ::5 1. En cada uno de lo ejercicio 9 al 12, calcular el valor de la integral de línea dada. 9. Se (x~ - 2xy) dx + (y2-2xy) dy iendo e el arco de parábola y = x' que une lo punto (-2,4) Y (1,1). J (x + y) dx - (x - y) dy 10. 2 2 donde e x + e e la circunferencia x' + i = a', recorrida en y entido contrario al de la aguja del reloj. J dx + dyl. 11. --- donde e e el contorno del cuadrado de vértice (1,0), (0,1), (-1,0) Y e/xl + Iyll (O,-1), recorrido en entido contrario al de la aguja del reloj. 12. Je y dx + z dy + x dz, donde a) e e la curva de interección de la do uperficie x + y = 2 Y x' + i + z' = = 2(x + y). La curva e recorrida de tal modo que mirando dede el origen el entido e el de la aguja del reloj. b) e e la interección de la do uperficie z = xy y x' + i = 1, recorrida en entido, que vito dede encima del plano xy, e el contrario al de la aguja del reloj. 10.6 El concepto de trabajo como integral de línea Conideremo una partícula que e mueve a lo largo de una curva bajo la

400 1ntegrale de línea acción de un campo de fuerza f Si la curva e la gráfica de un camino ex, regular a trozo, el trabajo realizado por f e define por la integral de línea S f :da. Lo ejemplo iguiente ponen de manifieto alguna de la propiedade fundamentale del trabajo. EJEMPLO 1. Trabajo realizado por una fuerza contante. Si f e una fuerza contante, a aber f = e, puede demotrare que el trabajo realizado por f al mover una partícula dede un punto a a un punto b a lo largo de cualquier camino regular a trozo que una a y b e e. (b - a) producto de la fuerza por el deplazamiento b - a. Lo demotraremo en un cao particular. Sea ex = (0(1', O(n) un camino que una a y b, a aber ex(a) = a yex(b) = b, Y ecribamo e = (c,,..., c n ). Supongamo que ex' e continua en [a, b]. Entonce el trabajo realizado por f e igual a n r n.1 f :d«= ck. ob 'l.~(t) dt = ckh(b) - 'l.k(a)] = c : [ex(b) - ex(a)] = c : (b - a). I,~l ~~l Para ete campo de fuerza el trabajo depende olamente de lo punto extremo a y h Y no de la curva que lo une. No todo lo campo de fuerza tienen eta propiedad. Lo que la tienen e llaman conervativo. El ejemplo de la página 395 e un campo de fuerza no conervativo. En una ección poterior determinaremo todo lo campo de fuerza conervativo. EJEMPLO 2. Principio del trabajo y la energía. Una partícula de maa m e mueve a lo largo de una curva bajo la acción de un campo de fuerza f Si la velocidad de la partícula en el intante t e v(t), u energía cinética etá definida por mv'(t). Demotrar que la variación de la energía cinética en cualquier intervalo de tiempo e igual al trabajo realizado por f durante dicho intervalo de tiempo. Solución. Deignemo por r (t) la poición de la partícula en el intante t. El trabajo realizado por f durante un intervalo de tiempo [a, b] e S~ ~V'dr. Queremo demotrar que r. r(b) f dr = 1mv 2 (b) - lmv 2 (a) r(a) 2 2 Según la egunda ley del movimiento de Newton tenemo f[r(t)] = mr"(t) = mv'(t), donde v( t) deigna el vector velocidad en el intante t. La velocidad e la longi-

Integrale de línea con repecto a la longitud de arco 401 tud del vector velocidad, v(t) = I1 v(t) 11. Por coniguiente f[r(t)]. r'(t) = f[r(t)]. v(t) = mv'(t). v(t) =~m!!:.- (v(t). v(t)) = ~m!!:.- (v 2 (t)). dt dt Integrando entre a y b obtenemo (r(b) (b lb Jr(a)f' dr =.a f[r(t)] r'(t) dt =!mv 2 (t) a = ~mv2(b) -!mv 2 (a), como queríamo probar. 10.7 Integrale de línea con repecto a la longitud de arco Sea exun camino con derivada ex' continua en un intervalo [a, b]. La gráfica de exe una curva rectificable. En el volumen I e demotró que la correpondiente función longitud de arco, etá dada por la integral (t) = J: Ilex'(u)11du. La derivada de la longitud de arco tiene por valor ' (t) = 11 ex' (t) 11. Sea rp un campo ecalar definido y acotado en e, la gráfica de ex.la integral de línea de rpcon repecto a la longitud de arco a lo largo de e e repreenta con el ímbolo Je rp d y e define por J e cp d = t cp[ex(t)]'(t) dt, iempre que exita la integral del egundo miembro. Conideremo ahora un campo ecalar rp dado por p[ex(t)] =f[ex(t)] Ttt que e el producto interior de un campo vectorialf, definido en e, por el vector tangente unitario T(t) = (dexld) En ete cao la integral de línea Je cpd coincide con eta otra S ei :da debido a que f[ () ' da d ext ]. ex(t) = f[ex(t)]. - - = f[ex(t)]. T(t)'(t) = cp[ex(t)]'(t). d dt Cuando f repreenta una velocidad, el producto interior f' T e el componente

402 Integrale de línea tangencial de la velocidad, y la integral de línea f e f' T d e la integral de flujo de falo largo de C. Cuando e e una curva cerrada la integral de flujo e la circulación de falo largo de C. Eta denominacione e uan corrientemente en la teoría del flujo de fluido. 10.8 Otra aplicacione de la integrale de línea La integrale de línea con repecto a la longitud de arco e preentan también en problema relativo a la ditribución de la maa ala largo de una curva. Por ejemplo, imaginemo una curva e en el epacio de tre dimenione como un delgado alambre de denidad variable. Supongamo que la denidad e exprea mediante un campo ecalar cp, iendo cp(x, y, z) la maa por unidad de longitud en el punto (x, y, z) de C. La maa total M del alambre viene entonce definida como la integral de línea de r con repecto a la longitud de arco: M = fe cp(x, y, z) d. El centro de gravedad e define como el punto (x, y, z) cuya coordenada etán determinada por la ecuacione xm = fe xc ;(x, y, z) d, ym = fe yc ;(x, y, z) d, zm = fe zc ;(x, y, z) d. Un alambre de denidad contante e llama uniforme. En ete cao el centro de gravedad también e llama centroide. EJEMPLO 1. Calcular la maa M de un muelle que tiene forma de hélice cuya ecuación vectorial e a(t) = a co ti + aentj + btk i la denidad en (x, y, z) e x 2 + y2 + Z2. Solución. La integral para calcular M e M = fe (x 2 + y2 + Z2) d = fo2~ (a 2 co" t + a2 en 2 t + b 2 t 2 )S'(t) dt. Pueto que '(t) = 11,1 a 2 + b' y por tanto a' (t) 11 y a'(t) = - a en ti + a co tj + bk, tenemo '(t) =

Ejercicio 403 En ete ejemplo la coordenada z del centro de gravedad viene dada por 2M = fe z(x 2 + l + Z2) d =.J a 2 + b 2 fo h bt(a 2 + b 2 t 2 ) elt = e-j a 2 + b 2 (27T 2 a 2 + 47T 4 b 2 ). La determinación de la coordenada X e y, e propone como ejercicio 15 en la ección 10.9. La integrale de línea e pueden utilizar para definir el momento de inercia de un alambre o hilo con repecto a un eje. Si Il(x, y, z) repreenta la ditancia dede un punto (x, y, z) de e a un eje L, el momento de inercia lt. etá definido por la integral de línea en donde T(X, y, z) e la denidad en (x, y, z), Lo momento de inercia repecto a lo eje coordenado e repreentan por l I y e I,. EJEMPLO 2. Calcular el momento de inercia I, del muelle del ejemplo 1. que Solución. Aquí 1l 2 (x, y, z) = x' + y2 = a 2 y r.p(x, y, z) = x 2 + y2 + Z2, aí tenemo en donde M e la maa, como e calculó en el ejemplo 1. 10.9 Ejercicio 1. Un campo de fuerza / del epacio de tre dimenione viene dado por /(x, y, z) = xi + yj + (xz - y)k. Calcular el trabajo realizado por ea fuerza al mover una partícula dede (O, O,O) a (1,2,4) a lo largo del egmento de recta que une eo punto. 2. Hallar el trabajo realizado por la fuerza! (x, y) =(x' - y2); + 2xyj al mover una partícula en entido contrario al de la aguja del reloj recorriendo una vez el contorno del cuadrado limitado por lo eje coorder ado y la recta x = a e y = a, a > O. 3. Un campo de fuerza bidimenional/viene dado por la ecuación/ex, y) =cxyi + x6y2j iendo e una contante poitiva. Ea fuerza actúa obre una partícula que e mueve dede (O, O) hata la recta x = 1 iguiendo una curva de la forma y = ax", en donde a > O y b > O.

404 Integrale de línea Encontrar el valor de a (en función de e) tal que el trabajo realizado por ea fuerza ea independiente de b. 4. Un campo de fuerza / en el epacio de tre dimenione viene dado por la fórmula /(x,y, z) = yei + xzj + x(y + l)k. Calcular el trabajo realizado por / al mover una partícula recorriendo una vez el contorno del triángulo de vértice (0,0, O), (1,1,1), (-1,1, -1) en ete orden. 5. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerza/(x,y, z) = (y - z); + (z - x)j +(x - y)k a 10 largo de la curva de interección de la efera x' + y' + z' = 4 Y el plano z = y tan e, en donde < e < '"/2. El camino e recorrido de modo que, obervado el plano xy dede el eje z poitivo, el entido aparezca contrario al de la aguja del reloj. 6. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerza/(x,y, Z)=y2; + z2j + x 2 ka lo largo de la curva de interección de la efera x" + y' + z' = ti Y el cilindro x' + y' = ax, iendo z;:: ya> O. El camino e recorrido de modo que, obervado el plano xy dede el eje z poitivo el entido ea el de la aguja del reloj. Calcular la integral de línea con repecto a la longitud de arco en cada uno de lo ejercicio del 7 al 10. 7. S c(x + y) d, iendo e el triángulo de vértice (O, O), (1, O) Y (O, 1), recorrido en entido contrario al de la aguja del reloj. 8. S e y'd, en donde e tiene la ecuación vectorial a(t) = a(t - en t); + a(l - co t)j, o ~ t ~ 27T. 9. S e (x' + y') d, donde e tiene la ecuación vectorial a(t) = a(co t + t en t); + a(en t - t co t)j, 10. Se z d, donde e tiene la ecuación vectorial a(t) = t co t i + tentj + tk, 11. Conideremo un alambre emicircular uniforme de radio a. a) Demotrar que el centroide etá ituado en el eje de imetría a una ditancia 2al'7l' del centro. b) Demotrar que el momento de inercia repecto al diámetro que paa por lo extremo del alambre e ~ Ma', iendo M la maa del alambre. 12. Un alambre tiene la forma de un círculo x' + y' = a'. Determinar u maa y u momento de inercia repecto a un diámetro i la denidad en (x, y) e Ixl + Iyl. 13. Hallar la maa de un alambre cuya forma e la de la curva de interección de la efera x' + y' + z' = 1 Y el plano x + y + z = i la denidad del alambre en (x, y, z) e x'. 14. Un alambre uniforme tiene la forma de la porción de curva de interección de la do uperficie x' + y' = z' e y' = x que une lo punto (0,0, O) Y (1,1, \""2). Hallar la coordenada z del centroide. 15. Determinar la coordenada x e y del centro de gravedad del muelle que e cita en el ejemplo 1 de la ección 10.8. 16. Para el muelle del ejercicio 1 de la ección 10.8, calcular lo momento de inercia L e 1,.

Conjunto conexo abierto 405 10.10 Conjunto conexo abierto. Independencia del camino Sea S un conjunto abierto de R". El conjunto S e llama conexo i todo par de punto de S puede unire mediante un camino regular a trozo cuya gráfica etá ituada en S. Eto e, para todo par de punto a y b de S exite un camino regular a trozo a definido en un intervalo [a, b] tal que a(t) E S para cada t de [a, b], iendo a(a) = a y a(b) = h. En la figura 10.3 e muetran tre ejemplo de conjunto convexo abierto. Ejemplo análogo a éo en el epacio de tre dimenione podrían er a) un ólido elipoidal, b) un ólido poliédrico, y c) un ólido tórico; en cada cao ólo e conideran lo punto interiore. Un conjunto abierto S e dice que e no conexo i S e la reunión de do o má conjunto abierto no vacío dijunto. En la figura 10.4 e muetra un ejemplo. Puede demotrare que la clae de lo conjunto conexo abierto e idéntica a la de lo conjunto abierto que on no conexo. (*) Sea ahora f un campo vectorial continuo en un conjunto conexo abierto S. Elijamo do punto a y b de S y conideremo la integral de línea de f a lo largo de un camino regular a trozo ituado en S que una a y h. El valor de la integral depende, en general, del camino que une a y h. Para cierto campo vectoriale, la integral depende únicamente de lo extremo a y b Y no del camino que lo une. En ete cao decimo que la integral e independiente del camino que une a y h. Decimo que la integral de linea de f e independiente del camino en S i e independiente del camino que une a y b para todo par de punto a y b de S. S (a) (b) (e) FIGURA 10.3 Ejemplo de conjunto conexo abierto. FIGURA 10.4 Conjunto no conexo S, reunión de do dico circulare dijunto. Qué campo vectoriale tienen integrale de línea independiente del camino? Para contetar eta pregunta, extendemo lo teorema fundamentale primero y egundo del cálculo a la integrale de línea. (*) Para etudiar con mayor profundidad la conexión de conjunto, véae el capítulo 8 de la obra del autor Análii Matemático, Editorial Reverté, Barcelona.

406 Integrale de línea 10.11 Segundo teorema fundamental del cálculo para integrale de línea El egundo teorema fundamental para funcione reale, como e demotró en el volumen I (teorema 5.3), etablece que (b g/(t) dt = ep(b) - ep(a), a con tal que ep' ea continua en un cierto intervalo abierto que contenga a y b. Para extender ee reultado a la integrale de línea neceitamo una verión algo má fuerte del teorema en la que la continuidad de tp' e upone olamente en el intervalo abierto (a, b). TEOREMA 10.2. Si epe una función real continua en un intervalo cerrado [a, b], i uponemo que la integral S~ ep'(t)dt exite y i tp' e continua en el intervalo abierto (a, b), entonce tenemo (b /f'(t) dt = ep(b) - /f(a)..(/ Demotración. Para cada x de [a, b] definamo f(x) = S~cp'(t) dt. Queremo demotrar que (10.2) (b) = rp(b) - ep(a). Según el teorema 3.4 del volumen 1, f e continua en el intervalo cerrado [a, b]. Según el teorema 5.1 del volumen 1, f e derivable en el intervalo abierto (a, b), con f'(x) = q:'(x) para cada x de (a, b). Por coniguiente, egún el teorema de la derivada nula (teorema 5.2 del volumen 1), la diferencia f - rp e contante en el intervalo abierto (a, b). Por la continuidad, f - q también e contante en el intervalo cerrado [a, b]. En particular, f(b) -ep(b) = fea) -q(a). Pero como fea) = 0, eto demuetra (10.2). TEOREMA 10.3. SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARA INTE- GRALES DE LÍNEA. Si /f e un campo ecalar dijerenciable con gradiente continuo v rp en un conjunto conexo abierto S en R", entonce para do punto cualequiera a y h unido por un camino regular a trozo a ituado en S tenemo (,b "Vrp. da = /f(h) - cp(a). a Demotración. Elijamo do punto cualequiera a y b de S y unámolo con

Segundo teorema fundamental del cálculo para integrale de línea 407 un camino regular a trozo a ituado en S definido en un intervalo [a, b]. Supongamo primero que a e regular en [a, b]. Entonce la integral de línea de \J r entre a y b a lo largo de a viene dada por Según la regla de la cadena tenemo J: Vrp' da =tvrp[a(t)]. a'(t).u. V<p[a(t)] a'(t) = g'(t), en donde g e la función compueta definida en [a, b] por la fórmula g(l) = <p[a(t)]. La derivada g' e continua en el intervalo abierto (a, b) debido a que v <p e continua en S y a e regular. Por lo tanto podemo aplicar el teorema 10.2 a g obteniendo J:Vrp. da = t g'(t) dt = g(b) - g(a) = <p[a(b)]- rp[a(a)] = rp(h) - <pea). Eto prueba el teorema i a e regular. Cuando a e regular a trozo efectuamo una partición del intervalo [a, b] en un número finito (por ejemplo r) de ub intervalo [tk-j' tk], en cada uno de lo cuale a e regular, y aplicamo el reultado que acabamo de demotrar a cada ubintervalo. Eto no dice como queríamo demotrar. Como conecuencia del teorema 10.3 vemo que la integral de línea de un gradiente e independiente del camino en cualquier conjunto S conexo en el que el gradiente ea continuo. Para un camino cerrado tenemo b = a, aí que r ;(h) - r ;(a) = O. Dicho de otro modo, la integral de línea de un gradiente continuo e cero a lo largo de todo camino cerrado regular a trozo ituado en S. En la ección 10.14 demotraremo (en el teorema 10.4) que lo gradiente on lo único campo vectoriale continuo con eta propiedad.

408 1ntegrale de línea 10.12 Aplicacione a la Mecánica Si un campo vectorial J e el gradiente de un-campo ecalar ({J, entonce f{ e llama función potencial para J. En el epacio de tre dimenione, lo conjunto de nivel q; e llaman uperficie equipotenciale; en do dimenione e llaman línea equipotenciale. (Si ({J repreenta la temperatura, la palabra «equipotencial» e reemplaza por «ioterma»; i f{ repreenta la preión e emplea la palabra «iobara».) EJEMPLO 1. En el epacio tridimenional, pongamo rp(x, y, z) = r", iendo r = (x 2 + y2 + Z2)1/ 2 Para todo entero n tenemo donde r = xi + yj + zk. (Véae el ejercicio 8 de la ección 8.14). Por lo tanto cp e un potencial del campo vectorial f't x ;», z) = nr"-2r. La uperficie equipotenciale de rp on efera concéntrica con el centro en el origen. EJEMPLO 2. Potencial newtoniano. La ley de la gravitación de Newton etablece que la fuerza J que ejerce una partícula de maa M obre otra particula de maa m e un vector de longitud GmM/r 2, en donde G e una contante y re la ditancia entre la do partícula. Situemo el origen en la partícula de maa M, y ea r = xi + yj + zk el vector poición que une el origen a la partícula de maa m. Entonce r = Ilrll y - rlr e un vector unitario con la mima dirección que J, con lo que la ley de Newton toma la forma J= -GmMr- 3 r. Haciendo n =-1 en el ejemplo 1 vemo que la fuerza de gravitación J e el gradiente del campo ecalar dado por cp(x, y, z) = GmMr- 1 Éte e el potencial de Newton. El trabajo efectuado por la fuerza de gravitación al mover la partícula de maa m dede (Xl' y" z,) a (x2, Y2, Z2) e

Ejercicio 409 en donde r 1 = (x~ + y~ + zi)'a y r 2 = (x~ + y~ + z~)'a. Si lo do punto etán en la mima uperficie equipotencial entonce r, = r2 Y no e realiza trabajo alguno. EJEMPLO 3. Principio de conervacton de la energía mecanica. Sea f un campo de fuerza continuo que tiene un potencial cp en un conjunto conexo abierto S. El teorema 10.3 no dice que el trabajo efectuado por f al mover una partícula dede a hata x iguiendo un camino regular a trozo ituado en S e cp(x) - cp(a), la variación de la función potencial. En el ejemplo 2 de la ección 10.6 e demotró que ete trabajo e también igual a la variación de la energía cinética de la partícula, k(x) - k(a) en donde k(x) repreenta la energía cinética de la partícula cuando etá ituada en x. Aí pue, tenemo o k(x) - k(a) = cp(x) - cp(a), (10.3) k(x) - cp(x) = k(a) - cp(a). El ecalar - cp(x) e denomina energía potencial-") de la partícula. Si a e mantiene fijo y x e hace variar en el conjunto S, la ecuación (10.3) no dice que la uma de k(x) y - cp(x) e contante. E decir, i un campo de fuerza e un gradiente, la uma de la energía cinética y potencial de una partícula que e deplaza en dicho campo e contante. En Mecánica eto e llama principio de conervación de la energía (mecánica). Un campo de fuerza con una función potencial e llama conervativo porque la energía total, cinética má potencial, e conerva. En un campo conervativo, no e realiza trabajo alguno al mover una partícula alrededor de una curva cerrada volviendo al punto de partida. Un campo de fuerza no erá conervativo i exite fricción o vicoidad en el itema, pueto que éa tienden a convertir energía mecánica en energía calorífica. 10.13 Ejercicio 1. Determinar cuále de lo iguiente conjunto abierto S de R' on conexo. Para cada conjunto conexo, elegir do punto ditinto cualequiera de S y explicar cómo e podría encontrar en S una curva regular a trozo que lo uniera. a) S={(x,y)lx2+y2~O}. b) S = {(x, y) I x 2 + y2 > O}. e)s={(x,y)lx 2 +y2>1 f) S = {(x, y) I x 2 + y2 < 1 o y e) S = {(x, y) I x 2 + y2 < 1}. d) S = {(x, y) 11 < x 2 + y2 < 2}. (x - 3)2 + y2 > 1}. (x - 3)2 + y2 < 1}. (*) Alguno autore conideran a -cp como la función potencial de f de modo que la energía potencial en x erá igual al valor de la función potencial cp en x,

410 Integrale de linea 2. Dado un campo vectorial bidimenional f(x,y) = P(x,y)i + Q(x,y)j, en el que la derivada parciale ap /ay y ao fax on continua en un conjunto abierto S. Si f e el gradiente de un cierto potencial <p, demotrar que op oy oq ñx en cada punto de S. 3. En cada uno de lo iguiente campo vectoriale, aplicar el reultado del ejercicio 2 para demotrar que f no e un gradiente. Hallar eguidamente un camino cerrado e tal que.fe! ~ O. a) f(x, y) = yi - xj. b) ft;x ; y) = yi + (xy - x)j. 4. Dado un campo vectorial tridimenional f(x,y, z) = P(x,y, z)i + Q(x,y, z)j + R(x,y, z)k, en el que la derivada parciale»r r oq oq or e«oy, oz' ñx ' a;, ox' oy, on continua en un conjunto abierto S. Si f e el gradiente de una cierta función potencial <p, demotrar que er oq ox' op or oq or ox' ~ = oy -=oy -=ñz en cada punto de S. 5. En cada uno de lo iguiente campo vectoriale, aplicar el reultado del ejercicio 4 para demotrar que f no e un gradiente. Hallar eguidamente un camino cerrado e tal que fe f ~ O. a) f(x,y, z) = yi + xj + xk. b) f(x, y, z) = xyi + (x2 + l)j + z2k. 6. Un campo de fuerza f etá definido en el epacio de tre dimenione por la ecuación f(x, y, z) = y i + zj + yzk. a) Determinar i f e o no conervativo. b) Calcular el trabajo realizado al mover una partícula a lo largo de la curva de ecuación cuando t varía de O a. a.(t) = co ti + etit j + e'k:

El primer teorema fundamental del cálculo para integrale de línea 411 7. Un campo de fuerza bidimenional F tiene por ecuación F(x,y) = (x + y)i + (x - y)j. a) Demotrar que el trabajo realizado por ea fuerza al mover una partícula iguiendo la curva a(t) = f(t)i + g(t)j, a S t S b, depende únicamente de I(a), I(b), g(a), g(b). b) Hallar el trabajo realizado cuando I(a) = 1, I(b) = 2, g(a) = 3, g(b) = 4. 8. Un campo de fuerza viene dado en coordenada polare por la ecuación F(r,O) = -4 en O i + 4 en Ojo Calcular el trabajo efectuado al mover una partícula dede el punto (1, O) al origen iguiendo la epiral cuya ecuación polar e r = ev: 9. Un campo de fuerza radial o «central» F en el plano puede expreare en la forma F(x, y) = f(r), en donde, = xi + yi y r = 11'11. Demotrar que un tal campo de fuerza e conervativo. 10. Hallar el trabajo realizado por la fuerzaf(x,y) = (3y2 + 2)i + 16xj al mover una partícula dede (-1,0) a (1,0) iguiendo la mitad uperior de la elipe b'x' + y' = b', Qué elipe (e decir, qué valor de b) hace mínimo el trabajo? 10.14 El primer teorema fundamental del cálculo para integrale de línea En la ección 10.11 e extendió el egundo teorema fundamental del cálculo a la integrale de línea. En eta ección e extiende el primer teorema fundamental. Recordemo que éte etablece que toda integral indefinida de una función continua f tiene una derivada igual a f. Eto e, i ({(x) = (X f(l) dt, a en lo punto de continuidad de f tenemo ep'(x) = f(x). Para extender ete teorema a la integrale de línea comenzamo con un campo vectorial f, continuo en un conjunto conexo abierto S, y lo integramo a lo largo de una curva regular a trozo e entre un punto fijo a de S a un punto

412 1ntegrale de línea cualquiera x. Deignemo entonce con Cf el campo ecalar definido por la integral de línea q:(x) = I:r da, en donde a. e la función que origina C. Pueto que S e conexo, cada punto x de S puede er alcanzado por una tal curva. Para que eta definición de Cf (x) carezca de ambigüedad, neceitamo aber que la integral depende únicamente de x y no del camino utilizado para unir a con x. Por coniguiente, e natural exigir que la integral de línea de f ea independiente del camino en S. En ea condicione la extenión del primer teorema fundamental toma la forma iguiente: TEOREMA 10.4. PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL PARA INTEGRALES DE LÍNEA. Sea f un campo vectorial continuo en un conjunto conexo abierto S de R", Y upongamo que la integral de línea de f e independiente del camino en S. Sea a un punto fijo de S y definamo un campo ecalar Cf en S mediante la ecuación (f(x) = xr da,.a en donde a. e un camino regular a trozo de S que une a con x. Exite entonce el gradiente de rp y e igual a f; e decir yo rp(x) = f(x) para todo x de S. Demotración. Demotraremo que la derivada parcial Dk(f(x) exite y e igual a h(x), componente k-éima de f(x), para cada k = 1, 2,..., n y cada x de S. Sea Bt x ; r) una n-efera con centro en x y radio r contenida en S. Si y e un vector unitario, el punto x + hy también etá contenido en S para todo h real que atifaga la condición O < Ihl < r, y podemo formar el cociente de diferencia rp(x + hy) - h En virtud de la propiedad aditiva de la integrale de línea, el numerador de ee cociente puede ecribire en la forma q:(x) rp(x + hy) - ({(x) = t-!-}'y f da, y el camino que une x con x + hy puede er cualquier camino regular a trozo