UNIVERSO CUANTICO Dr. Jose Garrigues Baixauli jgarrigu@eln.upv.es Resumen: En los últimos años un grupo de físicos están desarrollando la teoría de que dentro de cada agujero negro existe un universo y de que nuestro universo podría ser el resultado de un agujero negro. En este trabajo, a partir de un espacio de cuatro dimensiones en expansión, formado por átomos de espacio y tiempo, y del principio de incertidumbre de Heisenberg se llega a la conclusión de que nuestro universo es un agujero negro en expansión. Introducción. Tanto físicos como matemáticos, espacio y el tiempo sean discretos. se han preguntado si es posible que el Muchas teorías modernas que tratan de unificar la gravedad con el modelo estándar de la física de partículas, como por ejemplo la teoría de cuerdas, proponen la existencia de una longitud mínima. una longitud mínima fundamental surge naturalmente en cualquier teoría cuántica en la presencia de efectos gravitatorios que representa una resolución limitada de espacio-tiempo. Como sólo hay una escala de longitud natural que se puede obtener mediante la combinación de gravedad (G), la mecánica cuántica (h) y la relatividad especial (c), esta longitud mínima se espera que aparezca en la escala de Planck. [1] hemos aprendido ya a partir del desarrollo de la relatividad y de la mecánica cuántica, que la naturaleza puede imponer restricciones a nuestras mediciones, debido a dos constantes universales: la velocidad c, y el cuanto de acción h. Podría la naturaleza imponer una tercera restricción, como resultado de la existencia de una constante universal cuántica de longitud a y un quantum de tiempo universal constante a / c?. [2] El espacio-tiempo cuantizado es utilizado como modelo por otros autores para presentar la solución de la ecuación de Schrodinger de una partícula libre [3] o de onda electromagnética y Helmholtz [4]. También Smolin, comenta que el universo está formado por átomos de espacio-tiempo que no se pueden descomponer en nada menor, [5] de manera que el valor mínimo de volumen, longitud o área, se mide en unidades de Planck. A partir de las unidades de Planck se deriva la fuerza de Planck, la cual se asocia a la energía potencial gravitatoria y a la energía electromagnética. La fuerza de Planck se puede expresar como:
= = ħ = (1) Siendo: G la constante de gravitación, mp la masa de Planck, c la velocidad de la luz, ħ la contante de Planck y rp el radio de Planck, el cual se puede expresar en función de G, ħ y c: = ħ (2) Y sustituyendo en la Ec (1), resulta: = (3) Las teorías relacionadas con la gravedad cuántica, tales como la teoría de cuerdas y la relatividad doblemente especial, así como la física del agujero negro, predicen la existencia de una longitud mínima [6-8]. A partir de una modificación de las ecuaciones de la relatividad general de Einstein, y del análisis del movimiento de las partículas que entran en un agujero negro, N. Poplawski llega a la conclusión de que todo nuestro Universo puede tener su origen en el interior de un agujero negro que existe en un universo más grande. [9] el interior de cada agujero negro se convierte en un nuevo universo que se expande a partir de un rebote no singular. [10] Diversos autores han propuesto escenarios cosmológicos en los que nuestro universo surge de un agujero negro. [11-14]. el giro y torsión puede ser el mecanismo que permita un escenario en el que cada agujero negro produce un nuevo universo en el interior, en lugar de una singularidad. [15] El espacio-tiempo con torsión evita la formación de singularidades, en donde el Universo se expande desde un radio mínimo pero finito, lo que corresponde a la dinámica de la materia en el interior de un agujero negro [16-17]. También Afshordi et al., parten de la hipótesis de que nuestro universo podría ser una brana-triesférica formada por la explosión de un agujero negro tetradimensional. [18]
Einstein y Heisenberg. Dos son las teorías ampliamente aceptadas y contrastadas por la comunidad científica, la relatividad general de Einstein y la mecánica cuántica. La primera, predice una singularidad gravitacional en donde las densidades de energía son infinitas, en el instante inicial, o en un punto cero, lo que concuerda con la teoría del Big Bang sobre el origen de Universo, De acuerdo con el principio de conservación de la energía, la energía actual del Universo estaba concentrada en un punto, y hace aproximadamente 13.700 millones de años, ocurrió una gran explosión que dio lugar a la aparición de materia, carga, espacio y tiempo, tras un periodo denominado inflación cósmica, durante dicho periodo inflacionario el espacio-tiempo se expandió rápidamente, provocando una especie de estiramiento del universo, lo que resuelve algunos de los problemas que presenta la teoría, como por ejemplo, el hecho de que la densidad de materia en el Universo sea comparable a la densidad crítica necesaria para un Universo plano. La base de la relatividad general son las ecuaciones de campo de Einstein, que relacionan el tensor de energía-momento con la curvatura a través de la fuerza de Planck. 8πG Eik = T (4) 4 ik c donde el tensor E ik es la curvatura de Einstein, y T ik es el tensor de energíamomento La base de la mecánica cuántica es el principio de incertidumbre de Heisenberg, según el cual es imposible medir simultáneamente, y con precisión absoluta, ciertos pares de variables físicas, tales como: el valor de la posición y la cantidad de movimiento de una partícula, o energía y tiempo. Matemáticamente, se expresa como: 1 E t h (5) 2 Esto significa, que la precisión con que se pueden medir las magnitudes físicas viene fijado por la constante de Planck. Así, cuanto mayor sea la precisión en la medida de una de estas magnitudes mayor será la incertidumbre en la medida de la otra variable física conjugada. En el límite (producto mínimo), 1 h E = (6) 2 t ecuación idéntica a la energía de Planck, salvo por el factor ½. Sustituyendo la Ec. (1) en la Ec.(4) resulta: =2 4 ħ (7)
De donde: 1 2 4 (8) Siendo, s p el área de Planck. Lo que indica la existencia de una longitud mínima o superficie esférica mínima, de acuerdo con Smolin. Agujeros Negros. Cuando una estrella consume todo el combustible la gravedad contrae la estrella. Si la masa de una estrella es lo suficientemente grande la gravitación puede superar la repulsión neutrónica. En ese caso, en el modelo actual, ya no hay nada que pueda oponerse al colapso. La estrella puede contraerse hasta un volumen prácticamente nulo, formando una singularidad. Nace un agujero negro cuando se juntan tanta masa o tanta energía en un volumen pequeño que las fuerzas gravitatorias dejan pequeña a todas las otras y no hay nada que no se derrumbe bajo su propio peso. La materia se comprime hasta ocupar una región inimaginablemente pequeña o singularidad, cuya densidad en su interior viene a ser infinita.[19] Supongamos que el universo está formado por átomos de espacio-tiempo de cuatro dimensiones cuyo diámetro (r p ) es la longitud de onda de Planck. Por lo tanto, en cada átomo tendremos el potencial de Planck del campo gravitatorio o de cualquier otro campo que consideremos: (9) Siendo m p, la masa de Planck, r p el radio de Planck, G la constante de gravitación y c la velocidad de la luz. Para poder comprimir el átomo de espacio-tiempo (fig. 1) necesitamos aplicar la fuerza de Planck (Ec.(3)). Figura 1. Átomo de espacio y tiempo. Supongamos que en una estrella de masa M, la gravedad ha superado la repulsión neutrónica y la estrella va reduciendo su radio hasta alcanzar el radio de Schwarzschild R, el cual lo podemos poner como:
!= " 2 (10) Dividiendo por el radio al cuadrado (R 2 ) y multiplicando por la masa de Planck (m p ), resulta:! " (11) 2" En donde le primer término representa a fuerza gravitatoria que ejerce la masa M de la estrella en colapso gravitatorio sobre la masa de Planck situado sobre la superficie de la estrella de radio R.! " (12) El segundo término de la Ec.(12), lo podemos poner como: 2" y teniendo en cuenta la fuerza de Planck, Ec.(1) y Ec.(3), resulta: 2" (13) (14) Siendo F la fuerza que oponen los átomos de espacio-tiempo de masa m p al colapso gravitatorio de la estrella, Figura 2. Fuerza necesaria para comprimir el espacio-tiempo. Si el espacio está formado por átomos de espacio y tiempo, aparece una nueva fuerza (Ec.(14), denominada fuerza espacial que evita el colapso gravitatorio de la estrella y por consiguiente la formación de singularidades en el centro de un agujero negro. Debido a la fuerza espacial, en este caso, tenemos una distribución uniforme de masa en el interior del radio de Schwarzschild.
Luego la fuerza de Planck que une los átomos de espacio-tiempo, impide que la fuerza gravitatoria comprima la materia y evita, por lo tanto, la formación de singularidades en los agujeros negros. La masa en el interior de los agujeros negros se distribuye uniformemente, de manera que la densidad de masa viene dada por: # $ 3 8 La Ec. (11) la podemos poner, como:! " 1 2 1 " (15) ħ (16) Ecuación que corresponde al principio de incertidumbre de Heisenberg. En donde: ( = 1 2 ħ (17) ( =! (18) Es la energía potencial de la masa M, respecto al potencial de Planck, siendo = " (19) el potencial de Planck que existe en el pasado t=r/c, situado a una distancia R, equidistante a cada uno de los átomos de espacio y tiempo que constituyen la masa M, de radio R y que observamos en el espacio tridimensional. Universo Cuántico. Supongamos que se produce una fluctuación cuántica de energía tal que verifica el principio de incertidumbre de Heisenberg, de forma que: = 1 2 ħ (20) Siendo Ei, la energía inicial, tp el tiempo de Planck y ħ la constante reducida de Planck. Si además de la fluctuación cuántica se produce una expansión del espacio formado por átomos discretos de espacio-tiempo (Fig.3) de cuatro dimensiones, cuyo diámetro es la longitud de onda de Planck: r p =(Għ/c 3 ) 1/2
Figura 3. Representación bidimensional de la expansión del Universo. En el instante inicial tenemos una fluctuación cuántica que produce la masa m (E i ). La expansión del espacio (Fig. 3) origina que la energía potencial de la masa m respecto al origen (punto O) disminuya. La Energía potencial de la masa m respecto al potencial de PlancK en el origen será: =, = " (21) Siendo U po el potencial de Planck en el origen (punto o), R=ct el radio del Universo en el instante t y U p el potencial de Planck que existe en cada átomo de espacio-tiempo. = = (22) En donde m p es la masa de Planck y c la velocidad de la luz. El principio de conservación de la energía implica que, en cualquier instante, la energía total E(t) del Universo debe ser igual a la inicial E i, resulta: -.= =! " =! " =! " =1 2 1 2 (23) Siendo M la masa total el Universo en el instante t. De donde; 2!" (24) Ecuación que corresponde al radio de Schwarzschild de un agujero negro. A medida que el radio del Universo aumenta a la velocidad de la luz, la energía potencial respecto del origen disminuye, lo que genera un aumento de la masa para compensar dicha disminución de energía. De forma que en todo instante, la energía total del Universo verifica el principio de incertidumbre de Heisenberg. Por otra parte, al considerar el espacio discreto y formado por
átomos cuyo diámetro es el radio de Planck, el radio del Universo será en todo instante un número entero de radios de Planck. "=/r p (25) Sustituyendo en la Ec. (24), la masa del Universo la podemos expresar como:!= / 2 = / 2 ħ =/ 2 (26) Por lo tanto la masa del Universo solo puede tomar valores discretos, múltiplo semientero de masas de Planck. De manera que cada incremento de tiempo de Planck se produce un aumento de la masa del universo de valor igual a la mitad de la masa de Planck. Se puede considerar, que cada tiempo de Planck, se produce una fluctuación cuántica, de valor igual a la mitad de la masa de Planck y que en vez de desaparecer perdura en el tiempo, debido a la expansión del espacio, lo que origina una disminución de la energía potencial total. Conclusión. A partir del principio de incertidumbre de Heisenberg o de la ecuación de campo de Einsten se obtiene la misma relación para el radio de un agujero negro o radio de Schwarzschild. Si consideramos la energía potencial de la masa m, respecto al potencial de Planck Up, se obtiene la energía local o absoluta E=mc 2. Si consideramos la energía potencial de la masa m, respecto al potencial de Planck que existe en el pasado, en este caso la energía potencial es menor o igual a la energía dada por el principio de incertidumbre de Heisenberg. La fluctuación de Planck origina un Universo en expansión que en todo momento es un cosmológico agujero negro cuántico [20]. Referencias: [1] Martin, S., Piero, N. and Marcus, B., Physics on Smallest-An Introduction to Minimal Length Phenomenology, (2012) Arxiv: 1202.1500v2 [2] A. Meessen. Space-Time Quantization, Elementary Particles and Dark Matter, (2011) [arxiv:1108.4883. [3] Manjit, B. and Swamy, N., Free Particle Eigenfunctions of Schrodinger Equation with Quantized space-time, Arxiv: 0910.0825v1. [4] J. C. C s García. Solución de las ecuaciones de onda electro-magnética y Helmholtz con espacio-tiempo discreto, Latin American Journal of Physics Education Volume 6, Number 4, December (2012), pp. 604-607 [5] L. Smolin. Atoms of Space and Time. Scientific American. December 15 (2003) [6] A. Farag Ali. Minimal Length in Quantum Gravity, Equivalence Principle and Holographic Entropy Bound, Class. Quantum Grav. 28 (2011) 065013
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